广西陆川县中学高一下学期数学同步作业：第3章 两角和与差的应用(4)(大纲版)

3.1.2 两角和与差的正弦1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)[基础·初探]教材整理两角和与差的正弦阅读教材P136内容，完成下列问题.1.公式：名称简记符号公式使用条件两角和的正弦Sα＋βsin(α＋β)＝sin αcos β＋cosαsin βα，β∈R两角差的正弦Sα－βsin(α－β)＝sin αcos β－cosαsin βα，β∈Ry＝a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝aa2＋b2，sinθ＝ba2＋b2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的.( )(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立.( )(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立.( )(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()【解析】(1)√.根据公式的推导过程可得.(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]给角求值(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A.－32B.－12C.12D.32(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用.(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值. 【自主解答】 (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.【答案】 C(2)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换.[再练一题] 1.化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (2)sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β).【解】 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cosα＋βsin αsin α＝sin[α＋β－α]sin α＝sin βsin α. 给值求值(2016·青岛高一检测)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值.【导学号：72010078】【精彩点拨】 观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果.【自主解答】 因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝ 1－cos 2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－ 1－sin 2α＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式. (2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，应根据题目合理拆分.(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围.[再练一题]2.本例中条件不变，试求sin 2β的值. 【解】 由例题中解法知：sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45.所以sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋45×513＝－1665.[探究共研型]辅助角公式的应用探究1 函数y 【提示】 不对.因为sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以函数的最大值为 2.探究2 函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ 【提示】 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ， 令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)， 所以函数y 的最大值为5.探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式. 【提示】 a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定).当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.【精彩点拨】 可先用公式S α±β将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)形式再求最大值对应的x 值.【自主解答】 函数为y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3， 当0≤x <2π时，－π3≤x －π3<5π3，所以当y 取得最大值时，x －π3＝π2，所以x ＝5π6. 【答案】5π61.对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.[再练一题]3.函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( ) A.[－2,2] B.[]－3，3 C.[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32【解析】 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]. 故选B. 【答案】 B[构建·体系]1.(2016·清远期末)化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32【解析】 原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D. 【答案】 D2.函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π【解析】 y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，所以T ＝2π.【答案】 C 3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A.－32B.－12C.12D.32【解析】 sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30° ＝12. 【答案】 C4.(2016·淮安高一检测)sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________. 【解析】 原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝ sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32. 【答案】325.已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. 【导学号：72010079】【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十五) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32B.32C.－12D.12【解析】 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.【答案】 D2.(2016·北京高一检测)在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255 B.－255C.55D.－55【解析】 因为cos B ＝1010且0<B <π， 所以sin B ＝31010又A ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin π4cos B ＋cos π4sin B＝22×1010＋22×31010＝255. 【答案】 A3.已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝( )A.1B.2C.22＋36D.22－36【解析】 ∵π4＜β＜π2，∴cos β＝1－sin 2β＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝12sin β＋32cos β＝12×223＋32×13＝22＋36. 【答案】 C4.(2016·温州高一检测)在△ABC 中，若sin B ＝2sin A cos C ，那么△ABC 一定是( ) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等边三角形【解析】 在△ABC 中，因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sinC ＝2sin A cos C ，所以sin A cos C －cos A sin C ＝0，即sin(A －C )＝0，因为0＜A ＜π，0＜C ＜π，所以－π＜A －C ＜π，所以A －C ＝0，即A ＝C ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选B.【答案】 B5.已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，则tan αtan β＝( )【导学号：72010080】A.115 B.25 C.119D.－119【解析】 由已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，得sin αcos β＋cos αsin β＝35，sin αcos β－cos αsin β＝－23，两式分别相加减得sin αcos β＝－130，cos αsin β＝1930，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－1301930＝－119，故选D.【答案】 D 二、填空题6.求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________.【解析】sin 10°－3cos 10°cos 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 10°－32cos 10°cos 40°＝2sin 10°－60°cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2. 【答案】 －27.(2016·汕头高一检测)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝________.【解析】 由题意得：sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝12，又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π3. 【答案】 π38.若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.【解析】 由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin 2α＋80sin αcos β＋25cos 2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos 2α＋80 cos α sin β＋25sin 2β＝100.②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136，∴sin(α＋β)＝4780. 【答案】 4780 三、解答题9.已知：π6＜α＜π2，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517，求cos α，sin α的值. 【解】 因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3. 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝817. 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝83＋1534， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝153－834. 10.(2016·普宁高一检测)已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值. 【解】 因为π4<α<3π4，所以π2<π4＋α<π， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，3π4<3π4＋β<π， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， 所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513 ＝6365. [能力提升]1.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)的值为( )A.2 3B. 3C.1D.0【解析】 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－π3＝2sin π3x ，因为周期为6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0 ，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.【答案】 D2.(2016·衡水高一检测)使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)为奇函数，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数的φ的一个值为( ) A.π3 B.5π3 C.2π3 D.4π3【解析】 f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin 2x ＋φ＋32cos 2x ＋φ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x ＋φcos π3＋cos 2x ＋φsin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3为奇函数，所以φ＋π3＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π3(k ∈Z )，排除A 和D ；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数，又2x ＋φ＋π3＝2x ＋k π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2k ∈Z ，所以k 为奇数，故选C. 【答案】 C3.在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的值为________.【解析】 由已知得(4sin A ＋2cos B )2＋(2sin B ＋4cos A )2＝28，即16＋4＋16(sin A cos B ＋cos A sin B )＝28，∴20＋16sin(A ＋B )＝28，∴sin(A ＋B )＝12， ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12. 【答案】 124.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2. (1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值. 【解】 (1)f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3·sin x cos x·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos x ＋cos π6sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜π2. (2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是单调增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上是单调减函数. ∴当x ＝π3时，f (x )有最大值为2.。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.若，则 .【答案】2【解析】由，得，即，整理得，即.【考点】两角和的正切公式及三角函数式的恒等变形.2.若为锐角，且sin＝，则sin的值为________．【答案】【解析】 sin＝，为锐角，故，cos=,，故答案为：.【考点】两角和的正弦公式；三角函数求值.3.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。

