选修2-2第二章 2.3数学归纳法(上)课件-广东省肇庆市肇庆学院附属中学高二数学2020春(共25张PPT)

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人教版2017高中数学(选修2-2)2.3数学归纳法PPT课件

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课前预习案
课堂探究案
做一做
1 1 2 3 1 1 B. + 2 3 1 C. 2
1
1 4
用数学归纳法证明
在验证 n=1 时,左边的代数式为( A. + +
)
1 1 1 + +…+ >1(n∈N*), ��+1 ��+2 3��+1
D.1
n=1
1 1 1 + +…+ >1(n∈N+)中,当 ��+1 ��+2 3��+1 1 1 1 时,等式左边的项为 + + ,故选 A. 2 3 4
1 1
2+
1 ;…+
1
则当 n=k+1 时,
(2��-1) 1 1 1
2+
2 >1- + − +…+ 2 +…+
1 2
1 3
1 4
1
2
2 3 (2��+1) (2��-1) 1 1 1 1 1 1 >1- + − +…+ − + 2 3 4 2��-1 2�� (2��+1)2 1 1 1 1 1 1 >1- + − +…+ − + 2 3 4 2��-1 2�� (2��+1)(2��+2) 1 1 1 1 1 1 1 =1- + − +…+ − + − , 2 3 4 2��-1 2�� 2(��+1)-1 2(��+1)

人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件

数学归纳法温故知新回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何．

新知导学 1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立．第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式
1 1 1 证明：＋＋„＋＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B．＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由

新课标课件选修2-2：2.3 数学归纳法

问题思考：
已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
解:∵ a1 1 = 21 1
可从简单情形出发
∴
a2 a3
2a1 2a2
1 1
21 1 3= 22 2 3 1 7= 23
1 1
观察、归纳、猜想
a4 2a3 1 2 7 1 15 = 24 1 a5 2a4 1 215 1 31= 25 1
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（传递）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
证明当n k 1时,命题也成立（传递）
3.数学归纳法第二步的证明可以用各种证明方法，但必须用到假设
思考5：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1
则当n=k+1时
2n
2n
成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？
思考1：与正整数n有关的数学命题都能否通过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关, 我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？
问题思考：已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an . 怎么证明我们的猜想呢?

(人教A版)数学【选修2-2】2-3《数学归纳法》ppt课件

2．对数学归纳法的步骤的理解用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如果只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单靠步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论．例如，假设n＝k时，等式 2＋4＋6＋„＋2n＝n2＋n＋1成立，就是 2＋4＋6＋„＋2k＝k2＋k＋1. 那么2＋4＋6＋„＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k ＋1)2＋(k＋1)＋1.
规律技巧此类题在考试中经常出现，它是考查探究归纳能力的好素材，应切实掌握.
三
与自然数有关的应用问题
【例3】
(整除问题)用数学归纳法证明：(3n＋1)· 7n－1(n
∈N*)能被9整除．【分析】成立； (2)假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n＝1时命题
1 ＝2k(3k－1)＋3k＋1 1 2 ＝2(3k ＋5k＋2) 1 ＝2(k＋1)(3k＋2) 1 ＝2(k＋1)[3(k＋1)－1]．即n＝k＋1时等式也成立．综上，由(1)与(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
规律技巧
用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个步
骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没有利用归纳假设，那就不正确.
第二章
推理与证明
§2.3 数学归纳法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
自学导引了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
课前热身数学归纳法只适用于与__________有关的命题，其步骤为： (1)(归纳奠基)__________； (2)(归纳递推)假设__________时命题成立，证明 __________命题也成立．只有完成这两步骤，就可断定，命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

