2020届江苏高考数学应用题精选试题(一)

2020年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,2},B={0,2,3}，则A∩B=________.2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3.已知一组数据4,2a,3−a,5,6的平均数为4，则a的值是________.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是________.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2﹣y25=1(a＞0)的一条渐近线方程为y= √52x，则该双曲线的离心率是________.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)=x23，则f(-8)的值是________.8.已知sin2(π4+α)= 23，则sin2α的值是________.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm.10.将函数y= 3sin(2x﹢π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________.11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+ 2n−1(n∈N+)，则d+q的值是________．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是________．13.在△ABC 中， AB =4，AC =3，∠BAC =90°， D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP=9，若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知 P(√32，0) ，A ，B 是圆C ： x 2+(y −12)2=36 上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ▲．答案：{02}，解析：因为A ，B 的公共元素有0，2，由交集的定义可知{02}，A B = 2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是▲．答案：3解析：(1i)(2i)12(1)(12)i =3+i z =+-=⨯--+-+，故z 的实部为33．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是▲．答案：2解析：由平均数的定义可得42(3)5645a a ++-++=，解得2a =4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲．答案：19解析：点数和为5可能的情况有，{1，4}，{2，3}，{3，2}，{4，1}，共有4种，样本空间中样本点的个数为36，故点数和为5的概率是41369=5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是▲．答案：3-解析：因为20x >，而输出的y 的值为负数，故输出的是1x +，即12x +=-，故3x =-6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是▲．答案：32解析：设题中双曲线的焦距为2c ，虚半轴长为b ，则由双曲线的一条渐近线方程可得52b a =，故此双曲心的离心率32c e a ===7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是▲．答案：4-解析：因为y =f (x )是奇函数，所以23(8)(8)84f f -=-=-=-8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是▲．答案：13解析：因为sin sin cos cos sin (sin cos )4442πππααααα⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，所以22112sin (sin cos )(1sin 2)4223παααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.所以1sin 23α=.9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲cm 3.答案：2π-解析：正六棱柱的底面面积为cm ，高为2cm ，故正棱柱的体积为cm 3，圆柱的体积为20.522ππ⨯⨯=，故此六角螺帽毛坯的体积是（2π-）cm 310．将函数πsin(32)4y x =+的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．答案：524πx =-解析：将函数πsin(324y x =+的图象向右平移π6个单位长度，得到函数3sin 2()3sin 26412πππy x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，由2122ππx kπ-=+（k ∈Z ）可得7224kππx =+，当1k =-时，对称轴离y 轴最近，此时对称轴方程为524πx =-11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和*221()n n S n n n =-+-∈N ，则d +q 的值是▲．答案：4解析：1111a b S +==，当2n ≥时，22111(21)[(1)(1)21]2(1)2n n n n n n n a b S S n n n n n ---+=-=-+-----+-=-+.当n=1时，上式也成立，对任意正整数n ，都有12(1)2n n n a b n -+=-+，因为1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =−=，则A B =_____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+−的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a −的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2−，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=−+−∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+−（m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +−=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=−，求tan DAC ∠的值． 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =−+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低? 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=−+=∞−∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =−+==−=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422242() 2() (48 () 4 3 0)2 2f x x x g x x h x t t x t t t =−=−=−−+<，，≤，[] , 2,2D m n =⊆−⎡⎣，求证：7n m −≤20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++−=成立，则称此数列为“λ–k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是32”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A −在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B −． （1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M −．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．。

