2020-2021学年高三数学(理人教版)二轮复习高考小题标准练：(十三)_含解析

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，2}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A ．﹣B．1 C ．D ．3．已知命题：p“∃x0∈R，x02+2ax0+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1] C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）4．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表，s1，s2分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则（）甲8 11141522乙6 7 12324A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1=s2D．s1，s2大小不能确定5．一个球与一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（）A．81B．C．D．6．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B． C．2 D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．48．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=cos（x+1）；④f（x）=tanx．其中的“准奇函数”的有（）A．①③B．②③C．②④D．③④9．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．10．在△ABC中，已知•=•，若|+|=2，且B∈[，]，则•的取值范围为（）A．[﹣2，] B．[﹣1，] C．[0，] D．[1，]11．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A． B．C．D．12．若定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣2f（x）﹣4＞0，f （0）=﹣1，则不等式f（x）＞e2x﹣2（其中e是自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练五理新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R，集合A=，则A等于( )A.(-∞，0]B.[2，+∞)C.[0，2]D.(-∞，0]∪[2，+∞)【解析】选D.依题意得A={x|0<x<2}，因此A=(-∞，0]∪[2，+∞).2.已知z=1-i(i是虚数单位)，则+z2=( )A.2B.2iC.2+4iD.2-4i【解析】选A.由题意可得，+z2=+(1-i)2=-2i=2.3.已知<α<π，sinα=，则tanα=( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选D.由题意得cosα=-=-，所以tanα==-2.4.命题p：“a=-2”是命题q：“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直的充要条件是6a+12=0，即a=-2，因此选A.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )A.24里B.12里C.6里D.3里【解析】选C.记每天走的路程里数为{a n}，易知{a n}是公比q=的等比数列，s6=378，s6==378，所以a1=192，所以a6=192×=6.6.设n=4sinxdx，则二项式的展开式的常数项是( )A.12B.6C.4D.1【解析】选B.因为n=4sinxdx=-4cosx=-4=4，所以二项式展开式的通项公式为T r+1=·x4-r·=(-1)r··x4-2r；令4-2r=0，解得r=2，所以展开式的常数项是T2+1=(-1)2·=6.7.在△ABC中，D为BC的中点，O在AD上且AO=AD，AB=2，AC=6，则·=( )A.2B.5C.D.4【解析】选D.由题意可知===(+)，又=-，所以·=(-)·(+)=(-)=(36-4)=4.8.如图所示的程序框图中，e是自然对数的底数，则输出的i的值为(参考数值：lnxx≈7.609)( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.由e i≥xx得i≥lnxx，而lnxx≈7.609，则输出的i的值为8.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.πa3【解析】选 A.由三视图可知该几何体为一个圆锥的，其中圆锥的底面圆的半径为a，高为2a，所以该几何体的体积V=×πa2×2a×=.10.已知椭圆C：+=1，点M(2，1)，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B，则△AOB的面积的最大值为( )A.1B.C.2D.2【解析】选C.由直线l∥OM，可设直线l的方程为y=x+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得，x2+2mx+2m2-4=0，则Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0，即m∈(-2，2)且m≠0，x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，所以S△AOB=|m|·|x1-x2|=|m|·=|m|=≤=2，当且仅当m2=4-m2，即m=±时，△AOB的面积取得最大值，且最大值为2.11.已知点M(x，y)为平面区域内的动点，则(x+1)2+(y+1)2的最大值是( )A.10B.C.D.13【解析】选D.不等式组对应的平面区域是四边形区域，(x+1)2+(y+1)2的几何意义是点(x，y)到点(-1，-1)的距离的平方，由图可知，当点(x，y)为点(1，2)时，(x+1)2+(y+1)2取得最大值13.12.已知函数f(x)=若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*)，且{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.由已知可得1-2a<0，0<a<1，且a12=17-24a>a13=1，解得<a<.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则实数m的取值范围是__________.【解析】由题意可知f′(x)=e x-m，存在x使得e x-m=-2有解，则m=e x+2有解，e x+2>2，知m>2成立.答案：(2，+∞)14.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-a，1)，B(a，-1)且a>0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则a的最大值为________.【解析】当∠APB=90°时，点P的轨迹是以AB为直径的圆O，由题意可得圆C与圆O有公共点，O(0，0)为AB的中点，圆O的半径为，所以|CO|=5∈[-1，+1]，解得4≤≤6，15≤a2≤35，a>0，则≤a≤，即a的最大值是.答案：15.已知四面体ABCD满足AB=CD=，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是__________.【解析】在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE，AC=AD=BC=BD=2，则AE⊥CD，BE⊥CD，在Rt△AED中CD=，所以AE=，同理BE=，取AB的中点为F，由AE=BE，得EF⊥AB，在Rt△EFA中，AB=，EF=1，取EF的中点为O，则OF=，在Rt△OFA中，OA=，OA=OB=OC=OD，所以该四面体的外接球的半径是，其外接球的表面积是7π.答案：7π16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为________.【解析】由sinB+cosB=，得sin=，sin=1，而B∈(0，π)，所以B=.由正弦定理得，sinA==，又A+B+C=π，A∈，所以A=.答案：。

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高考小题标准练( 九 )满分 80 分，实战模拟， 40 分钟拿下高考客观题满分！一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出)的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的1. 设会合M={x|x 2-3x-4<0}，N={x|0≤x≤5} ，则M∩N等于 ()A.(0，4]B.[0 ，4)C.[-1，0)D.(-1，0]【分析】选 B. 由于会合M={x|x 2-3x-4<0}={x|-1<x<4}.N={x|0≤x≤5} ，因此M∩N={x|0≤x<4}.2.设复数 z=3+i(i 为虚数单位 ) 在复平面中对应的点为 A，将 OA绕原点 O逆时针旋转 90°获得 OB，则点 B 在()A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】选 B. 复数 z=3+i 对应复平面上的点 A(3 ，1) ，将 OA逆时针旋转 90°后获得 OB，故 B(-1 ，3) ，在第二象限 .3.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”能否相关，运用 2×2 列联表进行独立性查验，经计算 K2=7.069 ，则以为“学生性别与支持活动相关”的犯错误的概率不超出 ()A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%附：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【分析】选 B. 由于 7.069>6.635 ，因此以为“学生性别与支持活动相关系”犯错的概率不超出 1%.4.已知△ ABC的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c. 若 a=2，cosA= ，则△ ABC面积的最大值为 ()A.2B.C.D.【分析】选 B. 由 a2=b2+c2-2bccosA 得 4=b2+c2- bc≥2bc-bc= bc，所以 bc≤3，S= bcsinA= bc·≤ ×3×= .5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才获得其关，要见这天行数里，请公认真算相还” ，其意思为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从次日起脚痛每日走的行程为前一天的一半，走了6 天后抵达目的地”，则次日走了 ()A.96 里B.48 里C.192 里D.24 里【分析】选 A. 