现代控制理论

现代控制理论

⾮线性动态系统的稳定性

和鲁棒控制理论研究

上世纪50年代，Kallman成功的将状态空间法引⼊到系统控制理论中，从⽽标志着现代控制理论研究的开始。现代控制理论的

研究对象是系统的数学模型，它根据⼈们对系统的性能要求，通过对被控对象进⾏模型分析来设计系统的控制律，从⽽保证闭

环系统具有期望的性能。其中，线性系统理论已经形成⼀套完整的理论体系。过去⼈们常⽤线性系统理论来处理很多⼯程问

题，并在⼀定范围内取得了⽐较满意的效果。然⽽，这种处理⽅法是以忽略系统中的动态⾮线性因素为代价的。实际中很多物

理系统都具有固有的动态⾮线性特性，如库仑摩擦、饱和、死区、滞环等，这些⾮线性动态⾮线性特性的存在常常使系统的控

制性能下降，甚⾄变得不稳定。这就使得利⽤线性系统理论处理⾮线性动态系统⾯临巨⼤的困难。此外，在控制系统运⾏过程

中，环境的变化或者元件的⽼化，以及外界⼲扰等不确定因素也会造成系统实际参数和标称值之间出现较⼤差别。因此，基于

标称数学模型所设计的控制律⼀般很难达到期望的性能指标，甚⾄会使系统不稳定。综上所述，研究不确定条件下⾮线性动态

系统的鲁棒稳定性及鲁棒控制间题具有重要的理论意义和迫切的实际需要。

⾮线性动态系统是指按确定性规律随时间演化的系统，⼜称动⼒学系统，其理论来源于经典⼒学，⼀般由微分⽅程来描述。美

国数学家Birkhoff[1]发展了法国数学家Poincare在天体⼒学和微分⽅程定性理论⽅⾯的研究，奠定了动态系统理论的基础。在

实际动态系统中，对象往往受到各种各样的不确定的影响，所以其数学模型⼀般不可能精确得到。因此，我们只能⽤近似的标

称数学模型来描述被控对象，并据此来设计控制系统,动态系统鲁棒控制由此产⽣。所谓鲁棒性就是指系统预期⾮线性动态系统

的稳定性和鲁棒控制理论研究的设计品质不因不确定性的存在⽽遭到破坏的特性，鲁棒控制是⾮线性动态系统控制理论研究的

⼀个⾮常重要的分⽀。现代控制理论的发展促进了对动态系统的研究，使它的应⽤从经典⼒学扩⼤到⼀般意义下的系统。

⾮线性动态系统的稳定性问题是控制理论研究的重要课题之⼀。1868年，JameSclerkMaxwen[2]对⼀个调节器的微分⽅程模型

进⾏平衡点的⼩范围线性化去研究系统的稳定性，得到了系统的稳定性取决于特征值的是不是否为负值的结论，从⽽揭开了⾮

线性动态系统稳定性研究的序幕。在控制理论中，19世纪末期俄国数学家李亚普诺夫(Lyapunov)[3]提出的稳定性理论，是分析

⾮线性系统稳

H提供了鲁棒定性的重要⽅法，并且不断有深⼊研究。进⼊20世纪70年代，

优化的综合⼯具，灵敏度最⼩化间题已经转化为插值间题，对⾮线性耗散系统的稳定性也已开始了研究。80年代初期，把微分

⼏何和微分代数等数学⽅法相继引⼊到⾮线性动态系统控制的研究中[4]，实现了对⾮线性动态系统控制的⼤范围分析和综合。

⽽基于微分⼏何的⾮线性系统控制理论的出现，也极⼤地促进了⾮

线性动态系统系统鲁棒控制理论的研究进程，它与Lyapunov 稳定性理论，⼩增益理论以及耗散性或⽆缘性等理论相结合，给

出了许多有效的⾮线性动态系统鲁棒控制设计和分析⽅法。

尽管⾮线性动态系统控制理论的研究有了突飞猛进的发展，取得了丰硕的成果，但是，在⾮线性动态系统控制领域中仍有⼀些

挑战性的间题尚需解决。例如，当被控对象较为复杂时,采⽤前述⽅法进⾏控制率合成时，经常会⾯临较为繁琐和巨⼤的计算，

缺乏有效或者灵活的计算⽅法，就⼏乎不可能完成控制器的设计.另⼀个挑战问题是被控动态系统的建模不确定性。对⼤多数传

统的控制技术，获取被控对象的精确的数学模型是设计控制率的前提条件。.控制性能的获得很⼤程度上依赖于对象数学模型的

