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信息量计算公式
一、信息量概述
信息量是一个用于度量信息多少的量，是信息论中的一个重要概念。
在信息处理中，信息量主要用于度量不确定性的消除，其计算公式与熵的计算公式相同。
二、信息量计算公式
1.自信息量：用于度量某一个信息或随机事件发生的可能性，其计算公式为
P(x)log2(1/P(x))，其中 P(x) 为随机事件发生的概率。
自信息量是信息量中最基本的部分，表示随机事件发生所传递的信息。
2.熵：熵是信息论中的另一个重要概念，表示随机变量的不确定性或混乱程
度。
熵的计算公式为 H=-sum(p(x)log2(p(x)))，其中 p(x) 为随机变量取各个可能值的概率。
熵的大小反映了随机变量的不确定性程度。
3.互信息：互信息用于度量两个随机变量之间的相关性，其计算公式为
I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)，其中 H(X,Y) 为 X 和 Y 的联合熵，H(X) 和 H(Y) 分别为 X 和 Y 的熵。
互信息的大小反映了两个随机变量之间的关联程度。
4.相对熵：相对熵也称 Kullback-Leibler 散度，用于度量两个概率分布之间的
相似程度。
其计算公式为 Dkl(P||Q)=sum(p(x)log2(p(x)/q(x)))，其中 P 和 Q 是两个概率分布。
相对熵的大小反映了两个概率分布之间的差异程度。
三、信息量计算的应用
信息量计算在许多领域都有广泛的应用，如数据压缩、加密、通信、决策制定等。
通过对信息量的计算，可以更好地理解信息的本质和传播规律，提高信息处理的效率和准确性。
1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成 客观信息和主观信息 。
人们研究信息论的目的是为了 高效、可靠、安全 地交换和利用各种各样的信息。
信息的 可度量性 是建立信息论的基础。
统计度量 是信息度量最常用的方法。
熵 是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生 概率的对数 来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用 随机矢量 描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值 。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。
18、离散平稳有记忆信源的极限熵，=∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H 。
费希尔信息量的计算公式费希尔信息量是信息论中的一个重要概念，它用来衡量某个事件的不确定性或者信息量大小。
费希尔信息量的计算公式为：I(x) = -log2(P(x))。
其中，I(x)表示事件x的费希尔信息量，P(x)表示事件x发生的概率，log2表示以2为底的对数。
这个公式告诉我们，事件发生的概率越小，它的费希尔信息量就越大。
费希尔信息量的概念最早由克劳德·香农在1948年提出，他是信息论的奠基人之一。
费希尔信息量的重要性在于它可以帮助我们理解信息的重要性，以及在信息传输和处理中的应用。
在现实生活中，我们可以通过费希尔信息量来衡量某个事件的意外性或者新颖性。
比如，如果某个事件的发生概率很低，那么它的费希尔信息量就会很大，表示这个事件是非常意外的。
另外，费希尔信息量也可以用来衡量信息的压缩率，因为信息量越大，表示信息的压缩度就越低。
费希尔信息量的计算公式可以帮助我们在信息处理和传输中进行有效的决策。
比如，在数据压缩领域，我们可以利用费希尔信息量来衡量不同数据的重要性，从而进行有效的压缩。
在通信领域，我们可以利用费希尔信息量来衡量不同信息的传输效率，从而优化通信系统的设计。
此外，费希尔信息量还可以帮助我们理解信息的本质。
信息论认为，信息是一种减少不确定性的东西，而费希尔信息量则是衡量这种不确定性的工具。
通过费希尔信息量的计算，我们可以更好地理解信息的重要性，以及如何在信息处理和传输中进行有效的管理。
总之，费希尔信息量是信息论中的一个重要概念，它可以帮助我们衡量不确定性或者信息量的大小。
通过费希尔信息量的计算公式，我们可以更好地理解信息的重要性，以及在信息处理和传输中的应用。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