2020年高考数学真题试卷（江苏卷）14小题，每题5分，共计70分．1．已知集合 A ={−1,0,1,2},B ={0,2,3} ，则 A ∩B = . 2．已知i 是虚数单位，则复数 z =(1+i)(2−i) 的实部是 . 3．已知一组数据 4,2a,3−a,5,6 的平均数为4，则a 的值是 .4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为-2，则输入x 的值是 .6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2a2 ﹣ y 25 =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y= √52 x ，则该双曲线的离心率是 .7．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)=x 23 ，则f(-8)的值是 . 8．已知 sin 2(π4+α) = 23，则 sin2α 的值是 .9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.10．将函数y= 3sin(2x ﹢π4) 的图象向右平移 π6 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 .11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和 S n =n 2−n +2n −1(n ∈N +) ，则d+q 的值是 ．12．已知 5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R) ，则 x 2+y 2 的最小值是 ．13．在△ABC 中， AB =4，AC =3，∠BAC =90°， D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP=9，若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数），则CD 的长度是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知 P(√32，0) ，A ，B 是圆C ： x 2+(y −12)2=36 上的两个动点，满足 PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是 ．6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作15．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB△AC ，B 1C△平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF△平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C△平面ABB 1．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a =3,c =√2,B =45° ．（1）求 sinC 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得 cos∠ADC =−45，求 tan∠DAC 的值．17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行， OO ′ 为铅垂线( O ′ 在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离 ℎ1 (米)与D 到 OO ′ 的距离a(米)之间满足关系式 ℎ1=140a 2 ；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离 ℎ2 (米)与F 到 OO ′ 的距离b(米)之间满足关系式 ℎ2=−1800b 3+6b .已知点B 到 OO ′ 的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于 OO ′ 的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)、桥墩CD 每米造价 32k (万元)(k>0).问 O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 E:x 24+y 23=1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2△F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19．已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与ℎ(x)=kx+b(k,b∈R)在区间D上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．（1）若f(x)=x2+2x，g(x)=−x2+2x，D=(−∞，+∞)，求h(x)的表达式；（2）若f(x)=x2−x+1，g(x)=klnx，ℎ(x)=kx−k,D=(0，+∞)，求k的取值范围；（3）若f(x)=x4−2x2，g(x)=4x2−8，ℎ(x)=4(t2−t)x−3t4+2t2(0<|t|≤√2)，D=[m,n]⊆[−√2,√2]，求证：n−m≤√7．20．已知数列{a n}(n∈N∗)的首项a1=1，前n项和为S n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有Sn+11k−S n1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ–k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“ √33−2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ–3”数列，且a n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并21．[选修4-2：矩阵与变换]平面上点A(2,−1)在矩阵M=[a1−1b]对应的变换作用下得到点B(3,−4)．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵M−1．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点A(ρ1,π3)在直线l:ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C:ρ=4sinθ上（其中ρ≥0，0≤θ<2π）．（1）求ρ1，ρ2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．23．设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|≤4．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题24．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= √5,BD=2，O为BD的中点，AO△平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF= 14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．25．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．答案解析部分1．【答案】{0,2}【解析】【解答】∵A ={−1,0,1,2} , B ={0,2,3}∴A ∩B ={0,2} 故答案为： {0,2} .【分析】根据集合的交集即可计算.2．【答案】3【解析】【解答】∵复数 z =(1+i)(2−i)∴z =2−i +2i −i 2=3+i ∴复数的实部为3. 故答案为：3.【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.3．【答案】2【解析】【解答】∵数据 4,2a,3−a,5,6 的平均数为4∴4+2a +3−a +5+6=20 ，即 a =2 . 故答案为：2.【分析】根据平均数的公式进行求解即可．4．【答案】19【解析】【解答】根据题意可得基本事件数总为 6×6=36 个.点数和为5的基本事件有 (1,4) ， (4,1) ， (2,3) ， (3,2) 共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为 P =436=19. 故答案为： 19.【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．5．【答案】-3【解析】【解答】由于 2x >0 ，所以 y =x +1=−2 ，解得 x =−3 .故答案为：-3【分析】根据指数函数的性质，判断出 y =x +1 ，由此求得x 的值.6．【答案】32【解析】【解答】双曲线 x 2a2−y 25=1 ，故 b =√5 .由于双曲线的一条渐近线方程为 y =√52x ，即b a =√52⇒a =2 ，所以c =√a 2+b 2=√4+5=3 ，所以双曲线的离心率为 c a =32 . 故答案为： 32【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.7．【答案】-4【解析】【解答】 f(8)=823=4 ，因为 f(x) 为奇函数，所以 f(−8)=−f(8)=−4故答案为：-4【分析】先求 f(8) ，再根据奇函数求 f(−8)8．【答案】13【解析】【解答】 ∵sin 2(π4+α)=(√22cosα+√22sinα)2=12(1+sin2α)∴12(1+sin2α)=23∴sin2α=13故答案为： 13【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.9．【答案】12√3−π2【解析】【解答】正六棱柱体积为 6×√34×22×2=12√3圆柱体积为 π(12)2⋅2=π2所求几何体体积为 12√3−π2 故答案为： 12√3−π2【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.10．【答案】x =−5π24【解析】【解答】 y =3sin[2(x −π6)+π4]=3sin(2x −π12)2x −π12=π2+kπ(k ∈Z)∴x =7π24+kπ2(k ∈Z) 当 k =−1 时 x =−5π24故答案为： x =−5π24【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.11．【答案】4【解析】【解答】设等差数列 {a n } 的公差为d ，等比数列 {b n } 的公比为q ，根据题意 q ≠1 .等差数列 {a n } 的前n 项和公式为 P n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d 2)n ，等比数列 {b n } 的前n 项和公式为 Q n =b 1(1−q n )1−q =−b 11−q q n +b 11−q， 依题意 S n =P n +Q n ，即 n 2−n +2n −1=d 2n 2+(a 1−d2)n −b 11−q q n +b 11−q ，通过对比系数可知 {d2=1a 1−d 2=−1q =2b 11−q =−1⇒ {d =2a 1=0q =2b 1=1 ，故 d +q =4 . 故答案为：4【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得 {a n },{b n } 的公差和公比，由此求得 d +q .12．【答案】45【解析】【解答】∵5x 2y 2+y 4=1∴y ≠0 且 x 2=1−y 45y 2∴x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25≥2√15y 2⋅4y 25=45 ，当且仅当 15y 2=4y 25 ，即 x 2=310,y 2=12 时取等号.∴x 2+y 2 的最小值为 45 .故答案为： 45.【分析】根据题设条件可得 x 2=1−y 45y 2 ，可得 x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y2+4y 25 ，利用基本不等式即可求解.13．【答案】185【解析】【解答】∵A,D,P 三点共线， ∴可设 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) ， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 若 m ≠0 且 m ≠32，则 B,D,C 三点共线，∴m λ+(32−m)λ=1 ，即 λ=32 ， ∵AP =9 ，∴AD =3 ，∵AB =4 , AC =3 , ∠BAC =90° ， ∴BC =5 ，设 CD =x ， ∠CDA =θ ，则 BD =5−x ， ∠BDA =π−θ .∴根据余弦定理可得 cosθ=AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD =x 6， cos(π−θ)=AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD =(5−x)2−76(5−x) ，∵cosθ+cos(π−θ)=0 ，∴x 6+(5−x)2−76(5−x)=0 ，解得 x =185 ， ∴CD 的长度为185.当 m =0 时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32PC⃗⃗⃗⃗⃗ ， C,D 重合，此时 CD 的长度为 0 ， 当 m =32时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， B,D 重合，此时 PA =12 ，不合题意，舍去. 故答案为：0或185. 【分析】根据题设条件可设 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) ，结合 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 B,D,C 三点共线，可求得 λ ，再根据勾股定理求出 BC ，然后根据余弦定理即可求解.14．【答案】10√5【解析】【解答】 ∵PA =PB ∴PC ⊥AB设圆心 C 到直线 AB 距离为d ，则 |AB|=2√36−d 2,|PC|=√34+14=1所以 S △PAB ≤12⋅2√36−d 2(d +1)=√(36−d 2)(d +1)2令 y =(36−d 2)(d +1)2(0≤d <6)∴y ′=2(d +1)(−2d 2−d +36)=0∴d =4 （负值舍去） 当 0≤d <4 时， y ′>0 ；当 4≤d <6 时， y ′≤0 ，因此当 d =4 时， y 取最大值，即 S △PAB 取最大值为 10√5 ， 故答案为： 10√5【分析】根据条件得 PC ⊥AB ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值.15．【答案】（1）证明：由于 E,F 分别是 AC,B 1C 的中点，所以 EF//AB 1 .由于 EF ⊂ 平面 AB 1C 1 , AB 1⊂ 平面 AB 1C 1 ，所以 EF// 平面 AB 1C 1 . （2）证明：由于 B 1C ⊥ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ，所以 B 1C ⊥AB . 由于 AB ⊥AC,AC ∩B 1C =C ，所以 AB ⊥ 平面 AB 1C , 由于 AB ⊂ 平面 ABB 1 ，所以平面 AB 1C ⊥ 平面 ABB 1 .【解析】【分析】（1）通过证明 EF//AB 1 ，来证得 EF// 平面 AB 1C 1 .（2）通过证明 AB ⊥ 平面AB 1C ，来证得平面 AB 1C ⊥ 平面 ABB 1 .16．【答案】（1）解：由余弦定理得 b 2=a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×√2×√22=5 ，所以b =√5 .由正弦定理得 c sinC =b sinB ⇒sinC =csinB b =√55.（2）解：由于 cos∠ADC =−45 ， ∠ADC ∈(π2,π) ，所以 sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35 .由于 ∠ADC ∈(π2,π) ，所以 C ∈(0,π2) ，所以 cosC =√1−sin 2C =2√55.所以 sin∠DAC =sin(π−∠DAC) =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADC ⋅cosC +cos∠ADC ⋅sinC =35×2√55+(−45)×√55=2√525.由于 ∠DAC ∈(0,π2) ，所以 cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525 .所以 tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 b ，利用正弦定理求得 sinC . （2）根据 cos∠ADC 的值，求得 sin∠ADC 的值，由（1）求得 cosC 的值，从而求得 sin∠DAC,cos∠DAC 的值，进而求得tan∠DAC 的值.17．【答案】（1）解：由题意得 140|O ′A|2=−1800×403+6×40∴|O ′A|=80 ∴|AB|=|O ′A|+|O ′B|=80+40=120 米（2）解：设总造价为 f(x) 万元， |O ′O|=140×802=160 ，设 |O ′E|=x ，f(x)=k(160+1800x 3−6x)+32k[160−140(80−x)2],(0<x <40) ∴f(x)=k(160+1800x 3−380x 2),∴f ′(x)=k(3800x 2−680x)=0∴x =20 (0舍去)当 0<x <20 时， f ′(x)<0 ；当 20<x <40 时， f ′(x)>0 ，因此当 x =20 时， f(x) 取最小值，答：当 O ′E =20 米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【解析】【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.18．【答案】（1）解：∵椭圆 E 的方程为 x 24+y 23=1∴F 1(−1,0) , F 2(1,0)由椭圆定义可得： AF 1+AF 2=4 . ∴△AF 1F 2 的周长为 4+2=6（2）解：设 P(x 0,0) ，根据题意可得 x 0≠1 . ∵点 A 在椭圆 E 上，且在第一象限， AF 2⊥F 1F 2∴A(1,32)∵准线方程为 x =4 ∴Q(4,y Q )∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0)⋅(x 0−4,−y Q )=(x 0−4)x 0=(x 0−2)2−4≥−4 ，当且仅当 x 0=2 时取等号. ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 −4 . （3）解：设 M(x 1,y 1) ，点M 到直线 AB 的距离为d.∵A(1,32) ， F 1(−1,0)∴直线 AF 1 的方程为 y =34(x +1)∵点O 到直线 AB 的距离为 35 ， S 2=3S 1∴S 2=3S 1=3×12×|AB|×35=12|AB|⋅d∴d=9 5∴|3x1−4y1+3|=9①∵x124+y123=1②∴联立①②解得{x1=2y 1=0，{x1=−27y1=−127.∴M(2,0)或(−27,−127).【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得AF1+AF2=4，从而可求出△AF1F2的周长；（2）设P(x0,0)，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2⊥F1F2，求出A(1,32)，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设M(x1,y1)，点M 到直线AB的距离为d，由点O到直线AB的距离与S2=3S1，可推出d=95，根据点到直线的距离公式，以及M(x1,y1)满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.19．【答案】（1）解：由题设有−x2+2x≤kx+b≤x2+2x对任意的x∈R恒成立.令x=0，则0≤b≤0，所以b=0.