精确与否。然⽽，在⼤多数实际⼯程应⽤中，系统通常具有较为复杂的⾮线性、未建模动态及不可测的噪声等。为了解决这些

问题,许多学者仍在寻找新的更有效的控制⽅法。

1. 现有的⾮线性动态系统控制理论研究⽅法

1.1反馈线性化⽅法

反馈线性化⽅法是⼀种重要的⾮线性动态系统控制理论⽅法[5]。其基本思想是：通过状态反馈或者状态变换，将强⾮线性动态

系统变换成线性系统或者具有线性系统的部分特性。1953年，Cosgriff [6]提出了基于反馈控制的⾮线性系统控制理论，随后，

⼤量研究⼈员开始了各类⾮线性系统的反馈控制研究。Baumann 和Rugh [7]研究了⼀类基于状态观测器的单输⼊多输出⾮线性

系统的反馈控制，Ushio [8]考虑了离散系统的时滞状态反馈控制，并得到了⼀维和⼆维离散系统镇定控制器设计的充分必要条

件。Dawson 和Dixon 等⼈则研究了刚性机器⼈的全局⾃适应输出反馈控制。由于反馈线性化⽅法是线性控制理论中⼀种较为

成熟的⽅法，因此，当了解系统线性性能特征的时候，该⽅法是较为有效的。然⽽，当不完全了解⾮线性系统动⼒学时，将导

致补偿不彻底、解藕不完全的情况，为此,通常采⽤⾼增益的⽅法来保证系统的鲁棒性，⽽⾼增益可能会带来过⼤的控制作⽤导

致执⾏器饱和。

1.2 ∞H 控制⽅法

∞H 控制的基本思想是：通过状态反馈和输出反馈，得到使闭环系统的抑制度最⼩化的控制器，并且保证在扰动为零时闭环系

统稳定。1981年,zames [9]⾸次提出了∞H 控制思想，通过设计控制器实现了外界⼲扰到系统期望输出传递函数的∞H 范数最⼩

化。随后，Francis 和Zames 利⽤函数插值理论给出了∞H 控制的最初解法。Doyle 和Glove 等⼈证明了∞H 设计间题可以通过

两个Riccati ⽅程来解决，标志着∞H 的控制理论的成熟。近年来，国内外学者给出了⼤量的有关复杂⾮线性动态系统的鲁棒镇定和∞H 控制问题

的研究成果。由于∞H 控制在⽅法上的可⾏性和⼯程上的合理性，也使其成为现代鲁棒控制的核⼼⼯具之⼀。Yang 和wang 等

⼈[10]考虑⼀类⾮线性动态系统的分散∞H 控制器设计间题，通过求解Hamilton--Jacobi 不等式，得到了系统∞H 性能的充分条

件，Lin 和Byrnes ⽹基于耗散不等式以及微分对策理论，给出了⼀类离散动态系统的∞H 控制策略。Acho 和Orlov 则研究了⼀

类刚性机器⼈系统的全局∞H 跟踪控制器设计问题,取得了较好的效果。Mlyasato 对⼀类不确定⾮完整移动机器⼈系统的跟踪控

制问题进⾏了研究，基于逆最优化技术，给出了⼀种⾃适应∞H 鲁棒控制器设计⽅法。

随着线性∞H 控制的发展成熟，⾮线性⼲扰抑制问题逐步得到⼈们的关注，⾮线性∞H 控制的基本思想是对所有L 2空间的输⼊

信号，保证系统的输出信号具有有限的L 2范数。Schaf [11]证明了⾮线性系统L 2增益控制间题可以归结为Hamilton ⼀Jaeobi

⽅程的可解性，Isidori 则将⾮线性动态系统基于输出反馈的⼲扰抑制问题转换为Hamilton-Jacobi ⼀Isidori(HJI)不等式的可解性

间题。然⽽由于求解⾮线性偏微分⽅程⾮常困难，所以往往针对某⼀类⾮线性系统或结合线性系统的某些优良特性将间题化简

后求解。

1.3滑模变结构控制⽅法

滑模变结构控制⽅法是⼀种针对不确定系统的有效的⾮线性反馈控制⽅法，其主要控制思想是：利⽤⾼速的开关控制律，驱动

⾮线性动态系统状态轨迹渐近地⾮线性动态系统的稳定性和鲁棒控制理论研究到⼀达⼀个预先设计的状态空间曲⾯上，该表⾯

称作滑动⾯，并通过⾮线性控制策略使得⾮线性系统的状态轨迹渐近地到达该曲⾯上。在系统处于滑模⾯时，理论上系统状态

