江苏13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编16：复数

2013年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题 数学Ⅰ试题参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i ﹣x )2，其中x ＝1n ∑i ＝1nx i .棱锥的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为高.棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.．1.函数y ＝3sin (2x ＋π4)的最小正周期为__________. 答案：π解析：函数y ＝3sin (2x ＋π4)的最小正周期T ＝2π2＝π.2.设z ＝(2﹣i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________.答案：5解析：|z|＝|(2﹣i)2|＝|4﹣4i ＋i 2|＝|3﹣4i |＝√32＋(﹣4)2＝5.3.双曲线x 216−y 29＝1的两条渐近线的方程为__________.答案：y ＝±3x解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x.4.集合{﹣1，0，1}共有__________个子集. 答案：8解析：由于集合{﹣1，0，1}有3个元素，故其子集个数为23＝8. 5.下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________.答案：3解析：第一次循环后：a ←8，n ←2;第二次循环后：a ←26，n ←3; 由于26>20，跳出循环， 输出n ＝3.6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________. 答案：2解析：由题中数据可得x 甲＝90，x 乙＝90.于是s 甲2＝15[(87﹣90)2＋(91﹣90)2＋(90﹣90)2＋(89﹣90)2＋(93﹣90)2]＝4，s 乙2＝15[(89﹣90)2＋(90﹣90)2＋(91﹣90)2＋(88﹣90)2＋(92﹣90)2]＝2，由s 甲2>s 乙2，可知乙运动员成绩稳定.故应填2.7.现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________. 答案：2063解析：由题意知m 的可能取值为1，2，3，…，7;n 的可能取值为1，2，3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1，2，3，…，9，共9种情况;同理m 取2，3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种.若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1，3，5，7，n 的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5＝20种.故所求概率为2063.8.如图，在三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ﹣ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.答案：1∶24解析：由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S ∶ADE ∶S ∶ABC ＝1∶4.因此V 1∶V 2＝13AF ·S △AED2AF ·S △ABC＝1∶24. 9.抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________. 答案：[﹣2，12]解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ﹣1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A (12，0)时，x ＋2y 取得最大值12. 当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，﹣1)时，x ＋2y 取得最小值﹣2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为[﹣2，12].10.设D ，E 分别是∶ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________. 答案：12解析：由题意作图如图.∶在∶ABC 中，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝﹣16AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∶λ1＝﹣16，λ2＝23. 故λ1＋λ2＝12.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f (x )＝x 2﹣4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________.答案：(﹣5，0)∶(5，＋∞)解析：∶函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x 2﹣4x ，则f(x)＝{x 2﹣4x ，x >0，0，x ＝0，﹣x 2﹣4x ，x <0，∴∶原不等式等价于{x >0，x 2﹣4x >x ，或{x <0，﹣x 2﹣4x >x .由此可解得x>5或﹣5<x<0. 故应填(﹣5，0)∶(5，＋∞). 12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ．设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝√6d 1，则椭圆C 的离心率为__________. 答案：√33解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为xc ＋yb ＝1，即bx ＋cy ﹣bc ＝0.于是可知d 1＝√b ＋c 2bc a ，d 2＝a 2c ﹣c ＝a 2﹣c 2c ＝b 2c . ∶d 2＝√6d 1，∶b 2c ＝√6bca ，即ab ＝√6c 2.∶a2(a2﹣c2)＝6c4.∶6e4＋e2﹣1＝0.∶e2＝13.∶e＝√33.13.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝1x(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a的所有值为__________.答案：﹣1，√10解析：设P点的坐标为(x，1x )，则|PA|2＝(x﹣a)2＋(1x﹣a)2＝(x2＋1x2)﹣2a(x＋1x)＋2a2.令t＝x＋1x≥2，则|PA|2＝t2﹣2at＋2a2﹣2＝(t﹣a)2＋a2﹣2(t≥2).结合题意可知(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值.此时(2﹣a)2＋a2﹣2＝8，解得a＝﹣1，a＝3(舍去).(2)当a>2，t＝a时，|PA|2取得最小值.此时a2﹣2＝8，解得a＝√10，a＝﹣√10(舍去).故满足条件的实数a的所有值为√10，﹣1.14.在正项等比数列{a n}中，a5＝12，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为__________.答案：12解析：设正项等比数列{a n}的公比为q，则由a5＝12，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是a n＝2n﹣6，则a1＋a2＋…＋a n＝132(1﹣2n)1﹣2＝2n﹣5﹣132.∶a5＝12，q＝2，∶a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝a62＝1.∶a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27﹣132>a1a2…a11a12＝a12＝26成立;当n取13时，a1＋a2＋…＋a13＝28﹣132∴<a1a2…a11a12a13＝a12a13＝26·27＝213.当n>13时，随着n增大a1＋a2＋…＋a n将恒小于a1a2…a n.因此所求n的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a﹣b|＝√2，求证：a∶b;(2)设c＝(0，1)，若a﹣b＝c，求α，β的值.(1)证明：由题意得|a﹣b|2＝2，即(a﹣b)2＝a2﹣2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2﹣2a·b＝2，即a·b＝0.故a∶B．(2)解：因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以{cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，由此得cos α＝cos (π﹣β).由0<β<π，得0<π﹣β<π，又0<α<π，故α＝π﹣β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，平面SAB∶平面SBC ，AB∶BC ，AS ＝AB ．