因此kx≤x2+2x即x2+(2−k)x≥0对任意的x∈R恒成立，所以Δ=(2−k)2≤0，因此k=2.故ℎ(x)=2x.（2）解：令F(x)=ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)(x>0)，F(1)=0.又F′(x)=k⋅x−1x.若k<0，则F(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，则F(x)≤F(1)=0，即ℎ(x)−g(x)≤0，不符合题意.当k=0时，F(x)=ℎ(x)−g(x)=0,ℎ(x)=g(x)，符合题意.当k>0时，F(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，则F(x)≥F(1)=0，即ℎ(x)−g(x)≥0，符合题意.综上所述，k≥0.由f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(k+1)≥0当x=k+12<0，即k<−1时，y=x2−(k+1)x+k+1在(0,+∞)为增函数，因为f(0)−ℎ(0)=k+1<0，故存在x0∈(0,+∞)，使f(x)−ℎ(x)<0，不符合题意.当x=k+12=0，即k=−1时，f(x)−ℎ(x)=x2≥0，符合题意.当x=k+12>0，即k>−1时，则需Δ=(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3.综上所述，k的取值范围是k∈[0,3].（3）解：因为x4−2x2≥4(t3−t)x−3t4+2t2≥4x2−8对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立，x4−2x2≥4(t3−t)x−3t4+2t2对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立，等价于(x−t)2(x2+2tx+3t2−2)≥0对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.故x2+2tx+3t2−2≥0对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.令M(x)=x2+2tx+3t2−2，当0<t2<1，Δ=−8t2+8>0,−1<−t<1，此时n−m≤√2+|t|<√2+1<√7，当1≤t2≤2，Δ=−8t2+8≤0，但4x2−8≥4(t3−t)x−3t4+2t2对任意的x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.等价于4x2−4(t3−t)x+(3t2+4)(t2−2)≤0对任意的x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.4x2−4(t3−t)x+(3t2+4)(t2−2)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t,x1⋅x2=3t 4−2t2−84，所以n−m=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ,λ∈[1,2]，则|n−m|=√λ3−5λ2+3λ+8.构造函数P(λ)=λ3−5λ2+3λ+8(λ∈[1,2])，P′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以λ∈[1,2]时，P′(λ)<0，P(λ)递减，P(λ)max=P(1)=7.所以(n−m)max=√7，即n−m≤√7.【解析】【分析】（1）求得f(x)与g(x)的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得ℎ(x)的表达式.（2）先由ℎ(x)−g(x)≥0，求得k的一个取值范围，再由f(x)−ℎ(x)≥0，求得k 的另一个取值范围，从而求得k的取值范围.（3）先由f(x)≥ℎ(x)，求得|t|的取值范围，由方程g(x)−ℎ(x)=0的两个根，求得n−m的表达式，利用导数证得不等式成立.20．【答案】（1）解: S n+1−S n=λa n+1∴a n+1=λa n+1∵a1=1∴a n+1≡0∴λ=1（2）解: ∵an >0∴S n+1>S n∴S n+112−S n12>0∵S n+112−S n 12=√33(S n+1−S n )12∴(S n+112−S n 12)2=13(S n+112−S n 12)(S n+112+S n 12)∴S n+112−S n 12=13(S n+112+S n 12)∴S n+112=2S n 12∴S n+1=4S n ∴S n =4n−1∵S 1=a 1=1 ， S n =4n−1∴a n =4n−1−4n−2=3⋅4n−2,n ≥2∴a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2（3）解: 假设存在三个不同的数列 {a n } 为 "λ−3" 数列.S n+113−S n 13=λa n+113∴(S n+113−S n 13)3=λ3(S n+1−S n )∴S n+113=S n13或 (Sn+113−S n 13)2=λ3(S n+123+S n23+S n+113S n 13)∴S n+1=S n 或 (λ3−1)Sn+123+(λ3−1)S n 23+(λ3+2)S n+113S n13=0∵对于给定的 λ ，存在三个不同的数列 {a n } 为 "λ−3" 数列，且 a n ≥0∴a n ={1,n =10,n ≥2 或 (λ3−1)S n+123+(λ3−1)S n 23+(λ3+2)S n+113S n 13=0(λ≠1) 有两个不等的正根. (λ3−1)S n+123+(λ3−1)S n23+(λ3+2)S n+113S n13=0(λ≠1)可转化为 (λ3−1)S n+123S n 23+(λ3−1)+(λ3+2)S n+113S n 13=0(λ≠1) ，不妨设 (S n+1S n)13=x(x >0) ，则 (λ3−1)x 2+(λ3+2)x +(λ3−1)=0(λ≠1) 有两个不等正根，设 f(x)=(λ3−1)x 2+(λ3+2)x +(λ3−1)=0(λ≠1) . ①当 λ<1 时， Δ=(λ3+2)2−4(λ3−1)2>0⇒0<λ3<4 ，即 0<λ<1 ，此时 f(0)=λ3−1<0 ， x 对=−(λ3+2)2(λ3−1)>0 ，满足题意.②当 λ>1 时， Δ=(λ3+2)2−4(λ3−1)2>0⇒0<λ3<4 ，即 1<λ<√43 ，此时 f(0)=λ3−1>0 ， x 对=−(λ3+2)2(λ3−1)<0 ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上， 0<λ<1【解析】【分析】（1）根据定义得 S n+1−S n =λa n+1 ，再根据和项与通项关系化简得 a n+1=λa n+1 ，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得 S n+112−S n 12=√33(S n+1−S n )12 ，根据平方差公式化简得 S n+1=4S n ，求得 S n ，即得 a n ；（3）根据定义得 Sn+113−S n13=λa n+113 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 21．【答案】（1）解：∵平面上点 A(2,−1) 在矩阵 M =[a1−1b ] 对应的变换作用下得到点 B(3,−4) ∴[a1−1b ][2−1]=[3−4] ∴{2a −1=3−2−b =−4 ，解得 {a =2b =2 （2）解：设 M −1=[mn cd ] ，则 MM −1=[2m +c2n +d −m +2c −n +2d ]=[1001] ∴{2m +c =12n +d =0−m +2c =0−n +2d =1 ，解得 { m =25n =−15c =15d =25∴M −1=[25−151525]【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 a,b 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.22．【答案】（1）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， ∵ρ1cos π3=2,∴ρ1=4 ，因为点B 为直线 θ=π6 上，故其直角坐标方程为 y =√33x ，又 ρ=4sinθ 对应的圆的直角坐标方程为： x 2+y 2−4y =0 ，由 {y =√33x x 2+y 2−4y =0解得 {x =0y =0 或 {x =√3y =1 ， 对应的点为 (0,0),(√3,1) ，故对应的极径为 ρ2=0 或 ρ2=2 . （2）解： ∵ρcosθ=2,ρ=4sinθ,∴4sinθcosθ=2,∴sin2θ=1 ， ∵θ∈[0,2π),∴θ=π4,5π4， 当 θ=π4 时 ρ=2√2 ；当 θ=5π4时ρ=−2√2<0 ，舍；即所求交点坐标为当 (2√2,π4), 【解析】【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.23．【答案】解： ∵{x <−1−2x −2−x ≤4或 {−1≤x ≤02x +2−x ≤4 或 {x >02x +2+x ≤4 ∴−2≤x <−1 或 −1≤x ≤0 或 0<x ≤23所以解集为 [−2，23]【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 24．【答案】（1）解：连 CO ∵BC =CD,BO =OD ∴CO ⊥BD以 OB,OC,OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(−1,0,0)∴E(0,1,1)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√5√3=−√1515 从而直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 √1515（2）解：设平面 DEC 一个法向量为 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z),∵DC⇀=(1,2,0),{n 1⇀⋅DC ⇀=0n 1⇀⋅DE ⇀=0∴{x +2y =0x +y +z =0 令 y =1∴x =−2,z =1∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)设平面 DEF 一个法向量为 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1), ∵DF ⇀=DB ⇀+BF ⇀=DB ⇀+14BC ⇀=(74,12,0),{n 2⇀⋅DF ⇀=0n 2⇀⋅DE ⇀=0∴{74x 1+12y 1=0x 1+y 1+z 1=0 令 y 1=−7∴x 1=2,z 1=5∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,−7,5)∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=√6√78=√13因此sinθ=√12√13=2√3913【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.25．【答案】（1）解：p1=1×33×3=13,q1=2×33×3=23，p 2=p1×1×33×3+q1×1×23×3=13×13+23×29=727，q 2=p1×2×33×3+q1×1×1+2×23×3+0=23×23+23×59=1627.（2）解：pn =pn−1×1×33×3+q n−1×1×23×3=13p n−1+29q n−1，q n =pn−1×2×33×3+q n−1×1×1+2×23×3+(1−p n−1−q n−1)×3×23×3=−19q n−1+23，因此2p n+q n=23p n−1+13q n−1+23，从而2p n+q n=13(2p n−1+q n−1)+23,∴2p n+q n−1=13(2p n−1+q n−1−1)，即2p n+q n−1=(2p1+q1−1)13n−1,∴2p n+q n=1+13n.又X n的分布列为故E(X n)=2p n+q n=1+1 3n.【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求p n ，qn，即得递推关系，构造等比数列求得2p n+q n，最后根据数学期望公式求结果.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．一．填空题：本题共14小题．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．已知集合{}2{|13},|9A x x B x Z x =-≤<=∈<，则A∩B=________． 2．已知复数z 满足43iz i =+（i 为虚数单位），则z=________． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为________．4．下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数为________．5．直线x+y+a=0是圆x 2+y 2-4y=0的一条对称轴，则a=________． 6．函数()f x =________．7．已知存在2,,sin 3sin 022x x x a ππ⎡⎤∈--++>⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则事件“x 2+y 2≤4”发生的概率为________．9．等差数列{}n a 的前n 项和S n ，若S 2=4，S 6=10，则S 10=________．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，直线:l y =与C 交于A ，B 两点，AF ，BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线C 的离心率为________．11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数'()f x 既是R 上增函数，又是奇函数，则满足不等式(1)(3)f m f m -≥的实数m 的取值范围为________．12．已知球O 与棱长为8的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切，点P 是球O 上一点，点Q 是△A 1C 1B 的外接圆上的一点，则线段PQ 的取值范围是________．13．已知正数ab 满足a+b=1，则1411a b+--的最小值为________． 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222020a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅=⋅+________．二．解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sin ),sin 0,2πααβββ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求cos2β；（Ⅱ）求tan()αβ+的值．16．如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ，BC=CD=PD=2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AE平面PDC ；（Ⅱ）求证：AE ⊥BC ．17．如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为弧EF 的中点，其所在圆O 的半径为8dm （圆心O 在弓形EMF 内），23EOF π∠=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD （不计损耗），ADBC ，且点A ，D 在EF 上，设2AOD α∠=．（Ⅰ）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于α的函数关系式（Ⅱ）当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos α的值．18．已知点52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，12,A A 分别为E 的左、右顶点，直线A 1M 与A 2M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线9:2l x =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线m 过点F 且与椭圆E 交于B ，C 两点，直线BA 2，CA 2分别与直线l 交于P ，Q两点，以PQ 为直径的圆过定点3,12⎛⎫⎪⎝⎭，求直线m 的方程．19．已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当x>1时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，若*n a N ∈，且1, (1,2,3,)23,nn n n n a a a n a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数是奇数，则称{}n a 为“J 数列”．设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为S n ． （Ⅰ）若a 1=10，求S 3n 的值； （Ⅱ）若S 3=17，求a 1的值；（Ⅲ）证明：{}n a 中总有一项为1或3．数学Ⅱ（附加题）21【选做题】：本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换] 给定矩阵3113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（Ⅰ）求矩阵A 的特征值；（Ⅱ）证明：111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵A 的特征向量．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 的方程1sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的方程为4cos 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．C ．[选修4-5：不等式选讲]若m ，n 都是正数，且存在实数x 使得11|14||12|x x m n ⎛⎫--+≤-+ ⎪⎝⎭成立，求m+n 的最小值．【必做题】第22题、第23题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．设1002100012100(2)a a x a x a x =++++，求下列各式的值：（Ⅰ）求a 的值（用指数表示）； （Ⅱ）求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）．（Ⅰ）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布()2,15.2N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（≥70）的患者比例；（Ⅱ）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立．现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （1<n<20且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值．参考数据：若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=， (22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9973P Y μσμσ-<<+=， 40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ答案二．解答题15解：（Ⅰ）由224cos 212sin 125ββ=-=-⨯=⎝⎭． （Ⅱ）由in 0,2s πββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得：cos β=． 由sin )ααβ+得 sin[()])αββαβ+-=+ sin()cos())αβαβαβ⇒+-+=+ ))αβαβ+=+ tan()2αβ⇒+=-．