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A i 第 i 次取出白球
则
i 1， 2， ， n
B A1 A2 An
由乘法公式，我们有
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第一章 概率论的基本概念
P B P A A A 1 2 n
§3条件概率
PA1 PA2 A1 PA3 A1 A2 PAn A1 A2 An1
这就是两个事件的乘法公式．
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第一章 概率论
例设有围棋手甲乙两人共下两盘棋。A1为甲第1盘胜的 事件； A2为甲第2盘胜的事件。已知甲第1盘胜的概 率为0.7，在甲第1盘胜的条件下第2盘胜的概率为0.8； 甲在两盘中至少胜1盘的概率为0.9，问P(A2)=？
P ( A1 ) 0.7,
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第一章 概率论的基本概念
B B B A B A A
一、条 件 概 率
1) 条件概率定义：事件 B 已经发生的条件 下事件 A发生的概率。记为： P（A | B）
例：设成年人肺癌发病率为0.003，在抽烟的
成年人中为0.01。
记A为成年人中肺癌发病者，记B为成年人中抽烟 者。 P（A）=0.003，抽烟的成年人中肺癌发病率 计为P（A | B）=0.01
或从缩减空间来看
2 P ( B | A) 3
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A
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第一章 概率论的基本概念
P ( A | B) P ( A | B) 1
P ( AB) P ( AB) 证明: 左式 P ( B) P ( B)
P ( AB) P ( AB) P ( B)
P ( B) 1 P ( B)
AB AB B AB AB
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第一章 概率论的基本概念
例 2 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女
孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 } P AB 所求概率为 P B A P A 1 7 而 P A 1 P A 1 8 8 6 6 6 8 P AB 所以 P B A 8 7 7 8
求： P A , P( B), P AB, P( A | B) .
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第一章 概率论的基本概念
35 80 , , P B 解：P A 100 100 30 80 P AB P A , 35 100
30 P AB , 100
S A
A的 度 量 P( A) S的 度 量
A
S
例 设有一个均匀的陀螺,其圆周的一半上均匀地刻上 [0,1)上的诸数字,另一半上均匀地刻上区间[1,3)上的 诸数字.旋转陀螺.求它停下来时,其圆周上触及桌面 的点的刻度位于[0.5,1.5]的概率。
3
0 0.5 2 1.5 1
3 8
第一章 概率论
补充:
几何概型
在等可能试验中,若试验具有下列两个特征: (1)试验的结果为无限不可数. (2)每个结果出现的可能性相等. 则称该试验为几何概型. 它所产生的随机事件不能按古典概型来计算概率 , 在有些地方可借用几何方法来定义概率.
补充:
几何概型
如果一个随机现象的样本空间S充满某个区域，其 长度（面积、体积）大小有限；任意一点落在度量 相同的子区域内是等可能的；若事件A为S中的某个 子区域，则
2
1
第一章 概率论
解：B为第2步所取的球为白球，A为第1步从甲袋 中取得白球放入乙袋， A 为第1步从甲袋中取得黑 球放入乙袋。 第2次取到白球: B AB AB
P( B) P( AB) P( AB)
A B
A
B
P( A) P( B | A) P( A)P(B | A)
2 2 1 1 5 3 3 3 3 9
第一章 概率论
1
全概率公式： 设随机事件 A1 , A2 , , An 满足：
A1 ,
n k 1
A2 , ,
;
An 两两互不相容；
2 Ak U
n
3 PAk 0 k 1,
k 1
2, , n ;
B = BA1 BA2 BAn
BA1 BA2
贝叶斯（Bayes）公式 设随机事件 A1 , A2 , , An 满足：
1 A1 , A2 , , An 两两互不相容； n 2 Ak U ; k 1 3 P Ak 0 k 1, 2, , n ; 则有：
P ( A )P ( B | A ) k k , k 1, 2, , n n P( A )P( B | A ) j j j 1
解：设 B 表示取到次品，
Ai (i =1,2,3)分别表示取到甲、乙、丙箱。 (1) P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( A3 B)
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 )P( B | A2 ) P( A3 )P( B | A3 ) 5 1 3 1 2 1 0.08 10 10 10 15 10 20
例：设公共汽车站从中午12时到下午1点每隔15分 钟来一班车.如果甲,乙乘客在 这段时间内等可能到 达车站候车． (1) 甲乘客候车时间不超过5分钟的概率? (2)见车就乘时,他们乘同一辆车的概率?
y 60 45 30 15 15 30 45 60 x
0
15
30
45
60
1 3
1 4
用几何概型可以回答: “概率为1的事件未必一定发生”. 1 “概率为0的事件未必不发生”.
0 1
设试验E 为“随机地向边长为1的正方形内投点”, 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”
事件B为“点投在正方形的对角线上”
有
P ( A) 1
P ( B) 0
第一章 概率论的基本概念（第三讲）
§3
条 件 概 率
目 录 索 引
§3条件概率
一
条 件 概 率
二
三
乘 法 公 式
全概率公式和贝叶斯公式
1 2 3
1
2
1
3
1
2
1 7 9 3 (1 )(1 )(1 ) . 2 10 10 200
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第一章 概率论
三. 全概率公式和贝叶斯公式 例今有甲乙两只袋子，袋中所放的球分别为2白1黑 及1白1黑；第一步从甲袋中任取1球放入乙袋；第 二步再从乙袋中任取1球。问第2步所取球为白球 的概率？
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例 1 两台车床加工同一种零件共100个，结果如下 合格品数 次品数 总计 第一台车床加工数 30 5 35 第二台车床加工数 50 15 65 总 计 80 20 100
设A={ 从100个零件中任取一个是合格品} B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的 }
P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A1 B ) (2) P ( A1 | B ) P ( B) P( B) 5 1 5 10 10 0.08 8
P( A B) k P( A | B) k P( B)
例5
1 甲厂： 5箱，次品率 10 1 乙厂： 3箱，次品率 任取一箱 15 1 丙厂： 2箱，次品率 20
任取一件
(1)求取得次品的概率； (2)若已知取到次品，求此产品为甲厂产品的概率。
2, , n ，得
P Ak B P Ak PB Ak
得
P B P Ak B P Ak P B Ak
n n k 1 k 1
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第一章 概率论
续例 已知第2次取出白球，求第一次取白球的概率？
P ( B) P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) 2 2 1 1 3 3 3 3
P ( A2 | A1 ) 0.8, P ( A2 ) ?
0.76
P ( A1 A2 ) 0.9,
练习： P(A)=0.4，P(A∪B)=0.6，P(A|B)=0.5，求P(B)
0.4
第一章 概率论的基本概念
2）多个事件的乘法公式
§3条件概率
设 A1， A2， ， An 为n个随机事件，且
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例 2 一盒子装有4个产品,其中3个一等品,1个二 等品．从中不放回抽取2次,每次取1个产品.设 事件A表示第一次取到一等品,事件B表示第二 次取到一等品,求条件概率 P ( B | A) 解:
2 2 C C 2 P ( AB ) 3 4 P ( B | A) 1 1 P ( A) C3 C4 3
(1) 非负性：对任意事件 A，有 PA B 0
(3 ) 可 列 可 加 性 ： 如 果 随 事 机 件A 1 ，A 2 ， ， A n， 两 两 互 不 相 容则 ，
P A n B P A B n n 1 n 1
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A
P ( AB ) P ( A | B) P ( B)
A B
P ( A) P ( B | A) P ( B) P ( A) P B A P ( A) P B A P ( A) P B A