因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。

用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。

(2)由三角形面积可得。

再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。

解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。

4.在中，角的对边分别为，（1）若，求的值；（2）设，当取最大值时求的值。

【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A的值．试题解析：解：∵∴∴，即B= （3分）（1）由即∴（5分）当时，＜＜,C＜A＜B=与三角形内角和定理矛盾，应舍去，∴（7分）（2）（10分）∵A∈（0，），∴∈，）即∈，1]当=，即A=时，（12分）【考点】1．二倍角的余弦；2．两角和与差的正弦函数；3．余弦定理．5.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．6.已知，，求的值．【答案】【解析】将视为整体将已知条件用余弦的两角和公式变形可得的值，根据角的范围可得的值，再用二倍角公式分别求的值，最后用正弦两角和公式将展开计算即可。

高一下数学同步测试（4）—两角和差的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后括号内） 1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立；②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656．75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81 D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）A ．3π B ．4πC ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a a C ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12．50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上） 13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为.14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ=. 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值X 围是. 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且<<<是方程02150sin 50sin 222=-+-x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.高一数学参考答案（四）一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D11．B 12．A 二、13．m 14．3π15．32--16．]214,214[- 三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左 =-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A ．审定意见：本套试题题型基础、全面，笔者增添了题中的一些标点符号．在做完试题后，请思考：你能否有第19题推出第21题，试试你的探究能力！审稿人：安振平。

已知三角函数值求角一、选择题1．函数arcsin(2cos )y x =的定义域是（ ）✌．11[,]22- ．5[,],66k k k Z ππππ++∈ ．[,],33k k k Z ππππ-+∈ ．2[,],33k k k Z ππππ++∈ 2．已知1sin 3θ=-且(,)2πθπ∈-，则θ可表示为（ ） ✌．1arcsin 3 ．1arcsin()23π--- ．1arcsin()3π-+- ．1arcsin()3π-- 3．给出下列等式：（1）arcsin 12π= （2）1arcsin()302-=-︒（3）arcsin(sin )33ππ=（4）11sin(arcsin )22= 其中成立的等式有 （ ） ✌．1个 ．2个 ．3个 ．4个4．下列集合中不满足．．1sin ,2x x R =∈是（ ） ✌．5|22,66x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或 ．|(1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭．2|(1),6k x x k k Z ππ+⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭ ．|2,6x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭ ．sin(arctan1arcsin1)+的值等于 （ ）✌． ．- ．1 ．1-6．“cos 22α=-”是“5,12k k Z παπ=+∈”的 （ ） ✌．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件二、填空题．已知tan 23x =-，且0x π≤≤，则x = 。

