化工问题的建模与数学分析方法第四章习题

第四章习题1）用平板法测定材料的导热系数，其主要部件为被测材料构成的平板，其一侧用电热器加热，另一侧用冷水将热量移走，同时板的两侧用热电偶测量其表面温度。

设平板的导热面积为0.03m2，厚度为0.01m。

测量数据如下：电热器材料的表面温度℃安培数 A 伏特数V 高温面低温面2.8 2.3 14011530020010050试求：①该材料的平均导热系数。

②如该材料导热系数与温度的关系为线性：，则λ和a值为多少？2）通过三层平壁热传导中，若测得各面的温度t1、t2、t3和t4分别为500℃、400℃、200℃和100℃，试求合平壁层热阻之比，假定各层壁面间接触良好。

3）某燃烧炉的平壁由耐火砖、绝热砖和普通砖三种砌成，它们的导热系数分别为1.2W/(m·℃)，0.16 W/(m·℃)和0。

92 W/(m·℃)，耐火砖和绝热转厚度都是0.5m，普通砖厚度为0.25m。

已知炉内壁温为1000℃，外壁温度为55℃，设各层砖间接触良好，求每平方米炉壁散热速率。

4）在外径100mm的蒸汽管道外包绝热层。

绝热层的导热系数为0.08W/(m·℃)，已知蒸汽管外壁150℃，要求绝热层外壁温度在50℃以下，且每米管长的热损失不应超过150W/m，试求绝热层厚度。

5）Φ38×2.5mm的钢管用作蒸汽管。

为了减少热损失，在管外保温。

50第一层是mm厚的氧化锌粉，其平均导热系数为0.07 W/(m·℃)；第二层是10mm厚的石棉层，其平均导热系数为0.15 W/(m·℃)。

若管内壁温度为180℃，石棉层外表面温度为35℃，试求每米管长的热损失及两保温层界面处的温度？解：①r0 = 16.5mm = 0.0165m ，r1 =19mm = 0.019 mr2 = r1＋δ1 = 0.019＋0.05 = 0.069 mr3 = r2＋δ2 = 0.069＋0.01 = 0.079 mλ0 = 45 W/(m·℃)W/m②即∴ t2 = 41.8 ℃6）通过空心球壁导热的热流量Q的计算式为：，其中，A1、A2分别为球壁的内、外表面积，试推导此式。

化学化工中常用数学方法——评《化工数学（第三版）》化学工业出版社出版，周爱月、李士雨主编的《化工数学》（第三版）是一部深入剖析化学化工领域中常用数学方法的教材，涵盖了从数学模型建立到数值解法、概率论与统计、数据校正技术、图论以及人工智能与专家系统等多个方面的内容。