过A 作AF∶SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点.求证：(1)平面EFG∶平面ABC; (2)BC∶SA ．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF∶SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点，所以EF∶AB ．因为EF∶平面ABC ，AB∶平面ABC ， 所以EF∶平面ABC ．同理EG∶平面ABC ．又EF∩EG ＝E ， 所以平面EFG∶平面ABC ．(2)因为平面SAB∶平面SBC ，且交线为SB ，又AF∶平面SAB ，AF∶SB ，所以AF∶平面SBC ．因为BC∶平面SBC ，所以AF∶BC ．又因为AB∶BC ，AF∩AB ＝A ，AF ，AB∶平面SAB ，所以BC∶平面SAB ． 因为SA∶平面SAB ，所以BC∶SA ． 17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x ﹣4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x ﹣4和y ＝x ﹣1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，√k ＋1＝1，解得k ＝0或﹣34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y ﹣12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x ﹣4上，所以圆C 的方程为(x ﹣a)2＋[y ﹣2(a ﹣2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以√x 2＋(y ﹣3)2＝2√x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y ﹣3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，﹣1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2﹣1|≤CD≤2＋1，即1≤√a 2＋(2a ﹣3)2≤3. 由5a 2﹣12a ＋8≥0，得a ∶R ;由5a 2﹣12a≤0，得0≤a≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]. 18.(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内? 解：(1)在∶ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π﹣(A ＋C)]＝sin (A ＋C)＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sinC ＝ACsinB，得AB ＝AC sinB×sin C ＝12606365×45＝1040(m ).所以索道AB 的长为1040m .(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2﹣2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2﹣70t ＋50)， 因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537(min )时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理BCsinA ＝ACsinB ，得BC ＝ACsinB ×sin A ＝12606365×513＝500(m ).乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m )，还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得﹣3≤500v −71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[125043，62514](单位：m/min )范围内. 19.(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和.记b n ＝nS nn 2＋c，n ∶N *，其中c 为实数.(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∶N *); (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 证明：由题设，S n ＝na ＋n (n ﹣1)2D ． (1)由c ＝0，得b n ＝Snn ＝a ＋n ﹣12D ．又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(a ＋d 2)2＝a (a ＋32d)，化简得d 2﹣2ad ＝0.因为d≠0，所以d ＝2A ．因此，对于所有的m ∶N *，有S m ＝m 2A ．从而对于所有的k ，n ∶N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n ﹣1)d 1，即nS n n 2＋c ＝b 1＋(n ﹣1)d 1，n ∶N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∶N *，有(d 1﹣12d)n 3＋(b 1﹣d 1﹣a ＋12d)n 2＋cd 1n ＝c (d 1﹣b 1).令A ＝d 1﹣12d ，B ＝b 1﹣d 1﹣a ＋12d ，D ＝c (d 1﹣b 1)，则对于所有的n ∶N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D ．(*) 在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有{7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③由②，③得A ＝0，cd 1＝﹣5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1﹣12d ＝0，b 1﹣d 1﹣a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1﹣12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.20.(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x ﹣ax ，g (x )＝e x ﹣ax ，其中a 为实数.(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围; (2)若g(x)在(﹣1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论. 解：(1)令f'(x)＝1x﹣a ＝1﹣axx <0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a ﹣1，即f(x)在(a ﹣1，＋∞)上是单调减函数.同理，f(x)在(0，a ﹣1)上是单调增函数.由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)∶(a ﹣1，＋∞)，从而a ﹣1≤1，即a≥1.令g'(x)＝e x ﹣a ＝0，得x ＝ln A ．当x<ln a 时，g'(x )<0;当x>ln a 时，g'(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e .综上，有a∶(e ，＋∞).(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数;当a>0时，令g'(x)＝e x ﹣a>0，解得a<e x ，即x>ln A ．因为g(x)在(﹣1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤﹣1，即0<a≤e ﹣1.结合上述两种情况，有a≤e ﹣1.①当a ＝0时，由f(1)＝0以及f'(x)＝1x >0，得f(x)存在唯一的零点;②当a<0时，由于f(e a )＝a ﹣a e a ＝a(1﹣e a )<0，f(1)＝﹣a>0，且函数f(x)在[e a ，1]上的图象不间断，所以f(x)在(e a ，1)上存在零点.另外，当x>0时，f'(x)＝1x ﹣a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点. ③当0<a≤e ﹣1时，令f'(x)＝1x ﹣a ＝0，解得x ＝a ﹣1.当0<x<a﹣1时，f'(x)>0，当x>a﹣1时，f'(x)<0，所以，x ＝a﹣1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a ﹣1)＝﹣ln a ﹣1.当﹣ln a ﹣1＝0，即a ＝e ﹣1时，f(x)有一个零点x ＝e .当﹣ln a ﹣1>0，即0<a<e ﹣1时，f(x)有两个零点.实际上，对于0<a<e ﹣1，由于f(e ﹣1)＝﹣1﹣a e ﹣1<0，f(a ﹣1)>0，且函数f(x)在[e ﹣1，a ﹣1]上的图象不间断，所以f(x)在(e ﹣1，a ﹣1)上存在零点.