高一数学集合的基本运算复习2

高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.3集合的基本运算【考点梳理】考点一：并集考点二：交集考点三：全集与补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的自然语言集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【题型归纳】【题型归纳】题型一：根据交集求集合或者参数问题1．集合{2,2,4,6}A =-，{}2120B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．}{2,2,4-B ．{2}-C ．{2,4}D ．{2,2}-2．已知集合{}1A x x =≤，{}0B x x a =-≤，且A B ⋂≠∅，那么实数a 的取值范围是（ ）． A ．1a ≤-B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≥ 3．已知集合302x A x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}|32,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B 中元素的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．无数个题型二：根据并集求集合或者参数问题4．集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16A B ⋃=，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．若集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}516B x x =≤≤，则能使A B B ⋃=成立的所有a 组成的集合为（ ）A ．{}27a a ≤≤B ．{}67a a ≤≤C ．{}7a a ≤D ．∅6．已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，则使A B A ⋃=的实数m 的取值范围可是（ ）A ．{}36m m -≤≤B ．{}4m m ≤C ．{}24m m <<D ．{}6m m <题型三：根据补集运算求集合或者参数问题7．已知全集{}22,4,U a =，集合{}4,3A a =+，{}1U A =ð，则a 的所有可能值形成的集合为（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅ 8．设集合,集合,若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．已知全集{}1,3,5,7,9U =，集合{}5,7A =，，则a 的值为A ．3B ．3-C ．±3D ．9±题型四：集合的交并补集合或参数问题10．若全集{}12345678U =，，，，，，，，集合{}2356A =，，，，集合{}13467B =，，，，，则集合()U A C B ⋂等于（ ）A ．{}23568，，，，B ．{}25，C ．{}36，D ．{}256，， 11．设集合U =R ，{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则图中阴影部分表示的集合（ ）A ．{}1x x ≥B ．{}3x x ≤C ．{}12x x <≤D ．{}23x x ≤<12．集合()11,13M x y y x x ⎧⎫==-⎨⎬--⎩⎭，()(){}2,2,N x y y a x a R ==-∈，若M N ⋂=∅，则实数a的取值范围是（ ）A ．[)0,2B ．[)0,4C ．[)0,8D ．()0,16【双基达标】一、单选题13．已知集合,A B 满足A B A =，那么下列各式中一定成立的是（ ） A ．A B B ．B A C ．A B B ⋃=D ．A B A ⋃=14．设M ，N 是非空集合，且M N U ⊆⊆（U 为全集），则下列集合表示空集的是（ ） A ．()UMN ðB ．()UM N ðIC ．()()U UM N 痧D ．M N ⋂15．已知集合2{|43}A y y x x x R ==-+∈，，2{|22}B y y x x x R ==--+∈，则A B ⋂等于（ ）A ．ΦB ．RC ．{}13-，D ．[]13，-16．已知集合{}2340A x x x =+-=，集合(){}2120B x x a x a =++--=，且A B A ⋃=，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}3,2-B ．{}3,0,2-C ．{}3a a ≥-D ．{}32a a a <-=或17．已知集合{3A x x =<或}7x ≥，{}B x x a =<，若()U A B ≠∅ð，则a 的取值范围为（ ） A ．3a >B ．3a ≥C ．7a ≥D ．7a >18．设数集3|4M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，1|3N x n x n ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，且M ，N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集．如果把b a -叫做{|}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N ⋂的长度的最小值是（ ） A ．13B ．1C ．112D ．3419．已知集合()13A =，，集合{|21}.B x m x m =<<-若A B =∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3123m <…B ．0m …C ．32m …D ．3123m << 20．已知集合{}|0A x x a =-=，{}|10B x ax =-=，且A B B =，则实数a 等于（ ） A ．1B ．1-或1C ．1或0D ．1或1-或021．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（ ） A ．20％B ．10％C ．15％D ．12％22．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩(∁I S )D ．