本书第一章着重介绍了数学模型的基本概念，为后续章节的学习奠定了基础。

作者从模型的定义入手，强调了在化学化工领域中使用数学模型的必要性。

随后，通过深入讨论模型的建立方法，包括模型的基本要素和建模的一般步骤，使读者能够理解模型是如何从实际问题中提取出来。

此外，对建立数学模型的一般方法进行了详细探讨，使读者能够灵活应用数学工具解决实际问题。

通过丰富的习题，读者可以在实践中逐步提高建模和解决问题的能力。

第二章主要介绍了数据处理的关键技术，包括插值法、数值微分、数值积分以及曲线拟合。

在插值法部分，作者详细介绍了拉格朗日插值、差商与牛顿插值公式、分段插值法等，使读者能够理解和掌握在实际数据处理中选择合适插值方法的技能。

曲线拟合部分重点介绍了小二乘曲线拟合，对关联函数的选择和线性化进行了详细讨论，使读者能够更好地利用数学工具对实验数据进行处理。

第三章深入研究了线性方程组和非线性方程的数值解法。

在线性方程组的直接解法中，作者介绍了高斯消去法、高斯主元素消去法、LU分解等方法，通过实例演绎，使读者能够灵活运用这些方法解决实际问题。

非线性方程求解部分涵盖了二分法、迭代法、牛顿法等多种方法，对每种方法进行了详细的讨论和比较，为读者选择合适的方法提供了参考。

第四章主要探讨了常微分方程（ODE）的数值解法。

本章节开始引入了ODE的初值问题，然后深入研究了尤拉法和龙格-库塔法等数值解法。

作者通过详细的推导和实例演示，帮助读者理解这些方法的原理和适用范围。

通过对方法的比较，读者能够更好地理解各种数值解法的优劣，为实际应用提供了指导。

在第五章中，作者深入介绍了拉普拉斯变换的概念、性质和逆变换的求解方法。

第4章 非均相封锁体系热力学一、是不是题1. 偏摩尔体积的概念可表示为{}{}ii x P T i n P T ii x V nnV V ≠≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂=,,,,∂。

(错。

因关于一个均相放开系统，n 是一个变数，即(){}0,,≠∂∂≠in P T i n n )2. 在必然温度和压力下的理想溶液的组分逸度与其摩尔分数成正比。

（对。

即常数===),(,ˆP T f f x f f i ii is i ）3. 理想气体混合物确实是一种理想溶液。

（对）4. 关于理想溶液，所有的混合进程性质转变均为零。

（错。

V ，H ，U ，C P ，C V 的混合进程性质转变等于零，对S ，G ，A 那么不等于零） 5. 关于理想溶液所有的逾额性质均为零。

（对。

因is EM M M-=）6. 理想溶液中所有组分的活度系数为零。

（错。

理想溶液的活度系数为1）7. 体系混合进程的性质转变与该体系相应的逾额性质是相同的。

（错。

同于4）8. 关于理想溶液的某一容量性质M ，那么__i i M M =。

（错，同于4）9.理想气体有f=P ，而理想溶液有i i ϕϕ=ˆ。

（对。

因i i i i i i is i isiPfPx x f Px f ϕϕ====ˆˆ） 10. 温度和压力相同的两种理想气体混合后，那么温度和压力不变，整体积为原先两气体体积之和，总热力学能为原两气体热力学能之和，总熵为原先两气体熵之和。

（错。

总熵不等于原先两气体的熵之和）11. 温度和压力相同的两种纯物质混合成理想溶液，那么混合进程的温度、压力、焓、热力学能、吉氏函数的值不变。

（错。

吉氏函数的值要发生转变）12. 因为G E (或活度系数)模型是温度和组成的函数，故理论上i γ与压力无关．（错。

理论上是T ，P ，组成的函数。

只有对低压下的液体，才近似为T 和组成的函数）13. 在常温、常压下，将10cm 3的液体水与20 cm 3的液体甲醇混合后，其整体积为 30 cm 3。

4 管式反应器4.1在常压及800℃等温下在活塞流反应器中进行下列气相均相反应： 6532664+→+C H C H H C H C H在反应条件下该反应的速率方程为：0.51.5,/.=T H r C C m ol l s式中C T 及C H 分别为甲苯及氢的浓度，mol/l ，原料处理量为2kmol/h ，其中甲苯与氢的摩尔比等于1。

若反应器的直径为50mm ，试计算甲苯最终转化率为95%时的反应器长度。

解：根据题意可知甲苯加氢反应为恒容过程，原料甲苯与氢的摩尔比等于1，即：00=T H C C ，则有：0(1)==-T H T T C C C X示中下标T 和H 分别代表甲苯与氢，其中：53300330000.5 1.013105.6810/8.3141010732/21/0.27810/--⨯⨯===⨯⨯⨯====⨯T T T T p C km ol mR TF Q C km ol h km ol s所以，所需反应器体积为：00000.51.52.50.95333 1.51.51.5 1.5(10.95)10.278100.4329 3.0061.5(5.6810)(1)1.51---==--=⨯=⨯=⨯--⎰⎰⎰T T X X T T r T T T HTTT dX dX V Q C Q C C C C dX mX 所以，反应器的长度为：23.0061531.10.05 3.14/4=⨯m4.2根据习题3.2所规定的条件和给定数据，改用活塞流反应器生产乙二醇，试计算所需的反应体积，并与间歇釜式反应器进行比较。