由题意，得该人每日走的行程形成以为公比、前6项和为 378 的等比数列，设第一天所走行程为a1，则=378，解得 a1 =192， a2=96，即次日走了 96 里.6. 若函数 f(x)=sinω x( ω >0) 在区上增，且f>f，ω的一个可能是 ()A. B. C. D.【分析】 C.由函数 f(x)=sin ωx( ω>0) 在区上增，得≤? ω≤ .由 f>f，得> ，ω> ，因此 <ω≤ . 故 C.7. 如所示的程序框中，循体行的次数是()A.50B.49C.100D.99【分析】 B. 从程序框反应的算法是S=2+4+6+8+⋯， i的初始2，由 i=i+2 知，行了 49 次，i=100 ，足 i ≥100，退出循 . 8. m，n∈R，若直 (m+1)x+(n+1)y-2=0 与 (x-1) 2+(y-1) 2=1 相切，则 m+n的取值范围是 ()A.[1-，1+]B.(- ∞， 1-] ∪[1+，+∞)C.[2-2，2+2]D.(- ∞， 2-2] ∪[2+2，+∞)【分析】选 D.由题意可得=1，化简得mn=m+n+1≤，解得m+n≤2-2或m+n≥2+2.9. 若曲线 y=在点(a，) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a=()A.64B.32C.16D.8【分析】选 A. 求导得 y′=-(x>0) ，因此曲线 y=在点(a，)处的切线l的斜率k=-，由点斜式得切线l 的方程为y-=-(x-a) ，易求得直线 l 与 x 轴， y 轴的截距分别为3a，，因此直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S= ×3a×==18，解得 a=64.10.在棱锥 P-ABC中，侧棱 PA，PB，PC两两垂直， Q为底面△ ABC 内一点，若点 Q 到三个侧面的距离分别为 3，4，5，则以线段 PQ为直径的球的表面积为 ()世纪金榜导学号 92494365 A.100π B.50π C.25π D.5 π【分析】选 B. 以 P为坐标原点， PA，PB，PC所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建系，则 Q 点的坐标为 (3 ， 4 ， 5) ，则|PQ|==，因此S表=4π=50π.11. 已知 F 为双曲线- =1(a>0，b>0) 的左焦点，点 A 为双曲线虚轴的一个极点，过F，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右边的交点为 B，若=(-1)，则此双曲线的离心率是()世纪金榜导学号92494366 A. B. C.2 D.【分析】选 A. 过 F，A 的直线方程为 y= (x+c) ①，一条渐近线方程为y= x②，联立①②，解得交点 B，由=(-1)，得c=(-1)，c=a，e= .12. 已知函数 f(x)=若f(f(m))≥0，则实数m 的取值范围是 ()世纪金榜导学号92494367 A.[-2 ，2] B.[-2 ，2] ∪[4 ，+∞)C.[-2 ，2+ ]D.[-2 ，2+ ] ∪[4 ，+∞)【分析】选 D.令 f(m)=n ，则 f(f(m))≥0就是f(n)≥0.画出函数f(x)的图象可知， -1 ≤ n≤1 或 n≥ 3，即 -1 ≤ f(m) ≤ 1 或 f(m) ≥ 3. 由1-|x|=-1得x=-2.由 x2-4x+3=1，x=2+ ，x=2- ( 舍).由 x2-4x+3=3 得， x=4，x=0( 舍).再依据图象获得， m∈[-2 ，2+ ] ∪[4 ，+∞).二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分. 请把正确答案填在题中横线上 )13. 设 P 为等边△ ABC所在平面内的一点，知足= +2，若AB=1，则·的值为________.【解析】方法一：·=(+ )·(+ )=(--2+ )·(--2+)=-(--) ·2 =2+2·=2×12+2×1×1× =3.方法二：以 AB所在直线为 x 轴， AB中点为原点成立坐标系，则 A，B，C，设P(x，y)，由= +2，得=+2，因此·=(0，) ·(1，)=3.答案： 314.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.世纪金榜导学号92494368【分析】由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V= Sh=×2=.答案：15.设函数 y=f(x) 的图象与 y=2x+a的图象对于直线 y=-x 对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=________.世纪金榜导学号92494369【分析】设 f(x) 上随意一点 (x ，y) 对于 y=-x 的对称点为 (-y，-x) ，将(-y ，-x) 代入 y=2x+a，因此 y=a-log 2(-x) ，由 f(-2)+f(-4)=1，得a-1+a-2=1 ，2a=4，a=2.答案： 216.已知函数 f(x)=x 3-3a 2x-6a 2+3a(a>0) 有且仅有一个零点 x0，若 x0>0，则 a 的取值范围是 ________.世纪金榜导学号92494370【分析】已知 f(x)=x 3-3a 2x-6a 2+3a(a>0) ，则 f ′(x)=3x 2 -3a 2，①若 f ′(x) ≥0 恒成立，则 a=0，这与 a>0 矛盾 .②若 f ′(x) ≤0 恒成立，明显不行能 .③若 f ′(x)=0 有两个根 a，-a ，而 a>0，则 f(x) 在区间 (- ∞，-a) 上单一递加，在区间 (-a ，a) 上单一递减，在区间 (a ，+∞) 上单一递加 .故 f(-a)<0，即2a2-6a+3<0，解得<a<.答案：封闭 Word 文档返回原板块。

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|（）x≥2}，B={y|y=lg（x2+1）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x≤﹣1或x≥0} B．{（x，y）|x≤﹣1，y≥0} C．{x|x ≥0} D．{x|x＞﹣1}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：计算题．【分析】：由全集U=R，集合={x|x≤﹣1}，得到C U A={x|x＞﹣1}，再由B={y|y=lg（x2+1）}={y|y≥0}，能求出（C U A）∩B．【解析】：解：∵全集U=R，集合={x|x≤﹣1}，∴C U A={x|x＞﹣1}，∵B={y|y=lg（x2+1）}={y|y≥0}，∴（C U A）∩B={x|x|x≥0}．故选C．【点评】：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由z（1+3i）=i，得，∴z的虚部为．故选：A．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞1【考点】：充要条件．【分析】：先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．【解析】：解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x=3，y=﹣10满足x+y≤2当不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件．所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选B【点评】：本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．4．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？【考点】：循环结构．【专题】：阅读型．【分析】：n=1，满足条件，执行循环体，S=2，依此类推，当n=10，不满足条件，退出循环体，从而得到循环满足的条件．【解析】：解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选B．【点评】：本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解析】：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，此时，离心率e==．故选：C．【点评】：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．（5分）定义：|=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．πC．D．π【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由题意可得解析式f（x）=2sin（x﹣），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin（x+m﹣），由m﹣=kπ+，k ∈Z，即可求m的最小值．【解析】：解：由题意可得：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m﹣），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣=kπ+，k∈Z，故解得：m（m＞0）的最小值是．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．7．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．【解析】：解：∵函数f（x）=，则y=f（2﹣x）=，故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，故选：A．【点评】：本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A．B．C．D．7【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=，故几何体的体积V=8﹣=，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．【解析】：解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．【点评】：本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题10．（5分）已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值为（）A．26 B．32 C．36 D．48【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：综合题；不等式的解法及应用．【分析】：先由条件求得AB•AC=4，再由S△ABC=AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1．