(M ∩P )∪(∁I S )【高分突破】一：单选题23．设全集{|}2U x x ∈≤Z ＝，{|10,}A x x x U =+≤∈，{}2,0,2B =-，则()U A B =ð（ ） A ．{}1B ．{}0,2C ．{2,0,1,2}-D ．(1,2]{2}-⋃-24．已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈ C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅25．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（ ） A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<26．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，那么A B =（ ） A ．{}23x x -<<B ．{}12x x -≤<C ．{}21x x -<<D ．{}23x x << 27．已知集合{}|5S x N x =∈≤，{}22|T x R xa =∈=，且{}1S T ⋂=，则S T ⋃=（ ） A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3} 28．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z29．设()x x P f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩，，，其中P Q ，为实数集R 的两个非空子集，定义：()(){}f P y y f x x P ==∈，，()(){}f Q y y f x x Q ==∈，．给出以下四个判断：①若,P Q φ⋂=则()()f P f Q φ⋂=；②若,P Q φ⋂=则()()f P f Q φ⋂≠； ③若,P Q R ⋃=则()()f P f Q R ⋃=；④若,P Q R ⋃≠()()f P f Q R ⋃≠． 其中正确的判断个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多选题30．设集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，则下列选项中，满足A B =∅的实数a 的取值范围可以是（ ）A ．{|06}a a 剟B ．{|2a a …或4}a …C ．{|0}a a …D ．{|8}a a … 31．已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =ð，则下列关系一定正确的是（ ）A ．AB =∅B ．A B B =C ．A B U ⋃=D ．()U B A A =ð32．给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a b M +?，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合 33．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）A ．()ABC ⋂⋃ B ．()A B CC ．()U A B C ⋂⋂ðD ．()()A B A C ⋂⋃⋂34．设集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，则下列选项中，满足A B ⋂≠∅的实数a 的取值范围可以是（ ）A ．{|06}a a 剟B ．{|2a a …或4}a …C ．{|0}a a …D ．{|8}a a …35．（多选）已知集合{}{}|27,|121A x x B x m x m =-≤≤=+<<-，则使A B A ⋃=的实数m 的取值范围可以是（ ） A ．{}|34m m -≤≤B ．{}|2m m > C ．{}|24m m <<D ．{}|4m m ≤36．已知U 为全集，则下列说法正确的是（ ）A ．若AB =∅，则()()U U A B U =痧B ．若A B =∅，则A =∅或B =∅C ．若A B =∅，则()()U U A B U =痧D ．若A B =∅，则A B ==∅三、填空题37．若集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，P M N =⋂，则集合P 的子集个数为______． 38．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.39．已知集合{|01}A x x =<<，集合{|11}B x x =-<<，集合{}0C x x m =+>∣，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是_____________．40．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋2x ＋b }，且(－1，2)∈A ∩B ，则a＋b ＝________．41．已知方程x 2＋mx ＋2＝0与x 2＋x ＋n ＝0的解集分别为A 和B ，且A ∩B ＝{1}，则m ＋n ＝________．42．设2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中x ∈R ，如果A B B =，则实数a 的取值范围__.四、解答题43．已知集合{}2|20A x x x =--=，{}2|230B x x ax a =++-=．（1）若0a =，求A B ；（2）若A B B =，求a 的取值集合． 44．若集合{|A x =240}xx ->，2{|3(1)(21)0}B x x mx m m =-++-<．（1）若A B B ≠I ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围. 45．在①{}=1A B ⋂，②A B =，③BA 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数a 的值；若问题中的集合不存在，说明理由．问题：是否存在集合,A B ，满足集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}22|6+60B x x ax a a =+-=，使得__________成立？