另外，当x∶(0，a﹣1)时，f'(x)＝1x﹣a>0，故f(x)在(0，a﹣1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a﹣1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a﹣1，＋∞)上的情况.先证f(e a﹣1)＝a(a﹣2﹣e a﹣1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2.设h(x)＝e x﹣x2，则h'(x)＝e x﹣2x，再设l(x)＝h'(x)＝e x﹣2x，则l'(x)＝e x﹣2.当x>1时，l'(x)＝e x﹣2>e﹣2>0，所以l(x)＝h'(x)在(1，＋∞)上是单调增函数.故当x>2时，h'(x)＝e x﹣2x>h'(2)＝e2﹣4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)＝e x﹣x2>h(e)＝e e﹣e2>0.即当x>e时，e x>x2.当0<a<e﹣1，即a﹣1>e时，f(e a﹣1)＝a﹣1﹣a e a﹣1＝a(a﹣2﹣e a﹣1)<0，又f(a﹣1)>0，且函数f(x)在[a﹣1，e a﹣1]上的图象不间断，所以f(x)在(a﹣1，e a﹣1)上存在零点.又当x>a﹣1时，f'(x)＝1x﹣a<0，故f(x)在(a﹣1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a﹣1，＋∞)上只有一个零点.综合①，②，③，当a≤0或a＝e﹣1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e﹣1时，f(x)的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.A．[选修4﹣1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC．求证：AC＝2AD．证明：连结OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∶ADO＝∶ACB＝90°.又因为∶A＝∶A，所以Rt∶ADO∶Rt∶ACB．所以BCOD ＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD．B．[选修4﹣2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝[﹣1002]，B＝[1206]，求矩阵A﹣1B．解：设矩阵A的逆矩阵为[a bc d]，则[﹣1002][a bc d]＝[1001]，即[﹣a﹣b2c2d]＝[1001]，故a ＝﹣1，b ＝0，c ＝0，d ＝1，从而A 的逆矩阵为A ﹣1＝[﹣1 0 012]，所以A ﹣1B ＝[﹣1 0 0 12][1 20 6]＝[﹣1﹣20 3]. C ．[选修4﹣4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x ＝2tan 2θ，y ＝2tanθ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标. 解：因为直线l 的参数方程为{x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x ﹣1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x ﹣y ﹣2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x.联立方程组{y ＝2(x ﹣1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，(12，﹣1).D ．[选修4﹣5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b>0，求证：2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2B ． 证明：2a 3﹣b 3﹣(2ab 2﹣a 2b)＝2a(a 2﹣b 2)＋b(a 2﹣b 2)＝(a 2﹣b 2)(2a ＋b)＝(a ﹣b)(a ＋b)(2a ＋b).因为a≥b>0，所以a ﹣b≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0， 从而(a ﹣b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2B ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，AB∶AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，0，﹣4)，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，﹣1，﹣4).因为cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >＝A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√20×√183√1010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为3√1010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，1，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，4)，所以n 1·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n 1·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝﹣2，所以，n 1＝(2，﹣2，1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝|n 1·n 2|n 1||n 2||√9×√123，得sin θ＝√53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为√5.23.(本小题满分10分)设数列{a n }：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，(﹣1)k ﹣1k ，…，(﹣1)k ﹣1k ⏞k 个，…，即当(k ﹣1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∶N *)时，a n＝(﹣1)k ﹣1k.记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∶N *).对于l ∶N *，定义集合P l ＝{n|S n是a n 的整数倍，n ∶N *，且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数; (2)求集合P 2000中元素的个数.解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝﹣2，a 3＝﹣2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝﹣4，a 8＝﹣4，a 9＝﹣4，a 10＝﹣4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝﹣1，S 3＝﹣3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝﹣2，S 9＝﹣6，S 10＝﹣10，S 11＝﹣5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝﹣a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝﹣i (2i ＋1)(i ∶N *).事实上，①当i ＝1时，S i(2i ＋1)＝S 3＝﹣3，﹣i(2i ＋1)＝﹣3，故原等式成立;②假设i ＝m 时成立，即S m(2m ＋1)＝﹣m(2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2﹣(2m ＋2)2＝﹣m(2m ＋1)﹣4m ﹣3＝﹣(2m 2＋5m ＋3)＝﹣(m ＋1)(2m ＋3).综合①②可得S i(2i ＋1)＝﹣i(2i ＋1).于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝﹣i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1).由上可知S i(2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i(2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1，2，…，2i ＋1)，所以S i(2i ＋1)＋j ＝S i(2i ＋1)＋j(2i ＋1)是a i(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋1)的倍数.又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝﹣(2i ＋2)(j ＝1，2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)﹣j(2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)﹣j(2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i(2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i ﹣1)＝i 2，于是，当l ＝i(2i ＋1)＋j(1≤j≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j.又2000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2000中元素的个数为312＋47＝1008.。