再由f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．【解析】：解：∵•=2，∠BAC=30°，∴AB•AC•cos30°=2，∴AB•AC=4．∵S△ABC=AB•AC•sin30°=1=x+y+z．∴f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z）=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36，即f（x，y，z）=++的最小值为36，故选：C．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．【考点】：数量积表示两个向量的夹角．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角【解析】：解：设向量和的夹角是α，则∵，且，∴=2﹣=2﹣2cosα∴cosα=∵α∈[0，π]∴α=故答案为：【点评】：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．12．（5分）在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q= 2 ．【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4，列出关于q 的方程，由各项为正数求出q的值．【解析】：解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．13．（5分）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8 ．【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，可知：按3+12k（k∈N*）抽取．可得：在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，即可得出．【解析】：解：∵从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，则以后按3+12k（k∈N*）抽取．∵3×12×41=495，∴在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，因此编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8．故答案为：8．【点评】：本题考查了系统抽样的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是（8，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：根据绝对值不等式的性质求得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|a﹣3|，由|a﹣3|＞5，求得a的范围．【解析】：解：∵|x﹣3|+|x﹣a|≥|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|a﹣3|，∴|a﹣3|＞5，∴a﹣3＞5，或a﹣3＜﹣5，解得a＞8，或a＜﹣2，故答案为：（8，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【点评】：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x ∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f （x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．【考点】：抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：根据f（x+1）=﹣，可得f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．【解析】：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y=f （x）的图象与y=log a（x+2）有4个交点，所以可得1≥log a（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．【考点】：两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．【解析】：解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．【点评】：本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．17．（12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望．【考点】：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：综合题．【分析】：（I）利用相互独立事件的概率公式及相互对立事件的概率公式列出方程求出学生小张选修甲的概率．（II）先判断出事件A表示的实际事件，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出事件A的概率；（II）求出ξ可取的值，求出取每个值的概率值，列出分布列，利用数学期望公式求出随基本量的期望值．【解析】：解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得所以学生小张选修甲的概率为0.4（Ⅱ）若函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24∴事件A的概率为0.24（Ⅲ）依题意知ξ=0，2则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52【点评】：求随基本量的分布列，应该先判断出随基本量可取的值，再求出取每一个值的概率值．18．（12分）在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D﹣ABCE，在图2中解答以下问题：（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）取AE中点H，连接HF，连接EB，利用面面垂直，证明线面垂直，即DH⊥平面ABCE，进一步证明AC⊥平面DHF，从而可得线线垂直；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面DCB的法向量，面DAB的法向量，利用向量的夹角公式，可得二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解析】：（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE所以DH⊥平面ABCE，因为AC⊂平面ABCE所以AC⊥DH…（2分）因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE所以AC⊥HF…（4分）因为HF⊂平面DHF，DH⊂平面DHF，且HF∩DH=H所以AC⊥平面DHF，又DF⊂平面DHF所以DF⊥AC…（6分）（Ⅱ）解：连接BH，EB由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BH⊥AE由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则所以，设面DCB的法向量为，则不妨设…（8分）设面DAB的法向量，又则，取…（10分）所以所以二面角A﹣BD﹣C的正弦值为…（12分）【点评】：本题看下线面垂直，考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．19．（12分）设S n是数列{a n}（n∈N*）的前n项和，已知a1=4，a n+1=S n+3n，设b n=S n﹣3n．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=2log2b n﹣+2，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：计算题；证明题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由a n+1=S n+3n可得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n ﹣3n），从而得到b n+1=2b n，于是有：数列{b n}是等比数列，可求得b1=1，从而可求得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c n=2log2b n﹣+2=2n﹣，设M=1++++…++…①则M=++++…++…②，利用错位相减法即可求得数列{c n}的前n项和T n．【解析】：证明：（Ⅰ）∵a n+1=S n+3n，∴S n+1﹣S n=S n+3n即S n+1=2S n+3n，∴S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）∴b n+1=2b n…（4分）又b1=S1﹣3=a1﹣3=1，∴{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，故数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c n=2log2b n﹣+2=2n﹣…（8分）设M=1++++…++…①则M=++++…++…②①﹣②得：M=1+++++…+﹣=2﹣﹣，∴M=4﹣﹣=4﹣，∴T n=n（n+1）+﹣4…（12分）【点评】：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式，突出考查了错位相减法，考查分析与转化的能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a ≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a 的范围．【解析】：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a ﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．21．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q 两点．（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）由已知条件，设椭圆方程为，把点代入能求出椭圆C1的方程．抛物线C2中，由，能求出抛物线C2的方程．（II）（i）设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），由于切线MA，MB同过点M，有，由此能证明直线AB过定点．（ii）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立方程，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程．【解析】：解：（I）由于椭圆C1中，，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得λ=1．故椭圆C1的方程为．抛物线C2中，∵抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），∴，故p=1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=﹣2y．（II）（i）证明：设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为﹣x1，从而MA的方程为y=﹣x1（x﹣x1）+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0=0上．又点M在直线2x﹣4y+3=0上，则2x0﹣4y0+3=0，故直线AB的方程为（4y0﹣3）x+2y+2y0=0，即y0（4x+2）+（2y﹣3x）=0，∴直线AB过定点．（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0，则联立方程，消去y并简化得，从而，，，从而，点O到PQ的距离，从而=，当且仅当，即，又由于2x0﹣4y0+3=0，从而消去x0得，即，解得，从而或，∴所求的直线为x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0．【点评】：本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．。

