八年级上册数学同步培优：第9讲 乘法公式 平方差公式--基础班

第9讲乘法公式一平方差公式知识点1 平方差公式22+-=-a b a b a b()()平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据22a b a b a b+-=-进行乘法计算．()()【典例】1.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x）C. （+y）（y﹣）D. （x﹣2）（x+1）【方法总结】平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差．也就是说，左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数．2.计算（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）时，下列变形中正确的是（）A. [x﹣（2y+1）][x+（2y+1）]B. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]C. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]D. [（x+1）﹣2y][（x+1）+2y]【方法总结】平方差公式一般是两数的和与它们的差的积等于这两数的平方差，但这里边的a和b也可以用式子来表示，对于（a-b+c）（a+b-c）这类题而言，我们可以对两个括号内的式子进行变形，目的是拼凑出两个数（或式子）的和与差的乘积形式，观察易得出（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]，这样就变成了a与（b-c）的和与差的乘积，所以可得出（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]=a2-（b-c）2然后再进行下一步计算.【随堂练习】1．（2017秋•禄劝县期末）计算：（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）22．（2018春•顺义区期末）计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（3﹣2x）2．3．（2017秋•利川市期末）计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）知识点2 利用平方差公式进行数的运算在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．【典例】1.20132﹣2011×2015的计算结果是（）A. 2B. ﹣2C. 4D. ﹣4【方法总结】此题主要考查了平方差公式，关键是掌握22a b a b a b+-=-()()本题直接计算，计算量很大，观察式子可以发现，题目中给出了20132，所以在对后面的式子进行变形时，尽量凑出2013，那么很容易得出2011=2013-2，2015=2013+2，再利用平方差公式2011×2015=（2013-2）×（2013+2），然后再计算即可．【随堂练习】1．（2018•河北模拟）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；（1）6992（2）20192﹣2017×20212.（2018•邯郸一模）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：请观察以下算式：①32﹣12=8×1②52﹣32=8×2③72﹣52=8×3（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式；（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；（3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？3．（2018春•抚州期末）阅读下面的材料并填空：①（1﹣）（1+）=1﹣，反过来，得1﹣=（1﹣）（1+）=②（1﹣）（1+）=1﹣，反过来，得1﹣=（1﹣）（1+）=×③（1﹣）（1+）=1﹣，反过来，得1﹣=（1﹣）（1+）=利用上面的材料中的方法和结论计算下题：（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）知识点3 利用平方差公式进行整式的运算【典例】1.如果（m+1+n）（m-1+n）=8，那么m+n的值为（）A. ±9B. ±3C. 3D. 9【方法总结】通过上边的学习我们知道，对于这种两个三项式相乘，我们可以对两个三项式变形，使他们分别变成两个数（或式子）的和与差相乘的形式，然后再利用平方差公式进行下一步计算，除此之外需要注意，结果是两个数，二者互为相反数.【随堂练习】1．（2017春•泰兴市校级期中）计算：（1）（x﹣2）（x+3）﹣（x+3）2（2）（x﹣2y+4）（x﹣2y﹣4）2．（2017秋•普陀区校级期中）计算：（3x+y+1）（3x+y﹣1）．知识点4 平方差公式—几何背景平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．【典例】1.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A. （a+b）（a﹣b）=a2+b2B. （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C. （a+b）2=a2+2ab+b2D. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2【方法总结】本题考查了平方差公式的几何背景，认识不同表示方法之间的关系，解题的重要点是利用面积的不变性.【随堂练习】1．（2017春•高台县校级期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）；（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是____，长是____，面积是________（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_____ （用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）②10.3×9.7．2．（2017春•栾城区期末）（1）如图1，在边长为a的正方形中，画出两个长方形阴影，则阴影部分的面积是____（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是____，宽是______，面积是_________（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）3．（2017秋•荔湾区校级期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．（1）图1中图形的面积为a2﹣b2，图2中图形的面积为（a﹣b）×_____．（用含有a、b的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式：__________．（3）根据你得到的等式解决下列问题：①计算：68.52﹣31.52．②若m+4n=2，求（m+1）2﹣m2+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值．综合运用1.（x+2）（x﹣2）（x2+4）的计算结果是__________2.若（x﹣ay）（x+ay）=x2﹣16y2，则a=．3.（m+3）（m﹣3）=．4.计算：（﹣m+n）（﹣m﹣n）=．5.化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为___________6.计算20072﹣2006×2008得_______7.已知A=99×100×101，B=98×100×102，则A﹣B的值是___________8.计算（2x﹣3y+1）（2x+3y﹣1）的结果是_________9.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是___________。