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．) 46．已知集合{}1A x x =<，集合{2B x x =<-或}3x >． （1）求A B ，()RAB ð；（2）若{}12C x m x m =-+<<，且C ≠∅，()RC A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．47．回答下列问题：（1）已知{}{}25,12|,|1A x x B x m x m A B B =-≤≤=+≤≤-⋂=，求m 的取值范围；（2）设U =R ，集合{}(){}223|20,1|0A x x x B x x m x m =++==+++=，若()U A B φ⋂=ð，求m的值.48．已知全集U =R ，集合{}{}27205A x x B x x x =<<=--≤≤-， （1）求()(),U U A B A B ⋂⋃痧；（2）若集合{}()2,U C x a x a C B R =≤≤-⋃=ð，求实数a 的取值范围．【答案详解】1．D【详解】 由题得{}(4)(3)0(4,3)B x x x =+-<=-，所以A B ={2,2}-.故选：D2．C【详解】 解：由1x ≤，得11x -≤≤，所以{}11A x x =-≤≤，由0x a -≤，得x a ≤，所以{}B x x a =≤，因为A B ⋂≠∅，所以1a ≥-，故选：C3．A【详解】 由{}30232x A x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，{}|32,B x x x =-≤≤∈Z ， 所以{}1,0,1,2A B ⋂=-，所以A B 中元素的个数为4.故选：A4．D【详解】因集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，且{}0,1,2,4,16A B ⋃=， 于是得4a =，此时216a =，满足条件，即4a =，若16a =，此时2256a =，不满足条件，舍去，所以a 的值为4.故选：D5．C【分析】A B B A B ⋃=⇔⊆,考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案. 【详解】A B B A B ⋃=⇔⊆当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤； 综上所述：7a ≤.故选：C.6．B【详解】 由题意，集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，因为A B A ⋃=，可得B A ⊆，当B φ=时，可得121m m +>-，解得2m <；当B φ≠时，可得12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩，解得24m ≤≤， 综上可得，实数m 的取值范围{}4m m ≤.故选：B.7．A【详解】由U A U ⊆ð，即{}1{}22,4,a ⊆，则21a =，解得1a =±， 若1a =，则34a +=，而{}4,3A a =+，不符合集合中元素的互异性，舍去；若1a =-，则{}2,4,1U =，{}4,2A =，{}1U A =ð，符合题意.所以a 的所有可能值形成的集合为{}1-.故选：A.8．B【详解】 试题分析：{}|24()2R R C A x x C A B a ∴=≤≤⋂≠∅∴> 9．C【详解】试题分析：由()23{39U a C A A U a a =⋃=∴∴=±=10．B【详解】若全集{}12345678U =，，，，，，，，集合{}2356A =，，，，集合{}13467B =，，，，，∴U B ð{}2,5,8=, 则集合()U A B ⋂=ð{}25，，11．D【详解】解：图中阴影部分表示的集合为()U A B ∩ð， ∵{}2B x x =<，∴{}2U B x x =≥ð{}13A x x =<<，∴(){}23U A B x x ⋂=≤<ð，故选：D.12．C 令1113x x ---2=(2)a x -即22(2)(1)(3)a x x x -=--- 若0a =，则上式无解，满足M N ⋂=∅，符合题意.若0a ≠，得22(2)(1)(3)x x x a-=---令222()(2)(1)(3)(2)(43)g x x x x x x x =---=--+则22()2(2)(43)(2)(24)g x x x x x x =---'++-()22(2)287x x x =--+ 令()0g x '=得123222,2,222x x x =-==+ 易得()g x 得最小值为()()1314g x g x ==-，无最大值. 要使22(2)(1)(3)x x x a -=---无解，必须214a -<-，即08a <<又0a =符合题意，所以实数a 的取值范围是[)0,8.故选：C.13．CA B A A B ⋂=⇔⊆选项A. 当A B =时，满足题意，但不满足A B ，故选项A 不正确.选项B. 由题意A B ⊆，故选项B 不正确.选项C. 由题意A B ⊆，则A B B ⋃=，选项C 正确.选项D. 由题意A B ⊆，则A B B ⋃=，故选项D 不正确.故选：C14．A【详解】集合M 是非空集合，对集合M 中任一元素x ，∵M N U ⊆⊆，∴x ∈N ，∴U x N ∉ð，又若U y N ∈ð，则y N ∉，∵M N ⊆，∴y M ∉，∴()U M N ⋂=∅ð.故选：A.15．D【详解】集合2{|43}A y y x x x R ==-+∈，，化简得{|1}A y y =≥-2{|22}B y y x x x R ==--+∈，，化简得{}|3B y y =≤[]13A B ∴⋂=-，，选项ABC 错误，选项D 正确.故选:D ．16．A【详解】 由题意知集合{}{}2340=4,1A x x x =+-=-，对于方程()()2120x a x a ++-+=，解得12x a =--，21x =.因为A B A ⋃=，则B A ⊆.①当21a --=时，即3a =-时，B A ⊆成立；②当21a --≠时，即当3a ≠-时，因为B A ⊆，则24a --=-，解得2a =.综上所述，a 的取值集合为{}3,2-.故选：A.17．A【详解】 依题意得{}37U A x x =≤<ð，若()U A B ≠∅ð，则3a >，故选：A ．18．C【详解】解：根据新定义可知集合M 的长度为34，集合N 的长度为13，当集合M N ⋂的长度最小时，M 与N 应分别在区间[]01，上的左右两端， 故M N ⋂的长度的最小值是31114312+-=． 故选：C ．19．