高中数学选修2-2课件2.3《数学归纳法》课件

2
（B ）
A．n 为任何正整数时都成立
B．当 n = 1，2，3 时成立
C．当 n = 4 时成立，n = 5 时不成立
D．仅当 n = 4 时不成立
课堂练习
5．在数列{an }中，an
1
1 2
1 3
1 4
1 2n
1
1 2n
，则ak
1等于
（）
1
A.
ak
2k 1
C.
ak
1 2k 2
1
1
B.
ak
例2
已知数列 1 1 4
,
4
1
7
,
7
1 10
,
,
3n
1
23n
1,
,
计算S1,S2,S3,S4, 根据计算结果,猜出Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
S1
1 1 4
1; 4
S2
1 4
1 47
2; 7
S3
2 7
1 7 10
3; 10
S4
3 10
1 10 13
4. 13
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子和项数
成立;n 4成立 ,就有n 5 也成立所以,对任意
的正整数n,猜想都成立,即数列的通项公式是an
1. n
一般地, 证明一个与正整数n有关的命题, 可按下
列步骤:
1归纳奠基证明当n取第一个值n0时命题成立;
2归纳递推假设当n k k n0,k N 时命题成立,
1 an2 = 1a
(a≠1)”，在验证 n = 1 时，左端计
算所得的项为

新课标课件选修2-2：2.3 数学归纳法

6
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
当堂检测1：用数学归纳法证明
13 23 33 ... n3 n2 (n 1)2 4
证明：（1）n=1时
左边=1=右边（2）假设n=k时，结论成立，即
13 23 33 ... k 3 k 2 (k 1)2 4
那么n=k+1时
12 22 32 k 2 (k 1)2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1
思考：你认为证明数列的通项公式 an 2n 1是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
思考:已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
我们运用不完全归纳法得出猜想: an 2n 1 ,怎么严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想.
当n=k+1时
13 23 33 ... k 3 (k 1)3 k 2 (k 1)2 (k 1)3 4
(k 1)2 ( k 2 k 1) 4
(k 1)2 k 2 4k 4 4
(k 1)2 (k 2)2
=右边
4
所以，n=k+1时，结论成立. 由（1）（2）可知
13 23 33 ... n3 n2 (n 1)2 4
根据 (1) 和 (2), 可知不论有多少块骨牌 , 都能
∴由⑴、⑵可知当 n N * 时
全部倒下.

高二数学人教A版选修2-2第二章2.3 数学归纳法课件(共37张PPT)

数学归纳法
定义及其简单应用
从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马。第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马。
（ C ）。
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
1 an2 ( a 1 )，在验证n＝1时，左端计算所得项 1a
为 _________
A .1
B .1 a
C .1 a a2
D .1 a a2 a3
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
问题反思
1.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 2.有人说：“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”，你怎样理解这句话？
ห้องสมุดไป่ตู้ 课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
思考
1.这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：
(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
2.你认为条件(2)的作用是什么？
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题

高中数学(新课标)选修2课件2.3数学归纳法

(2)数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前 n 项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．
(3)第一个值 n0 是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值 n0 都是 1.
(4)步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当 n ＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用，证明“当 n＝k ＋1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当 n＝k＋1 时命题也成立．而不
状元随笔
方法归纳
(1)用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧．
(2)在推证 n＝k＋1 时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项” 技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18，等式成立．
(2)假设当 n＝k 时，等式成立，即2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k×12k＋2＝4k＋k 1成立．当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k×12k＋2＋2k＋2×1 2k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1]. 所以 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)可得，对一切 n∈N*，等式成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立．

高中数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)

利用到假设
根据(1)和都成立. 根据和(2),可知等式对任何 n ∈ N 都成立可知等式对任何错误原因：由证明错误原因：由证明n=k+1等式成立等式成立没有用到n=k命题成立的归纳假设命题成立的归纳假设时没有用到命题成立的
思考
1 1 1 1 , ，已知数列 , , · · ·， n－ 2)(3 n + 1) (3 − 1× 4 4 × 7 7 ×10
(2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据归纳递推 n＝ k时命题成立．作为必用的条件运用，命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、利用假设及已知的定义时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明
求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n例、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1) (2n
请问：请问：步中“ n=k+1时的证明可否改换为：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+ +(2k-1)+[2(k+1)1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) +(2k1+3+5+ +(2k +(2k = （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？为什么？
证明： n=1时左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边， =1+1=2， 1=2，证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。式成立。时有： ② 假设当n=k((k∈N ）时有：假设当 (k+1)(k+2)…(k+k) (k+k)= (2n-1), (k+1)(k+2) (k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), n=k+1时当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) （2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) k+1)(k+2)(k+3) (k+k)•