16．解：（Ⅰ）取PC 的中点F ，连接EF ，FD ∵E 是PB 的中点 ∴1,2EF BC EF BC =又1,2ADBC AD BC =∴EF AD ，EF=AD ．即四边形ADFE 为平行四边形． 又∵AE DF ，DF ⊂平面 PCD ，AE ⊄平面PCD ∴AE 平面PCD（Ⅱ）∵PD=DC ，显然DF ⊥PC ． 又∵ PD ABCDPD BC BC ABCD ⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面， 又∵CD ⊥BC ，CD∩PD=D ∴BC ⊥平面PCD 又∵DF ⊂平面PCD ∴BC ⊥DF 又∵BC∩PC=C ∴DF ⊥平面PBC 又∵AE//DF ∴AE ⊥平面PBC 又∵BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥BC ． 17．解：（Ⅰ）设矩形ABCD 的面积为S ，AOM α∠=． 当03πα<<时（图1），8cos 8cos8cos 4,28sin 16sin 3AB AD παααα=+=+=⨯=此时，16sin (8cos 4)64(sin 2sin cos )S AB AD ααααα=⋅=⨯+=+.当233ππα≤<时（图2），28cos 16cos ,28sin 16sin AB AD αααα=⨯==⨯=此时，16sin 16cos 128sin2S AB AD ααα=⋅=⨯=．故矩形ABCD 的面积为64(sin 2sin cos ),032128sin 2,33S πααααππαα⎧+<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩（Ⅱ）当03πα<<时，()()222'64cos 2cos 2sin 644cos cos 2S ααααα=+-=+-．令'0S =，得cos α=0α． 当()00,αα∈，0S '>，此时S 单调递增；当0,3παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0S '<，此时S 单调递减；故当0αα=时，S 取极大值． 当233ππα≤<时，128sin2S α=是单调递减． 故当0αα=时，即cos α=18．解：（Ⅰ）由题意知，224251955533229a b a a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+-⎩，得：2295a b ⎧=⎨=⎩． 所求椭圆方程22195a y +=．（Ⅱ）设()()11222,,,,(3,0)B x y C x y A BC 直线方程：x=ky+2，与抛物线方程联立 222195x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()225920250k y ky ++-= 由韦达定理，12212220592559k y y k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩由条件，BA 2直线方程：1(3)y k x =-， 令92x =，得：132P k y =，139,22k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由条件，CA 2直线方程：2(3)y k x =-， 令92x =，得：232Q k y =，239,22k Q ⎛⎫⎪⎝⎭．∴以PQ 为直径的圆的方程2123330222k k x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：()2212123390224x y k k y k k ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭（*）12121212123311y y y y k k x x ky ky +=+=+---- ()()2212122212122225202210595925201315959k k ky y y y k k k k k y y k y y k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭===-⋅-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⋅⎝⎭. 12121212123311y y y y k k x x ky ky =⋅=⋅----()2122212122225255925201915959y y k k k y y k y y k k k k ⋅+===-⋅-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.将12k k +，12k k 带入式（*），得： 223255024x y ky ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭． 将3,12⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2120k =，∴21220x y =+．即所求直线m 方程20x-21y-40=0． 19.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 22212(22)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++． 令2(22)10x a x +-+=，则2(22)44(2)a a a ∆=--=-． （1）当02a ≤≤时，'()0f x ≥，此时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间． （2）当a<0时，'()0f x ≥，此时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间． （3）当a>2时，'()0f x =，得1,21x a =-此时，()f x的单调递增区间(0,1a --，()1a -++∞；单调递减区间(11a a --+；综上所述，a≤2时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间； a>2时，()f x的单调递增区间(0,1a --，()1a -++∞；单调递减区间(11a a --+； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）a≤2时，()f x 在(0,)+∞单调递增． ∵x≥1时，∴()(1)0f x f >=，符合题意．（2）a>2时，111a a -<-()f x 在(1,1a -+单调递减，(1)a -+∞单调递增．∴()(1(1)0f x f a f =-<=最小值，不符合题意．（15分） ∴实数a 的取值范围(,2]-∞．20．解：（Ⅰ）当a 1=10时，{a n }中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…， 所以S 3n =7n+16．（Ⅱ）（1）若a 1是奇数，则a 2=a 1+3是偶数，213322a a a +==， 由S 3=17，得()11133172a a a ++++=，解得a 1=5，适合题意． （2）若a 1是偶数，不妨设()*12a k k =∈N ，则122a a k ==． 若k 是偶数，则2322a k a ==， 由S 3=17，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则a 3=k+3，由S 3=17，得2k+k+k+3=17，此方程无整数解． 综上，15a =．（Ⅲ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6i a ≤成立． 否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >， 则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<． 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a 单调递减，注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6i a ≤成立．经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；当6i a =时，{}n a 中出现3， 综上，{}n a 中总有一项为1或3． 21【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换] 解：（Ⅰ）A 的特征多项式为 231||(3)1(4)(2)13λλλλλλ---==--=----A E所以A 的特征值为12λ=，24λ=．（Ⅱ）证明：111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭在矩阵A 的作用下，其像与其保持共线，即31121213121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在矩阵A 的作用下，其像与其保持共线，即31141413141-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．所以111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵A 的特征向量．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：由题意知，直线l 过点(1,0)P ，且倾斜角6π， 直线l的参数方程：112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）；由24cos 4cos cos 4sin sin 333πππρθρρθρθ⎛⎫=+⇒=- ⎪⎝⎭222220(1)(4x y x x y ⇒+-+=⇒-++=将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得22142t ⎫⎛++=⎪ ⎪⎝⎝⎭，整理，得210t -=，由韦达定理得：12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩∴12||||||AB PA PB t t =+=-==．C ．[选修4-5：不等式选讲]解：设122,411()|41||21|6,24122,2x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩当14x =，min 3()2f x =-．由题意，min 11()f x m n ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即1132m n ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，1132m n +≤．11()2224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭．48113m n m n ∴+≥≥+. 当且仅当m=n 时，m+n 的最小值83．【必做题】22．解：（Ⅰ）10002a =．（Ⅱ）令x=1，得1000123100(2a a a a a -=+++++；令x=-1，得1000123100(2a a a a a +=-+-++；∴()()22024********a a a a a a a a ++++-++++()()01231000123100a a a a a a a a a a =+++++-+-++100100(2(2=⋅+1=．23．解： （Ⅰ）2156251235184522552265127548529554.8100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；(54.815.254.815.2)(39.670)0.6826P Z P Z ∴-<<+=<<=．故1(39.670)10.6826(70)0.158715.87%22P Z P Z -<<-≥====．（Ⅱ）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为110，n 的可能取值为2，4，5，10．当{2,4,5,10}n ∈时，1~,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭对于某组n 个人，化验次数Y 的可能值为：1，n+19(1)10n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，9(1)110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ 999()1(1)11101010n n n E Y n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 则20人的化验总次数为20919()12011010n n f n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 经计算(2)13.8,(4)11.8,(5)12.2,(10)15f f f f ≈≈≈≈当n=4时符合题意，按4人一组检测，可使化验总次数最少．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{0,2,3}B =，则A B = __________.2.已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是__________.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是__________.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是__________.5.右图是一个算法流程图.若输出y 值为2-，则输入x 的值是__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为y x =则该双曲线的离心率是__________.7.已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，23()f x x =，则(8)f -的值是__________.8.已知22sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是__________.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__________cm 3.10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是__________.11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知{}n n a b +的前n 项和()2*21n n S n n n =-+-∈ ，则d q +的值是__________.12.已知()22451,x y y x y +=∈ ，则22x y +的最小值是__________.13.在ABC △中，4AB =，3AC =，90BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =.若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(m 为常数)，则CD 的长度是__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知2P ⎫⎪⎪⎝⎭，A B 、是圆221:362C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭上的两个动点，满足PA PB =，则PAB △面积的最大值是__________.二、解答题15.在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点.（1）求证：//EF 平面11AB C ；（2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB .16.在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、.已知3a =，c =45B = .（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，'OO 为铅垂线('O 在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到'OO 的距离a (米)之间满足关系式21140h a =;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到'OO 的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到'OO 的距离为40米.(1)求桥AB 的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于'OO 的桥墩CD 和EF ,且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)，桥墩CD 每米造价32k (万元)(0k >)，问'O E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F 点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .(1)求12AF F △的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(),h x kx b k b =+∈ 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥.(1)若2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+，(),D =-∞+∞，求()h x 的表达式；(2)若2()1f x x x =-+，()ln g x k x =，()h x kx k =-，()0,D =+∞，求k 的取值范围；(3)42()2f x x x =-，2()48g x x =-，()(342()4320||h x t t x t t t =--+<≤，[,][D m n =⊆，求证：n m -≤20.已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为"~"k λ数列.（1）若等差数列{}n a 是"~1"λ数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是~2"数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为"~3"λ数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】A.[选修4-2：矩阵与变换]平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -.（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1-M .B.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点1,3A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线:cos 2l ρθ=上，点2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）.（1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标.C.[选修4-5：不等式选讲]设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<.22.在三棱锥A BCD -中，已知CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 的中点.（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值.23.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q .（1）求1p ，1q 和2p ，2q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+的递推关系式和n X 的数学期望()n E X （用n 表示）.。