B【详解】解：由A B =∅，得： ①若21m m ?，即13m ≥时，B =∅，符合题意；②若21m m <-，即13m <时，因为A B =∅，则1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解得103m ≤<， 综上所述：0m ≥，∴实数m 的取值范围为：0m ≥．故选：B ．20．D【详解】由A B B =可得B A ⊆，且{}A a =，当0a =时，B =∅，满足A B B =符合题意，当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则1a a =，解得：1a =或1a =-，综上所述：实数a 等于1或1-或0，故选：D.21．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家． 那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，故选：A ．22．C【详解】解：依题意，由图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，I a S ∈ð，所以阴影部分所表示的集合是()()I M P S ⋂⋂ð，故选：C.23．C【详解】 因为{}{|}2,1,0,21,2U x x =--∈≤Z ＝，{}{|10,}2,1A x x x U =+≤∈=--， 所以{}0,1,2U A =ð，所以(){}2,0,1,2U A B -=ð.故选：C.24．C【详解】 因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ， 集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立， 所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.25．C【详解】 由题意，集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，根据补集的运算，可得R {|1}A x x =<ð，所以(){}R 11A B x x ⋂=-<<ð. 故选：C.26．A【详解】 因为{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<， 所以{}23A B x x ⋃=-<<，故选：A.27．C【详解】{}{}|50,1,2S x N x =∈≤=，而{}1S T ⋂=，所以1T ∈，则21a =，所以{}{}22|1,1T x R x a =∈==-，则{}1,0,1,2S T ⋃=-故选：C.28．C【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =.故选：C.29．A【详解】解：若{}1P =，{}1Q =-， 则(){}1f P =，(){}1f Q =， 则()()f P f Q φ⋂≠，故①错； 若{}1P =，{}0Q =，则(){}1f P =，(){}0f Q =， 则()()f P f Q φ⋂=，故②错； 若{P =非负实数}，{Q =负实数}， 则()()f P f Q R ⋃≠，故③错，若{P =非负实数}，{Q =正实数}， 则()()f P f Q R ⋃=，故④错，故选：A ．30．CD【详解】 解：集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，满足A B =∅， 15a ∴-…或11a +…，解得6a …或0a …． 对照四个选项，∴实数a 的取值范围可以是{|0}a a …或{|8}a a …． 故选：CD ．31．CD【详解】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =ð，但A B ⋂≠∅，A B B ≠I ，故A ，B 均不正确；由()U A B B =ð，知U A B ⊆ð，∴()()U U A A A B =⊆ð，∴A B U ⋃=，由U A B ⊆ð，知U B A ⊆ð，∴()U B A A =ð，故C ，D 均正确.故选：CD.32．ABD【详解】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而246M +=∉，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则a b M +?，当a b <时，-a b 是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈，所以集合M 是闭集合，C 选项正确； 选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ∈⋃，而()()1223A A +∉⋃，故12A A ⋃不为闭集合，D 选项错误．故选：ABD ．33．AD【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B 与集合C 的并集，再由集合A 求交集，或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为()A B C ⋂⋃或()()A B A C ⋂⋃⋂，故选：AD34．CD【详解】集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，满足A B ⋂≠∅，15a ∴-…或11a +…，解得6a …或0a …，∴实数a 的取值范围可以是{|0a a …或6}a …，结合选项可得CD 符合. 故选：CD.35．ACD【详解】,A B A B A ⋃=⊆∴，①若B 不为空集，则121m m +<-，解得2m >，{}{}|27,|121A x x B x m x m =-≤≤=+<<-12m ∴+≥-，且217m -≤，解得34m -≤≤，此时24m <≤；②若B 为空集，则121m m +≥-，解得2m ≤，符合题意，综上实数m 满足4m ≤即可，故选：ACD.36．ACD【详解】A ，因为()()()U U U C A CBC A B ⋃=⋂，A B =∅，所以()()()U U U C A C B C A B U ⋃=⋂=，A 说法正确；B ，若A B =∅，则集合,A B 不一定为空集，只需两个集合中无公共元素即可，B 说法错误，；C ，因为()()()U U U C A C B C A B =⋃，A B =∅，所以()()()U U U C A C B C A B U ⋂=⋃=，说法正确；D ，A B =∅，即集合,A B 中均无任何元素，可得A B ==∅，D 说法正确. 