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题点技巧(一) 巧用性质·妙解函数[解题技法——学一招]函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．以对称性为例，若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数图象关于直线x ＝a ＋b2对称；若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，c 2对称．[典例] (2018·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72 [解析] 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝⎛⎭⎫72<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫52，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52，故选B. [答案] B[经典好题——练一手]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x (x >0)，ax 2＋bx ＋c (x ≤0)的图象关于原点对称，则a ，b ，c 的值分别为( )A ．－1，－2,0B ．1，－2,0C ．－1,2,0D ．1,2,0解析：选D 因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，即f (－x )＝－f (x )，设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .因为f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝－x2－2x，即f(x)＝x2＋2x.故a＝1，b＝2，c＝0，选D.2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A．0<f(1)<f(3) B．f(3)<0<f(1)C．f(1)<0<f(3) D．f(3)<f(1)<0解析：选C由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．故选C.[常用结论——记一番]1．有关函数单调性的常用结论(1)若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．(2)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．(3)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝1f(x)单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝f(x)单调性相同．[提示]在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件．2．有关函数奇偶性的常用结论(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)±f(－x)＝0，f(x)f(－x)＝±1.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇→奇，奇×奇→偶，偶＋偶→偶，偶×偶＝偶，奇×偶→奇．(3)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．3．有关函数f(x)周期性的常用结论(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数f(x)的周期为2|a|；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2|a|；(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数f(x)的周期为2|a|；(4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |. 题点技巧(二) 最值函数·大显身手[解题技法——学一招]最值函数的定义：设a ，b 为实数，则min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ；max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，b >a .解有些求最值问题时，巧妙借助以下性质，可如虎添翼.(1)min{a ，b }≤a ＋b2≤max{a ，b }；(2) min a >0，b >0{a ，b }≤ab ≤max a >0，b >0{a ，b }.[典例] 已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 过点(α，0)，(β，0)，若存在整数n ，使n <α<β<n ＋1，则min{f (n )，f (n ＋1)}与14的大小关系为( )A ．min{f (n )，f (n ＋1)}>14B ．min{f (n )，f (n ＋1)}<14C ．min{f (n )，f (n ＋1)}＝14D ．不能确定[解析] 因为α，β为f (x )＝0的根，所以f (x )＝x 2＋px ＋q ＝(x －α)(x －β)，f (n )＝(n －α)(n －β)，f (n ＋1)＝(n ＋1－α)(n ＋1－β)，min{f (n )，f (n ＋1)}≤f (n )f (n ＋1)＝(α－n )(β－n )(n ＋1－α)(n ＋1－β)<⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫122＝14，故选B. [答案] B[经典好题——练一手]1．设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析：选D max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a ＋b |2＋|a －b |22＝|a |2＋|b |2，故选D.2．(2018·兰州模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ≥0，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C ．1D.52解析：选A 如图，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，∵λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1，∴0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，∴c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.∴max{c ·a ，c ·b }≥c ·a ＋c ·b 2＝4－3λ2＝45.即max {}c ·a ，c ·b 的最小值为45，此时λ＝45，μ＝15，∴c ＝45a ＋15b ＝⎝⎛⎭⎫45，25.∴|c |＝ ⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255.题点技巧(三) 成图在胸·巧比大小[解题技法——学一招]幂数、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图”或“成图在胸”.解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小.[典例] 已知a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“>”表示排列)[解析] 法一(数形结合法)：变形a ＝ln 22＝ln 2－02－0，则a 表示函数y ＝ln x 图象上的点(2，ln 2)与点(0,0)连线的斜率．同理，b ＝ln 33＝ln 3－03－0，c ＝ln 55＝ln 5－05－0分别表示(3，ln 3)，(5，ln 5)与点(0,0)连线的斜率．作出函数y ＝ln x 的图象，标出相应点的位置，观察可知b >a >c .法二(构造函数法)：令y ＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，令y ′＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，所以函数在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，函数在x ＝e 处取得极大值，所以b >a ，b >c ，再作差比较a 与c 的大小，易知b >a >c .[答案] b >a >c[经典好题——练一手]1．已知实数a ，b 满足不等式log 2a <log 3b ，则不可能成立的是( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．0<a <1<bD ．1<b <a解析：选D 如图y ＝g (x )表示以2为底的对数函数图象，y ＝f (x )表示以3为底的对数函数图象，根据log 2a <log 3b ，得1<b <a 不可能成立，故选D.2．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A 法一：首先确定a 是函数y ＝2x 与y ＝log 12x 图象的交点的横坐标，b 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 12x 图象的交点的横坐标，c 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点的横坐标．分别画出函数y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 12x ，y ＝log 2x 的图象(图象略)，易知a <b <c . 法二：∵a ，b ，c 均为正数，∴2a >1，即log 12a >1，解得0<a <12.0<⎝⎛⎭⎫12b <1，即log 12b <1，解得12<b <1.0<⎝⎛⎭⎫12c <1即0<log 2c <1，解得1<c <2. ∴a <b <c .[常用结论——记一番]比较几个数的大小，关键是区分不同的函数，然后构造函数．(1)底数相同，指数不同时，如ax 1与ax 2，利用指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的单调性；(2)指数相同，底数不同，如x a 1与x a 2，利用幂函数y ＝x a 的单调性比较大小；(3)底数指数都不同，如ax 1与bx 2，寻找中间变量0,1或bx 1或ax 2.题点技巧(四) 特值探路·秒杀小题[解题技法——学一招]特值探路法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊角、特殊数列等对选择题各选项进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判断选项正确与否的方法.有时，也会取特殊位置，特殊模型等特征入手，简化运算，速得结论.[典例] 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] 若四边形ABCD 为矩形，建系如图．由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→， 知M (6,3)，N (4,4)，∴AM ―→＝(6,3)，NM ―→＝(2，－1)， AM ―→·NM ―→＝6×2＋3×(－1)＝9. [答案] C [技法领悟]取特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例解选择题时，要注意以下两点：第一，取的特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.[经典好题——练一手]1．存在函数f (x )满足对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：选D 在A 中，取x ＝0，可知f (sin 0)＝sin 0，即f (0)＝0，再取x ＝π2，可知f (sinπ)＝sin π2，即f (0)＝1，与f (0)＝0矛盾，故A 错误；同理可知B 错误；在C 中，取x ＝1，可知f (2)＝2，再取x ＝－1，可知f (2)＝0，与f (2)＝2矛盾，故C 错误．由排除法知选D.2．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则PM 与PN 的斜率之积等于________．解析：取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)， 所以k PM ·k PN ＝32·3－2＝－34. 答案：－34题点技巧(五) 应用导数·开阔思路[解题技法——学一招]1．函数的单调性与导数的关系 (1)f ′(x )>0⇒f (x )为增函数； (2)f ′(x )<0⇒f (x )为减函数； (3)f ′(x )＝0⇒f (x )为常数函数． 2．求函数f (x )极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．[典例] 设函数f (x )＝e x －1＋m x (m ∈R )．(1)若f (x )在[1,2]上为单调递减函数，求实数m 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处有极值，且函数g (x )＝f (x )－n 在(0，＋∞)上有零点，求n 的最小值． [解] (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝e x －1－m x2.当f (x )在[1,2]上单调递减时，e x －1－mx 2≤0在[1,2]上恒成立，所以m ≥x 2e x －1在[1,2]上恒成立．令h (x )＝x 2e x －1，则h ′(x )＝e x －1(x 2＋2x )>0在[1,2]上恒成立，即h (x )在[1,2]上单调递增，所以h (x )＝x 2e x －1在[1,2]上的最大值为h (2)＝4e ，即m ≥4e.所以实数m 的取值范围为[4e ，＋∞)．(2)因为f ′(x )＝e x －1－mx 2，又f (x )在x ＝1处有极值，所以f ′(1)＝e 0－m ＝0，解得m ＝1，经检验符合题意．所以f (x )＝e x －1＋1x ，g (x )＝f (x )－n ＝e x －1＋1x －n . 对g (x )求导，得g ′(x )＝e x －1－1x2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．所以g (x )在x ＝1处取得极小值g (1)＝e 0＋1－n ＝2－n .依题意，g (x )在(0，＋∞)上有零点，所以g (1)≤0，即2－n ≤0，所以n ≥2. 所以n 的最小值为2. [技法领悟]本题的求解涉及两类题型的求解方法：(1)求参数的取值范围问题，方法是通过对函数单调性的研究，转化为不等式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题．(2)研究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值f (t )，而函数又在此区间有零点，则结合图形解析，可得f (t )≥0(或f (t )≤0)．[经典好题——练一手]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)，e ax (x >0)在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12ln 2，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 2 C ．(－∞，0)D.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2 解析：选D 设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)，则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)，所以－2≤x <－1时，y ′>0，－1<x <0时，y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值在x ＝－1时取得，为2，所以函数y ＝e ax 在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值e 2a ≤2，所以0<a ≤12ln 2，当a ＝0时，y ＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2. 2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ln x .(1)若a ＝1，求函数f (x )的图象在(e ，f (e))处的切线方程． (2)若a ＝－e ，证明：方程2|f (x )|－3x ＝2ln x 无解．解：(1)当a ＝1时，f (e)＝e 2＋e ，f ′(x )＝2x ＋ln x ＋1，故f ′(e)＝2e ＋2，故所求切线方程为y －e 2－e ＝(2e ＋2)·(x －e)，即(2e ＋2)x －y －e 2－e ＝0.(2)证明：依题意，有2|ax 2＋x ln x |－3x ＝2ln x ， 即2|ax 2＋x ln x |＝2ln x ＋3x ， 亦即|ax ＋ln x |＝ln x x ＋32.令g (x )＝ax ＋ln x ，当a ＝－e 时，g (x )＝－e x ＋ln x ，则g ′(x )＝－e x ＋1x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1e，令g ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ， 所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增， 令g ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞， 所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递减， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e·1e ＋ln 1e ＝－2， 所以|g (x )|≥2，令h (x )＝ln x x ＋32，则x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝1－ln x x 2.令h ′(x )>0，得x ∈(0，e)， 所以函数h (x )在(0，e)上单调递增， 令h ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)， 所以函数h (x )在(e ，＋∞)上单调增减， 所以h (x )max ＝h (e)＝ln e e ＋32＝1e ＋32<12＋32＝2，即h (x )<2，所以|g (x )|>h (x )，即2|f (x )|－3x >2ln x ， 所以方程2|f (x )|－3x ＝2ln x 无解．题点技巧(六) 三角问题·重在三变[解题技法——学一招]“三变”是指变角、变数与变式.(1)变角如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β.(2)变数特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等.(3)变式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)，sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1.[典例] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B ．