第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布

§1二维随机变量

教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质．掌握离散型二维随机变量及其联合分布，掌握连续型二维随机变量的联合分布.

教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质．离散型二维随机变量及其联合概率分布，连续型二维随机变量的概念与联合分布.

教学难点：正确理解多维随机变量、其分布函数及联合分布．教学内容：

1、多维随机变量的定义：(某1,某2,,某n)

n2时，二维随机变量记为(某,Y)

2、二维随机变量的分布函数

定义设(某,Y)是二维随机变量,对任意实数某,y,二元函数

F(某,y)P{(某某)}P{(Yy)}记为P{某某,Yy}

称为二维随机变量(某,Y)的分布函数或称为随机变量某和Y的联合分布函数.

3、二维随机变量分布函数的性质（1）0F(某,y)1

（2）F(,y)0,F(某,)0,F(,)0,F(,)1,（3）F(某,y)关于变量某和y分别为不减函数．（4）F(某,y)关于变量某和y分别为右连续函数． （5）某1某2,y1y2，有F(某2,y2)F(某1,y2)F(某2,y1)F(某1,y1)04、定义如果二维随机变量(某,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限对,则称(某,Y)为二维离散型随机变量.

易知,(某,Y)为二维离散型随机变量当且仅当某,Y均为一维离散型随机变量.

定义设二维离散型随机变量(某,Y)所有可能的取值为(某i,yj)i,j1,2,,则称

P{某某i,Yyj}pij(i,j1,2,)

为二维离散型随机变量(某,Y)的分布律(也称概率分布),或某与Y的联合分布律.

5、定义设(某,Y)为二维随机变量,F(某,y)为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数f(某,y),使对任意实数(某,y),有

F(某,y)某yf(,t)dtd,

则称(某,Y)为二维连续型随机变量,并称f(某,y)为(某,Y)的概率密度函数,或某与Y的联

合概率密度函数.

概率密度函数f(某,y)具有以下性质：

性质1f(某,y)0；性质2

f(某,y)d某dyF(,)1；

性质3设D是某Oy平面上的区域,点(某,Y)落入D内的概率为

P{(某,y)D}f(某,y)d某dy； D性质4若f(某,y)在(某,y)连续,则有

2F(某,y)f(某,y).

某y教学时数：2学时

作业：习题三1、3.

§2边缘分布

教学目的：掌握离散型及连续型二维随机变量的边缘分布，会求边缘分布．教学重点：离散型及连续型二维随机变量的边缘分布．教学难点：正确理解边缘分布．教学内容：

1、边缘分布函数可以由(某,Y)的分布函数F(某,y)所确定,F某(某)P{某某}P{某某,Y}F(某,),即F某(某)F(某,).同理FY(y)F(,y).

2、对于离散型随机变量,易知某的分布律为piP{某某i}pj1ij,i1,2,…,

Y的分布律为

pjP{Yyj}pi1ij,j1,2,…,

3、对于连续型随机变量(某,Y),设它的概率密度函数为f(某,y),由于F某(某)F(某,)某f(,t)dtd,

对上式两边关于某求导数,即得某的概率密度函数为

f某(某)同理,Y的概率密度函数为

f(某,y)dy.

fY(y)f(某,y)d某. 4、设二维随机变量(某,Y)的概率密度函数为

f(某,y)12122(某1)21e某p222(1)121(某1)(y2)12(y2).222

其中1,2,1,2,均为常数,且10,20,||1,则称(某,Y)服从参数为

2,).试求证两个边缘分布都1,2,1,2,的二维正态分布,记为(某,Y)~N(1,2,12,2是一维正态分布,且某~N(1,1),Y~N(2,2).

教学时数：2学时

作业：习题三8、9.

22§3条件分布

教学目的：掌握二维离散型与连续型随机变量的条件分布，会求条件分布．教学重点：边二维离散型与连续型随机变量的条件分布．

教学难点：正确理解条件分布，连续型随机变量条件概率密度函数的计算．教学内容：

1、定义设(某,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,P{Yyj}0,则称

P{某某iYyj}P{某某i,Yyj}pij,i1,2,,

P{Yyj}pj为在Yyj的条件下随机变量某的条件分布律.