解：题给条件说明该反应为液相反应，可视为恒容过程，在习题3.2中已算出：0275.8/=Q l h 01.231/=A C mo l l 所以，所需反应器体积：00000000(1)()275.80.95818.61 5.2 1.23110.95=--===-⨯-⎰AX Ar A A A B A A AA A dX V Q C kC X C C X Q X lkC X由计算结果可知，活塞流反应器的反应体积小，间歇釜式反应器的反应体积大，这是由于间歇式反应器有辅助时间造成的。

各章习题选解（仅供参考）第一章习题1.（√）在一个有效容积为V 的半连续式搅拌反应器中，由原料Ａ生产物质Ｂ，若浓度为c 0流量为Q 的Ａ溶液加入空反应器，反应遵循以下连串-可逆步骤C B A k kk −→−−−←−→−321且所有的反应均为一级，证明在反应器中Ｂ的克分子数N B 是以下微分方程的解CRN dt dN P dt N d B B B =++22式中1031321k Qc C k k R k k k P ==++=证明：对A 、B 分别作质量衡算，有A ：)1(210dt dN N k N k Q c AB A =+-B ：)2(321dtdN N k N k N k BB B A =--由（2）得到：102(3)AA B dN k N c Q k N dt=+-（3）代入（2），得：210131232()(4)B BB dN d N k c Q k k N k k k dt dt -=+++令123130,,P k k k R k k C c Q =++==得22(5)B BB d N dN P RNC dt dt++=证毕。

2.冬天的池塘水面上结了一层厚度为l 的冰层，冰层上方与温度为T w 的空气接触，下方与温度为0℃的池水接触。

当T w ＜0℃时，水的热量将通过冰层向空气中散发，散发的热量转化为冰层增加的厚度。

已知水结冰的相变潜热为L f ，冰的密度为ρ，导热系数为k ，导温系数为α，求：1)当气温T w 不随时间变化时，给出冰层厚度随时间变化的关系，若L f ＝3.35×105J/kg ，ρ＝913kg/m 3，k ＝2.22W/m °K ，T w ＝－10℃，问冰冻三尺，需几日之寒？2）当气温随时间变化时，设T w ＝T w (t)已知，导出冰层厚度变化的完整数学模型。

解：(1)冰层的温度为0℃，水通过冰层向空气散发热量，记为Q ，该热量用于水结成冰。

第二章习题1. 求以下微分方程的解2222212tan 4sin 222cos 322ln xdyy x x dx d y dy y e x dx dxd y dy x x y x x dx dx解： (1)22tan 2tan 2ln|cos |222222tan 4sin [4sin ]cos [4sin ]sin cos [4]cos 4cos [cos ]cos 4cos cos xdx xdxx dyy x x dx y e xe dx c x xedx c x x dx c x x d x c xx C x C --+=⎰⎰=+=+=+-=+=+⎰⎰⎰⎰解：为任意常数（2）212*(1)*(1)22cos 211(cos sin )112111(cos sin )(cos sin )22212xx i x i x x x dy y e x dx dx i iy e C x C x i y Axe A iy ixe ixe x i x xe i x x xe α---+-+---++=+=-+=--=+=-+==-=-=-+=--=2212*d y 解：先求通解：特征方程为： λλ+2=0λλ故方程通解为：由于为方程一根设特解为：代入方程得：取其实部：y 12sin 1(cos sin )sin 2x x x xy e C x C x xe x--=++方程的解为：（3）222222121212*1*2*1*21212222201212(cossin )221411241(cos sin )224tt t t tt d y dy x x y x lnx dx dx x e d y dyy e tdt dte C C t y Ae y At By e y t e C t C λλλλ--++=+=++=+++=-+=-==+==+==-++解：设原式可化为：特征方程为：通解为：Y 设特解为：代入方程得：所以，方程的解为：y=12121124111(cos ln sin ln )ln 22424t e t y x C x C x x x -+-=+++-即2. 求解第一章给出的连续结晶器的稳态数学模型GB n n n F ln G in =-=∂∂)0()(式中，成核速率B ，生长速率G ，流量F 均可考虑为常数，加入流体的粒数分布 为l 的任意函数n in =n in (l )。