高考小题标准练(四)满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设不等式x2-x≤0的解集为M，函数f(x)=lg(1-|x|)的定义域为N，则M∩N=( )A.(-1，0]B.[0，1)C.(0，1)D.[0，1]【解析】选B.由x2-x≤0，得M={x|0≤x≤1}，因为1-|x|>0，所以N={x|-1<x<1}，所以M∩N=[0，1).2.已知复数z满足z=，则z的共轭复数的虚部为( )A.2B.-2C.-1D.1【解析】选D.由题意知z====-1-i.3.设命题p：∃α0，β0∈R，cos(α0+β0)=cosα0+cosβ0；命题q：∀x，y∈R，且x≠+kπ，y≠+kπ，k∈Z，若x>y，则tanx>tany.则下列命题中真命题是( ) A.p∧q B.p∧(非q)C.(非p)∧qD.(非p)∧(非q)【解析】选B.当α0=，β0=-时，命题p成立，所以命题p为真命题；当x，y不在同一个单调区间内时命题q不成立，命题q为假命题.故p∧(非q)为真命题.4.设数列{a n}满足a1+2a2=3，点P n(n，a n)对任意的n∈N*，都有=(1，2)，则数列{a n}的前n项和S n为( )A.nB.nC.nD.n【解析】选A.因为=-=(n+1，a n+1)-(n，a n)=(1，a n+1-a n)=(1，2)，所以a n+1-a n=2.所以{a n}是公差为2的等差数列.由a1+2a2=3，得a1=-，所以S n=-+n(n-1)×2=n.5.若执行如图所示的程序框图，则输出的k值是( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.由题知n=3，k=0；n=10，k=1；n=5，k=2；n=16，k=3；n=8，k=4，满足判断条件，输出的k=4.6.已知函数f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x+2016)为偶函数，且f(x)对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，则( )A.f(2019)<f(2014)<f(2017)B.f(2017)<f(2014)<f(2019)C.f(2014)<f(2017)<f(2019)D.f(2019)<f(2017)<f(2014)【解析】选A.由于函数f(x+2016)为偶函数，故函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，又因为对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，所以函数f(x)在[2016，+∞)上单调递减，所以f(2019)<f(2018)<f(2017)，因为函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，所以f(2014)=f(2018)，所以f(2019)<f(2014)<f(2017).7.函数f(x)=x+cosx的大致图象为( )【解析】选B.因为f(x)=x+cosx，所以f(-x)=-x+cos(-x)=-x+cosx，即函数f(x)为非奇非偶函数，从而排除A，C.又当x=π时，f(π)=π-1<π，故排除D.8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.4B.6C.7D.【解析】选D.该几何体的直观图如图中多面体ADCEG-A1D1C1F所示，它是由棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1截去一个三棱台而形成的，结合已知得所求体积V=23-×2×(×1×++×2×1)=.9.已知直线l：x+ay-1=0(a∈R)是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=( )A.2B.4C.6D.8【解析】选C.由于直线x+ay-1=0是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x+ay-1=0上，所以2+a-1=0，所以a=-1，所以A(-4，-1).所以|AC|2=36+4=40.又r=2，所以|AB|2=40-4=36.所以|AB|=6.10.已知函数f=x-，g=，对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f(x3)=g，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.函数f=x-，f′=1-=，当0<x<1时，f′<0，此时函数f单调递减；当x>1时，f′>0，此时函数f单调递增.对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f=g，则m>0.问题转化为当x≥e时，f>g恒成立，即x->，m<x2-lnx，即m<，设h=x2-lnx，h′=2x-，当x≥e时，h′>0恒成立，则函数h在[e，+∞)上单调递增，当x=e时，h有最小值e2-1，故m<e2-1，又m>0，所以0<m<e2-1.11.在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2=，|PF2|=2|PF1|，则该双曲线的离心率等于( )A.2B.C.3D.【解析】选D.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos==，解得|PF1|=c，则|PF2|=c，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=c-c=2a，即=.12.若数列{a n}对于任意的正整数n满足：a n>0且a n a n+1=n+1，则称数列{a n}为“积增数列”.已知“积增数列”{a n}中，a1=1，数列{+}的前n项和为S n，则对于任意的正整数n，有( )A.S n≤2n2+3B.S n≥n2+4nC.S n≤n2+4nD.S n≥n2+3n【解析】选D.因为a n>0，所以+≥2a n a n+1.因为a n a n+1=n+1，所以{a n a n+1}的前n项和为2+3+4+…+(n+1)==，所以数列{+}的前n项和S n≥2×=(n+3)n=n2+3n.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是________.【解析】抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，双曲线x2-=1的渐近线为x±y=0，所以抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是=.答案：14.定义符合条件的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当“和谐格点”的个数为4时，实数a的取值范围是__________.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当“和谐格点”的个数为4时，它们分别是(0，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，所以a的取值范围是[1，2).答案：[1，2)15.已知△ABC中，AB=3，AC=，点G是△ABC的重心，·=________.【解析】延长AG交BC于点D，则D为BC的中点，·=·=×(+)·(-)=(||2-||2)==-2. 答案：-216.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x2.若在区间[-1，3]内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为__________. 【解析】依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数.g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1，3]内有4个零点，即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图象在区间[-1，3]内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y=k(x+1)恒过点(-1，0)，由题及图象可知，当k∈时，相应的直线与函数y=f(x)在区间[-1，3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案：。