2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B=________.2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3. 已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________.4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为−2，则输入x的值是________.6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是________.7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.8. 已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是________.9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正________cm 2.10. 将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.已知{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是________.12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是________.13. 在△ABC 中，AB =4， AC =3， ∠BAC =90∘，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA →=mPB →+(32−m)PC →(m 为常数），则CD 的长度是________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P (√32,0)，A ，B 是圆C:x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________. 二、解答题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证： EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3，c=√2，∠B=45∘.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值.17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b．已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →⋅QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f (x ) ，y =g (x )与ℎ(x )=kx +b (k,b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥ℎ(x )≥g (x ).(1)若f (x )=x 2+2x ，g (x )=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x )的表达式；(2)若f (x )=x 2−x +1，g (x )=k ln x ，ℎ(x )=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )=x 4−2x 2，g (x )=4x 2−8，ℎ(x )=4(t 3−t )x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n ]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7.20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列. (1)若等差数列是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B．【解答】解：集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2−i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：由4+2a+(3−a)+5+65可知a=2.故答案为：2.此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=−2时，当x>0时，y=2x=−2，无解；当x<0时，y=x+1=−2，解得：x=−3. 故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a2−y25=1得渐近线方程为y=±√5ax.∴c2=a2+5=9，∴c=3，∴离心率e=ca =32.故答案为：32. 【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 2 3，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(π4+α)=23，由sin2(π4+α)=12[1−cos(π2+2α)]=12(1+sin2α)=23，解得sin2α=13.故答案为：13.9.【答案】12√3−π2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，V2=π×(0.5)2×2=π2，所以V=V1−V2=12√3−π2.故答案为：12√3−π2.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=−5π24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3sin(2x+π4)，将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度得：g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ,k∈Z，即x=7π24+kπ2,k∈Z.当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，故答案为：x =−5π24. 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 4【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为{a n +b n }的前n 项和为： S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)， 当n =1时，a 1+b 1=1，当n ≥2时，a n +b n =S n −S n−1 =2n −2+2n−1， 所以当n ≥2时，a n =2(n −1)，b n =2n−1，且当n =1时，a 1+b 1=0+1=1成立， 则d =a 2−a 1=2−0=2， q =b 2b 1=21=2，则d +q =4. 故答案为：4. 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2， 即x 2=310，y 2=12时取(x 2+y 2)min =45.【点评】 此题暂无点评 13. 【答案】 185【考点】二倍角的正弦公式 正弦定理 向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由向量系数m +(32−m)=32为常数， 结合等和线性质可知|PA →||PD →|=321，故PD =23PA =6，AD =PA −PD =3=AC ，故∠C =∠CDA ，故∠CAD =π−2C . 在△ABC 中，cos C =ACBC =35.在△ADC ，由正弦定理CDsin ∠CAD =ADsin C ， 即CD =sin (π−2C)sin C⋅AD =sin 2C sin C⋅AD =2AD cos C=2×35×3=185.故答案为：185. 【点评】 此题暂无点评 14. 【答案】10√5 【考点】与圆有关的最值问题 利用导数研究函数的最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，∵PA=PB，CA=CB=R=6，∴PC⊥AB.∵EF为直径，要使面积S△PAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x, AB=2BD=2√36−x2，故S△PAB=12AB⋅PD=(1+x)⋅√36−x2.令x=6cosθ，其中θ∈(0, π2)，S△PAB=(1+x)√36−x2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ.记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，则f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6).令f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23或cosθ=−34<0(舍去)，显然，当0≤cosθ<23时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos2θ=√53，故f(θ)max=6×√53+36×√53×23=10√5，即△PAB面积的最大值是10√5.故答案为：10√5.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【考点】利用导数研究函数的最值 函数模型的选择与应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)过A ，B 分别作MN 的垂线，垂足为A 1，B 1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【点评】 此题暂无点评 18.【答案】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)， 设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0， 所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0,或{x M =−27,y M =−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4). 联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆中的平面几何问题 直线与椭圆结合的最值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t 2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0或{x M =−27,y M=−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4).联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127). 【点评】 此题暂无点评 19. 【答案】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为由函数y=f x的图像可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n=√3√a n+1，3a n+1=S n+1−S n=√3√a n+1(√S n+1+√S n)，3因此√S n+1+√S n=√3√a n+1，√3a n+1，即√S n+1=23S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【考点】数列递推式一元二次方程的根的分布与系数的关系 等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1， 由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0， 可得λ=1.(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1， a n+1=S n+1−S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3√a n+1， 即√S n+1=23√3a n+1， S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【点评】此题暂无点评。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷，含答案）一、填空题1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a 的值为______▲________ 2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲________ 3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。