8．设12arcsin ,arccos()33αβγ===-，则α、β、γ的大小关系是 。

9．已知sin2α=，且α是第二象限角，则α= 10．1arctan arctan(2)3+-的值为 。

三、解答题11．已知[0,2],sin θπθ∈、cos θ是方程210x kx k -++=的两根，求θ的值。

高中学生学科素质训练高一数学同步测试（4）—两角和差的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分；共60分；请将正确答案填在题后括号内。

） 1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β；等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立 ②存在实数α；β；使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ④不存在无穷多个α和β；使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时；函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ） A ．最大值为1；最小值为－1 B ．最大值为1；最小值为21-C ．最大值为2；最小值为－2D ．最大值为2；最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656．75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81 D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角；γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根；则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中；90>∠c ；则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12．50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分；共16分；将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα；则βα22coscos -的值为 .14．在△ABC 中；33tan tan tan =++C B A ；C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B= .15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分；17—21题每题12分；22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π18．已知0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+-x x 的两根；求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++20．已知α；β∈（0；π）且71tan ,21)tan(-==-ββα；求βα-2的值.21．证明：xx x x x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ；BC A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos C A -的值.参考答案1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A 13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x85cos 5sin 5cos 95sin 21====∴x x3275tan )2tan(+==- αβ19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右 20．πβαβαα4321)2tan(,31tan -=-=-=21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右22．由题设B=60°；A+C=120°；设2CA -=α知A=60°+α C=60°－α22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A。

高一下学期数学周测（7）一、选择题1．如果角θ的终边经过点（3，-4），那么θsin 的值是（ ） A 53 B53-C 54 D54-2．)314sin(π-的值等于（ ）A 21 B 21- C 23 D 23-3．若0835-=α，则角α的终边在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 4．已知21sin -=θ,则)sin(θπ+等于A 21 B21-C23 D 23-5．已知θ是第一象限角，那么2θ是（ ）A 第一或第三象限角B 第二或第三象限角C 第三或第四象限角D 第一或第四象限角 6．已知θ是三角形的一个内角，且22sin =θ，则角θ等于( ）A 4π B43π C 4π,43π D 3π7．已知0tan sin <⋅θθ，那么角θ是（ ）A 第一或第三象限角B 第二或第三象限角C 第三或第四象限角D 第一或第四象限角 8．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得() A 。

sin 2cos2+ B 。

cos2sin 2- C.sin 2cos2-D 。

±cos2sin 2-二、填空题9。

与34π终边相同的角的集合10．已知45cos sin -=-θθ，则=⋅θθcos sin11．已知θ是第四象限角，125tan -=θ,则=θcos高一下学期数学周测（7）班别： 姓名： 座号: 分数：答案9、 10、 11、 12．已知=-=+-θθθθθtan ,35cos 2sin 3cos sin 2则13.已知3tan =α,23παπ<<，那么ααsin cos -的值是三、解答题 14． )660cos()330sin(750cos 420sin 0000-•-+•：计算15、设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-,求()3f π的值．16．已知方程sin （ 3) = 2cos(4)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。

向量一、选择题1．以下关于零向量的叙述中错误的是（ ）A ．零向量是长度为零的向量B ．零向量与任一向量平行C ．00=D ．零向量的方向是任意的 2．以下命题中，正确的是（ ）A ．若||||a b =，则a b =±B ．若||||a b >，则||||a c b c +>+C ．若a b =，则//a bD ．若a b ≠，则a 与b 不是共线向量 3．设O 是正△ABC 的中心，则向量AO 、OB 、OC 是： （ ） A ．有相同起点的向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量 4．下列命题中正确的是（ ）A ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量B ．有相同起点的两个非零向量不平行C ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线D ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点。

