数字图像处理第四章
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第四章 频率域滤波第四章主要介绍了如何在图像滤波中应用傅里叶变换和频率域的基本知识,并介绍其基本原理及与数字图像处理的关系。
1.背景法国数学家傅里叶在热分析理论一书中,指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式,每个正弦项和/或余弦项乘以不同的系数(傅里叶级数)。
非周期函数可以用傅里叶变换来表示。
傅里叶概念的最初应用是在热扩散领域, 2.基本概念 (1)复数复数C 的定义如下:jI R C +=极坐标下复数定义:)sin (cos ||θθj C C += 由于欧拉公式θθθsin cos j ej +=复数可以表示为θj e C C ||=(2)傅里叶级数傅里叶级数的表示形式为∑∞-∞==n t Tnjnec t f π2)(其中 ,2,1,0,)(12/2/2±±==⎰--n dt e t f T c T T t Tnj n π(3)冲激函数冲激函数表示形式为⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(t t t δ,其中被限制为满足等式⎰∞∞-=1)(dt t δ,其物理意义就是一个幅度无限,持续时间为0,具有单位面积的尖峰信号。
其取样特性为函数与冲激函数的乘积:)()()(00t f dt t t t f =-⎰∞∞-δ;那么对于其离散的函数具有相似的表达,其冲激函数为⎩⎨⎧≠==0,00,1)(x x x δ,其离散变量的取样特性为:∑∞-∞==-x x f x x x f )()()(0δ;其冲激串则定义为无限多个分离的周期冲激单元T ∆之和:∑∞-∞=∆∆-=n T T n t t s )()(δ。
冲激可以是连续或离散的。
(4)连续变量函数的傅里叶变换 连续函数f(t)的傅里叶变换为⎰∞∞--=dt e t f F t j πμμ2)()(,那么必存在一个傅里叶反变换:⎰∞∞-=μμπμd eF t f tj 2)()(,利用欧拉公式得到⎰∞∞--=dt t j t t f F )]2sin()2)[cos(()(πμπμμ,由于积分的左边唯一变量是μ,所以说傅里叶变换域就是频率域。