2020中考数学复习：特殊的平行四边形(含答案)
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2020中考数学复习：特殊的平行四边形（含答案）
一、选择题
1.菱形OABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC°，
，则点
B
的坐标为（ ）
A
．(21)，
B
．(12)，
C
．(211)，
D
．(121)，
2．如图，将一个长为10cm
，宽为8cm
的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的
连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A
．2
10cm
B
．2
20cm
C
．2
40cm
D
．2
80cm
3.如图，矩形ABCD
的两条对角线相交于点O
，602AOBAB°，
，则矩形的对角
线AC
的长是（ ）
A．2B．4C
．23
D
．43
4．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边
AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若
MN⊥EF，则MN = EF．你认为（ ）
A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都不对
A
BCD
OD
CA
Bxy
OC
B
A5．梯形ABCD
中，ADBC∥
，1AD
，4BC
，70C°
，40B°
，则AB
的
长为（）
A
．2B
．3C
．4D
．5
6．如图（1），把一个长为m
、宽为n
的长方形（mn
）沿虚线剪开，拼接成图（2），
成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）
A．
2mn
B
．mn
C．
2m
D．
2n
二、填空题
1.如图，正方形ABCD
的边长为1cm
，E、F
分别是BC、CD
的中点，连接BF、DE
，则图中阴
影部分的面积是 cm
2．
2.如图，四边形ABCD
的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
（只填一个你认为正确的即可）．
3.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形
ABCD
的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD
可以是 ．
4.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两
张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．B
CEA
D
Fm
nn
n
（2（1
A
D
CBO5．如图，在四边形ABCD
中，已知AB
与CD
不平行，∠ABD
＝∠ACD
，请你添加一个条件：
，使得加上这个条件后能够推出AD
∥BC
且AB
＝CD
.
三、解答题
1.如图，在平行四边形ABCD
中，BCAE
于E
，CDAF
于F
，BD
与AE
、AF
分别相交于
G
、H
．
（1）求证：△ABE
∽△ADF
；
（2）若AHAG
，求证：四边形ABCD
是菱形．
2.如图，在△ABC
中，D
是BC
边上的一点，E
是AD
的中点，过A
点作BC
的平行线交CE
的
延长线于点F
，且AF
=BD
，连结BF
。
（1）求证：BD
=CD
；
（2）如果AB
=AC
，试判断四边形AFBD
的形状，并证明你的结论。A
D
CBG
EH
FB
CD
A
O
（第5题图）3.如图，△ABC
中，已知∠BAC
＝45°，AD
⊥BC
于D
，BD
＝2，DC
＝3，求AD
的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB
、AC
为对称轴，画出△ABD
、△ACD
的轴对称图形，D
点的对称点为
E
、F
，延长EB
、FC
相交于G
点，证明四边形AEGF
是正方形；
(2)设AD
=x
，利用勾股定理，建立关于x
的方程模型，求出x
的值.
4.如图，在矩形ABCD
中，点EF、
分别在边ADDC、
上，ABEDEF△∽△
，
692ABAEDE，，
，求EF
的长．
5.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120
米，下底长180
米，上下底相距
80
米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道
的宽度相等．设甬道的宽为x
米．
（1）用含x
的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；A
BCDE
FBCA
E
GDF（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的
宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那
么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
6.在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交
AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN．
①求证：ABNADN△≌△
；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =
，求点M到AD的距离及tan
的值；
（2）如图2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何
值时，△ADN为等腰三角形．
C
B
M
AN
D
（图1
）CMB
N
A
D
（图2
）【参考答案】
一、选择题
1.C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A
二、填空题1.2
3
2.ACBD⊥
或ABBC
，或BCCD
，或CDDA
，或ABAD
3.正方形（对角线互相垂直的四边形均可）
4.17
5.∠DAC
＝∠ADB
，∠BAD
＝∠CDA
，∠DBC
＝∠ACB
，∠ABC
＝∠DCB
，OB
＝OC
，OA
＝OD
；(任选
其一)
三、解答题
1.（1）∵AE
⊥BC
，AF
⊥CD
，∴∠AEB
＝∠AFD
＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE
＝∠ADF
．
∴△ABE
∽△ADF
（2）∵△ABE
∽△ADF
，
∴∠BAG
＝∠DAH
．
∵AG
＝AH
，∴∠AGH
＝∠AHG
，
从而∠AGB
＝∠AHD
．
∴△ABG
≌△ADH
．
∴ADAB．
∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴四边形ABCD
是菱形．
2.（1）AFBC∥
，AFEDCE∠∠
E
是AD
的中点，AEDE
．
(3')AFEDCE
AEDEAEFDEC
AEFDEC
AFDC
，AFBD
BDCD
（2）四边形AFBD
是矩形
ABAC
，D
是BC
的中点ADBC
，90ADB
∠AFBD
，AFBC∥
四边形AFBD
是平行四边形
又90ADB
∠
四边形AFBD
是矩形．
3.(1)证明：由题意可得：△ABD
≌△ABE
，△ACD
≌△ACF
.
∴∠DAB
＝∠EAB
，∠DAC
＝∠FAC
，又∠BAC
＝45°，
∴∠EAF
＝90°.
又∵AD
⊥BC
∴∠E
＝∠ADB
＝90°∠F
＝∠ADC
＝90°.
又∵AE
＝AD
，AF
＝AD
∴AE
＝AF
.
∴四边形AEGF
是正方形.
(2)解：设AD
＝x
，则AE
＝EG
＝GF
＝x
.
∵BD
＝2，DC
＝3
∴BE
＝2，CF
＝3
∴BG
＝x
－2，CG
＝x
－3.
在Rt
△BGC
中，BG
2＋CG
2＝BC
2
∴( x
－2)2＋(x
－3)2＝52.
化简得，x
2－5x
－6＝0
解得x
1＝6，x
2＝－1（舍）
所以AD
＝x
＝6.
4.解：∵四边形ABCD
是矩形，AB=6
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6
又∵AE=9
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=117692222
ABAE
∵ABEDEF△∽△
，∴
EFBE
DEAB
，即
EF117
26
∴EF=
3117