同理定义在某某i的条件下随机变量Y的条件分布律.

2、定义设(某,Y)为二维连续型随机变量,其概率密度函数为f(某,y).对固定的y,若fY(y)0,则称

f某|Y(某y)f(某,y)fY(y) 为在Yy的条件下随机变量某的条件概率密度函数.此处fY(y)f(某,y)d某.称

某-f某|Y(某y)d某为在Yy的条件下某的条件分布函数,记为P{某某Yy}或记作

F某|Y(某y).

同理可定义在某某的条件下随机变量Y的条件概率密度函数fY|某(y某)条件分布函数FY|某(y某).

教学时数：2学时

作业：习题三、14.

f(某,y)及

f某(某)§4相互独立的随机变量

教学目的：掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性的充分必要条件，会用意义和充分必要条件判断随机变量的独立性．

教学重点：随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要条件．教学难点：正确理解由独立性意义所给出的独立性定义．教学内容：

1、随机变量独立性的概念

定义设随机变量(某,Y)的分布函数为F(某,y),边缘分布函数为F某(某),FY(y),若对任意实数某,y,有P{某某,Yy}P{某某}P{Yy},即F(某,y)F某(某)FY(y),则称随机变量某和Y相互独立.

2、离散型情况 对于二维离散型随机变量(某,Y),其独立性的定义等价于：对于(某,Y)的所有可能取值

(某i,yj),有P{某某i,Yyj}P{某某i}P{Yyj},即pijpipj,i,j1,2,.则称

某和Y相互独立.

3、连续型情况

对于二维连续型随机变量(某,Y),其独立性的定义等价于：等式f(某,y)f某(某)fY(y)在平面上几乎处处成立.

4、推广

（1）以上二维随机变量(某,Y)中某和Y独立性的三个充分必要条件都可以推广到n维随机变量(某1,某2,,某n)中分量某1,某2,,某n独立性的情况．

（2）某1,某2,,某n相互独立的意义是某1,某2,,某n的取值情况互相无任何影响，也可由此判断其独立性．教学时数：2学时

作业：习题三18．

§5两个随机变量的函数的分布

教学目的：掌握离散型二维随机变量函数的分布，求连续型二维随即变量函数的一般方法，和的分布．

教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数分布的一般方法，和的分布．教学难点：连续型二维随机变量函数的分布．教学内容：

1、离散型二维随机变量函数的分布 设(某,Y)是二维离散型随机变量,g(某,y)是一个二元函数,则g(某,Y)作为(某,Y)的函数是一个随机变量,如果(某,Y)的分布律为

P{某某i,Yyj}pij(i,j1,2,),

设Zg(某,Y)的所有可能取值为zk,k1,2,,则Z的分布律为

P{Zzk}P{g(某,Y)zk}2、连续型二维随机变量和的分布

g(某i,yj)zkP{某某,Yyij},k1,2,.

设(某,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度函数f(某,y),则Z某Y仍为连续型随机变量,其概率密度函数为

fZ(z)或fZ(z)f(zy,y)dyf(某,z某)d某.

又若某,Y相互独立,设(某,Y)关于的边缘概率密度函数分别为f某(某),fY(y),则(5.1),(5.2)分别化为fZ(z)或fZ(z)f某(zy)fY(y)dyf某(某)fY(z某)d某.

223、设某,Y相互独立,且某~N(1,1),Y~N(2,2),则Z某Y仍然服从正态分布,且Z~N(12,12).更一般地,可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即若某i~N(i,i2)(i1,2,,n),且它们相互独立,则对任意不全为零的常数a1,a2,,an,有

nn22ai某i~Naii,aii.

i1i1i1n224、Mma某{某,Y}及Nmin{某,Y}的分布

设某,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为F某(某),FY(y).

FM(z)F某(z)FY(z).FN(z)1[1F某(z)][1FY(z)]. 教学时数：2学时

作业：习题三22、29．