9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， 又sin 2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4， 于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] A[经典好题——练一手]1．已知α为锐角，若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，因为α为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35<32，所以π6<α＋π6<π3，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2×35×45＝2425. 答案：24252．若0<α<π2，0<β<π2，sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝35，cos ⎝⎛⎭⎫β2－π3＝255，则cos ⎝⎛⎭⎫β2－α的值为________． 解析：由题易知－π6<π3－α<π3，－π3<β2－π3<－π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin ⎝⎛⎭⎫β2－π3＝－1－⎝⎛⎭⎫2552＝－55，所以cos ⎝⎛⎭⎫β2－α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫β2－π3＝45×255＋35×55＝11525. 答案：11525题点技巧(七) 三角换元·妙解最值[解题技法——学一招]解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法.换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化隐含关系为显性关系等，在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用.[典例] (2018·湖北荆州质检)设P 为曲线C 1：x 28＋y 24＝1上一点，Q 为直线C 2：x －2y－5＝0上一点，则|PQ |的最小值为________．[解析] 设P (22cos α，2sin α)，则点P 到直线C 2的距离d ＝|22cos α－22sin α－5|1＋2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4－53＝5－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π43.当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1时，d 取得最小值33，所以|PQ |的最小值为33. [答案]33[技法领悟]椭圆和圆上的两个动点或椭圆和直线上两个动点之间距离的最值问题，可转化为椭圆上的点到圆心的距离或椭圆上的点到直线的距离的最值问题，利用点到直线的距离公式，结合正、余弦函数的有界性或二次函数求解即可．[经典好题——练一手]1．(2019届高三·海南八校联考)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的最小值是________．解析：f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＝(sin x ＋cos x )2＋sin x ＋cos x －1，令sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤t ≤2，∴原函数可化为g (t )＝t 2＋t －1(0≤t ≤2)．∵函数g (t )＝t 2＋t －1的图象开口向上，其对称轴的方程为t ＝－12，∴当0≤t ≤2时，g (t )单调递增．当t ＝0时，g (t )取得最小值－1.答案：－12．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，则|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|的最大值为________．解析：由椭圆定义知|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝210，则|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|＝210＋|QP |.又圆心C (0,6)，半径r ＝2，设椭圆上一点Q 的坐标为(10cos α，sin α)(α为参数)，则|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝－9sin 2α－12sin α＋46＝－9⎝⎛⎭⎫sin α＋232＋50.因为－1≤sin α≤1，所以当sin α＝－23时，|CQ |max ＝50＝52，此时|QP |max ＝|CQ |max ＋r ＝52＋2＝62，即|QF 1|＋|QP |＋|QF 2|的最大值为210＋6 2.答案：210＋6 2[常用结论——记一番] 三角公式中常用的换元变形(1)对于含有sin α±cos α，sin αcos α的问题，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，建立sin α±cos α与sin αcos α的关系．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式⎝⎛ 如sin α＋cos αsin α－cos α，)sin αcos α，利用tan α＝sin αcos α转化为含tan α的式子．(3)对于形如cos 2α＋sin α与cos 2α＋sin αcos α的变形，前者用平方关系sin 2α＋cos 2α＝1化为二次型函数，而后者用降幂公式化为一个角的三角函数．(4)含tan α＋tan β与tan αtan β时考虑tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.题点技巧(八) 四心定位·向量有法[解题技法——学一招]平面向量与三角形“四心”(内心、外心、重心、垂心)相结合的试题在历年高考试题和模拟题中频繁出现，且往往以向量作为载体对三角形的“四心”进行考查，要求考生掌握三角形“四心”的性质以及在向量运算的基础上读懂向量的几何意义，可快速求解.[典例] 已知△ABC 中，G 是△ABC 的重心，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且56a GA ―→＋40b GB ―→＋35c GC ―→＝0，则B 的度数为________．[解析] 因为G 是△ABC 的重心，根据重心的性质可知GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，所以56a ∶40b ∶35c ＝1∶1∶1，即有7a ＝5b,7c ＝8b ，令a ＝5k (k >0)，则b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可得cos B ＝25k 2＋64k 2－49k 22×5k ×8k＝12，所以B ＝60°.[答案] 60° [技法领悟]本题是一道关于解三角形的题目，熟练掌握三角形重心性质的向量表达式以及余弦定理是解答此题的关键．[经典好题——练一手]1．在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设G 是△ABC 的内心，若AG ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则mn的值为________． 解析：∵AG ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，∴AG ―→＝m (GB ―→－GA ―→)＋n (GC ―→－GA ―→)，∴(1－m －n )GA ―→＋m GB ―→＋n GC ―→＝0，∵G 是△ABC 的内心，∴由三角形内心的性质，得2GA ―→＋3GB ―→＋2GC ―→＝0，∴m n ＝32.答案：322．已知△ABC 的外心、垂心分别为O ，H .若OH ―→＝m (OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)，则m ＝________.解析：如图，连接BO 并延长交△ABC 的外接圆于点E ，连接EA ，EC ，HA ，HC ，因为H 是△ABC 的垂心，所以AH ⊥BC ，又BE 为⊙O 的直径，所以EC ⊥BC ，所以AH ∥EC ，同理可证CH ∥EA ，所以四边形AHCE 为平行四边形，故OH ―→＝OA ―→＋AH ―→＝OA ―→＋EC ―→＝OA ―→＋OC ―→－OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→，又OH ―→＝m (OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)，所以m ＝1.答案：1[常用结论——记一番]1．三角形三边中线的交点叫三角形的重心，它到三角形顶点的距离等于到对边中点距离的2倍．三角形重心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.2．三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，也是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等．三角形外心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2.3．三角形的三个内角平分线的交点叫三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．三角形内心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0(a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边)．4．三角形三边上的高的交点，叫三角形的垂心，它与顶点的连线垂直于对边．三角形垂心性质的向量表达式：点O 是△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→.题点技巧(九) 巧妙建系·妙解向量[解题技法——学一招]平面向量作为高考必考内容，常以选择题或填空题的形式出现，而且具有一定难度，若采取建立坐标系的方法，则可在很大程度上降低解题难度.坐标法是处理平面向量问题的主要方法，只要能够建立平面直角坐标系，把点的坐标表示出来，向量的坐标就可以求出来，从而平面向量的四大常见问题(平行、垂直、夹角、模)都可以套用相应的公式解决.如果图形特殊，如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等，均可尝试用坐标法解决问题.[典例] 在平面上，已知AB 1―→⊥AB 2―→，|OB 1―→|＝|OB 2―→|＝1，AP ―→＝AB 1―→＋AB 2―→，若|OP ―→|<12，则|OA ―→|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72 C.⎝⎛⎭⎫52，2D.⎝⎛⎭⎫72，2 [解析] 连接PB 1，PB 2，由AB 1―→⊥AB ―→2，AP ―→＝AB 1―→＋AB 2―→，得四边形AB 1PB 2为矩形，故以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，且PB 1∥x 轴，PB 2∥y 轴，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1，A (x 1，y 2)，P (x 2，y 1)，又|OP ―→|＝x 22＋y 21<12，则|OA ―→|＝x 21＋y 22＝2－(x 22＋y 21)∈⎝⎛⎭⎫72，2，故选D.[答案] D [技法领悟]在有关平面向量的模和两向量的夹角的问题中，可建立平面直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，用坐标法来求解，更简便、快捷．[经典好题——练一手]1．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，则点C 到直线BD 的距离为25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为点P 在圆C 上，所以可设P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ，又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，所以AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ(θ为参数)，则λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，其中tan φ＝2，故选A. 2.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分(包括边界)运动，若AP ―→＝αAB ―→＋βBC ―→，其中α，β∈R ，则4α－β的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤2，3＋324 B ．⎣⎡⎦⎤2，3＋52 C.⎣⎡⎦⎤3－24，3＋32 D.⎣⎡⎦⎤3－172，3＋172 解析：选B 如图，以A 为坐标原点，AB ―→，AD ―→的方向分别为x轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，AB ―→＝(2,0)，BC ―→＝(－1,1)，设点P 的坐标为(x ，y )，由题意，知AP ―→＝α(2,0)＋β(－1,1)，据此可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2α－β，y ＝β，则⎩⎨⎧α＝x ＋y2，β＝y ，令z ＝4α－β，则z ＝2x ＋y ，其中z 为直线系y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距， 结合图形易知当直线y ＝－2x ＋z 与圆相切时，z 取得最大值，此时|－2－1＋z |5＝12，解得z ＝3＋52或z ＝3－52(舍去)， 故z 的最大值为3＋52，当直线y ＝－2x ＋z 过点⎝⎛⎭⎫12，1时z 有最小值2.故选B. 题点技巧(十) 正弦余弦·相得益彰[解题技法——学一招] 解三角形问题的求解策略在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．一般来说，当条件中同时出现ab 及b 2，a 2时，往往用余弦定理；当条件中边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的公式进行解答．[典例] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．[解] (1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sinC ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C－8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B ，结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.[经典好题——练一手]1．非直角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，C ＝π3.若sin C＋sin(A －B )＝3sin 2B ，则△ABC 的面积为( )A.1534B.154 C.2134或36D.3328解析：选D 因为sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ＝6sin B cos B ，因为△ABC 非直角三角形，所以cos B ≠0，所以sin A ＝3sin B ，即a ＝3b . 又c ＝1，C ＝π3，由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝1，结合a ＝3b ，可得b 2＝17，所以S ＝12ab sin C ＝32b 2sin π3＝3328.故选D.2.如图所示，圆内接四边形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝4，AD ＝2CD ＝4.(1)求圆的半径R ；(2)若点P 在圆周上运动，求四边形APCD 面积的最大值． 解：(1)因为四边形ABCD 内接于圆， 所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.连接AC (图略)，因为BC ＝6，AB ＝4，AD ＝4，CD ＝2，由余弦定理可得AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC ＝42＋22－2×4×2cos(180°－∠ABC )， 解得cos ∠ABC ＝12，因为0°<∠ABC <180°，故∠ABC ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝42＋62－2×4×6cos 60°＝28，故AC ＝27. 由正弦定理得2R ＝AC sin ∠ABC ＝4213，故R ＝2213.(2)易知S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，由(1)可得S △ADC ＝12AD ×CD sin ∠ADC ＝12×4×2×sin 120°＝2 3.易知∠APC ＝∠ABC ＝60°，设AP ＝x ，CP ＝y ，则S △APC ＝12xy sin 60°＝34xy .由余弦定理知AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos 60°＝x 2＋y 2－xy ＝28， 又x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy ，所以xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号， 所以S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93， 所以四边形APCD 面积的最大值为9 3.题点技巧(十一) 玩转通项·搞定数列[解题技法——学一招]几种常见的数列类型及通项的求法[典例] 已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n＝________.[解析] 由a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)得，a n ＋t ＝2(a n －1＋t )(n ≥2)，所以2t －t ＝1，解得t ＝1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＋1＝2，所以{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.[答案] 2n －1 [技法领悟]形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)的递推公式，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，其中t ＝qp －1，再转化为等比数列求解．[经典好题——练一手]1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝2n (n －1)2D ．a n ＝2n 22解析：选C 因为a n ＋1＝2na n ，所以a n ＋1a n ＝2n ，所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝21×22×23× (2)－1(n ≥2)，即a n a 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2，所以a n ＝2n (n －1)2a 1＝2n (n －1)2，故选C. 2．