专题28 截长补短模型-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(全国通用,含解析)(解析版)

模块二 常见模型专练

专题28 截长补短模型 例1 （2021年·四川广安·中考真题）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线

段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则

，得

，这样，四边形的面积就转化为等腰直

角三角形面积．

(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．

(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．

(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；

，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．【答案】(1)12.5(2)

(3)

不是，，

【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形

的面积；

（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求

，由配方法可求的最小值，即可求解．

【详解】（1）解：由题意可得，，，

则的面积，

即四边形的面积为，

故答案为：12.5；

（2）解：，

，

，

，

当时，取最小值，最小值为2；

（3）解：如图，过点B作于H，

四边形是平行四边形，

，，，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

当时，有最小值，即的最小值为，

此时：，，

是等边三角形，

．综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的

性质，灵活运用这些性质是解题的关键．例2 （2021年·湖北襄阳·中考真题）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接．

(1)若点P是弧上一点，

①∠BPC度数为 ___________；②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，

请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上

截取点E．使，连接．

(2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不

需要证明．

【答案】(1)①，②见解析

(2)；；；证明见解析

【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可；

②在的延长线上截取点E．使，连接，利用全等三角形的判定与性质和等

腰直角三角形的判定与性质解答即可；

（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可．【详解】（1）①解：，理由：∵四边形是正方形，

∴，

∴的度数为，

∴，

故答案为：；

②证明：在的延长线上截取点E，使．连接，如图，

∵四边形是内接正方形，

∴，

又∵点P在上，

∴四边形为内接四边形

∴．

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴；

（2）当点P在上时，；在上取点E，使，连接，如图，

∵四边形是内接正方形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴；

当点P在上时，，

在上取点E，使，连接，如图，

∵四边形是内接正方形，

∴，

在和中，

，∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴；

当点P在上时，，理由：

在的延长线上截取点E，使，连接，如图，

∵四边形是内接正方形，

∴，

又∵点P在上，

∴四边形为内接四边形

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

∴为等腰直角三角形，∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形

的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补

短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键．模型 截长补短

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一

种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。

如图①，若证明线段 AB、CD、EF 之间存在

EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。

截长法：如图②，在 EF 上截取 EG=AB，再

证明

GF=CD 即可。

补短法：如图③，延长 AB 至

H

点，使

BH=CD，

再证明 AH=EF 即可。

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已

知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三

角形来完成证明过程。

概述图：【变式1】（2021秋·河北沧州·八年级统考期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采

用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证

明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线

段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形

，以D为顶点作，交边于M、N．

(1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；

(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你

的结论，不用证明）

(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则

之间有何数量关系？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)

(3)，证明见解析

【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角

形的判定得出，，再根据全等三角形的性质

结合图形即可证明；

（2）证明方法与（1）一致，证明即可；

（3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，

再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．

（1）

证明：根据题意得：AD=BD，

延长到E，使，连接

∵，

∴，

在和中

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵

∴

∴，在和中

∴，

∴，

∵，

∴．

（2）

由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，

证明方法同（1）类似，

∴；

（3）

，

证明：在截取，连接，

∵，

∴，

在和中

，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

即，∴，

∵

∴

即

∴

即，

在和中

，

∴，

∴，

∵，

∴

．

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之

间的关系是解题关键．

【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，

全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方

法．

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等．

这两种方法统称截长补短法．

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC【答案】见解析

【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得

△APN≌△APC，可得到PC=PN，

△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结

PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求

证．

【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，

在△APN和△APC中

∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，

∴△APN≌△APC，

∴PC=PN，

∵△BPN中有PB－PN＜BN，

即PB－PC＜AB－AC；

补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，

在△ABP和△AMP中，

∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，

∴△ABP≌△AMP，

∴PB=PM，

又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，

即AB－AC＞PB－PC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是

解题的关键．

【变式3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次做了研究，如图甲，中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，

过点C作，垂足为点E，小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、

DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是______（用ED、DB、

AE的式子表示）

EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

（2）探索结论：

怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如

图乙，在线段AE上截取点F，使得，连接CF、CD．小红试图构造关于AF、DB

所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明．