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a 等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．123．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．54．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB 交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( )A．B．3 C．D．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( ) A．m∈（0，1）B．m∈（0，1] C．m∈[0，1] D．m∈[﹣1，0）7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为__________cm3．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于__________．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是__________．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为__________．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为__________．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答：解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．12考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，可得m=4，n=﹣1，结合条件，即可求出z=2x+3y的最大值．解答：解：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，∴m=4，n=﹣1，∴2x+3y=4（x+y）﹣（2x+y）≤12﹣4=8，∴z=2x+3y的最大值为8，故选：B．点评：本题考查目标函数的最大值，考查学生的计算能力，正确运用待定系数法是解题的关键．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2，i=1不满足条件i＞10，x=﹣5，i=2不满足条件i＞10，x=﹣，i=3不满足条件i＞10，x=2，i=4不满足条件i＞10，x=﹣5，i=5…观察规律可知x的取值以3为周期，故不满足条件i＞10，x=﹣，i=9不满足条件i＞10，x=2，i=10不满足条件i＞10，x=﹣5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识是考查．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB 交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( )A．B．3 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．解答：解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），则，，∴k1•k2===2，∴该双曲线的离心率e==．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．解答：解：∵=+，，∴=+，∵=﹣，，∴=﹣∴=+==+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，则λ+μ=+=，故选：A点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( ) A．m∈（0，1）B．m∈（0，1] C．m∈[0，1] D．m∈[﹣1，0）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据指数函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解答：解：若f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点，即f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m=0有解，即m=2﹣|x﹣1|，∵2﹣|x﹣1|∈（0，1]，∴m∈（0，1]，故函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为m∈（0，1]，故选：B．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用参数分离法是解决本题的关键．7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑；推理和证明．分析：①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，解得PC，即可得出CD．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2=，解出BC．③由△PCA∽△PBD，可得，即可判断出正误．④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．解答：解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∴4×10=8PC，解得PC=5，∴CD=PD﹣PC=3，正确．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2==，解得BC==，因此②不正确．③∵△PCA∽△PBD，∴=，∴BD=2CA，正确．④连接OD，则△OCD为正三角形，∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．综上可得：只有①③④正确．故选：D．点评：本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：通过换元法求解x2﹣1的根，然后求解方程的解的个数．解答：解：令t=|x2﹣1|，方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0化为：t2﹣3t+2=0，解得t=1或t=2，即|x2﹣1|=1，或|x2﹣1|=2，由|x2﹣1|=1，解得x=，x=0，由|x2﹣1|=2解得x=．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是：5．故选：C．点评：本题考查函数的零点以及方程根的个数的求法，考查计算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．所以：V=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：解方程组可得图象的交点，由题意可得积S=dx，计算可得．解答：解：联立可解得或，∴所求面积S=dx=（﹣x2+3x﹣x3）=﹣（﹣9）=故答案为：点评：本题考查定积分求面积，属基础题．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得．解答：解：（1）当a＞1时，令t=ax2﹣x，则由题意可得函数t在区间上单调递增，且t＞0，故有，解得a＞2，综合可得a＞2；（2）当0＜a＜1时，则由题意可得函数t在区间上单调递减，且t＞0，故有，解得a∈∅，故此时满足条件的a不存在．综合（1）（2）可得a＞2故答案为：（2，+∞）点评：本题考查对数函数的单调性，涉及分类讨论思想和二次函数的性质，属中档题．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件求得cosB的值，再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos （120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．解答：解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=，∴cosB==，cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=+=，故cosA+cosB=+=，故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sin θ+2cosθ，进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．所以：圆心到直线的距离为：d=．故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为68．考点：基本不等式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）=2+4+8+…+210+（1+3+5+…+19）=211﹣2+100=2146；再求2146的质因子，从而解得．解答：解：由题意，S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；又∵2146=2×29×37=1×58×37=1×2×1073=1×29×74=2×29×37；∴a+b+c的最小值为2+29+37=68；故答案为：68．点评：本题考查了等差数列与等比数列前n项和的求法，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先利用函数f（0）=f（）=1，建立方程组求出a和b的值，进一步听过三角函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）x+b 由于：f（0）=f（）=1，所以：，解得：所以：2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=，所以：函数的最小正周期：T=，（Ⅱ）由于：函数f（x）=，当时，．所以：即：函数的最大值为，函数的最小值为﹣1．点评：本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的确定，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，录用古典概率计算公式即可得出；（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．解答：解：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，∴P（A）==．（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P（X）数学期望E（X）=1+×+2×+3×=．点评：本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x 轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）求得则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和垂直，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；（Ⅲ）求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求角．解答：（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，1，0），C1（0，2，1），则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），由，，可得﹣2x1+y1=0，且﹣2x1+2y1+z1=0，可取x1=1，y1=2，z1=﹣2．