中考数学几何模型能力提升 截长补短模型(解析版)
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中考数学几何模型1：截长补短模型
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.
例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．
变式练习>>>
1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.
例题2. 已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，
CD，BC的数量关系，并说明理由．
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变式练习>>>
2. 已知：△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分
∠CDE．
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变式练习>>>
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．
例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
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（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求线段AE长度的最大值．
例题5.在△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′
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B，A′C与AB交于点E；
（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．
①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；
②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．
例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
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（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
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1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．
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2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠
NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加
以证明．
4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE．
（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF＝CD+CF．
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5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连
结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．
（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB＝2FB，求FG的长；
（2）求证：AE+BF＝AF．
6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，连接AC，BD交于点E．
（1）若BC＝CD＝2，M为线段AC上一点，且AM：CM＝1：2，连接BM，求点C到BM的距离．
（2）证明：BC+CD＝AC．
7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连
接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE＝2，求EF的长；
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（2）求证：PF＝EP+EB．
答 案
例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．
【解答】证明：如图所示：
（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥CE．
（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．
在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴∠A=∠5．
∵AB∥CD，
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∴∠A+∠D=180°，
∴∠5+∠D=180，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D，
在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD，
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1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C.
求证：AB+BD=AC.
答案：略
例题2. 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．
【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，
∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
∵在△COD和△COG中，，
∴△COD≌△COG（SAS），
∴∠COG=∠COD=60°，
∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，
∵在△BOE和△BOG中，，
∴△BOE≌△BOG（ASA），
∴BE=BG，
∴BE+CD=BG+CG=BC．
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2. 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【解答】解：AB=BD+CD，
理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，
∵∠ADB=90°﹣∠BDC，
∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，
∴∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，
∵AB=AC，
∴AE=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．
例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分
∠CDE．
【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，
∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，
∴CD=FD，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，