自信息、互信息、信息熵、平均互信息，定义、公式（1）自信息：一个事件（消息）本身所包含的信息量，它是由事件的不确定性决定的。
比如抛掷一枚硬币的结果是正面这个消息所包含的信息量。
随机事件的自信息量定义为该事件发生概率的对数的负值。
设事件 的概率为 ，则它的自信息定义为 （2）互信息：一个事件所给出关于另一个事件的信息量，比如今天下雨所给出关于明天下雨的信息量。
一个事件 所给出关于另一个事件 的信息定义为互信息，用 表示。
（3）平均自信息（信息熵）：事件集（用随机变量表示）所包含的平均信息量，它表示信源的平均不确定性。
比如抛掷一枚硬币的试验所包含的信息量。
随机变量X 的每一个可能取值的自信息 的统计平均值定义为随机变量X 的平均自信息量: （4）平均互信息：一个事件集所给出关于另一个事件集的平均信息量，比如今天的天气所给出关于明天的天气的信息量。
为了从整体上表示从一个随机变量Y 所给出关于另一个随机变量 X 的信息量，我们定义互信息 在的XY 联合概率空间中的统计平均值为随机变量X 和Y 间的平均互信息画出各种熵关系图。
并作简要说明I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)=H(X)+H(Y)-H(XY)当X,Y 统计独立时，I(X;Y)=0实际信源往往是有记忆信源。
对于相互间有依赖关系的N 维随机变量的联合熵存在以下关系（熵函数的链规则） ：定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论： （1）条件熵 随N 的增加是递减的；（2）N 给定时平均符号熵大于等于条件熵 （3）平均符号熵 随N 的增加是递减的；（4）如果 ，则 存在，并且分组与非分组码，奇异与非奇异码，唯一可译码与非唯一可译码。
即时码与非即时码1. 分组码和非分组码将信源符号集中的每个信源符号固定地映射成一个码字 Si ，这样的码称为分组码W i 。
用分组码对信源符号进行编码时，为了使接收端能够迅速准确地将码译出，分组码必须具有一些直观属性。
信息论复习要点1. 非奇异码：若一个码子中各码子都不相同，则称非奇异码，否则称为奇异码；2. 唯一可以码：若任何有限长信源序列都能译成唯一的信源消息序列，则称为唯一可译码；3. 二元最优码：就某一信源，存在最优的二进制码，其中至少有两个最长的码子有相同长度且仅最后一个码位有别。
4. AWGN 信道的容量：一个加性高斯白噪声（AWGN ）信道的噪声功率谱为N 0/2,输入信号平均功率为P ，信道带宽为W ，那么信道每单位时间的容量为：0log 1P C W N W ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（容量单位为比特/秒）5. 对于输入平均功率受限的加性高斯噪声信道，当传输速率R<=C 时，总可以找到一种编码方式，使得差错率任意小；反之，找不到使译码错误概率任意小的编码。
6. 信息率失真理论是有损数据压缩的理论基础，该理论的核心是在保真度准则下的信源编码定理，即香农第三定理。
7. 限失真信源编码定理：()D R R D >→≤存在平均失真的信源编码8. 限失真信源信道编码定理：()D C R D >→≤存在平均失真的信源信道编码9. 和信道及其容量：若一个信道分为若干子信道，且各子信道输入之间互不相交，输出之间也互不相交，信道总的输出与输入集合分为各子信道输出与输入之并集，而且每次传输只能用某个子信道，则称此信道为和信道。
和信道容量：21log 2i NC i C ==∑其中，i C 为每个子信道的容量，第i 个子信道的使用概率为：1222ii iC C Ci NC i r -===∑达到容量时的输入概率为各子信道达到容量时的输入概率乘以i r ，N 为子信道的个数。
10. 各种信息的概率公式：自信息：()()log I x p x =-；联合自信息：()()log I xy p xy =-；条件自信息：()()|log |I x y p x y =-三者的关系：()()()()()||I xy I x I y x I y I x y =+=+； 互信息：()()()()()|,loglog|p x p x y I x y p x y p x =-=； 互信息与自信息和条件自信息的关系：()()(),|I x y I x I x y =-；11. 最佳判决与译码准则： MAP 准则：（输入不等概）（1）信道转移概率矩阵乘以信道输入符号概率得到联合概率矩阵； （2）联合概率矩阵每一列中找到一个最大的概率对应的输入符号就是译码； （3）正确概率是所有译码的概率和，错误概率是1与正确概率的差； ML 准则：（输入等概）（1）信道转移概率矩阵中最大的概率对应的输入符号作为译码输出； （2）正确概率是联合概率分布中译码概率的和，错误概率是1与之的差； 无记忆二元对称信道，最大似然准则等价于最小汉明距离准则；12. 