即有=（1，2，﹣2），由于=﹣2+0+2=0，即有，则A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），由C1C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量为=（0，0，1），由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，﹣2），由cos＜，＞===﹣．故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为；（Ⅲ）解：E为A1B1的中点，则E（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，则AE与DC1所成的角为．点评：本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后直接利用=证得数列{}是公差为的等差数列；（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；（3）把{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求得答案．解答：（1）证明：由a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，得，∴，则==，∴数列{}是公差为的等差数列；（2）解：由（1）知，=，∴；（3）解：b n==，则=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义，可得a=2，再由离心率公式，可得c，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得切点P的坐标，再令x=﹣4，可得Q的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵|AB|+|AF1|+|BF1|=8，即|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，而|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，∴4a=8，即a=2．∵，∴c=1，则．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．如图，设P点的坐标为（x0，y0），依题意m≠0且△=0，即△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得4k2+3=m2．此时，，∴P点的坐标为．由解得y=﹣4k+m．∴Q点的坐标为（﹣4，﹣4k+m）．由F1（﹣1，0），求得，，∴．∴直线PF1垂直于直线QF1．点评：本题考查椭圆的定义和方程，性质，主要考查定义和离心率公式及方程的运用，注意联立直线方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；（2）问题转化为求函数y=ax2﹣x与y=lnx的解得个数问题，通过讨论a的范围即可求出；（3）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，令f′（x）=0得：x1=，x2=1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，当x=时：f（x）有极大值，且f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2；当x=1时：f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2；（2）∵f（x）=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣x=lnx，x∈（0，+∞），显然a≤0时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，当a=1时，函数y=x2﹣x=﹣，x=时：y min=﹣，而y=ln ＜ln，∴0＜a＜≤1时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，a＞1时，画出函数y=ax2﹣x与y=lnx的图象，如图示：，图象有2个交点，综上：a＞1；（3）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，f′（x）=，（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，f′（x）=，f′（x）=0得：x1=，x2=1，a＞时，0＜x1＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时也不成立．综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．。

2021年高三数学二轮复习高考小题标准练九理新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=，B=，则A∩B=( )A.{x|x>0}B.{x|x≥0}C.{x|x≤2或x≥4}D.{x|0<x≤2或x≥4}【解析】选B.由集合A=，即集合A={x|x∈R}.集合B=，即B={y|y≥0}.所以A∩B={x|x≥0}.2.已知i是虚数单位，若<0(m∈R)，则m的值为( )A. B.-2 C.2 D.-【解析】选B.由<0，知为纯虚数，所以=为纯虚数，所以2+m=0，且1-2m≠0，解得m=-2.3.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则认为“学生性别与支持活动有关”的犯错误的概率不超过( )附：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【解析】选B.因为7.069>6.635，所以至少有99%的把握认为“学生性别与支持活动有关系”，即认为“学生性别与支持活动有关系”出错的概率不超过1%.4.如图，从高为h的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的俯角是α，桥头(C)的俯角是β，则桥BC的长为( )A.hB.hC.hD.h【解析】选A.设气球在地面上的射影点为D，在△ABD中，AB=，在△ABC中，BC=sin(α-β)=h·.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9>0，S10<0，则，，…，中最大的是( )A. B. C. D.【解析】选B.⇒⇒易得：数列{a n}为单调递减数列，故a1>a5>0>a6>a9，所以：0<<，<0，<0.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f=( )A. B.1C. D.2【解析】选B.由题意可知=π-π，所以T=π，所以ω==3，则y=Asin(3x+φ)，又Asin=0，所以π+φ=π，所以φ=，因为(0，1)在图象上，则Asin=1，所以A=2，进而f=2sin，从而f=1.7.执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.此程序框图的算法功能是分段函数y=的求值，当y=3时，相应的x值分别为±2，8.8.已知A，B为圆C：(x-a)2+(y-b)2=9(a，b∈R)上的两个不同的点，且满足|+|=2，则||=( )A.1B.C.2D.2【解析】选D.由题意知半径为3，再由|+|=2知弦心距为，从而||=2=2.9.若函数y=e x+mx有极值，则实数m的取值范围是( )A.(0，+∞)B.(-∞，0)C.(1，+∞)D.(-∞，1)【解析】选B.y′=(e x+mx)′=e x+m，函数y=e x+mx没有极值的充要条件是函数在R上为单调函数，即y′=e x+m≥0(或≤0)恒成立，而e x≥0，故当m≥0时，函数y=e x+mx在R 上为单调递增函数，不存在极值，所以函数存在极值的条件是m<0.10.在棱锥P-ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3，4，5，则以线段PQ为直径的球的表面积为( )A.100πB.50πC.25πD.5π【解析】选B.以P为坐标原点，PA，PB，PC所在直线为坐标轴建系，则Q点的坐标为(3，4，5)，则|PQ|==，所以S表=4π=50π.11.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为e，直线y=2x与以C的长轴为直径的圆交于A，B两点，且曲线C恰好将线段AB三等分，则e2的值为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图所示，设直线y=2x与椭圆C的两个交点为D，E，D(x1，y1)，E(x2，y2)，由已知得|DE|=|AB|=.将y=2x代入椭圆C：+=1(a>b>0)得x=±，故|DE|=|x1-x2|=，所以=，化简得a2=11b2，a2=11(a2-c2)，解得e2=.12.已知奇函数f(x)=5x+sinx+c，x∈(-1，1)，如果f(1-x)+f(1-x2)<0，则实数x的取值范围为( )A.(0，1)B.(1，)C.(-2，-)D.(1，)∪(-，-1)【解析】选B.因为f′(x)=5+cosx>0，可得函数f(x)在(-1，1)上是增函数，又函数f(x)为奇函数，所以由f(x)=5x+sinx+c及f(0)=0可得c=0，由f(1-x)+f(1-x2)<0，可得f(1-x)<-f(1-x2)=f(x2-1)，从而得解得1<x<.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知平面向量a=(1，2)，a·b=10，|a+b|=5，则|b|=________.【解析】|a+b|===5.解得|b|=5.答案：514.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为__________.【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得：(5.4-x)×3×1+π·x=12.6，解得x=1.6.答案：1.615.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(xx)的值为__________.【解析】当x>0时，由f(x)=f(x-1)-f(x-2)，得f(x+1)=f(x)-f(x-1)，两式相加得f(x+1)=-f(x-2)，所以f(x+3)=-f(x)，所以f(x)=f(x+6)，故f(xx)=f(6×336)=f(0)=02-20=-1.答案：-116.已知函数f(x)的定义域为(4a-3，3-2a2)，a∈R，且y=f(2x-3)是偶函数，又g(x)=x3+ax2++，存在x0∈，k∈Z，使得g(x0)=x0，则满足条件的实数k的个数为________.【解析】由于函数f(x)的定义域为(4a-3，3-2a2)，所以4a-3<3-2a2，解得-3<a<1.又函数y=f(2x-3)是偶函数，所以4a-3<2x-3<3-2a2⇒2a<x<3-a2，且2a+3-a2=0⇒a=-1或3，当a=3时，4a-3=9，3-2a2=-15，不成立.所以a=-1，则g(x)=x3-x2++.令h(x)=g(x)-x=x3-x2-+，则h′(x)=3x2-2x-=(6x2-4x-1)=0⇒x=，且当x=时，h(x)取得极大值，且h>0，当x=时，h(x)取得极小值，且h<0，所以函数h(x)有三个零点.又h(-1)<0，h>0，h(0)>0，h<0，h(1)<0，h>0，所以k=-1，0，1，即实数k有3.答案：3。