5．有下列物理量○1质量；○2速度；○3位移；○4力；○5加速度；○6路程；○7刻度；○8功，其中不能称为向量的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．若命题:p a b =，命题:||||q a b =，则p 是q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题7．四边形ABCD 满足AD BC =且AC BD =，则四边形ABCD 是 。

8．在正六边形ABCDEF 中，O 为中心。

（1）与AO 相等的向量有： ；（2）与CD 共线的向量有： （3）与BE 的模相等的向量有：9．已知,a b 是两个非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 。

（填共线、不共线或相等）10．已知,a b 为不共线的非零向量，且存在向量c ，使//,//c a c b ，则c = 。

三、解答题11．如图是35⨯的矩阵（每个小方格都是单位正方形），试问：起点和终点都在方格的顶点处且与向量AB 相等的向量共有几个？与向量AB向量方向相同且模为12．设在平面内给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL NM =。

（完整）高中数学必修四《两角和与差的三角函数》同步测试题（完整）高中数学必修四《两角和与差的三角函数》同步测试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高中数学必修四《两角和与差的三角函数》同步测试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第1页共12页第2页共12页（完整）高中数学必修四《两角和与差的三角函数》同步测试题第3页 共12页 第4页 共12页高中数学必修四《两角和与差的三角函数》同步测试题1. 化简cos （45°－α)cos(α＋15°）－sin （45°－α）sin(α＋15°)的结果为__________。