人教A版高中数学选修2-2 第二章 2.3 数学归纳法教学课件共20张PPT (共20张PPT)

(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: k
1
13
24
,不等式成立.
1 1 13 ,
1 k 2 2k 24
则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1
(k 1) 1 (k 1) 2
2k 2k 1 2k 2
1 1 1 ( 1 1 1 )
k1 k2ຫໍສະໝຸດ 2k 2k 1 2k 2 k 1
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°
A
A
B
B
C
F
C
ED
（1）验证当n=初1时始结值论n成0时立结。论成立。
（2）假设当n=k(k≥1n)0时)时结结论论成成立立，，证证明明则则当当 n=k+1时结论也成立。
（3）下结论：根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，结论都成立。
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°
an 1 an
n
1, 2, ...
有如何证明？无
限
限
步
对
骤
象
要使得多米诺骨牌全部倒下，
需要具备哪些基本条件？
（1）最开始的一块骨牌倒下。
（2）若第k块倒下时，k≥1
则相邻的第k+1块也倒下。
已知数列 a n ,a1 =1,a n+1
多米诺骨牌游戏的原理 an
= an (n N *), 11+a这n 个猜想的证明方法
k(k
6
1)( 2k
1)
6(k
1) 2
6
(k 1)(2k 2 7k 6)
6
利用假设
(k 1)(k 2)(2k 3) 6

人教A版高中数学选修2-2课件：第二章 2.3数学归纳法 (共75张PPT)

不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。学做任何事得按部就班，急不得。
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越来越多，人生也就越来越好！青春一经“典当”，永不再赎。同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。就算你的朋友再多，人脉再广，其实真正对你好的人，你一辈子也遇不到几个。眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。相信就是强大，怀疑只会抑制能力，而信仰就是力量。没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。人越是高兴的事情，越爱隐藏；越是痛苦的事情，越爱小题大作。现实很近又很冷，梦想很远却很温暖。目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！走得最慢的人，只要他不丧失目标，也比漫无目的地

《数学归纳法》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第2.3课时)

k
新知探究
继续解答……
这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立； n=3成立，就有n=4也成立； n=4成立，就有n=5也成立······所以，对任意的正整数n，猜想都成立.
此猜想正确，即
此数列的通项公式an
=
1 n
.
新知探究
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：归纳奠基 1.证明当n取第一个值n0 时命题成立；归纳递推 2.假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
)，
此数列的通项公式是什么？
1 通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，我们已经猜出其通项公式为 an = n .
课前导入
这个猜想对前4项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从n=5开始一个个往下验证.
这个方法可行吗?
课前导入
我们来分析此方法：
一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，从n=5开始逐个往下验证的想法价值不大.我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立.
新知探究
注意
用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而第二步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”.不能不使用 “n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1代入命题，便断言此时命题成立因为这样的“证明”并不推出递推关系：
这种证明方法就叫做数学归纳法.

高中数学人教A版选修2-2课件：2-3 数学归纳法

分析:求f'(x)→得到式子an+1≥(an+1)2-1→利用数学归纳法证明 an≥2n-1(n∈N*)
2 ∴an+1≥(an+1)2-1= �� + 2��.
1 3
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
【变式训练 2】用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数 n, 不等式 1 +
栏目导引
重难聚焦
第一章
三角函数
(3)正确寻求递推关系. 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢? ①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的. ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n 处在哪个位置. ③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
证明:(1)当 n=2
右边. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立, 即 111 4 1 右边 4
=
2+1 2×2
=
3 , 所以左边= 4
11 9
1 9
· … · 11 ��
2
1 ��
所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合(1)(2)知,对任意 n≥2,n∈N*等式恒成立.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
【变式训练 1】用数学归纳法证明 12+32+52+…+(2n-1)2=