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．274．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．66．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．138．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．159．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2 B．8 C．D．10．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx取得最小值，则tan θ等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x 12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为______．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解对数不等式和指数不等式化简集合A，B，求出∁R A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由＞﹣1=，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A={x|＞﹣1}=（﹣1，1），∴∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B={x|1＜3x＜9}=（0，2），∴（∁R A）∩B=[1，2）．故选：B．2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．27【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式可得q．再利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2=9，a5=243，∴243=9×q3，解得q=3．又a1•a7=，∴a1与a7的等比中项为±a4=±=±9×32=±81．故选：A．4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据系统抽样的定义进行判断，②根据回归直线的性质进行判断，③根据正态分布的概率关系进行判断，④根据概率和不可能事件的关系进行判断．【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40=20；故①错误，②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1=0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率=圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P=0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故故选：C5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的减法运算，及共线向量基本定理可得到：，所以便可得到，=3．【解答】解：==；∴，∴，∴．故选A．6．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D．7．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】循环结构．【分析】算法的功能是求S=++…+，利用等比数列的前n 项和公式即可求得满足条件S的最小的n值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+==1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1=12，∴输出n=12．故选：C．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由于S6＞S7＞S5，可得：a7＜0，a6+a7＞0，判断S12，S13的符号即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＞S7＞S5，∴a7＜0，a6+a7＞0，∴S12==6（a6+a7）＞0，S13==13a7＜0，∴则满足S n＜0的正整数n的最小值为13．故选：B．9．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1．利用正方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1．∴该四面体的体积V=23﹣=．故选：C．10．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx取得最小值，则tan θ等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为f（x）=﹣cos （x﹣θ）（其中，cosθ=﹣，sinθ=），根据当x=θ时，函数f（x）取最小值，可得tanθ的值．【解答】解：∵当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx=（cosx ﹣sinx）=﹣（﹣cosx+sinx）=﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ=﹣，sinθ=）取得最小值，则tanθ==﹣，故选：C．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x 【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，令t=f（x）﹣xe X，得出f（x）=xe X+t，再由f（t）=te t+t=0求出t的值，即可得出f （x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=x 的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，不妨令t=f（x）﹣xe X，则f（x）=xe X+t，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe X，所以f′（x）=（x+1）e X，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为﹣2 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可解1﹣x2＞0得到﹣1＜x＜1，从而有|x﹣2|=2﹣x，这便得到，而由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f （x），这样即可得到2+x+a=﹣（2﹣x+a），从而可求出a的值．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|=2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴2+x+a=﹣（2﹣x+a）；∴2+a=﹣2﹣a；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【考点】球的体积和表面积．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故答案为：4+．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n= （n2﹣2n+3）•2n+1﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】两次利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n=22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n=（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n=（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1=（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=c，化简整理，即可证明：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）利用a+b+c=1+，a2+b2=c2，根据基本不等式可得1+=a+b+≥2+=（2+）•，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，所以由正、余弦定理，得a+b= c …化简整理得（a+b）（a2+b2）=（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2=c2…故△ABC为直角三角形，且∠C=90°…（Ⅱ）解：因为a+b+c=1+，a2+b2=c2，所以1+=a+b+≥2+=（2+）•当且仅当a=b时，上式等号成立，所以≤．…故S△ABC=ab≤×…即△ABC面积的最大值为…18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P （0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量，=（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞==，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡3次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P==…（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）•=，P（ξ=1）=••=，P（ξ=2）=••=，P（ξ=3）=•+•••+•••=…随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…．随机变量ξ的均值为E（ξ）=×0+×1+×2+×3=…20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AF1的方程．（Ⅲ）由，利用弦长公式能求出四边形AA1B1B的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，∴由题意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，∵，∴b2=5…∴椭圆方程为…（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…∵，∴y1=﹣2y2③联立①②③消去y 1y2，得．