2013年全国各省市高考试题分类汇编（复数）考点1 复数的有关概念考法1复数的概念1.（2013·全国课标卷Ⅰ·理科）若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为A.4-B.45-C.4D.452.（2013·安徽卷·文科）设i 是虚数单位，若复数103a i--（a ∈R ）是纯虚数， 则a 的值为A.3-B.1-C.1D.33.（2013·陕西卷·文科）设z 是复数，则下列命题中的假命题是A.若20z ≥，则z 是实数B.若20z <，则z 是虚数C.若z 是虚数，则20z ≥D.若z 是纯虚数，则20z < 考法2 复数的相等1.（2013·全国课标卷Ⅱ·理科）设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -2.（2013·天津卷·理科）已知,a b R ∈，i 是虚数单位.若()(1)a i i bi ++=，则 a bi += .3.（2013·湖北卷·理科）i 是虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .考法3 复数的模1.（2013·山东卷·文科）复数2(2)i z i-=，（i 为虚数单位）,则=||z A.25 B.41 C.6 D.52.（2013·全国课标卷Ⅱ·理科）21i=+A. D.13.（2013·江苏卷）设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .4.（2013·辽宁卷·文理科）复数的11z i =-模为A.12 D.2 5.（2013·重庆卷·理科）已知复数512i z i=+（i 是虚数单位），则z = ． 6.（2013·重庆卷·文科）已知复数12z i =+（i 是虚数单位），则z = ．8.（2013·广东卷·理科）若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是A.2B.3C.4D.5 考点2 复数的运算考法1复数的乘法1.（2013·浙江卷·理科）已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=A.3i -+B.13i -+C.33i -+D.1i -+2.（2013·浙江卷·文科）已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=A.55i -B.75i -C.55i +D.75i +3.（2013·全国大纲卷·理科）3(1)=A.8-B.8C.8i -D.8i4.（2013·天津卷·文科）i 是虚数单位. 复数(3)(12)i i +-= . 考法2复数的除法1.（2013·全国课标卷Ⅰ·文科）212(1)i i +=- A.112i -- B.112i -+ C.112i + D.112i - 2.（2013·广东卷·理科）若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A.(2,4)B.(2,4)-C.(4,2)-D.(4,2) 考点3 复数的几何意义1.（2013·福建卷·文科）复数的12z i =--（i 为虚数单位），在复平面内对应的点位于A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D.第四象限2.（2013·北京卷·理科）在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于A.第一象限 B 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（2013·北京卷·文科）在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.（2013·福建卷·理科）已知复数z 的共轭复数i 21z +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.（2013·湖南卷·文理科）复数(1)z i i =⋅+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.（2013·江西卷·文科）复数(2)z i i =--（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.（2013·湖北卷·理科）在复平面内，复数21i z i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 考点4 共轭复数1.（2013·安徽卷·理科）设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若22z zi z ⋅+= ，则z =A.1+iB.1i -C.1+i -D.1i --2.（2013·山东卷·理科）复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为A.2i +B.2i -C.5i +D.5i -3.（2013·陕西卷·理科）设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假命题是A.若120z z -=，则12z z =B.若12z z =，则12z z =C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =。

2013高考：复数【2013高考题组】1、（2013北京，理2）在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、（2013北京，文4）在复平面内，(2)i i -对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、（2013全国大纲，理2）3(1)+=（ ）A 、8-B 、8C 、8i -D 、8i4、（2013全国课标I ，文2）212(1)ii +=-（ ）A 、112i -- B 、112i -+ C 、112i + D 、112i -5、（2013全国课标I ，理2）若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（）A 、4-B 、45- C 、4 D 、456、（2013全国课标II ，文2）21i =+（ ）A 、B 、2CD 、17、（2013全国课标II ，理2）设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）A 、1i -+B 、1i --C 、1i +D 、1i -8、（2013山东，文1）复数2(2)i z i -=（i 是虚数单位），则z =（ ）A 、25BC 、5 D9、（2013山东，理1）复数z 满足(3)(2)5z i --=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ）A 、2i +B 、2i -C 、5i +D 、5i -10、（2013江苏，2）复数2(2)z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。

11、（2013安徽，文1）设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A 、3- B 、1- C 、1 D 、312、（2013安徽，理1）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若22z zi z ⋅+=，则z =（ ）A 、1i +B 、1i -C 、1i -+D 、1i --13、（2013浙江，文2）已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=（ ）A 、55i -B 、75i -C 、55i +D 、75i +14、（2013浙江，理1）已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=（ ）A 、3i -+B 、13i -+C 、33i -+D 、1i -+15、（2013天津，文9）i 是虚数单位，复数(3)(12)i i +-= 。