故选：ACD37．4【详解】解：∵集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，P M N =⋂，∴{}1,3P =，∴集合P 的子集个数为：224=．故答案为：4．38．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C =，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-=，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1239．[)1+∞，【详解】 解：集合{|01}A x x =<<，集合{|11}B x x =-<<，{|11}A B x x ∴⋃=-<<，集合{}{}0C x x m x x m =+>=>-∣∣， 又A B C ⋃⊆，1m ∴--…，解得1m …．∴实数m 的取值范围是[)1+∞，．故答案为：[)1+∞，． 40．5【详解】∵(－1，2)∈A ∩B ，∴()()()22212112a b⎧=-⎪⎨=-+-⨯+⎪⎩，，解得：a ＝2，b ＝3． ∴a ＋b ＝5．故答案为：541．－5【详解】∵A ∩B ＝{1}，∴1既是方程x 2＋mx ＋2＝0的根，又是方程x 2＋x ＋n ＝0的根．∴120110m n ++=⎧⎨++=⎩解得：32m n =-⎧⎨=-⎩经检验，当32m n =-⎧⎨=-⎩时，适合题意．∴m ＋n ＝－5． 故答案为：5-42．1a ≤-或1a =由A 中方程变形得：(4)0x x +=，解得：0x =或4x =-，即{4A =-，0}，由22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中x ∈R ，且A B B =，分两种情况考虑：若B =∅时，224(1)4(1)880a a a ∆=+--=+<，即1a <-，满足题意；若B ≠∅时，224(1)4(1)880a a a ∆=+--=+≥，即1a ≥-，当1a =-时，{}{}222{|2(1)10}|00B x x a x a x x =+++-====，符合题意；当1a >-时，{}4,0B =-,所以2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩，解得1a =，符合题意； 综上，a 的范围为1a ≤-或1a =.故答案为：1a ≤-或1a =43．（1）{}3,1,3,2--；（2）[)26，．【详解】解：{}{}2|201,2A x x x =--==-，（1）当0a =时，{}{}2303,3B x x =-==-，{}3,1,3,2A B ∴=-- （2）A B B =B A ∴⊆，当B ≠∅时，{}1B ∴=-或{}2B =或{}1,2B =-当1B -∈时，130a +-=，解得：2a =，{}{}22101B x x x ∴=++==-，满足题意， 当2B ∈时，4430a +-=，解得：14a =-，2770,2424x B x x ⎧⎫⎧⎫∴=--==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，不满足题意， 若{}1,2B =-，则121232a a -=-+=⎧⎨-=-⎩，无解， 所以，当B ≠∅时，2a =，当B =∅时，()()()224238+12260a a a a a a ∆=--=-=--<，解得26a <<，a ∴的取值集合为[)26，.44．（1）23m <<或-12m <<；（2）1522m ≤≤.解：由240x x ->，即()40x x ->，解得0x <或4x >，所以{|0A x x =<或4}x >；方程23(1)(21)0x mx m m -++-=的根是121+,21x m x m ==-. （1）若A B B ≠I ，则B 不是A 的子集，且B ≠∅.当121m m +<-即2m >时，{|121}B x m x m =+<<-，满足210142m m m ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得23m <<；当121m m +>-即2m <时，{|211}B x m x m =-<<+，满足214102m m m -<⎧⎪+>⎨⎪<⎩，解得12m -<<； 当2m =时，B =∅，不符合题意.综上，实数m 的取值范围是23m <<或12m -<<.（2）当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，所以A B =∅. 若2m =时，B =∅，符合条件；当121m m +<-即2m >时，{|121}B x m x m =+<<-，满足214102m m m -≤⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得522m <≤； 当121m m +>-即2m <时，{|211}B x m x m =-<<+，满足210142m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得122m ≤<. 综上，实数m 的取值范围是1522m ≤≤.45由条件可得{}1,2A =解：选编号①，要使得{}=1A B ⋂，则1,2B B ∈∉所以26+60a a a +-=且264+620a a a ⨯⨯+-≠解得2a =-选编号②，由{}1,2A B ==，即226+60x ax a a +-=的两根为1,2 由韦达定理可得261+2=6126a a a -⎧⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩解得3a =-选编号③由B A 则B =∅或{}1B =或{}2B =当B =∅时，即()223624020a a a a ∆=--<⇒-<<当{}1B =时，261+1=62116a a a a -⎧⎪⎪⇒=-⎨-⎪⨯=⎪⎩， 当{}2B =时，2262+2=46240226a a a a a a a-⎧⎪=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨--=-⎩⎪⨯=⎪⎩无解， 综上可得20a -≤<46．【详解】（1）因为集合{}1A x x =<，集合{2B x x =<-或}3x >，所以{1A B x x ⋃=<或}3x >， {}23R B x x =-≤≤ð，故(){}21R A B x x ⋂=-≤<ð；（2）因为C ≠∅，()R C A B ⊆ð，所以121221m m m m -+<⎧⎪-+≥-⎨⎪≤⎩，解得112m -<≤， 故实数m 的取值范围为11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦. 