∴直线AF1的方程为…（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…=∴四边形AA1B1B的面积为．…21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，单调区间，可得f（x）的最大值为f（1）；（Ⅱ）由题意可得恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，求得导数，令导数小于等于0恒成立，运用参数分离和构造函数法，求出导数和单调区间，可得最值，即可得到所求m 的范围；（Ⅲ）结论：＞2n+1．运用构造数列法和等比数列的通项公式，可得a n=．运用对数的运算性质和放缩法，结合裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max=f（1）=0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）=，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故[t（x）]min=t（1）=﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由==•+得：=，又，知，=，即有a n=．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x ＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）==ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n=a1+a2+…+a n＞[ln（21+1）﹣ln（20+1）]+[ln（22+1）﹣ln（21+1）]…[ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）]=ln（2n+1）﹣ln（20+1）=，即＞2n+1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…又OP=3，Rt△OFP中，OF2=OP2﹣FP2=9﹣2=7，…Rt△OAF中，，…∴r=5证明：（Ⅱ）∵CA=CB，∴∠CAD=∠B又∵∠B=∠E，∴∠CAD=∠E…∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max=9．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）对x讨论，分x≤﹣1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a ﹣1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…当时，，得，所以成立．…当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|=|a﹣1|，∴f（x）=|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…2016年10月4日。

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高考小题标准练( 六 )满分 80 分，实战模拟， 40 分钟拿下高考客观题满分！一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1. 若会合 A={x|3+2x-x 2>0}，会合 B={x|2 x<2}，则 A∩B 等于 ()A.(1 ，3)B.(-∞， -1)C.(-1 ，1)D.(-3 ，1)【分析】选 C.由于 A=(-1，3) ，B=(- ∞， 1) ，因此 A∩B=(-1 ，1).2. 若复数 z=+a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数 a 可以是()A.-4B.-3C.1D.2【分析】选 A. 若 z=+a=(3+a)-ai在复平面上对应的点在第二象限，则 a<-3.3. 已知平面向量a，b 的夹角为，且a·(a-b)=8，|a|=2，则|b|等于()A. B.2 C.3 D.4【分析】选 D.由于 a ·( a- b)=8，所以 a ·a- a ·b=8，即| a| 2-| a|| b| ·cos<a，b>=8，因此 4+2| b| × =8，解得 | b|=4.4.对拥有线性有关关系的变量 x，y，测得一组数据以下世纪金榜导学号 92494347x 2 4 5 68y2040607080依据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来展望当x=20 时， y的预计值为()A.210【分析】选 C.由数据中可知=5，=54，代入回归直线方程得=1.5 ，因此=10.5x+1.5，当x=20 时，=10.5 ×20+1.5=211.5.5. 已知 sin cos +cos sin = ，则 cosx 等于 ()A. B.- C. D.±【分析】选 B.sin cos +cos sin=sin=-cosx=，即cosx=-.6. 设f=且f=4，则f等于 ()A.1B.2C.3D.4【分析】选C.由于f=4，即a2=4，a=±2，又由于 a 是底数，因此a=-2舍去，因此a=2，因此f=log 28=3，应选C.7.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线x+y+3=0 相切，则圆 C的方程是 ()A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8【分析】选 A. 直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为即(-1 ，0).依据题意，圆心为 (-1 ，0).由于圆 C 与直线 x+y+3=0 相切，因此半径为圆心到切线的距离，即r=d==，则圆的方程为 (x+1) 2+y2=2.8.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为 ()A.4B.4C.4D.8【分析】选 B. 由三视图可知，该几何体的直观图以下图，面积最小的面为面VAB，S△VAB= ×2× 4 =4 .9. 如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m 的值能够是()A.3B.4C.5D.6【分析】选 B.S=2，i=2 ，2≤2m；S=6，i=3 ，6≤3m；S=13，i=4 ，13≤4m； S=23， i=5 ，23>5m，此时程序结束，则≤m<，应选 B.10.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺 . 大鼠日自倍，小鼠日自半 . 问何日相遇，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙 . 大老鼠第一天进一尺，此后每日加倍；小老鼠第一天也进一尺，此后每日减半，假如墙足够厚， S n为前 n 天两只老鼠打洞长度之和，则S5 =世纪金榜导学号92494348()A.31B.32C.33D.26【分析】选 B. 大老鼠、小老鼠每日打洞尺数分别组成等比数列，，公比分别为2，，首项都为1，因此S5=+=32.应选B.11. 已知双曲线-=1(a>0 ，b>0) 的右焦点为 F，直线 x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，且直线 AF 与双曲线的一条渐近线对于直线 y=b 对称，则双曲线的离心率为()世纪金榜导学号92494349 A. B.3 C.2 D.【分析】选 C.易得点 A 坐标为 (a ，b) ，由于直线 AF 与双曲线的一条渐近线对于直线y=b 对称，因此直线AF的斜率为 -，即=- ?=2.12.已知函数 f(x) 的导数为 f ′ (x) ， f(x) 不是常数函数，且(x+1)f(x)+xf′(x)≥0对x∈[0，+∞)恒建立，则以下不等式必定成立的是()世纪金榜导学号92494350 A.f(1)<2ef(2) B.ef(1)<f(2)C.f(1)<0D.ef(e)<2f(2)【分析】选 A. 原式等于xf(x)+f(x)+xf′(x)=xf(x)+[xf(x)]′≥ 0，设 F(x)=e x[xf(x)]，则 F′(x)=e[xf(x)]+e[xf(x)]′ =e {xf(x)+[xf(x)]′} ≥0，因此函数F(x)=e x[xf(x)]是单一递加函数，因此F(1)<F(2)? ef(1)<e2·2·f(2)，即 f(1)<2ef(2) ，应选 A.二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分. 请把正确答案填在题中横线上 )13.一名法官在审理一同瑰宝偷窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的口供以下，甲说：“犯人在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实” . 经过检核查实，四人中有两人说的是实话，此外两人说的是谎话，且这四人中只有一人是犯人，由此可判断犯人是________.【分析】假定乙是犯人，那么甲和丙的口供是实话，乙和丁的口供是谎话，切合题意；假定丙是犯人，那么说实话的就有甲、乙、丁三人；假定丁是犯人，那么说实话的只有甲；假定甲是犯人，那么说实话的只有丙. 后边三个假定都与题目要求不切合，假定不建立，故犯人是乙.答案：乙14.(1-) 6的睁开式中 x 的系数是 ________.【解析】(1-) 6的展开式中的第r+1项T r+1 =·16-r·(-) r =(-1) r··，若求x的系数，只要要找到(1-) 6睁开式中的x2的系数和常数项分别去乘+x 中的系数和x的系数即可 . 令 r=4 得 x2的系数是 15，令 r=0 得常数项为 1. 因此 x的系数为 2×15+1=31.答案： 3115.已知等比数列 {a n} 为递加数列， a1=-2，且 3(a n+a n+2)=10a n+1，则公比 q=________.世纪金榜导学号92494351【分析】由于等比数列 {a n} 为递加数列，且 a1=-2<0，因此公比 0<q<1，又因为3(a n+a n+2)=10a n+1，两边同除a n可得3(1+q 2)=10q ，即3q2-10q+3=0，解得 q=3 或 q= ，而0<q<1，因此 q= .答案：16. 设向量a=(a 1，a2) ，b=(b 1，b2) ，定义一种向量积a?b=(a1b1，a2b2)，已知向量 m=，n=，点P(x，y)在y=sinx的图象上运动.Q=m?+n( 此中O 为坐标原是函数y=f(x) 图象上的点，且知足点) ，则函数 y=f(x) 的值域是 ________.世纪金榜导学号92494352【分析】令Q(c，d) ，由新的运算可得=m?+n=+=，即消去 x 得 d= sin，因此 y=f(x)= sin，易知 y=f(x) 的值域为答案：封闭 Word 文档返回原板块。