在数列{a n }中，a 1＝1，(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.解析：由(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1得a n ＋1－a n ＝1n 2＋2n ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2－a 1＝12×⎝⎛⎭⎫11－13，a 3－a 2＝12×⎝⎛⎭⎫12－14，…，a n －1－a n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ，a n －a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝74－2n ＋12n (n ＋1). 答案：74－2n ＋12n (n ＋1)[常用结论——记一番] 等差(比)数列的重要结论(1)数列{a n }是等差数列⇔数列{c a n }是等比数列；数列{a n }是等比数列，则数列{log a |a n |}是等差数列．(2){a n }，{b n }是等差数列，S n ，T n 分别为它们的前n 项和，若b m ≠0，则a mb m ＝S 2m －1T 2m －1. (3)首项为正(或为负)递减(或递增)的等差数列前n 项和最大(或最小)问题转化为解不等式⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，也可化为二次型函数S n＝An 2＋Bn 来分析，注意n ∈N *.(4)等差(比)数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(各项均不为0)仍是等差(比)数列．题点技巧(十二) 掌握规律·巧妙求和[解题技法——学一招]求数列的前n 项和的主要方法(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法．(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消．(3)错位相减法：若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则对于数列{a n b n }的前n 项和可用错位相减法．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加法．(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列．[典例] (2018·东北三省三校第二次联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝b n ＋a n －n ，n ∈N *.(1)证明：{a n －n }为等比数列； (2)数列{c n }满足c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)证明：因为a n ＋1＝2a n －n ＋1，所以a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )．又a 1＝3，所以a 1－1＝2，所以数列{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，a n －n ＝2·2n －1＝2n .所以b n ＋1＝b n ＋a n －n ＝b n ＋2n ，即b n ＋1－b n ＝2n .b 2－b 1＝21，b 3－b 2＝22，b 4－b 3＝23，…，b n －b n －1＝2n －1.以上式子相加，得b n ＝2＋2·(1－2n －1)1－2＝2n(n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝2，满足b n ＝2n ，所以b n ＝2n .所以c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)＝2n(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1. 所以T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1.[技法领悟]求解此类题需掌握三个技巧：一是巧拆分，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的和，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n 项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和．[经典好题——练一手]1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＋a 5＝8，在数列{b n }中，b 1＝2，其前n 项和S n 满足b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 2＝2，a 3＋a 5＝8， ∴a 1＋d ＝2,2a 1＋6d ＝8， 解得a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n . ∵b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)，① ∴b n ＝S n －1＋2(n ∈N *，n ≥2)．②①－②得，b n ＋1－b n ＝S n －S n －1＝b n (n ∈N *，n ≥2)， ∴b n ＋1＝2b n (n ∈N *，n ≥2)． ∵b 1＝2，b 2＝2＋2＝2b 1，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝2n .(2)c n ＝a n b n ＝n 2n ，则T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①则12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－2＋n 2n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n .2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题知⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得{a 1＝3，d ＝2，则a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)，∴T n ＝2(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9＋…＋(－1)n (2n ＋1)]．设G n ＝－3＋5－7＋9＋…＋(－1)n(2n ＋1)，则T n ＝8(4n －1)3＋G n .当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝8(4n －1)3＋n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝8(4n －1)3－n －2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8(4n －1)3＋n (n ＝2k ，k ∈N *)，8(4n －1)3－n －2(n ＝2k －1，k ∈N *). [常用结论——记一番]常用裂项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1n ＋1＋n＝n ＋1－n ；(3)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1；(4)n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]；(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)；(6)(2n )2(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.题点技巧(十三) 求得通项·何愁放缩[解题技法——学一招]数列与不等式的综合是高考的难点，其难点往往在于递推式的合理变形与放缩，举例说明数列的放缩.[典例] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1(n ∈N *)，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[解] (1)由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，得2S n ＋1＝a n ＋2－2n ＋2＋1，两式相减得a n ＋2＝3a n ＋1＋2n ＋1，2S 1＝a 2－3⇔a 2＝2a 1＋3，a 3＝3a 2＋4＝6a 1＋13，a 1，a 2＋5，a 3成等差数列⇔a 1＋a 3＝2(a 2＋5)⇔a 1＝1.a n ＋1＝3a n ＋2n ⇔a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n＋2n )，∴数列{a n ＋2n }为首项是3，公比是3的等比数列． 则a n ＋2n ＝3n ， ∴a n ＝3n －2n .(2)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<32，当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n ≥⎝⎛⎭⎫322>2⇔3n >2×2n ⇔a n>2n⇔1a n <12n . ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋122＋123＋…＋12n ＝1＋12－12n <32. 由上式得：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[经典好题——练一手]1．已知函数f (x )＝2cos π2x ，x >0，将函数f (x )的零点按从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝1a 2n ＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <14.解：(1)因为f (x )＝2cos π2x ，x >0，令f (x )＝0，得π2x ＝π2＋k π(k ∈N)，解得x ＝1＋2k (k ∈N)， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)证明：由(1)可知b n ＝1a 2n ＋1＝1(2n ＋1)2<14n 2＋4n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n<14×⎝⎛⎭⎫1－12＋14×⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<14. 2．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋1(n ∈N *)．(1)如果a 1a 2，a k ＋1a k ＋2，a 6k ＋1a 6k ＋2成等比数列，求正整数k 的值； (2)求证：∑k ＝1n 1a k≥2(n ＋1－1)．解：(1)(a k ＋1a k ＋2)2＝(a 1a 2)(a 6k ＋1a 6k ＋2)， 将已知代入得(k ＋2)2＝2(6k ＋2)， 解得k ＝8.(2)证明：由题意知a 2＝2，a n >0，n ∈N *. 当n ＝1时，1a 1＝1>2(2－1)，命题成立．当n ≥2时，由a n ＋1a n ＝n ＋1得a n a n －1＝n ， 所以a n (a n ＋1－a n －1)＝1，1a n＝a n ＋1－a n －1.从而有∑k ＝1n 1a k＝1a 1＋∑k ＝2n (a k ＋1－a k －1)＝a n ＋1＋a n －2≥2a n ＋1a n －2＝2(n ＋1－1)．[常用结论——记一番]几种常见放缩形式： (1)1n 2<1n 2－n ＝1n －1－1n ； (2)1n 2<1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1； (3)1n 2<44n 2－1＝2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)12n (2n ＋1)<1⎝⎛⎭⎫2n －12⎝⎛⎭⎫2n ＋32＝14n －1－14n ＋3；(5)1(n ＋2)3<1(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3) ＝12⎣⎡⎦⎤1(n ＋1)(n ＋2)－1(n ＋2)(n ＋3)； (6)1n n －1＝1n ·n ·n －1 ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ·1n －n －1 ＝n ＋n －1n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n <2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n . 题点技巧(十四) 巧变多联·目标转换[解题技法——学一招]解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； (3)求出目标函数的最大值或最小值．解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，常见几何意义有直线、斜率、距离、面积等，整点问题要验证解决．[典例] 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．[解析] 因为目标函数z ＝|x ＋2y －4|＝5×|x ＋2y －4|5，所以目标函数的几何意义为点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍，作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)及直线x ＋2y －4＝0，可知点A (7,9)到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，所以最优解为(7,9)，将最优解(7,9)代入目标函数z ＝|x ＋2y －4|可得目标函数的最大值为21.[答案] 21 [技法领悟]形如z ＝|Ax ＋By ＋C |的目标函数，可变换为A 2＋B 2·z A 2＋B2＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2，联想点到直线的距离公式即可发现z A 2＋B2的几何意义为可行域内的点N (x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离，从而确定目标函数z ＝|Ax ＋By ＋C |取得最值的最优解，将最优解代入目标函数即可求得目标函数的最值．[经典好题——练一手]1．若x ，y 满足约束条件{ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：设点A (x ，y )，点O (0,0)，则目标函数yx 的几何意义是点(x ，y )和点O (0,0)连线的斜率k ，作出约束条件{x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当点(x ，y )为点A (1,3)时，点(x ，y )和点O (0,0)连线的斜率最大，所以目标函数yx 取得最大值的最优解为(1,3)，将最优解(1,3)代入目标函数y x ，可得目标函数yx的最大值为3.答案：32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围是________．解析：目标函数z ＝(x －0)2＋(y －0)2的几何意义为两点(0,0)，(x ，y )间距离的平方，作出⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知点(0,0)到直线AB 的距离为两点间距离的最小值，为25，点(0,0)到点C (2,3)的距离为两点间距离的最大值，为13，所以z ＝x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.答案：⎣⎡⎦⎤45，13 题点技巧(十五) 合理配凑·妙解最值[解题技法——学一招]对于基本不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，当和a ＋b 为定值时，积ab 有最大值；当积ab 为定值时，和a ＋b 有最小值.然而在实际解题中，这个定值通常不会直接给出，往往需要通过变形和配凑才能得到.[典例] 设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________． [解析] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝ab ＋a (a －b )＋1ab ＋1a (a －b )＝⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (a －b )＋1a (a －b )≥2ab ×1ab＋2a (a －b )×1a (a －b )＝4，当且仅当ab ＝a (a －b )＝1，即a ＝2，b ＝22时等号成立．[答案] 4 [技法领悟]根据所求式子的特征，拼凑出可利用基本不等式求解的形式．[经典好题——练一手]1．设x >－1，则f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．解析：∵x >－1，∴x ＋1>0，∴f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝－3(舍去)或x ＝1时取等号，故当x ＝1时，f (x )取得最小值9.答案：92．正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________．解析：由1a ＋1b ＝1可得a －1＝a b ，b －1＝b a ，则4a －1＋16b －1＝4b a ＋16ab ≥16，当且仅当4b a ＝16a b ，即a ＝32，b ＝3时等号成立．故4a －1＋16b －1的最小值为16. 答案：16题点技巧(十六) 绝对值题·四法破解[解题技法——学一招] 含绝对值问题的解法(1)定义讨论法由于利用定义可以把绝对值去掉，因此往往需要分类讨论．其方法是：把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可．(2)性质平方法因为绝对值的性质有|a |2＝a 2，利用此性质可把绝对值去掉．但这种方法的缺点是平方后往往比较复杂，另外要注意何时才能平方，防止出现增根．(3)等价转化法(合二为一)利用绝对值的性质等价转化，去绝对值，如：|ax ＋b |<c ⇔－c <ax ＋b <c ，|ax ＋b |>c ⇔ax ＋b >c 或ax ＋b <－c . (4)数形结合法利用函数的图象解含有绝对值的不等式． [典例] 设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；。