47．【详解】（1）∵A B B =，即B A ⊆，当B φ=时，121m m +>-，解得2m <；当B φ≠时，121m m +>-，解得2m <；∴12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，即23m ≤≤， 综上：m 的取值范围是3m ≤．（2）∵{}{}2320|1,2A x x x =++==--，又(){}2|10B x x m x m =+++=，若1m ≠时{1,}B m =--；若1m =时{1}B =-． 由()U A B φ⋂=ð，得B A ⊆，即1m -=-或2m -=-， ∴1m =或2．48．（1）{}{}{}2720525A x x B x x x x x =<<=--≤≤-=-≤≤，， {2U A x x ∴=≤ð或}7x ≥，{2U B x x =<-ð或}5x >， (){}(){57,5U U A B x x A B x x ∴⋂=<<⋃=≤痧或}7x ≥. （2）{2U B x x =<-ð或}5x >，()U C B R ⋃=ð，225a a ≤-⎧∴⎨-≥⎩，解得3a ≤-.。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.2集合间的基本关系【考点梳理】考点一子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B考点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集．【题型归纳】题型一：子集、真子集的个数问题1．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅ÜA ，则A ≠∅.其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知集合20,x A x x N x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭，{}2,B x x x Z =≤∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知集合{}{}2|320,R ,|04,N A x x x x B x x x =-+=∈=<≤∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：根据集合包含关系求参数4．已知集合{}12M x a x a =-<<，(1,4)N =，且M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．1(,]3-∞D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a ≤B ．01a ≤≤C ．12a ≤≤D ．2a ≥6．已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-题型三：根据集合相等关系求参数7．设a ，R b ∈，集合 {}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则 b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-8．已知集合0a A a b b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，，，{}011B b =-，，，若A =B ，则a +2b =（ ） A ．-2B ．2C ．-1D ．19．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20212021a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2题型四：与空集有的集合问题10．已知全集{}19U x x =-<<，{}1A x x a =<< ，A 是U 的子集．若A ≠∅,则a 的取值范围是（ ） A ．9a < B ．9a ≤ C ．9a ≥ D ．19a <≤11．有下列命题：①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．若集合{}2|210A x mx x =++≤≠∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m £B ．01m ≤≤C ．01m <≤D ．1m <【双基达标】一、单选题13．设A ={（x ，y ）||x +1|+（y -2）2=0}，B ={-1，2}，则必有（ ） A ．B A ÜB ．A B ÜC ．A =B D ．A ∩B =∅14．若集合1|(21),9A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，41|,99B x x k k Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，则集合,A B 之间的关系为（ ） A ．A B ÜB ．B A ÜC ．A B =D ．A B ≠15．已知2{|1}A x x ==，集合{|1}B x mx ==，若B A ⊆，则m 的取值个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316．下列所给的关系式正确的个数是（ ） ①0N ⊆；②Q π∈；③{}{},,,a a b c d ⊆；④R ∅∈． A ．1B ．2C ．3D ．417．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20202021a b +的值为（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．218．若集合|24M x x k k Z ππ⎧⎫==⋅-∈⎨⎬⎩⎭，，|42N x x k k Z ππ⎧⎫==⋅+∈⎨⎬⎩⎭，，则（ ）A ．M =NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．没有包含关系 19．