2。

sin20°cos10°－cos160°sin10°＝__________。

3。

已知sin(π3＋α)＋sin α＝，则sin(α＋π76)的值为__________。

4. 已知cos α＝13,cos （α＋β）＝－错误!，且α、β∈(0，π2），则cos （α－β）的值等于__________。

5. tan 20°＋tan40°＋20°tan40°＝__________。

6。

若α∈（π2，π），tan （α＋π4)＝17，则sin α＝__________。

7. 已知tan2α＝－34，tan （α－β）＝12，则tan （α＋β)＝__________。

8. 已知tan （α－β）＝12，tan β＝－17，tan （2α－β）＝__________.9。

3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)[基础·初探]教材整理 两角和与差的余弦公式 阅读教材P 133内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( ) (2)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( ) (3)存在实数α，β，使cos(α＋β)＝cos α－cos β成立.( ) (4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]A.2－64B.6－24C.2＋64D.－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.【精彩点拨】(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.(2)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.(3)对较复杂的式子化简时应注意两角和与差余弦公式的逆用.【自主解答】(1)cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋2 4.【答案】 C(2)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22，所以原式＝22； ②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°) ＝32.1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α).【导学号：72010075】【解】 (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.(1)已知cos α＝5，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，2π， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值.【精彩点拨】 (1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3；(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. 【自主解答】 (1)因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32 ＝3－4310. 【答案】3－4310(2)因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π.又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.(3)求解.结合公式C α±β求解便可.[再练一题]2.已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.【解】 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437 ＝12.已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值.【精彩点拨】 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值.【自主解答】 ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010，∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010 ＝22. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解.2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.[再练一题]3.已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值.【解】 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π， ∴2β＝π，则β＝π2.[探究共研型]探究1 【提示】 cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.探究2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？【提示】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β). 探究3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？ 【提示】 cos(α－β)＝2－a 2－b22.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A.33 B.－33 C.539D.－69【精彩点拨】 把α＋β2看成α与β2之和，从已知条件中求出α与β2的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大.求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题.【自主解答】 ∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2， 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C. 【答案】 C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等.[再练一题]4.设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值.【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.[构建·体系]1.cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A.cos 100° B.sin 100° C.32D.12【解析】 原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32. 【答案】 C2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝( ) A.22 B.12 C.32D.－12【解析】 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 【答案】 A3.已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A.3365B.－3365C.5475D.－5475【解析】 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. 【答案】 A4.sin 75°＝________. 【解析】 sin 75°＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24. 【答案】6＋245.设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值. 【导学号：72010076】【解】 ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12∴π3<α<π2， 又sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十四) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13 C.32D.33【解析】 原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.【答案】 A2.已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )A.－3－222B.3－226 C.3＋226D.－3＋226【解析】 因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＋13×32＝－22＋36. 【答案】 B3.在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】 ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )<0， ∴角C 为钝角，∴△ABC 一定为钝角三角形. 【答案】 D4.已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tanα等于( )【导学号：72010077】A.34B.－34C.45D.－45【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 A5.(2016·淄博高一检测)已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos α·cos β＝( )A.1B.－1C.12D.0【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝45，cos αcos β＋sin αsin β＝－45，两式相加得：cos α·cos β＝0，故选D. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·北京高一检测)12sin 75°＋32sin 15°的值等于________.【解析】 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 【答案】227.(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________.【解析】 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋ sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18，所以cos α＋3sin α＝14.【答案】 148.在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________.【解析】 因为cos B ＝－1213，且0<B <π，所以π2<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，且0<A <π2，所以cos A ＝1－sin 2 A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665. 【答案】 －1665三、解答题9.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.【证明】 由sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0得(sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，① (cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.10.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β).【解】 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22， 所以π2<2α－β<π.所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2.因为sin(α－2β)＝22， 所以0<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＋22×22＝0.[能力提升]1.已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( )A.925B.1625C.12D.－12【解析】 由已知得(sin α＋sin β)2＝1625，①(cos α＋cos β)2＝925，②①＋②得：2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.【答案】 D2.若α，β为两个锐角，则( ) A.cos(α＋β)>cos α＋cos β B.cos(α＋β)<cos α＋cos β C.cos(α－β)<cos αcos β D.cos(α－β)<sin αsin β 【解析】 cos []α－－β－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β ＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β， 因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0， －sin αsin β<0，－cos β<0，故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0， 即cos(α＋β)<cos α＋cos β.因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C ，D 错误.【答案】 B3.函数f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x 的最小正周期是________.【解析】 由于f (x )＝cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π.【答案】 π4.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值；(3)求f (x )的单调递增区间. 【解】 (1)因为T ＝2πω＝10π，所以ω＝15.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－65， 所以sin α＝35.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817，因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. (3)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋π6，由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ，得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k π－35π6，10k π－5π6(k ∈Z ).。

两角和与差的应用〔3〕一、选择题1．假设sin cos αα+=20062006(tan )(cot )αα+等于 〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．200522．假如tan α、tan β是方程2420x x --=的两根，那么tan()αβ+的值是〔 〕 A ．43 B ．34 C ．43- D ．34- 3．在△ABC 中，43cos ,cos()55A AB =+=，那么sin B 等于 〔 〕 A ．1725 B ．35C ．725D ．15 4．在△ABC 中，假设tan tan tan tan 1A B A B =++，那么C 的值是 〔 〕A ．4πB ．34πC ．3π D ．23π 二、填空题5．下面这道填空题因印刷原因造成在横线上的内容无法认清，现知结论；请在横线上填写上原题的一个条件。

题目：α、β均为锐角，且1sin sin 2αβ-=， ，那么59cos()72αβ-=。

6．假设tan θ和tan()6πθ-是方程20x ax b ++=的两个实数，那么a 与b 的等量关系为 。

7．集合{}|sin cos ,M y y x x x R ==+∈，集合{}|sin cos ,N y y x x x R π==∈，那么M N ⋃= 。

8．假设α、β是直角三角形的两锐角，那么sin αβ+的取值范围为 。

三、解答题9．在锐角△ABC 中，31sin(),sin()55A B A B +=-=，求tan cot A B 的值。

10．求sin cos sin cos 1y x x x x =+-+的值域。

11．如下图，在矩形ABCD 中，,2AB a BC a ==，在BC 上任取一点P ，使AB BP PD +=，求tan APD ∠的值。

参考答案 一、选择题1．C2．A3．C4．A二、填空题5．1cos cos 3αβ-=-6．1b =+7．N8．(1,2]三、解答题9．210．122y ≤≤B P C11．18励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。