高中数学3-1椭圆3-1-2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质新人教A版选择性必修第一册

《3.1.2 椭圆的简单几何性质》教学案

知识与技能目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

过程与方法目标

(1)复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．

(2)新课讲授过程

(i)通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．

提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．

(ii)椭圆的简单几何性质

①范围：由椭圆的标准方程可得，222210yxba，进一步得：axa，同理可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率(10e)，椭圆图形越扁时当01a，，b，ce；椭圆越接近于圆时当a，b，ce00 ．

- 1 - §2.1.2椭圆的简单几何性质(第 1课时导学案)

一、教学目标

（一）知识与技能

1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；

2．掌握标准方程中cba,,的几何意义，以及ecba,,,的相互关系，能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.

（二）过程与方法

培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；运用数形结合思想解决实际问题的能力

二、重点与难点

重点：椭圆的几何性质

难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质

[教材助读]:

研究椭圆12222byax(a＞b＞0)的几何性质

1．范围：椭圆位于直线x＝____和y＝____围成的矩形里．

2．对称性：椭圆关于_______、_______、_______都是对称的．

3．顶点：上述椭圆的四个顶点坐标分别是_______、_______、_______、_______

4．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e=

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。

[分组讨论，完成表格]:

问题一：椭圆曲线的定义是什么？

问题二： “范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的yx,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？

问题三：标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？

问题四：椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短A1B2byOF1F2xB1A2-aa-b

- 2 - 轴长各是多少？cba,,的几何意义各是什么？

问题五：观察不同的椭圆图，我们发现，椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？它的范围如何？



问题六：画椭圆草图的方法是怎样的？

2.完成下列表格：

方程

图像

a、b、c 00caba

焦点

范围

对称性

顶点

长轴长、短轴长

离心率

1 椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计

一、教材分析：

本节课是《普通高中教科书数学·选择性必修第一册》（人教A版）第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。

用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。

解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在本章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

二、教学目标：

按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：

1．知识与技能目标：

①理解椭圆的定义。

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。

2．过程与方法目标：

①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)

思维导图

考点一 离心率

【例1】(1)(2021·四川高二期末(文))椭圆222210xyabab的左右焦点分别是1F，2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为( )．

A．22 B．312 C．31 D．512

(2)(2021·黄冈天有高级中学高二月考)已知12,FF是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,AB两点，若2ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )

A．32 B．22 C．21 D．2

【答案】(1)C(2)C

【解析】(1)由题意2PFc，12PFPF，所以22221122(2)3PFFFPFccc，

所以1232PFPFcca，所以离心率为23131cea．故选：C．

(2)不妨设椭圆方程为222210xyabab，焦点12,0,,0FcFc，离心率为e， 常见考法 将xc代入22221cyab可得2bya，所以22bABa,

又2ABF是等腰直角三角形，所以212224bABFFca，

所以22bca即2220caac，所以2210ee，解得21e(负值舍去).

故选：C.

【一隅三反】

1．(2021·河北石家庄二中高一期末)若焦点在x轴上的椭圆 22116xym的离心率为32，则m

A．31 B．28 C．25 D．23

【答案】D

【解析】焦点在x轴上，所以221,6amb

所以2165cmm

离心率32e ，所以2225314cmeam

解方程得m=23

所以选D

2．(2021·江苏高二期末)设1F，2F为椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，点P在C上，且1122,,PFFFPF成等比数列，则C的离心率的最大值为( )