第3讲 圆锥曲线的综合问题年份卷别 考查内容及考题位置命题分析 2018卷Ⅰ直线与椭圆的位置关系·T 19解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现． 解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线的位置关系． (2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解．(3)轨迹方程及探索性问题的求解.卷Ⅱ 直线与抛物线的位置关系、弦长问题·T 19 卷Ⅲ直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算、证明问题·T 202017 卷Ⅰ椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系·T 20卷Ⅱ点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综合问题·T 20卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T 202016卷Ⅰ定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的位置关系及范围问题·T 20卷Ⅱ直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T 20卷Ⅲ证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T 20定点问题(综合型)[典型例题]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． 【解】 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1， 且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， 所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0， 所以λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.因为λ1＋λ2＝－3，所以my 1－1＋m y 2－1＝－3， 所以y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ），得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， 所以(mt )2＝1，由题意mt <0，所以mt ＝－1，满足②， 故直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)， 即Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的2种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． [提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y ＝kx ＋b ，若b 为常量，则直线恒过点(0，b )；若bk为常量，则直线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k，0.(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0(λ为参数)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，即得定点坐标．[对点训练]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．解：(1)因为抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32. 所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0. 由根与系数的关系得y A y B ＝4bk，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)． 综合①②可知，直线AB 过定点(8，0)．定值问题(综合型)[典型例题](2018·沈阳教学质量监测(一))设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1，0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1，0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．【解】 (1)设P (x ，y )，易知N (x ，0)，NP →＝(0，y )，又NM →＝12NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又点M 在椭圆上，所以x 29＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224＝1，即x 29＋y 28＝1.所以点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝163，所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝163，|CD |＝6，所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立直线l 1与曲线E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－18k 2）2－4（8＋9k 2）（9k 2－72）＝2 304（k 2＋1）>0，x 1＋x 2＝18k 28＋9k2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝48（1＋k 2）8＋9k2， 联立直线l 2与曲线E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），x 29＋y 28＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋9k 2x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0， 同理可得|CD |＝1＋1k 2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝48（1＋k 2）9＋8k2. 所以1|AB |＋1|CD |＝8＋9k 248（k 2＋1）＋9＋8k 248（k 2＋1）＝1748. 综上可得1|AB |＋1|CD |为定值．求定值问题常见的2种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关．这符合一般与特殊的思维辩证关系．简称为：特殊探路，一般论证．(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，A 为椭圆C 上的一点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，E ，F 是椭圆C 上的两动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．求证：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值．解：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）＋32消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋(12k －8k 2)x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0，则x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12（4k 2＋3）x A＝4k 2－12k －34k 2＋3，①又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数， 故以上k 用－k 代替得x F ＝4k 2＋12k －34k 2＋3，② 所以k EF ＝y F －y Ex F －x E＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k （x F －1）＋32－⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x E －1）＋32x F －x E＝－k （x F ＋x E ）＋2kx F －x E.把①②两式代入上式，得k EF ＝12，为定值．最值和范围问题(综合型)[典型例题]命题角度一 构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围．【解】 (1)由题意知2c ＝2，即c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，所以b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，得m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k2.由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.先通过直线与圆相切得到k ，m 的关系，然后利用已知条件中的不等关系23≤λ≤34，结合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k ，m 的不等式，再由k ，m 的关系，消元，得到关于k 的不等式，通过解不等式达到目的．方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式已知A 是椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1(t >3)的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解】 (1)由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ，可得直线AM 的斜率k 为1.因为t ＝4，所以A (－2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程E ：x 24＋y 23＝1，可得7x 2＋16x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－27，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，127，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，－127，则△AMN 的面积为12×247×⎝ ⎛⎭⎪⎫－27＋2＝14449.(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2ttk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.设M (x 1，y 1)，则x 1·(－t )＝t 2k 2－3t3＋tk2，即x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.由t >3，得3k （2k －1）k 3－2>3，所以k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题．(2)本题通过已知条件2|AM |＝|AN |得到新参数k 与已知参数t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件t >3建立关于k 的不等式．方法三：利用判别式构建目标不等式已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．【解】 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1消去y ，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.因为直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 因为直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0，2)，所以|PM |2＝54，①当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， 所以λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0消去y ， 整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，k 2>14.所以|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，所以λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，因为k 2>14，所以45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.此题抓住直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 这一条件，利用判别式Δ>0构建关于k 的不等式，从而求得λ的取值范围．方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．【解】 (1)设抛物线的顶点为G (x ，y )，则其焦点为F (2x －1，y )，由题意可知点A 到直线x ＝1的距离为2，则|AF |＝2，所以4x 2＋y 2＝2，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1(x ≠1)．(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4，两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，①将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N ＝－1k ，代入①式得k ＝－y 02.又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m ，所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′(x ′B ，y ′B )，B (x B ，y B )为直线x＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y ′B <y 0<y B ，即－3<y 0< 3.所以－334<m <334，且m ≠0.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－334，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，334.利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式．命题角度二 构建函数模型求最值或范围若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．方法一：构建二次函数模型已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线l 与C 相交于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设F 2A →＝λF 2B →，T (2，0)，若λ∈[－3，－1]，求|TA →＋TB →|的取值范围． 【解】 (1)由离心率e ＝33，可知c a ＝33，由△F 1AB 的周长为43，得4a ＝43，所以a ＝3，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)当直线l 的斜率不存在，即λ＝－1时，设A 在x 轴上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－233，又T (2，0)，所以|TA →＋TB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－233＝2.当直线l 的斜率存在，即λ∈[－3，－1)时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，显然y 1≠0，y 2≠0，则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－4k 2＋3k 2，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4k 22＋3k2.因为F 2A →＝λF 2B →，F 2(1，0)，所以y 1y 2＝λ，λ<0.易知λ＋1λ＋2＝（y 1＋y 2）2y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 22－4k22＋3k2＝－42＋3k 2，由λ∈[－3，－1)，得λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－103，－2，即λ＋1λ＋2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，0，故－43≤－42＋3k 2<0，解得k 2≥13.因为TA →＝(x 1－2，y 1)，TB →＝(x 2－2，y 2)， 所以TA →＋TB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2＋82＋3k 2，－4k 2＋3k 2， 故|TA →＋TB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2＋82＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 22＝36k 4＋112k 2＋64（2＋3k 2）2＝4（2＋3k 2）2＋643（2＋3k 2）＋163（2＋3k 2）2＝4＋643·12＋3k 2＋163·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3k 22. 令t ＝12＋3k 2，因为k 2≥13，所以0<12＋3k 2≤13，即t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，所以|TA →＋TB →|2＝4＋643t ＋163t 2＝163(t ＋2)2－523∈⎝⎛⎦⎥⎤4，31627，所以|TA →＋TB →|∈⎝⎛⎦⎥⎤2，22379.综上，|TA →＋TB →|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，22379.本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等．其中难点是代数化后，目标函数比较复杂，若直接计算则相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数中有相同的式子12＋3k 2，此时可把式子12＋3k 2看成一个整体，用一个变量去代替它，从而将函数转化成一个简单的二次函数．方法二：构建双曲线型函数y ＝a ＋bx(b ≠0)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．【解】 (1)由题意知|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，则3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，即3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]， 所以a 2＝2c 2，所以e ＝22. (2)因为△PQF 2的周长为42， 所以4a ＝42，即a ＝ 2.由(1)知b 2＝c 2＝1，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，方程为x ＝－1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22，故F 2P →·F 2Q →＝72. ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.所以F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92（2k 2＋1）， 令t ＝2(2k 2＋1)，则F 2P →·F 2Q →＝72－9t (t >2)，所以F 2P →·F 2Q →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，72.