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ． 【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221++=+=+= AC AB AC AB 213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．7．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．<P style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt" class=MsoNormal><?xml:namespace prefix = v ns = 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lang=EN-US><o:p></o:p></SPAN></SPAN></P>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．26．（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算．【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i．所以，|z|==5．故答案为5．3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a≥20的最小n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为3故答案为：36．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求．【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，．方差=4．=2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n ≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m，n都取到奇数的概率为．故答案为．8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y 的取值范围是[﹣2，] ．【分析】利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求．【解答】解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1．令z=x+2y，则．画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，z min=﹣2．过点（）时，．故答案为．10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【分析】由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可．【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f （x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF 的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．【分析】根据“d 2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率．【解答】解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得．∴e==．故答案为：．13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．【分析】设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n ＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣co sβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB ⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．【分析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S n，在前n项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n代入中整理得到b n=，由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式，说明，由此可得到c=0．【解答】证明：（1）若c=0，则a n=a1+（n﹣1）d，，．当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．因此：，，．故：（k，n∈N*）．（2）==．①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n=A n+B型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0．经检验，当c=0时{b n}是等差数列．20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【分析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．【解答】解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．令g′（x）=e x﹣a=0，得x=lna．当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．故a的取值范围为：a＞e．（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=e x﹣a＞0，解得a＜e x，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜．结合上述两种情况，有．①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f （x）在[e a，1]上的图象不间断，所以f（x）在（e a，1）上存在零点．另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点．③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=．当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1．（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点．另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点．下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0．为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2．设h（x）=e x﹣x2，则h′（x）=e x﹣2x，再设l（x）=h′（x）=e x﹣2x，则l′（x）=e x﹣2．当x＞1时，l′（x）=e x﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=e x﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=e x﹣x2＞h（e）=e e﹣e2＞0，即当x＞e 时，e x＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点．又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点．综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2．<P style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt" class=MsoNormal><?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t"o:spt="75" 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src="file:///C:\Users\adminb\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image0 01.png"></v:imagedata><?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /><w:wrap type="square"></w:wrap></v:shape><SPAN><FONT face="Times New Roman">[</FONT>选做题<FONT face="Times New Roman">]</FONT>本题包括<FONT face="Times New Roman">A</FONT>、<FONT face="Times New Roman">B</FONT>、<FONT face="Times New Roman">C</FONT>、<FONT face="Times New Roman">D</FONT>四小题，<SPAN style="font-emphasize: dot">请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答</SPAN>．