5、设函数f(x)=x(e x +ae -x),x ∈R ，是偶函数，则实数a 的值为_______▲_________6、在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线112422=-y x 上一点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离为___▲_______7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______8、函数2(0)y x x =>的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +,其中k N +∈，若116a =，则135a a a ++的值是____▲_____9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，O长度m组距0.050.040.030.01403530252015105则实数c 的取值范围是______▲____ 10、设定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ,直线1PP 与函数sin y x =的图像交于点2P ,则线段12P P 的长为_______▲_____11、已知函数⎩⎨⎧<≥+=01012x ,x ,x )x (f ,则满足不等式)x (f )x (f 212>-的x 的取值范围是____▲____12、设实数,x y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是_____▲___13、在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、.若6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+的值是_____▲____14、将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是_______▲_______二、解答题15、（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ---- (1)求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t 满足()0AB tOC OC -=u u u r u u u r u u u rg，求t 的值16、（14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，1,2,,90PD DC BC AB AB DC BCD ====∠=︒∥(1)求证：PC BC ⊥ (2)求点A 到平面PBC 的距离17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h =4m ，仰角∠ABE=α，∠DCBAPβαdDBEAADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α =1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大18.（16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A B 、，右焦点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA TB 、与此椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中0m >,0,021<>y y （1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹 （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标 （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）19．（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(243x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ~3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．。