结合①②，得F 2P →·F 2Q →∈⎝⎛⎦⎥⎤－1，72，所以F 2P →·F 2Q →的最大值是72.本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到F 2P →·F 2Q →的目标函数，然后分离参数，构建y ＝a ＋bx(b ≠0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围．注意当目标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理．方法三：构建双曲线型函数y ＝ax ＋b x(ab ≠0)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值．【解】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意得直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为0， 又A (－2，0)，故可设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1my －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4. 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m24m 2＋1，－4m 4m 2＋1.①当m ≠±1时，k MN ＝5m 4（m 2－1），l MN ：y ＝5m 4（m 2－1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，此时直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.②当m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，此时直线MN 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.综上，直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. (3)设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＋9＝令t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，则S △AMN ＝84t ＋9t，且t ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号． 又y ＝4t ＋9t 在[2，＋∞)上单调递增，所以S △AMN ≤1625，当且仅当m ＝±1时取等号．故(S △AMN )max ＝1625.本题的难点是第(3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以m 2，然后同时除以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，再进行换元就可以看出其分母为双曲线型函数结构y ＝4t ＋9t，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二定三相等”，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值．[对点训练]1．(2018·豫南九校联考)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知|OA |－|OF |＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程及离心率e 的值；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝a 2－3，又|OA |－|OF |＝1，所以a －a 2－3＝1，解得a＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，离心率e ＝c a ＝12.(2)设M (x M ，y M )，易知A (2，0)，在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y 2M≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1.设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0， 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )， 则FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，即4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，所以直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）. 由x M ≥1，得20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64，所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 2．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 的斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解：(1)由题可知P (x ，x 2)，－12<x <32，所以直线AP 的斜率k ＝x 2－14x ＋12＝x －12∈(－1，1)，故直线AP 的斜率的取值范围是(－1，1)． (2)由(1)知P (x ，x 2)，－12<x <32，所以PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x ，14－x 2.①当直线AP 的斜率为0时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，|PA |·|PQ |＝1.②当直线AP 的斜率不为0时，设直线l AP ：y ＝kx ＋12k ＋14，l BQ ：y ＝－1k x ＋32k ＋94，由14－x 2－12－x ＝k ，整理得x ＝k ＋12，联立直线AP 、直线BQ 的方程可得Q ⎝ ⎛3＋4k －k 22k 2＋2，⎭⎪⎫9k 2＋8k ＋14k 2＋4，故PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k －k 2－k 31＋k 2，－k 4－k 3＋k 2＋k 1＋k 2，又PA →＝(－1－k ，－k 2－k )，故|PA |·|PQ |＝AP →·PQ →＝（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2＋k 2（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2＝(1＋k )3(1－k )(－1<k <1，且k ≠0)．令f (x )＝(1＋x )3(1－x )，－1<x <1，且x ≠0，则f ′(x )＝(1＋x )2(2－4x )＝－2(1＋x )2(2x －1)，由于当x ∈(－1，0)和x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2716，故|PA |·|PQ |的最大值为2716.综上，|PA |·|PQ |的最大值为2716.存在性问题(综合型)[典型例题]命题角度一 点、线的存在性问题(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB |＝2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意得A (－a ，0)，B (0，b )，可设P (c ，t )(t >0)，所以c 2a 2＋t 2b 2＝1，解得t ＝b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a ＝b 2ac，即b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，① 又AB ＝23，所以a 2＋b 2＝12，②由①②得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在D (m ，0)使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值，设Q (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204＝1，③设k QA ×k QD ＝k (常数)，因为A (－22，0)， 所以y 0x 0＋22×y 0x 0－m＝k ，④由③得y 20＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 208，⑤ 将⑤代入④，得k ＝8－x 22[x 20＋（22－m ）x 0－22m ].所以⎩⎨⎧22－m ＝0，22m ＝8，所以m ＝22，k ＝－12，所以存在点D (22，0)，使得k QA ×k QD ＝－12.命题角度二 字母参数值的存在性问题已知动圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0外切，与圆x 2＋y 2－2x －24＝0内切． (1)试求动圆圆心C 的轨迹方程．(2)过定点P (0，2)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与(1)中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，由x 2＋y 2－2x －24＝0得(x －1)2＋y2＝25，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则|CF 1|＝R ＋1，|CF 2|＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝6，根据椭圆的定义可知，点C 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，所以c ＝1，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心C 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE ⊥MN ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0，x 1＋x 2＝－36k 9k 2＋8，所以x 0＝－18k9k 2＋8， y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8， 因为AE ⊥MN ，所以k AE ＝－1k，即169k2＋8－0－18k9k2＋8－m＝－1k，所以m＝－2k9k2＋8＝－29k＋8k，当k>0时，9k＋8k≥29×8＝122，所以－212≤m<0；当k<0时，9k＋8k≤－122，所以0<m≤212.因此，存在点A(m，0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，且实数m的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－212，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，212.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[对点训练]已知圆C：(x－1)2＋y2＝14，一动圆与直线x＝－12相切且与圆C外切．(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程．(2)若经过定点Q(6，0)的直线l与曲线T交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M 作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x，y)，分析可知：动圆的圆心不能在y轴的左侧，故x≥0，因为动圆与直线x＝－12相切，且与圆C外切，所以|PC|－⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝12，所以|PC|＝x＋1，所以（x－1）2＋y2＝x＋1，化简可得y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，当直线l与y轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线l的方程为x＝my＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧x＝my＋6，y2＝4x并消去x，可得y2－4my－24＝0，显然Δ＝16m2＋96>0，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－24，①又因为x 1＋x 2＝(my 1＋6)＋(my 2＋6)， 所以x 1＋x 2＝4m 2＋12，②因为x 1x 2＝y 214·y 224，所以x 1x 2＝36，③假设存在N (x 0，y 0)，使得NA →·NB →＝0， 由题意可知y 0＝y 1＋y 22，所以y 0＝2m ，④由N 点在抛物线上可知x 0＝y 204，即x 0＝m 2，⑤又NA →＝(x 1－x 0，y 1－y 0)，NB →＝(x 2－x 0，y 2－y 0)，若NA →·NB →＝0，则x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0， 由①②③④⑤代入上式化简可得：3m 4＋16m 2－12＝0， 即(m 2＋6)(3m 2－2)＝0，所以m 2＝23，故m ＝±63，所以存在直线3x ＋6y －18＝0或3x －6y －18＝0，使得NA ⊥NB .1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . 解：(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .2．(2018·福州模拟)已知F 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N 两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝3，所以c ＝ a 2－b 2＝1， 所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)， 设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )， 则x 2M 4＋y 2M3＝1， 所以|MF |2＝(x M －1)2＋y 2M ＝(x M －1)2＋3－34x 2M ＝14x 2M －2x M ＋4＝14(x M －4)2，又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9， 所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )， 设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1（x －x P ），消去y ，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0， 由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 21， 所以x M ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 21－x P ＝4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21，同理可得x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22， 又k 1·k 2＝－34， 故x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3， 则x N ＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3－x P ＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P 3＋4k 21＝－x M ， 从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数． 3．(2018·潍坊模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若PA ，PB 交直线x ＝6于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以bc b 2＋c 2＝c a， 解得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意知直线PA ，PB 的斜率存在且都不为0.设k PA ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2，0)，B (2，0)，所以k PA ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，得k PB ＝－14k ， 直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ，故M (6，8k )；直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，令x ＝6，得y ＝－1k ，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－1k .因为y M ·y N ＝8k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设为G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1k ＝8， 因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－22，0)，H (6＋22，0)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .① 由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12. (2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22. 所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.② 将m ＝34代入①得k ＝－1. 所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.。