可以指数收敛到零，并且此时系统的动⼒学完全由滑动系统的向量场决定，⽽与被控对象⽆关，因此对系统的模型不确定性和

外部扰动是鲁棒和不敏感的。正是由于滑模变结构控制对有界的⼲扰和参数变化具有完全不敏感性，所以它⾮常适于各类⾮线

性动态系统的控制间题[12]。Hul 和Zak 研究了⼀类离散变结构滑模控制策略，Derbel 和Ahmi 基于模糊逻辑⽅法，分析了滑模

变结构控制在机器⼈轨迹跟踪中的应⽤，chou 和cheng 则采⽤分散控制策略，研究了滑膜控制器在机器⼈轨迹跟踪中的应

⽤，Corradini 和Orlando [13]设计了⼀类多输⼊多输出系统的离散⾃适应变结构控制器，并⽤与⽔下机器⼈系统控制。

然⽽，由于滑模变结构控制本⾝的不连续性，容易引起“抖震”现象。从⽽导致控制失效。众多研究者通过对切换项进⾏修正来

消除“抖震”现象。Slotine 和Sastr 将饱和函数取代了通常的符号函数，避免了系统的混沌现象，并采⽤“有界层”的概念来消

除“抖震”现象。Slotine 和Li 引⼊边界层，但是边界层的引⼊，会产⽣静差，使得系统失去渐近稳定性。Stepanenko 和Cao 等

⼈[14]对通常的PD 型滑动⾯略做改进，提出⼀种PID 型滑动⾯，将时滞函数应⽤到切换量中，

Su和Leung等⼈研究了⾃适应的滑模控制，使得切换量鲁棒项的增益能⾃适应的变化。

1.4⾃适应控制⽅法

⾃适应控制⽅法是⼀种重要的⾮线性控制技术。其基本思想是：⾯对客观存在的各式各样的不确定性，设计适当的控制器，使

得某⼀指定的性能指标达到并保持最优或近似最优。常规的反馈控制系统对于系统内部特性的变化或者外界⼲扰也具有⼀定的

抑制能⼒,但由于控制器的参数是固定不变的，当系统内部特性发⽣变化或者外界⼲扰很⼤时，系统的稳定性就⽆法保证。⽽⾃

适应控制的优点就是具有⼀定的适应能⼒，它可以根据系统的输⼊输出数据，不断地辨识系统的参数.通过在线辨识，系统的模

型越来越接近实际.随着模型的不断改进，作⽤于系统的控制输⼊也随之发⽣相应的变化，即体现出算法的学习能⼒。Sastry和Isidori[15]⾸先讨论了基于反馈线性化技术的⾮线性系统⾃适应控制。由于系统的⾮线性项要求满⾜增长性条件和匹配条件，因

此算法具有⼀定的局限性。随后，Kanellakopoul0S和Kokotovic等⼈提出了反推设计⽅法，该⽅法在⾮线性系统⾃适应控制研

究中具有重要意义，其基本思想是，将⾮线性系统分解成不超过系统阶数的⼦系统。然后为每⼀个⼦系统设计⼀个Lyapunov

函数以及相应的虚拟控制器，直⾄完成整个控制器的设计。该⽅法利⽤系统的结构特性递推地构造整个系统的Lyapunov函

数，使得控制器的设计结构化、系统化，同时也放宽了对系统的⾮线性项增长性条件和匹配性约束条件，能够获得任意好的瞬

态响应性能。

经过30多年的发展，⾃适应控制⽆论在理论上或在应⽤上都取得了很⼤的进展。近10多年来，由于计算机的迅速发展,特别是

微处理机的⼴泛普及，为⾃适应控制的实际应⽤创造了有利条件。⾃适应技术在飞⾏控制、卫星跟踪望远镜的控制、⼤型油轮

的控制、电⼒拖动、造纸和⽔泥配料等⽅⾯的控制中得到应⽤。利⽤⾃适应控制能够解决⼀些常规的反馈控制所不能解决的⾮

线性动态系统控制间题，能⼤幅度地提⾼系统的稳态精度和跟踪精度。

1.5智能鲁棒控制⽅法

近年来，由于各类智能⽅法(神经⽹络、模糊逻辑)在理论上取得了突破性进展，引起了⾃动控制界的密切关注，很多学者提出

利⽤智能⽅法来解决⾮线性动态系统的控制间题。在系统控制器设计中，智能⽅法主要是针对复杂系统的⾮线性和不确定性进

⾏的，由于智能⽅法的⾃适应能⼒、并⾏处理和⾼度鲁棒性。采⽤智能控制⽅法来设计⾮线性动态系统控制器将具有更快的速