2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B=________.2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3. 已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________.4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为−2，则输入x的值是________.6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是________.7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.8. 已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是________.9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正________cm 2.10. 将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.已知{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是________.12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是________.13. 在△ABC 中，AB =4， AC =3， ∠BAC =90∘，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA →=mPB →+(32−m)PC →(m 为常数），则CD 的长度是________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P (√32,0)，A ，B 是圆C:x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________. 二、解答题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证： EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3，c=√2，∠B=45∘.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值.17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b．已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →⋅QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f (x ) ，y =g (x )与ℎ(x )=kx +b (k,b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥ℎ(x )≥g (x ).(1)若f (x )=x 2+2x ，g (x )=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x )的表达式；(2)若f (x )=x 2−x +1，g (x )=k ln x ，ℎ(x )=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )=x 4−2x 2，g (x )=4x 2−8，ℎ(x )=4(t 3−t )x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n ]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7.20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列. (1)若等差数列是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B．【解答】解：集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2−i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：由4+2a+(3−a)+5+65可知a=2.故答案为：2.此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=−2时，当x>0时，y=2x=−2，无解；当x<0时，y=x+1=−2，解得：x=−3. 故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a2−y25=1得渐近线方程为y=±√5ax.∴c2=a2+5=9，∴c=3，∴离心率e=ca =32.故答案为：32. 【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 2 3，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(π4+α)=23，由sin2(π4+α)=12[1−cos(π2+2α)]=12(1+sin2α)=23，解得sin2α=13.故答案为：13.9.【答案】12√3−π2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，V2=π×(0.5)2×2=π2，所以V=V1−V2=12√3−π2.故答案为：12√3−π2.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=−5π24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3sin(2x+π4)，将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度得：g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ,k∈Z，即x=7π24+kπ2,k∈Z.当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，故答案为：x =−5π24. 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 4【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为{a n +b n }的前n 项和为： S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)， 当n =1时，a 1+b 1=1，当n ≥2时，a n +b n =S n −S n−1 =2n −2+2n−1， 所以当n ≥2时，a n =2(n −1)，b n =2n−1，且当n =1时，a 1+b 1=0+1=1成立， 则d =a 2−a 1=2−0=2， q =b 2b 1=21=2，则d +q =4. 故答案为：4. 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2， 即x 2=310，y 2=12时取(x 2+y 2)min =45.【点评】 此题暂无点评 13. 【答案】 185【考点】二倍角的正弦公式 正弦定理 向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由向量系数m +(32−m)=32为常数， 结合等和线性质可知|PA →||PD →|=321，故PD =23PA =6，AD =PA −PD =3=AC ，故∠C =∠CDA ，故∠CAD =π−2C . 在△ABC 中，cos C =ACBC =35.在△ADC ，由正弦定理CDsin ∠CAD =ADsin C ， 即CD =sin (π−2C)sin C⋅AD =sin 2C sin C⋅AD =2AD cos C=2×35×3=185.故答案为：185. 【点评】 此题暂无点评 14. 【答案】10√5 【考点】与圆有关的最值问题 利用导数研究函数的最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，∵PA=PB，CA=CB=R=6，∴PC⊥AB.∵EF为直径，要使面积S△PAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x, AB=2BD=2√36−x2，故S△PAB=12AB⋅PD=(1+x)⋅√36−x2.令x=6cosθ，其中θ∈(0, π2)，S△PAB=(1+x)√36−x2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ.记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，则f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6).令f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23或cosθ=−34<0(舍去)，显然，当0≤cosθ<23时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos2θ=√53，故f(θ)max=6×√53+36×√53×23=10√5，即△PAB面积的最大值是10√5.故答案为：10√5.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【考点】利用导数研究函数的最值 函数模型的选择与应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)过A ，B 分别作MN 的垂线，垂足为A 1，B 1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【点评】 此题暂无点评 18.【答案】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)， 设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0， 所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0,或{x M =−27,y M =−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4). 联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆中的平面几何问题 直线与椭圆结合的最值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t 2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0或{x M =−27,y M=−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4).联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127). 【点评】 此题暂无点评 19. 【答案】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为由函数y=f x的图像可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n=√3√a n+1，3a n+1=S n+1−S n=√3√a n+1(√S n+1+√S n)，3因此√S n+1+√S n=√3√a n+1，√3a n+1，即√S n+1=23S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【考点】数列递推式一元二次方程的根的分布与系数的关系 等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1， 由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0， 可得λ=1.(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1， a n+1=S n+1−S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3√a n+1， 即√S n+1=23√3a n+1， S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【点评】此题暂无点评。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷，含解析）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==U U ，，，，，，，，，个元素 考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 5 【解析】试题分析：22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7 【解析】试题分析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =S ←1 I ←1While I <10 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 考点：向量相等7.不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数 学一、填空题1。