第2练算法与平面向量年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ平面向量的线性运算·T6 1.高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．2．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点.卷Ⅱ平面向量的数量积运算·T4程序框图的循环结构·T7卷Ⅲ平面向量的坐标运算、平面向量共线的条件·T132017卷Ⅰ程序框图的识别、循环结构·T8向量的模与向量的数量积·T13卷Ⅱ程序框图的循环结构·T8平面向量的数量积·T12卷Ⅲ程序框图的循环结构·T7平面向量的线性运算、直线与圆的位置关系·T122016卷Ⅰ程序框图的循环结构·T9向量的数量积、向量数量积的坐标运算·T13卷Ⅱ程序框图的循环结构(以“秦九韶算法”为背景)·T8向量的坐标运算、向量垂直的应用·T3卷Ⅲ程序框图的循环结构·T7向量的夹角问题·T3算法2类程序框图问题的解决方法(1)求解程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)对于程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i ＞n ？”或“i ＜n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．[考法全练]1．(2018·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.N ＝20，i ＝2，T ＝0，N i ＝202＝10，是整数； T ＝0＋1＝1，i ＝2＋1＝3，3<5，N i ＝203，不是整数；i ＝3＋1＝4，4<5，N i ＝204＝5，是整数；T ＝1＋1＝2，i ＝4＋1＝5，结束循环．输出的T ＝2，故选B.2．(2018·贵阳模拟)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是137，则整数a的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选A.先不管a 的取值，直接运行程序．首先给变量S ，k 赋值，S ＝1，k ＝1，执行S ＝S ＋1k (k ＋1)，得S ＝1＋11×2，k ＝2；执行S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；…继续执行，得S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，由2－1k ＋1＝137得k ＝6，所以整数a ＝6，故应选A. 3．(2018·石家庄质量检测(二))20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换，如果n 是奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是偶数，则下一步变成n2.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32解析：选C.若n ＝5，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.若n ＝32，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.当n ＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n ＝5或32，故选C.4．(2018·武汉调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框中可以填入( )A ．k ＜n?B ．k ＞n?C ．k ≥n?D ．k ≤n?解析：选B.执行程序框图，输入的a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1；输入的a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2；输入的a ＝5，s ＝2×6＋5＝17，k ＝3，此时结束循环，又n ＝2，所以判断框中可以填“k ＞n ？”，故选B.5．(2018·福州模拟)如图所示的程序框图是为了求出满足1＋12＋13＋…＋1n ＜1 000的最大正整数n 的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．“S ＜1 000”和“输出i －1”B ．“S ＜1 000”和“输出i －2”C ．“S ≥1 000”和“输出i －1”D ．“S ≥1 000”和“输出i －2”解析：选D.根据程序框图的功能，可知判断框内应填“S ≥1 000”．由程序框图分析知，输出框中应填写“输出i －2”，故选D.平面向量的线性运算平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．向量共线问题的4个结论(1)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(2)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2. [考法全练]1．(2018·贵阳模拟)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，－1)，若a ∥(a ＋b )，则实数m 的值为( )A.12 B ．－12C ．3D ．－3解析：选B.a ＋b ＝(1＋m ，1)，因为a ∥(a ＋b )，所以2(1＋m )＝1，解得m ＝－12.故选B.2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 解析：选A.法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB→－14AC →，故选A.法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.3．(2018·陕西教学质量检测(一))已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B.由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点为D ，则PD ⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC →|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝23，故选B.4．(2018·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →，则实数m 的值为( )A ．1 B.13 C.911D.511解析：选D.AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，设BP →＝λBN →(0≤λ≤1)，则AP →＝AB →＋λBN →＝AB →＋λ(AN →－AB →)＝(1－λ) AB →＋λAN →，因为AN →＝13AC →，所以AP→＝(1－λ)AB →＋13λAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1－λ，211＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝611，m ＝511，故选D.平面向量的数量积平面向量的数量积的2种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)； (2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 平面向量的3个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[考法全练]1．(2018·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，找出D 点的位置，AB →·AD →的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选B.以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，1)，C (6，4)，根据四边形ABCD 为平行四边形，可以得到D (2，3)，所以AB →·AD →＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选B.a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3，故选B.3．(2018·石家庄第二次质量检测)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A.因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a ＋b |2＝|a －b |2，所以a ·b ＝0.又|a ＋b |＝2|b |，所以|a ＋b |2＝4|b |2，|a |2＝3|b |2，所以|a |＝3|b|，cos 〈a ＋b ，a 〉＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a ＋b ||a |＝|a |22|b ||a |＝|a |2|b |＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6，故选A.4．(2018·长春质量检测(一))已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________．解析：由平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，可得夹角均为2π3，所以|a ＋b＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋9＋2×1×1×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＝4，所以|a ＋b ＋c |＝2. 答案：25．(2018·益阳、湘潭调研)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a ＋b |＝t |a |，若a ＋b 与a －b 的夹角为π3，则t 的值为________．解析：因为a ·b ＝0，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即|a ＋b |＝|a －b |.又|a ＋b |＝t |a |，所以|a －b |＝|a ＋b |＝t |a |.因为a ＋b 与a －b 的夹角为π3，所以(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝cos π3，整理得|a |2－|b |2t 2|a |2＝12，即(2－t 2)|a |2＝2|b |2.又|a ＋b |＝t |a |，平方得|a |2＋|b |2＝t 2|a |2，所以|a |2＋(2－t 2)|a |22＝t 2|a |2，解得t 2＝43.因为t ＞0，所以t ＝233.答案：233平面向量在几何中的应用2个常用结论(1)△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)△ABC 中，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的重心． 用向量解决平面几何问题的3个步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系．[考法全练]1．(2018·郑州第二次质量预测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a ＋c )·(2b －c )的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－1D ．0解析：选B.设a 与b 的夹角为θ，则|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1，0)，b ＝OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设c ＝OC →＝(cos α，sin α)(0≤α≤2π)，则(a ＋c )·(2b －c )＝(1＋cos α，sin α)·(1－cos α，3－sin α)＝(1＋cos α)(1－cos α)＋sin α(3－sin α)＝1－cos 2α＋3sin α－sin 2α＝3sin α≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当α＝3π2时取等号.故选B.2．(2018·惠州第二次调研)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________．解析：因为AB →＝DC →，CP →＝3PD →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，cos θ＝1120，所以AD →·AB →＝8×5×1120＝22，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2＝52－11－316×82＝2. 答案：23．(一题多解)(2018·沈阳教学质量监测(一))已知△ABC 是直角边长为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________．解析：法一：如图，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(－x ，2－y )，PB →＋PC →＝(2－2x ，2－2y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝－x (2－2x )－y (2－2y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122－1≥－1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，所以PA →·(PB →＋PC →)的最小值为－1. 法二：PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·(PA →＋AB →＋PA →＋AC →)＝PA →·(2PA →＋AB →＋AC →)． 设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →.所以PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·(PA →＋AD →)＝2PA ·PD →，因为－2|PA →|·|PD →|≤2PA →·PD →≤2|PA →|·|PD →|，所以(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →|·|PD →|，此时点P 在线段AD 上(异于A ，D )，设PA →＝λAD →(－1＜λ＜0)，则|PA →|＝|λAD →|＝－λ·2，|PD →|＝2＋2λ，所以－2|PA →|·|PD →|＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋λ＋14－14＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋122－1，所以当λ＝－12时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值－1.答案：－1一、选择题1．(2018·沈阳教学质量监测(一))已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为( )A ．－3B ．－3或9C ．3或－9D ．－3或－9解析：选B.当x ≤0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－8＝0，x ＝－3；当x ＞0时，2－log 3x ＝0，x ＝9.故x ＝－3或x ＝9，故选B.2．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：选C.依题意得a ·b ＝12，|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C.3．已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为π3，则a 与a －b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选B.由题意，得a ·b ＝1×1×cos π3＝12，所以|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1，所以cos 〈a ，a －b 〉＝a ·(a －b )|a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×1＝1－12＝12，所以〈a ，a －b 〉＝π3，故选B.4．(2018·合肥质量检测)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，则下列关系可能成立的是( )A ．(a －b )⊥aB ．(a －b )⊥(a ＋b )C ．(a ＋b )⊥bD ．(a ＋b )⊥a解析：选C.因为|a |＝2，|b |＝1，设向量a ，b 的夹角为θ，若(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝4－2cos θ＝0，解得cos θ＝2，显然θ不存在，故A 不成立；若(a －b )⊥(a ＋b )，则(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝4－1＝3≠0，故B 不成立；若(a ＋b )⊥b ，则(a ＋b )·b ＝b 2＋a ·b ＝1＋2cos θ＝0，解得cos θ＝－12，即θ＝2π3，故C 成立；若(a ＋b )⊥a ，则(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos θ＝0，解得cos θ＝－2，显然θ不存在，故D 不成立．故选C.5．(2018·南宁模拟)执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是( )A ．－1 B.12 C ．2D ．1解析：选C.运行框图，首先给变量S，k 赋值，S ＝2，k ＝2 015.判断2 015＜2 018，S ＝11－2＝－1，k ＝2 015＋1＝2 016，判断 2 016＜2 018，S ＝11－(－1)＝12，k ＝2 016＋1＝2 017，判断2 017＜2 018，S ＝11－12＝2，k ＝2 017＋1＝2 018，判断2 018＜2 018不成立，输出S ，此时S ＝2.故选C.6．(2018·洛阳第一次联考)执行如图所示的程序框图，若输入m ＝209，n ＝121，则输出的m 的值为( )A ．0B ．11C ．22D ．88解析：选B.当m ＝209，n ＝121时，m 除以n 的余数r ＝88，此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数r ＝33，此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数r ＝22，此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数r ＝11，此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数r ＝0，此时m ＝11，n ＝0，退出循环，输出m 的值为11，故选B.7．(2018·桂林模拟)在如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段BC 上的点，则AE →·DE →的最小值为( )A ．12B ．15C ．17D ．16解析：选B.以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，4)，D (2，4)，设E (x ，0)(0≤x ≤2)，所以AE →·DE →＝(x ，－4)·(x －2，－4)＝x 2－2x ＋16＝(x －1)2＋15，于是当x ＝1，即E 为BC 的中点时，AE →·DE →取得最小值15，故选B.8．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是( )A.112B.132C ．6D ．7解析：选 B.由题意得，AM →＝23AB →＋13AC →，AN →＝13AB →＋23AC →，所以AM →·AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝29AB →2＋59AB →·AC →＋29AC →2＝29(AB →2＋AC →2)＋59AB →·AC →＝29×(32＋32)＋59×92＝132，故选B. 9．