高中数学选修2-2课件：2.3 数学归纳法

*
1 ＋2k成立．那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋…＋－2k＋－＝＋＋…＋ 2k－1 2k＋1－1 2k＋1 k＋1 k＋2 1 1 1 2k＋2k＋1－2k＋1
当堂达标 • 固双基
合作探究 • 攻重难
课时分层作业
第二章
推理与证明
2.3 数学归纳法
自主预习 • 探新知
学习目标： 1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点) 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
当堂达标 • 固双基
合作探究 • 攻重难
课时分层作业
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C [A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； 1 1 C中，n＝1时，式子＝1＋2＋3； 1 1 1 1 D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－ .故正确的是C.] 3k＋2 3k＋3 3k＋4 k＋1
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(2)假设当n＝k时猜想成立， 2k－1 则有ak＝ k－1 ， 2 当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
k k＋1 2 － 1 2 －1 1 1 ∴ak＋1＝22k＋1－Sk＝k＋1－2 (2k－ k－1 )＝ k＋1－1 ， 2 2
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2019人教版高中数学选修2-2课件：2.3 数学归纳法(共37张PPT)

预习探究
知识点数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n 有关的命题P(n),可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立; (2)(归纳递推)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n= k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法.
[答案] C [解析]由已知得n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立;在n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.
当堂自测
[答案] B [解析] 当n=k时,左边 =12+22+…+(k-1)2+k2+(k-
1)2+…+22+12,①
证明：令a＝2，b＝2n－1(n∈N*)，当n＝1时，f(2)＝2＝1×21；当n＝2时，f(2×2)＝f(22)＝2f(2)＋2f(2)＝ 2×22；当n＝3时，f(2×22)＝2f(22)＋22f(2)＝3×23； ……
猜想f(2n)＝n·2n(n∈N*)．(*)
备课素材
用数学归纳法证明如下： (1) 当n＝1时，f(2)＝1×2，(*)式成立， (2)假设n＝k时(*)式成立，即f(2k)＝k·2k，当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝f(2×2k)＝2f(2k)＋ 2kf(2)＝2×k×2k＋2k×2＝k×2k＋1＋2k＋1＝(k＋1)×2k＋1， ∴n＝k＋1时，(*)式成立. 由(1)(2)知，对n∈N*，f(2n)＝n·2n成立．所以Un＝f(2n)＝n·2n(n∈N*)．要证明结论成立，只需证明Un＋1－Un>0(n∈N*)， ∵Un＋1－Un＝(n＋1)·2n＋1－n·2n＝2n(n＋2)>0，∴Un＋1>Un.

课件选修数学归纳法课件肇庆市肇庆学院附属中学高二数学PPT课件_优秀版

提示：用n=k+1时式子左边减去n=k时式子的左边就知道根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。
（2）若n=k时猜想成立,即
(2k+2)
+[2(k+1)+1]
（1）当n=1时猜想成立；
一、创设情境，开启思维：费马数
基础自测5 .用数学归纳法证明等式（1）当n=1时猜想成立；
当n＝k+1时，左边= _____________________________________ ；
注意：当n<3时构不成多边形，且由
1 n(n 3) 2
可知 n 3
.
技能2：能弄清两端项的情况
例2 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)
当n＝1时，左边所得项是 1_+_2_+__3___ ；左边=6，右边= (1 1 )(2 1 ) 2 3 6
挑战极限共创佳绩
数学归纳法是什么？是一种特殊的证明方法！
学习目标： 1、了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点（重点） 2、会用数学归纳法证明有关数学命题（等式、不等式、整除、归纳猜想）（重难点）
一、创设情境，开启思维：费马数
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他在解析几何，微积分，概率论，数论方面都对数学的发展有着卓越的贡献。他观察到: 2 2 0 1 3 , 2 2 1 1 5 , 2 2 2 1 1 7 , 2 2 3 1 2 5 7 , 2 2 4 1 6 5 5 3 7 , 都是质数！于是他归纳推理提出猜想：
（3）n从k到k+1的过程中注意增减项，注意凑出目标.