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．<SPAN style="mso-font-width: 95%; font-emphasize: dot" lang=EN-US><o:p></o:p></SPAN></SPAN></P>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）（2013•江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论．【解答】证明：连接OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD．所以AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）（2013•江苏）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．【解答】解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2013•江苏）已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可．【解答】证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．26．（10分）（2013•江苏）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k ∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．【分析】（1）由数列{a n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l，即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明S i=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差（2i+1）数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：（1）由数列{a n}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：S i（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．事实上，①当i=1时，S i（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即S m（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=S m（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．综合①②可得S i（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=S i（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．由上可知S i（2i+1）是2i+1的倍数，而a i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S i（2i+1）+j=S i（2i+1）+j（2i+1）是a i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合P l中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P l中元素的个数为i2+j．又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．。

2013江苏高考数学含答案2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ． 【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2|＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得xx y 431692±=±=．4．集合}1,0,1{-共有 个子集． 【答案】8 【解析】23＝8．【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x—1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z2．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+= ACAB AC AB 213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12．yxl B F O c b a 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，xx x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ． 【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】做出xxx f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。

由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。

江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编1：集合1 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试）若集合{}1,0,1A =-,{}|cos(),B y y x x A ==π∈,则A B = ____.2 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三）若集合}11|{≤≤-=x x M ,2{|20}N x x x =-≤,则M∩N=___.3 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试）已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )(_____.4 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试）已知集合{}1,1,2,4A =-,{}1,0,2B =-,则A B = _______.5 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试）集合A ={1,2,3},B ={2,4,6},则A B =_________.6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试）设集合{A =,{}B a =,若B A ⊆,则实数a 的值为____.7 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试）设全集U=R,集合A={}{}2|20,|1x x x B x x -<=>,则集U A B = ð___________.8 ．（南通市2013届高三第一次调研测试）已知全集U =R,集合{}10A x x =+>,则UA =ð________. 9 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三）已知集合{}1,2,3A =,{}1,2,5B =,则A B ⋂=________10．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试）已知集合(]2 1A =-，,[)1 2B =-，,则A B =U ______.11．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试）记函数f (x )= 3－x 的定义域为A ,函数g (x )=lg(x -1)的定义域为B ,则A ∩B =________.12．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试）已知集合A={2a,3},B={2,3}.若A B={1,2,3},则实数a 的值为____.13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研一）已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5A =,{}1,2,3,5B =,则()UA B = ð______. 14．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研二）设全集U R =,集合{}|13A x x =-≤≤,{}|1B x x =>,则U A B = ð______.15．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研）设集合{}{}2223050A x x x B x x x =--=-≤，≥,则()A B =R I ð____.16．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试）若集合}2,1{-=m A ,且}2{=B A ,则实数m 的值为____.17．