第3章多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其概率分布

1． 二维随机变量),(YX

),(YX的分布函数),(),(yYxXPyxF

X的分布函数),(),(lim)(1xFyxFxFy

Y的分布函数),(),(lim)(2yFyxFyFx

),(lim0),(limyxFyxFyx

2． 离散型),(YX的分布律ijP

ijijiiijPyYxXPP10),( （与KKKPP10比较）

jijiiPxXPP)(

iijijPyYPP)(

例１ 设),(YX的分布律为

求（1）?a

（2）)0(XP

（3）)2(YP

（4）)2,1(YXP

（5）)(YXP

解：（1）由1ijijP知1031131211030201)(ijijPPPPPPP125.025.03.01.01.0a

解得0a （2）300102031(0)0.10.10.30.5jjPXPPPP

（3）10210121)2()1()2(iiiiPPPPYPYPYP45.0)01.0()25.01.0(

（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201PPYXPYXPYXPYXP

（5）25.0)(11PYXP

3． 连续型),(YX的分布密度

设D为平面上的区域，),(yxf为),(YX的分布密度，则其满足：1),(0),(dxdyyxfyxf

dxdyyxfDYXPD),()),((

特别，xydudvvufyYxXPyxF),(),(),(

),(),(2yxfyxyxF

若X，Y相互独立，则有)()(),(21yFxFyxF，)()(),(21yfxfyxf，其中)(),(11xfxF分别为X的边缘分布函数和分布密度，)(),(22yfyF分别为Y的边缘分布函数和分布密度。

第三章 多维随机变量及其分布

1. 从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠笔的盒子里随机抽取两支，用和分别表示抽出的蓝笔数和红笔数，求（1）),(的分布律；（2）边缘分布率。

2. 已知),(的联合分布函数为F),(yx＝其它,00,0,3331yxyxyx，试求：(1）F（1,2）；(2)P(1，1)；(3)边缘分布函数，并考察随机变量与的独立性.

3. 设盒内有3个红球，一个白球，从中不放回地抽取两次，每次抽一球，设第一次抽到红球数，两次共抽到的红球数为，试求（,）的联合概率分布.

4.设袋中有标记为1～4的四张卡片，从中不放回地抽取两张，表示首次抽到卡片上的数字，表示抽到的两张卡片上数字差的绝对值，求),(的概率分布及边缘分布；

5.设二维随机变量（，）的联合密度为),(yxf=　　　　其它　　，　,02010,21yx,（1）求与中至少有一个小于0.5的概率；（2）与是否独立？

6. 设二维随机变量（，）的联合密度为),(yxf=　　　　其它　　，　,02010,xyxA，试求：

（1）系数A；（2）；边缘分布密度；（3））（2121P.

本讲主要内容：

1.二维离散随机变量

2.二维连续随机变量（重点）

3.二维随机变量函数的分布（重点）

设Ｘ与Y为两个随机变量，那么我们称二元组（X，Y）为二维随机变量.

一、二维离散随机变量

定义7：设X与Y均为离散随机变量，取值分别x1, x2,„, xi，„，y1, y2,„，yj,„

那么我们称（X，Y）为二维离散随机变量，并称

P（X=xi, Y=yj）=pij, i, j =1,2,„

为（X，Y）的联合分布列.

联合分布列的性质：

① pij≥0

②

边际分布列：

X与Y独立的任何两行或者两列都成比例

离散随机变量的独立性：

设（X，Y）为二维离散随机变量，如果

即联合分布列等于边际分布列的乘积，则称X与Y相互独立.

条件分布列与乘法公式：

二、二维随机变量的联合分布函数

定义8：设（X，Y）为二维随机变量，我们称二元函数

为（X，Y）的联合分布函数.

联合分布函数的性质：

（1）F（x,y）为x与y的右连续函数.

（2）F（x,y）为x与y的不减函数.

（3）

（4）

三、二维连续随机变量

定义9：设（X，Y）为二维随机变量，如果（X，Y）的联合分布函数可以写成

则称（X，Y）为二维连续随机变量，并称f（x,y）为（X,Y）的联合密度函数.

易知：

联合密度函数的性质：（1），（2）

边际密度函数：

随机变量X的边际密度：

随机变量Y的边际密度：

连续随机变量的独立性：设（X，Y）为二维连续随机变量，如果

则称X与Y相互独立.

条件密度：我们称

为在给定Y=y时X的条件密度.

为在给定X=x时Y的条件密度.

如果二维连续随机变量（X，Y）的联合密度为

则称（X，Y）服从区域G上的二维均匀分布.其中为区域G的面积.

课时作业(六十)

一、选择题

1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是 ( )

A．5 B．9

C．10 D．25

解析：号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．

答案：B

2．(2012年广州模拟)已知离散型随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2 3 „ n

P

kn kn kn „ kn

则k的值为

( )

A.12 B．1

C．2 D．3

解析：由分布列的性质：kn＋kn＋„＋kn＝k＝1.选B.

答案：B

3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为 ( )

A.1220 B.2755

C.27220 D.2155

解析：X＝4表示取2个旧的，1个新的，

∴P(X＝4)＝C23·C19C312＝27220. 答案：C

4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是 ( )

A．P(X＝2) B．P(X≤2)

C．P(X＝4) D．P(X≤4)

解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C47C68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝C47C68C1015.

答案：C

5．(2012年烟台模拟)随机变量X的概率分布列规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12

A.23 B.34

C.45 D.56

解析：∵P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，

∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，