并联高斯信道的容量，能量分布和输入概率分布：（输入均值为0） （1） 并联独立高斯信道：利用注水定理对能量进行分配，计算信道容量，达到容量时，两个信道的输入是独立的，所以输入的概率密度为：()2212122212,22x x p x x σσ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2） 关联相关高斯信道：将噪声自协方差矩阵分解（如下公式所示），找出等价矩阵，利用注水定理计算信道容量，得到能量分配和输入概率密度公式；41501110122211⎛⎫⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝⎝ （3） 反推得到输入概率的协方差矩阵，进而得到输入概率的密度公式； （4） 对于独立并联高斯信道，达到容量时各子信道输入是独立的； （5） 对于相关并联高斯信道，达到容量时各子信道输入是相关的； （6） 在总噪声和输入平均能量约束都相同的条件下，相关并联高斯信道的容量大于独立并联高斯信道容量。
信息论复习知识点本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
Chp02 知识点：自信息量：1）I ( x i )log p(x i )2）对数采纳的底不一样，自信息量的单位不一样。
2---- 比特（ bit ）、e---- 奈特（nat）、10---- 哈特（ Hart）3）物理意义：事件x i发生从前，表示事件x i发生的不确立性的大小；事件 x i发生此后，表示事件 x i所含有或所能供给的信息量。
均匀自信息量（信息熵）：1）H (x) E[ I (x i)]q p( x i ) log p( x i )i 12）对数采纳的底不一样，均匀自信息量的单位不一样。
2---- 比特 /符号、 e----奈特 /符号、 10---- 哈特 /符号。
3）物理意义：对信源的整体的不确立性的统计描绘。
表示信源输出前，信源的均匀不确立性；信源输出后每个消息或符号所供给的均匀信息量。
4）信息熵的基天性质：对称性、确立性、非负性、扩展性、连续性、递推性、极值性、上凸性。
互信息：p(x i | y j )1）I ( x i; y j)I (x i ) I ( x i | y j )logp( x i )2）含义：已知事件y j后所除去的对于事件x i的不确立性，对信息的传达起到了定量表示。
均匀互信息：1）定义：2）性质：结合熵和条件熵：各种熵之间的关系：数据办理定理：Chp03 知识点：依照不一样标准信源的分类：失散单符号信源：1）概率空间表示：X a1a2L a rP p a1p a2L p a rr0 p a i1,(i 1,2,L , r ); p a i 1i 12）信息熵：H ( x) E[ I (x i)]q p(x i ) log p( x i ) ，表示失散单符号信i 1源的均匀不确立性。
失散多符号信源：用均匀符号熵和极限熵来描绘失散多符号信源的均匀不确立性。
均匀符号熵：H N (X ) 1 H (X1X2...X N)N极限熵（熵率）： H ( X )lim H N ( X )N（1）失散安稳信源（各维结合概率散布均与时间起点没关的信源。
信息论三大定律信息论是由克劳德·香农在1948年提出的一种研究信息传输和处理的数学理论。
在信息论中，有三个重要的定律，分别是香农熵定律、数据压缩定律和通信容量定律。
本文将分别介绍这三个定律的基本原理和相关应用。
首先是香农熵定律。
香农熵是用来描述一个随机变量的平均不确定性的度量。
根据香农熵定律，信息的平均传输速率不能高于信源的熵。
这个定律可以通过以下公式表示：H(X) = - Σ (P(xi) * log2 (P(xi)))其中，H(X)表示随机变量X的熵，P(xi)表示X取值为xi的概率。
根据熵的定义，我们可以得出一个重要结论：当信源的熵为最大值时，信息传输效率最低，即传输的信息量最大。
所以，在信息传输中，我们希望尽量减小信源的熵，以提高信息传输的效率。
香农熵定律的应用广泛。
例如，在数据压缩中，我们可以根据香农熵定律，对信源进行编码，以达到尽量减小信息传输量的目的。
另外，熵也被广泛应用于密码学领域，用来评估密码算法的安全性。
接下来是数据压缩定律。
数据压缩定律指的是，随机变量的数据可以通过适当的编码方法进行压缩，使其传输所需的位数尽可能减少。
数据压缩的目标是尽量减小数据的冗余性，从而节省传输带宽和存储空间。
数据压缩定律的应用非常广泛。