(2018·石家庄模拟)如图是计算1＋13＋15＋…＋131的值的程序框图，则图中①②处可以填写的语句分别是( )A ．n ＝n ＋2，i ＞16?B ．n ＝n ＋2，i ≥16?C ．n ＝n ＋1，i ＞16?D ．n ＝n ＋1，i ≥16?解析：选A.式子1＋13＋15＋…＋131中所有项的分母构成公差为2的等差数列，1，3，5，…，31，31＝1＋(k －1)×2，k ＝16，共16项，故选A.10．(2018·成都诊断性检测)高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图，若输入的a i (i ＝1，2，…，15)分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选D.由程序框图可知，其统计的是成绩大于或等于110的人数，所以由茎叶图知，成绩大于或等于110的人数为9，因此输出的结果为9.故选D.11．(2018·郑州第一次质量预测)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)解析：选A.k ＝1，S ＝2，k ＝2，S ＝2＋4＝6，k ＝3，S ＝6＋6＝12，k ＝4，S ＝12＋8＝20，k ＝5，S ＝20＋10＝30，k ＝6，S ＝30＋12＝42，k ＝7，此时不满足S ＝42＜m ，退出循环，所以30＜m ≤42，故选A.12．(一题多解)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2D ．2－ 3解析：选A.法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e·b ＋3＝0得b 2－4e·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.二、填空题13．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解析：2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12.答案：1214．定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2]＝2，[3.6]＝3，如图所示的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出的a ＝________．解析：由程序框图得k ＝1，a ＝9，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝0≠2，k ＝2，a ＝16，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝1≠2，k ＝3，a ＝23，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝2，a －5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 5＝3，退出循环体，所以输出a ＝23.答案：2315．平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μDB →，则λμ＝________． 解析：因为DB →＝AB →－AD →＝AB →－BC →＝AB →－2BM →＝3AB →－2AM →，所以AB →＝λAM →＋3μAB →－2μAM →，所以(1－3μ)AB →＝(λ－2μ)AM →，因为AB →和AM →是不共线向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－3μ＝0，λ－2μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝13，λ＝23，所以λμ＝29.答案：2916．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________． 解析：因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB →2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6.π答案：6。
第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用基本初等函数的图象与性质(综合型)指数与对数式的8个运算公式 (1)a m·a n＝am ＋n.(2)(a m )n ＝a mn .(3)(ab )m ＝a m b m.(4)log a (MN )＝log a M ＋log a N .(5)log a M N＝log a M －log a N .(6)log a M n＝n log a M .(7)alog aN＝N .(8)log a N ＝log b Nlog b a.[注意] (1)(2)(3)中，a >0，b >0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.[典型例题](1)(2018·高考天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b(2)函数y ＝1x＋ln|x |的图象大致为( )【解析】 (1)因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e>1，所以c >a >b ，故选D.(2)当x <0时，y ＝1x ＋ln(－x )，由函数y ＝1x ，y ＝ln(－x )单调递减，知函数y ＝1x＋ln(－x )单调递减，排除C ，D ；当x >0时，y ＝1x ＋ln x ，此时f (1)＝11＋ln 1＝1，而选项A 中函数的最小值为2，故排除A ，只有B 正确．故选B.【答案】 (1)D(2)B基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(2018·武汉模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C.函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，则m ＝0，则f (x )＝2|x |－1，a ＝f (log 0.53)＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0.故c <a <b ，选C.2．已知a 是大于0的常数，把函数y ＝a x和y ＝1ax＋x 的图象画在同一平面直角坐标系中，不可能出现的是( )解析：选D.因为a >0，所以y ＝1ax ＋x 是对勾函数，若0<a ≤1，则当x >0时，y ＝1ax＋x的值大于等于2，函数y ＝a x和y ＝1ax＋x 的图象不可能有两个交点，故选D.函数的零点(综合型)函数的零点及其与方程根的关系对于函数f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[典型例题]命题角度一 确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)(2)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 (1)因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x＋x －b ， 所以f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点． (2)由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1，2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的交点有5个． 【答案】 (1)B (2)C判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．命题角度二 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.【答案】 C利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．(2018·洛阳第一次统考)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )＝f (x －1)(x ∈R )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1，3]上的所有根的和为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选D.方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1，3]上的所有根的和即y ＝|cos πx |与y ＝f (x )在[－1，3]上的图象交点的横坐标的和．由f (1－x )＝f (1＋x )得f (x )的图象关于直线x＝1对称，由f (1－x )＝f (x －1)得f (x )的图象关于y 轴对称，由f (1＋x )＝f (x －1)得f (x )的一个周期为2，而当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝|cos πx |在[－1，3]上的大致图象，如图所示，易知两图象在[－1，3]上共有11个交点，又y ＝f (x )，y ＝|cos πx |的图象都关于直线x ＝1对称，故这11个交点也关于直线x ＝1对称，故所有根的和为11.故选D.2．已知函数f (x )＝exx－kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e x x －kx ＝0只有一个根，即方程e x x 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝exx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝（x －2）exx3，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞，x →－∞时，g (x )→0，x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e24.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24函数的实际应用(综合型)[典型例题]某食品的保鲜时间y (单位：h)与储存温度x (单位：℃)满足的函数关系式为y ＝ekx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h ，在22 ℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________ h.【解析】 由已知，得e b ＝192，e 22k ＋b＝48，两式相除得e 22k ＝14，所以e 11k＝12，所以e33k ＋b＝(e 11k )3e b＝18×192＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h.【答案】 24应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2021年 B ．2022年 C ．2023年D ．2024年解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2018年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件该产品需另投入的成本为G (x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，G (x )＝51x ＋10 000x－1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元．解析：因为每件产品的售价为0.05万元，所以x 千件产品的销售额为0.05×1 000x ＝50x 万元．①当0<x <80时，年利润L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950， 所以当x ＝60时，L (x )取得最大值，且最大值为L (60)＝950万元；②当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．由于950<1 000，所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．答案：1 000一、选择题 1．函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：选A.要使函数有意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5（4x －3）>0，解得34<x <1.2．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3解析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数， 所以m ＝3.3．若a ＝log 1π13，b ＝e π3，c ＝log 3cos π5，则( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b解析：选B.因为0<1π<13<1，所以1＝log 1π1π>log 1π13>0，所以0<a <1，因为b ＝e π3>e 0＝1，所以b >1.因为0<cos π5<1，所以log 3cos π5<log 31＝0，所以c <0.故b >a >c ，选B.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2，4)B ．(－4，－2)∪(－1，2)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C.令2ex －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.故不等式f (x )>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)．5．若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是()解析：选A.若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.6．(2018·贵阳模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.7．函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )解析：选D.易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D. 8．设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x＝3y＝5z＝k (k >1)， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ，所以2x 3y ＝2log 2k 3log 3k ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝2lg 33lg 2＝lg 9lg 8>1，即2x >3y .①2x 5z ＝2log 2k 5log 5k ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝2lg 55lg 2＝lg 25lg 32<1， 所以2x <5z .② 由①②得3y <2x <5z .9．(2018·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b ＜ab ＜0B ．ab ＜a ＋b ＜0C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b解析：选B.由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0＜1a ＋1b ＜1，得0＜a ＋b ab＜1.又a ＞0，b ＜0，所以ab ＜0，所以ab＜a ＋b ＜0.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－xx，所以x ∈(0，1)时f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y＝e x的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以－1<ln x <1，解得1e<x <e.12．(2018·沈阳教学质量监测)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2，6)内有且只有4个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1，4) C ．(1，8) D ．(8，＋∞)解析：选D.因为f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，所以f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )， 所以f (x )为偶函数且周期为4，又当－2≤x ≤0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1， 画出f (x )在(－2，6)上的大致图象，如图所示．若f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在(－2，6)内有4个不同的实根，则y ＝f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在(－2，6)内有4个不同的交点．所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a （6＋2）<1，所以a >8，故选D. 二、填空题13．计算：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝________． 解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23)23－1＝log 2105＋22－1＝1＋4－1＝4.答案：414．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0，1)内单调递减．答案：②④15．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1, f (a )＝4，则f (－a )＝________.解析：由f (a )＝ln(1＋a 2－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2＋a )＋1＝－ln11＋a 2＋a ＋1＝－ln(1＋a 2－a )＋1＝－3＋1＝－2. 答案：－216．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间的变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，所以t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2－12x ＋6，x >0.①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x ∈[－6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－12×11＋6＝2≈1.414小时，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确． 所以正确结论的序号为①④.答案：①④。