2019-2020年八年级数学上册14.2乘法公式14.2.1平方差公式教案新版新人教版教学目标：理解乘法的平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的运算．重点：平方差公式的推导和应用．难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学流程：一、情境引入灰太狼开了一家租地公司，一天他把一边长为a米的正方形土地，租给慢羊羊种植，有一年，他对慢羊羊说，我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，再继续租给你，租金不变，这样你也没吃亏，你看如何，慢羊羊一听觉得没有吃亏，就答应了.慢羊羊回到羊村，就把这件事对喜羊羊他们讲了，喜羊羊一听马上说，“村长，您吃亏了！”慢羊羊村长很吃惊的问道：“啊，那我吃亏了多少？”沸羊羊说道：“我来帮您算算，”喜羊羊还没等沸羊羊开始算就说到：“不用算啦，村长亏了25平方米！”沸羊羊不解道：“你怎么算的这么快呀？”。

二、知识回顾1.说一说多项式乘以多项式的计算法则？答案：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2.填空(1)(1)(1)________;(2)(2)(2)________;(3)(21)(21)________.x x m m x x +-=+-=+-=答案：（1）；（2）；（3）三、探究问题：观察下面等式，你能发现什么规律？222112222(1)()()1;(2)()()4;(3)()(1.1)41x m x x m m x x x +-=-+-=-+-=-归纳：乘法的平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．图形演示：尝试计算：，解：222(1).(32)(32)(3)294x x x x +-=-=- 2222(2).(2)(2)()(2)4x y x y x y x y -+--=--=-练习：1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( )A ．(2x －3y )(－2x ＋3y )B ．(－3x ＋4y )(－4y －3x )C ．(x －y )(x ＋2y )D ．(x ＋y )(－x －y )答案：B2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？22222223232323222323294(1)()()(2)()()9(3)()()(4)()(49)4a a a a a a b a x x x b b x a a x x +-=--=+-=---=----答案：（1）√；（2）×；22222323()()46694129a b a b a ab ab b a ab b --=--+=-+（3）×，22222()()24x x x x +-=-=-（4）×，23232232349()()()()a a a a a ---=---+=- 3.计算：(2)(2)(1)(5);(2)1(02981).y y y y +---+⨯ 解：2222222(1)(2)(2)(1)(5)2(45)44541(2)10298(1002)(1002)10021000049996y y y y y y y y y y y +---+=--+-=---+=-+⨯=+-=-=-= 四、应用提高计算(x 4＋1)(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)的结果是( )A.x 8＋1B.x 8－1C.(x ＋1)8 D.(x －1)8答案：B提示： 42422448(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x ===＋＋＋－＋＋-＋--五、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.说一说乘法的平方差公式？2.应用平方差公式时要注意什么？六、达标测评1．下列计算正确的是( )A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－6B ．(3x ＋2y )(3x －2y )＝3x 2－2y 2C ．(m －n )(－m －n )＝m 2－n 2D ．(34a ＋43b )(43b －34a )＝169b 2－916a 2答案：D2．如图①，在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形(a >b )，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是( )A.a 2＋b 2＝(a ＋b )(a －b )B.a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )C.(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b2 D.(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2答案：B 3.计算：()1911119(222()()(3)(3)55)p q s q t t s p ---＋－； 解： 2222(1)(911)(119)(119)(119)(11)(9)12181s t t s t s t s t s t s ==-=-＋－＋－222222(2)(3)(3)5522(3)(3)552()(3)54925p q p q q p q p q p q p ---=-+--=--=- 4.先化简，再求值：a (3－a )－(1－a )(1＋a ).2222(3)(1)(1)3(1)3131a a a a a a a a a aa ---+=---=--+=-解：当a =2时，原式＝3×2－1＝5.七、布置作业教材108页练习题第2题．`27735 6C57 汗25502 639E 掞32284 7E1C 縜25949 655D 敝24778 60CA 惊32200 7DC8 緈O"29605 73A5 玥221037 522D 刭22377 5769 坩34432 8680 蚀。