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基础自测5 .用数学归纳法证明等式 1 4 2 7 310 L n(3n 1) n(n 1)2, n N* 当n＝ k时，左边= 1__4__2__7___3__10___L___k_(3_k__1_) ；当n＝ k+1时，左边= 1__4__2___7__3__1_0__L___k_(3_k___1)__(_k__1_)[_3_(k__1_)__1_] ；
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
基础
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n 0(n 0 ∈ N* ) 时命题成立。
( 2 ) ( 归纳递推 ) 假设n = k ( k ≥ n 0 ，k ∈ N* ) 时命题成立，
根据
证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n都成立。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
假设给的形式
当n＝k时，左边= _1_+_2_+_3+__…__+_(_2_k+_1_)___ ；
目标形式
保障！
当n＝k+1时，左边= 1_+_2_+_3_+__…__+(_2_k_+_1_)_+__(_2_k_+2_)__+_[_2_(_k_+_1)_+_1_]__ ；提示：用n=k+1时式子左边减去n=k时式子的左边就知道 (2k+2) +[2(k+1)+1]
k+2
2k+2
提示：用n=k+1时式子左边除以n=k时式子的左边就知道
(k 2)(k 3)L (2k)(2k 1)(2k 2) (k 1)(k 2)(k 3)L (k k)(2k 1)(2k 2) k 1
(k 1)(k 2)(k 3)L (k k) (2k 1)(2k 2) k 1
基础自测4 .用数学归纳法证明等式 1 4 2 7 310 L n(3n 1) n(n 1)2, n N* 当n＝1时，左边所得项是 ________1__4__________ ；右边是 ___1___(1___1_)2___1__4___ ；当n＝ k时，左边所得项是 1__4___2__7__3__1_0__L___k_(_3_k__1) ；右边是 ____k___(_k__1_)_2______ ；当n＝ k+1时，左边所得项是 _1__4__2__7___3_1_0___L___k_(3_k__1_)____(k__1_)_[3_(_k__1_) __1]_ ；
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下
（2）若n=k时猜想成立即 ak 2k 1
先把上面的k个圆片全部从A柱移到B柱， ak 2k 1 接着把第k+1个最大的圆片从A柱移到C柱， 1 最后再把B柱上的k个圆片移到C柱. ak 2k 1 ak1 2ak 1 2 (2k 1) 1 2k1 1
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肇庆学院附属中学
课前准备
郑瑞华老师
1、课本、练习本、双色笔、纠错本
2、分析错因，自纠学案
3、标记疑难，以备讨论
挑战极限共创佳绩
数学归纳法是什么？是一种特殊的证明方法！
学习目标： 1、了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点（重点） 2、会用数学归纳法证明有关数学命题（等式、不等式、整除、归纳猜想）（重难点）
基础自测2.用数学归纳法证明 3n n3(n 3, n N)，第一步应验证（ C ）
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n 1
注意：有些问题中验证的初始值不一定是1.
基础自测3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线有第一步检证n等于（ C ）
1 n(n 3) 2
条时，
A.n 1
B.n 2
提示：从n=k到n=k+1过渡时，考虑清楚到底多了哪几项？少了哪几项？
技能5：会四部曲一验证二假设三递推四结论
例5 .用数学归纳法证明等式 1 4 2 7 310 L n(3n 1) n(n 1)2, n N*
证解明：：（1）当n＝1时，左边= _1__4___4_；右边= _1__(1___1)_2__4_；
玩法规则：①一次只移动一片；
②不管在哪根柱子上，小片必须在大片上面。
问：这个10层汉诺塔按规则①②，把圆片从A柱子全部移到C柱子，最少
需要移动多少次呢?
1个圆片的时候： 1 21 1
2个圆片的时候： 3 22 1 3个圆片的时候: 7 23 1
4个圆片的时候: 15 24 1
5个圆片的时候: 31 25 1
当n k 1时，等式成立.
由（1）（2）知，对于 n N* 等式恒成立.
[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
1弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况；小结 2弄清从 n＝k 到 n＝k＋1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