已知集合{1,0,1,2}A =-，{0,2,3}B =，则A B =.答案：{0,2}解析：由集合{1,0,1,2}A =-,{0,2,3}B =，∴{0,2}A B =。

2。

已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是________。

答案：3解析：(1)(2)3z i i i =+-=+，则实部为3.3。

已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 。

答案：2解析：由42(3)5645a a ++-++=可知2a =。

4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 . 答案：19解析:总事件数为6636⨯=，满足条件的事情有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)为共4种，则点数和为5的概率为41369=. 5. 右图是一个算法流程图,若输出y 值为2-，则输入x 的值是________。

答案:3-解析:由题可知2,0,1,0,x x y x x ⎧>=⎨+≤⎩当2y =-时得12x +=-,则3x =-.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为5y =，则该双曲线的离心率是 。

答案：32解析:由22205x y a -=得渐近线方程为5y x a =±，又0a >，则2a =,2259ca =+=，3c =，得离心率32c e a ==。

7. 已知()y f x =是奇函数,当0x ≥时，23()f x x =,则(8)f -的值是 。

答案：4-解析:()y f x =是奇函数,当0x ≥时，23()f x x=,则23(8)(8)84f f -=-=-=-。

8。

已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________。

答案: 13解析：因为22sin ()43πα+=，由2112sin ()(1cos(2))(1sin2)42223ππααα+=-+=+=，解得1sin 23α=.9。