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试）已知集合{}2,1,0,1-=U , {}1,1-=A , 则U A ð= .18．（镇江市2013届高三上学期期末考试）已知集合M ={1 ,2,3, 4,5},N ={2,4,6,8,10},则M ∩N =______.参考答案1．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）【答案】{1,1}-;2 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）【答案】[0,1]3 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）【答案】{2,3}4．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】{}1,2-5 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】{2};6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）【答案】07．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）【答案】{}|01x x<≤8 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）【答案】(,1]-∞-.考查集合运算.注意集合的规范表示法,重视集合的交并补的运算.9 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）【答案】{}2,110．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）【答案】(22)-，11．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）【答案】(1,3]12．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）【答案】013．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）【答案】{}2,4,614．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）【答案】[1,1]-15．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）【答案】(]03，16．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）【答案】417．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）【答案】{} 0,218．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）【答案】{}4,2;。

[推荐]##省13大市20##高三历次考试数学试题分类汇编16：复数一、填空题1 ．〔##市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷〕已知i 为虚数单位,复数z 满足<1-i>z =2,则z =_________.[答案]1+i;2 ．〔##省##市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷〕若复数z 满足2)1(=-z i <i 为虚数单位>,则=z ________.[答案3 ．〔##省##、##、##、宿迁、##五市2013届高三第三次调研测试数学试卷〕设复数z 满足(34i)50z ++=<i 是虚数单位>,则复数z 的模为______.[答案]14 ．〔##市、##市2013届高三第二次模拟考试数学试卷〕若复数12mi z i-=+<是虚数单位>是纯虚数,则实数m 的值为____.[答案]25 ．〔##市2013届高三第一次调研测试数学试卷〕已知复数z =32i i-<i 是虚数单位>,则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限.[答案] 答案:三.考查复数的基本概念与几何意义.对复数的概念宜适当疏理,防止出现知识盲点6 ．〔##省##市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题〕设复数122z i =+,222z i =-,则12z z =__________ [答案]i7 ．〔##市、##市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题〕复数2(12)i -的共轭复数是 .[答案]34i -+8 ．〔2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数学试题〕已知i 是虚数单位,复数31i z i+=+对应的点在第____象限. [答案]四9 ．〔苏北三市〔##、##、宿迁〕2013届高三第二次调研考试数学试卷〕已知i 是虚数单位,实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43_____.[答案]010．〔##省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研<一>数学试题〕若实数a 满足221ai i i+=-,其中是虚数单位,则a =_____.[答案]211．〔##市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷〕设复数z 满足(2)12z i i +=-<为虚数单位>,则z =____________.[答案]112．〔##市2013届高三教学期末调研测试数学试题〕已知复数1i z =-+<为虚数单位>,计算:z z z z⋅-=______. [答案]i -13．〔##市、##市2013届高三第三次模拟考试数学试卷〕已知复数z 满足<z +1>i=3+5i,其中i 为虚数单位,则|z |=________.[答案]514．〔##、##、##、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷〕设复数z 满足| z | = |z -1 | = 1,则复数z 的实部为____.[答案]1215．〔##、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷〕已知i 是虚数单位,若3i i(,)ia b a b =∈++R ,则ab 的值为____. [答案]3-;16．〔##省##市2013届高三上学期期末考试数学试卷〕已知i是虚数单位,则122ii-+等于______________. [答案]i-。

江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编复数与算法一、复数1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）设复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位， 则z 的虚部为 ▲ .2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为5、（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知复数i i z 21-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为6、（无锡市2017届高三上学期期末）复数21z i =-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为7、（扬州市2017届高三上学期期中）复数)1(i i z -=的虚部为8、（扬州市2017届高三上学期期末）设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ．9、（镇江市2017届高三上学期期末）已知复数z 满足))((i i z +-=321，其中i 为虚数单位，则=z复数答案：1、12、－33、1 4 5、－126、1－i7、18、09、二、算法1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是▲2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为▲．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）右图是一个算法的流程图，则输出x的值为▲4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）阅读下面的流程图，如果输出的函数)(x f 的值在区间],[2141内，那么输入的实数x 的取值范围是 ．6、（苏州市2017届高三上期末调研测试）根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为.7、（扬州市2017届高三上学期期末）如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x的值为5，则输出的y的值为▲．参考答案1、92、53、234、205、［－2，－1］6、437、－15。