第2讲 数列求和及综合应用高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.2.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2， 又a n >0，解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n， 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n. 考 点 整 合1.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误.2.数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一 a n 与S n 的关系问题【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14，所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n.(2)b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2，所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列.【训练1】 (2018·安徽江南名校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <3.(1)解 2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n ，① 当n ≥2时，2(S n －1＋1)＝(n ＋2)a n －1，② ①－②得，(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1， 所以a nn ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，又∵a 11＋2＝13，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2是首项为13的常数列.所以a n ＝13(n ＋2).(2)证明 由(1)知，b n ＝1a n a n ＋1＝9（n ＋2）（n ＋3）＝9⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝9⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3 ＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋3＝3－9n ＋3<3.热点二 数列的求和 考法1 分组转化求和【例2－1】 (2018·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2.因此{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1) ＝2×4n ＋(－1)n·(2n ＋1)，∴T n ＝2×(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n ＋1)]＝8（4n －1）3＋G n .当n 为偶数时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝8（4n－1）3＋n ；当n 为奇数时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝8（4n －1）3－n －2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8（4n －1）3＋n （n 为偶数），8（4n －1）3－n －2 （n 为奇数）.探究提高 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. 考法2 裂项相消法求和【例2－2】 (2018·郑州调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2＋5n . (1)求证：数列{3an }为等比数列； (2)设b n ＝2S n －3n ，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n a n b n 的前n 项和T n .(1)证明 ∵S n ＝2n 2＋5n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n ＋3. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝7也满足a n ＝4n ＋3. 故a n ＝4n ＋3(n ∈N *). 由a n ＋1－a n ＝4，得3a n ＋13a n＝3a n ＋1－a n ＝34＝81.∴数列{3a n }是公比为81的等比数列. (2)解 ∵b n ＝4n 2＋7n ， ∴n a n b n ＝1（4n ＋3）（4n ＋7）＝14⎝⎛⎭⎪⎫14n ＋3－14n ＋7，∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋111－115＋…＋14n ＋3－14n ＋7 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫17－14n ＋7＝n7（4n ＋7）. 探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练2】 (2018·成都二诊)设正项等比数列{a n }，a 4＝81，且a 2，a 3的等差中项为32(a 1＋a 2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 3a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n ＝14S n －1，T n 为数列{c n }的前n 项和，若T n <λn 恒成立，求λ的取值范围. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎨⎧a 4＝a 1q 3＝81，a 1q ＋a 1q 2＝3（a 1＋a 1q ），解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3n .(2)由(1)得b n ＝log 332n －1＝2n －1，S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2∴c n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1.若T n ＝n 2n ＋1<λn 恒成立，则λ>12n ＋1(n ∈N *)恒成立，则λ>⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1max ，所以λ>13.考法3 错位相减求和【例2－3】 (2018·潍坊一模)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝10，且a 1，a 3，a 9成等比数列. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 3n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公差为d ，由题设得⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝10，a 23＝a 1·a 9，∴⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝10，（a 1＋2d ）2＝a 1（a 1＋8d ）. 解之得a 1＝1，且d ＝1. 因此a n ＝n .(2)令c n ＝n3n ，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n3n ，① 13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1，② ①－②得：23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝12－12×3n －n3n ＋1，∴T n ＝34－2n ＋34×3n.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式.所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ， 由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.， 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]. 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.热点三 与数列相关的综合问题【例3】 设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，∴q ＝3. ∴b n ＝3n －1.∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －13－1＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练4】 (2018·长沙雅礼中学质检)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值. 解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2). 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n .(2)由(1)可得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000， 即2n >1 000，又∵n ∈N *，因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.1.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项得到的数列{a n ·b n }求和. (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式.2.裂项求和的常见技巧(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k . (3)1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1. (4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.3.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.一、选择题1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝a 5.令b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n 为( ) A.－n B.－2n C.nD.2n解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 5得3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b n ＝(－1)n －1(2n －1)，∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1)＝－2n . 答案 B2.(2018·衡水中学月考)数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A.－10 B.－9 C.10D.9解析 由于a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1.因此1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9. 答案 B3.已知T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( ) A.1 026 B.1 025 C.1 024D.1 023解析 因为2n ＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－12n ，则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210， 又m >T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024. 答案 C4.已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9B.15C.18D.30解析 ∵a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，∴数列{a n }是公差为2，首项为－5的等差数列. ∴a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7. 数列{a n }的前n 项和S n ＝n （－5＋2n －7）2＝n 2－6n .令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72.∴n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18. 答案 C5.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.2B.2nC.2n ＋1－2D.2n －1－2解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案 C 二、填空题6.(2018·昆明诊断)数列{a n }满足a n ＝n （n ＋1）2，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018等于________. 解析 a n ＝n （n ＋1）2，则1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12 018－12 019 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 019＝4 0362 019.答案4 0362 0197.记S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且a n ＋1＝2S n ，则S 2 018＝________. 解析 由题意得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，a 1＝1， 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，②①－②得a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0，所以(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0， 又a n >0，所以a n －a n －1＝2，则{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以a n ＝2n －1，S 2 018＝2 018（1＋2×2 018－1）2＝2 0182.答案 2 01828.(2018·贵阳质检)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，n ∈N ＋，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________.解析当1≤n≤9时，a n＝[lg n]＝0.当10≤n≤99时，a n＝[lg n]＝1.当100≤n≤999时，a n＝[lg n]＝2.当1 000≤n≤2 018时，a n＝[lg n]＝3.故S2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947.答案 4 947三、解答题9.(2018·济南模拟)记S n为数列{a n}的前n项和，已知S n＝2n2＋n，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1anan＋1，求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由S n＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1. 又a1＝3满足上式.所以a n＝4n－1(n∈N*).(2)b n＝1anan＋1＝1（4n－1）（4n＋3）＝14⎝⎛⎭⎪⎫14n－1－14n＋3.所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－17＋⎝⎛⎭⎪⎫17－110＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫14n－1－14n＋3＝14⎝⎛⎭⎪⎫13－14n＋3＝n12n＋9.10.(2018·南昌调研)已知数列{a n－n}是等比数列，且a1＝9，a2＝36.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n－n2}的前n项和S n.解(1)设等比数列{a n－n}的公比为q，则q＝a2－2a1－1＝6－23－1＝2.从而a n－n＝(3－1)×2n－1，故a n＝(n＋2n)2.(2)由(1)知a n－n2＝n·2n＋1＋4n.记T n＝22＋2·23＋…＋n·2n＋1，则2T n＝23＋2·24＋…＋(n－1)·2n＋1＋n·2n＋2，两式作差，得－T n＝22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝2n＋2－4－n·2n＋2＝(1－n)·2n＋2－4，∴T n＝(n－1)·2n＋2＋4，故S n＝T n＋4－4n＋11－4＝(n－1)·2n＋2＋4n＋1＋83.11.若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n＋b n ＝nb n＋1.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足c n＝an＋1bn＋1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式(－1)nλ<T n＋n2n－1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.解(1)∵数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n＋b n＝nb n＋1. ∴n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.又数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴2nb n＝nb n＋1，化为2b n＝b n＋1，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.∴b n＝2n－1.(2)由数列{c n}满足c n＝an＋1bn＋1＝2n2n＝n2n－1，数列{c n}的前n项和为T n ＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，∴12Tn＝12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n，两式作差，得∴12Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－n＋22n，∴T n＝4－n＋22n－1.不等式(－1)nλ<T n＋n2n－1，化为(－1)nλ<4－22n－1，n＝2k(k∈N*)时，λ<4－22n－1，取n＝2，∴λ<3.n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－22n－1，取n＝1，∴λ>－2.综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).。