在计算机领域，我们经常使用各种压缩算法对数据进行压缩，例如无损压缩算法（如ZIP）和有损压缩算法（如JPEG）。
此外，数据压缩也被广泛应用于通信领域，以提高数据传输的效率和速率。
最后是通信容量定律。
通信容量定律指的是，在给定的信道条件下，最大传输速率是有限的。
通信容量取决于信道的带宽和信噪比（信号与噪声比）。
通信容量定律的应用包括无线通信、光纤通信等领域。
通过优化通信系统的参数，如信噪比、调制方式等，可以提高通信容量，从而提高数据传输的速率和可靠性。
综上所述，信息论的三大定律分别是香农熵定律、数据压缩定律和通信容量定律。
这些定律在信息传输和处理中起到了重要的作用，相关应用广泛。
熵与信息论公式香农熵互信息的计算公式熵与信息论公式-香农熵与互信息的计算公式在信息论中，熵与互信息是两个重要的概念，它们经常被用于衡量信息的不确定性和相关性。
本文将详细介绍熵和互信息的定义和计算公式，并探讨它们在信息理论中的应用。
一、香农熵香农熵是信息论中用于度量随机变量不确定性的重要指标。
它可以理解为信息的平均度量，也可以理解为信息的缺乏度量。
对于离散型随机变量X，其熵H(X)的计算公式为：H(X) = -∑p(x)log2(p(x))其中，p(x)为随机变量X取某一值x的概率，log2表示以2为底的对数。
例如，假设有一个骰子，它的每个面出现的概率相等，即1/6。
那么骰子的熵可以通过以下计算得到：H(X) = -(1/6)log2(1/6) - (1/6)log2(1/6) - (1/6)log2(1/6) - (1/6)log2(1/6) - (1/6)log2(1/6) - (1/6)log2(1/6)根据计算公式，我们可以得到该骰子的熵为log2(6)≈2.58。
香农熵的计算过程可以理解为对每个可能取值的概率乘以该取值的信息量，并对所有情况求和。
熵越高，表示随机变量的不确定性越大。
二、互信息互信息是用于度量两个随机变量之间相关性的概念。
假设有两个离散型随机变量X和Y，它们的联合概率分布为p(x, y)，边缘概率分布分别为p(x)和p(y)。
那么X和Y的互信息I(X;Y)的计算公式为：I(X;Y) = ∑∑p(x, y)log2(p(x, y)/(p(x)p(y)))互信息可以理解为两个随机变量之间共享的信息量。
当两个随机变量完全独立时，互信息为0；而当它们之间存在依赖关系时，互信息大于0。
三、应用熵和互信息在信息论中有广泛的应用。
其中，香农熵常被用于衡量信源中的信息量，例如在数据压缩算法中，熵越高的信源可以被更好地压缩。
互信息则常被用于衡量两个随机变量之间的相关性。
例如在机器学习中，互信息可用于特征选择和聚类分析。
自信息量：Harta p Nat a p bit a p a I i i e i i )(log )(log )(log )(102-=-=-=联合信息量：)(log )(2j i j i b a p b a I -=条件信息量：)/(log )/(2j i j ib a p b a I -=互信息量:)](/)/([log );(2i j i j i a p b a p b a I =信息的熵：∑=-=ni i i a p a p X H 12)(log )()(条件熵：∑∑==-=m j ni i j j i a b p b a p X YH 112)/(log )()/(联合熵：∑∑==-=m j ni j i j i b a p b a p XY H 112)(log )()(平均互信息量：)](/)/([log )();(112j mj ni i j j i b p a b p b a p X Y I ∑∑===马尔可夫信源问题： 1.n 元m 阶马尔科夫信源共有n m个稳定状态。
2. 用∑==mni i j i j s s p s p s p 1)/()()(和1)(1=∑=mni i s p 求各状态)(i s p ；3.极限熵：)/(log )/()(11i j ni nj i j i s s p s s p s p Hmm∑∑==∞-=4. 冗余度：0/1H H ∞-=ξ (H0表示等概分布信源的熵，2进制时为1)变长编码定理：m X H K m X H 22log /)(log /)(1≥>+信道容量问题：n 表示输入符号数，m 表示输出符号数。
bit/sign 无噪信道1（一一对应）信道容量：n C 2log =无噪信道2（一对多）信道容量：n C 2log =无噪信道3（多对一）信道容量：m C 2log = 对称信道（行列均可排列）信道容量：)..(log 212m q q q H m C-=当输入X 等概分布时，输出Y 也等概分布，此时达到信道容量。