3证明 n＝k＋1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，
右边= _(_k__1_)__[_(_k___1)___1_]2_.
由n=k时的归纳假设证明n=k+1时，左边增加的项是？
提示：用n=k+1时式子左边减去n=k的式子的左边就知道 (k 1)(3k 4)
技能4：会由目标形式凑出假设里给出的形式
例4 .用数学归纳法证明等式 1 2 3 L n2 n4 n2 , n N* ，则 (1)当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ D ）2
当n∈N时， 22n 1一定都是质数．问题1：费马运用什么方法得到的结论？
后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 F5 225 1 4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想
到当n＝5这一结论便不成立．
汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。
C.n 3
D.n 1
注意：当n<3时构不成多边形，且由
1 n(n 3) 2
可知 n 3
.
技能2：能弄清两端项的情况
例2 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) 当n＝1时，左边所得项是 1_+_2_+__3___ ；左边=6，右边= (11)(2 1) 23 6 当n＝2时，左边所得项是 1_+_2_+__3_+_4_+_5__ ；左边=15，右边= (2 1)(4 1) 35 15 当n＝k时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+_…_+_(_2_k_+_1_)_=_左__边，；右边= (k 1)(2k 1)
A.(k2 1)
B.(k 1)2
C. (k 1)4 (k 1)2
D.(k2 1) (k2 2) (k2 3) L (k 1)2
假设给的形式
2
k4 k2
当n＝k时，左边= _1__2___3__L___k_2_；右边= ____2_________
k 2 2k 1
当n＝k+1时，左边= 1___2__3__L___k_2 __(_k2__1_)_(_k_2__2_) __(k_2__3_)__L___(k___1)2；
当n＝k+1时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+__…_+_(_2_k_+_1_)+___(_2_k_+_2)______+_[_2(_k_+_1_)_+_1]__ ；
右边是_[(_k__1_)__1_][_2_(k___1)__1_]
先确定最后一项，
规律？再按照规律补充
(2k+3)
技能3：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化情况
(2)当n=k+1时,如何利用假设n=k给出的形式来代换？提示：用n=k+1时式子左边减去n=k的式子的左边就知道
1 2 3L k2 (k2 1) (k2 2) (k2 3) L (k 1)2 k 4 k 2 (k2 1) (k2 2) (k2 3) L (k 1)2 2
尝试证明与正整数有关的猜想
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若n=k时猜想成立,即
ak 2k 1
则当n=k+1时猜想也成立，即
ak1 2k1 1
（2）若n=k时猜想成立, 则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的根据（1）和（2），可知对任意的正
正整数n，猜想都成立。
整数n，猜想都成立。
........ 10个圆片的时候: 210 1 问题3：n个圆片的时候是 ? 次
an 2n 1
二、数学归纳法类比多米诺骨牌效应探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
二、数学归纳法雏形：多米诺骨牌效应（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
条件（1）的作用是什么？
假设给的形式：连乘积
D. (2k 1)(2k 2) k 1
当n＝k时，左边= _(k___1)_(k___2_)L__(_k__k_)_；右边= _2_k__1__3__5__L___(_2_k__1_)_
当n＝k+1时，左边= __[_(k___1)__1_]_[(_k__1_)__2_]L__2_k__(_2k___1_)[_(k___1)__(_k__1_)_]____ ；
一、创设情境，开启思维：费马数
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他在解析几何，微积分，概率论，数论方面都对数学的发展有着卓越的贡献。他观察到: 220 1 3, 221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数！于是他归纳推理提出猜想：

选修2-2第二章 2.3数学归纳法(上)课件-广东省肇庆市肇庆学院附属中学高二数学2020春(共25张PPT)

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