已知111A x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}240B x x x m =--≥，若A B ⊆且A B ≠，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m ≥ B ．3m ≤- C ．30m -≤≤D ．3m ≤-或0m ≥20．下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B ．M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{3，2}，N ＝{(3，2)}21．集合M =}|1,2nx x n Z ⎧=+∈⎨⎩，N =}1|,2x x m m Z ⎧=+∈⎨⎩，则两集合M ，N 的关系为（ ）A ．M ∩N =∅B ．M =NC ．M ⊆ND ．N ⊆M22．已知集合{}2,3,1A =-，集合{}23,B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,1-D ．{}3,3-【高分突破】一：单选题 23．集合6{|}6x N N x∈∈-的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1624．下列与集合{}1,2A =-相等的是（ ） A ．(){}1,2-B ．()1,2-C ．(){},1,2x y x y =-=D ．{}220x x x --=25．定义集合A ★B ={,,}xx ab a A b B =∈∈∣，设{2,3},{1,2}A B ==，则集合A ★B 的非空真子集的个数为（ ） A ．12B ．14C ．15D ．1626．已知集合1{|}6A x x k k Z ==+∈，，1{|}23m B x x m Z ==-∈，，1{|}26n C x x n Z ==+∈，，则集合A B C ，，的关系是（ ） A ．A CB 苘B ．C AB 苘C ．A C B =ÜD ．A B C ==27．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2} C ．{2，5}D ．{1，5}28．已知集合13{|}A x x =-≤≤，301x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．29．设集合{|10}P m m =-<≤，2{|440}Q m R mx mx =∈+-< 对任意实数x 恒成立，则下列关系中成立的是（ ） A ．P 是Q 的真子集 B ．Q 是P 的真子集 C ．P Q = D ．P 与Q 无关30．已知S 1，S 2，S 3为非空集合，且S 1，S 2，S 3⊆Z ，对于1，2，3的任意一个排列i ，j ，k ，若x ∈S i ，y ∈S j ，则x －y ∈S k ，则下列说法正确的是（ ） A ．三个集合互不相等B ．三个集合中至少有两个相等 C ．三个集合全都相等D ．以上说法均不对二、多选题31．已知集合{}12A x x =<<，{}232B x a x a =-<<-，下列说法正确的是（ ） A ．不存在实数a 使得A B = B ．当4a =时，A B ⊆ C ．当04a ≤≤时，B A ⊆ D ．存在实数a 使得B A ⊆32．若集合P ={x |x 2+x ﹣6=0}，S ={x |ax ﹣1=0}，且S ⊆P ，则实数a 的可能取值为（ ）A ．0B ．13-C ．4D ．12 33．下列说法正确的有（ ）A ．设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N =，则实数0m =；B ．若∅是{}2,x x a a R ≤∈的真子集，则实数0a ≥；C ．集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇，则实数11,2m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；D ．设集合}{2320A x ax x =-+=至多有一个元素，则{}908a a a ⎧⎫∈⋃≥⎨⎬⎩⎭；34．已知集合{}23180A x x x =∈--<R ，{}22270B x x ax a =∈++-<R ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =-B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若B A Ü时，则63a -<≤-或6a ≥ 35．下列四个命题中，假命题的是（ ） A ．{}0是空集 B ．若a N ∈，则a N -∉C ．集合{}2210x x x -+=中只有1个元素D ．对所有实数a 、b ，方程0ax b +=恰有一个解36．已知集合{}220,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．237．定义集合运算：{}()(),,A B zz x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈∣，设{}2,3A =，{}1,2B =，则（ ） A ．当2x =，2y =时，1z =B ．x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+⨯-有4个式子C ．A B ⊗中有4个元素D ．A B ⊗的真子集有7个三、填空题38．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.39．已知集合{34},{211}A xx B x m x m =-≤≤=-<<+∣∣，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是___________.40．已知{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则方程()202120202202020-+-=a x a b x a 的解为____.41．已知集合{}1A x ax a R ==∈，，{}240B x x =-=，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为________． 42．已知集合212|,,{|1,}33n n A x x n Z B x x n Z +⎧⎫==∈==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 、B 的关系为A ____(B 从“,,⊆⊇=”选择合适的符号填空)．43．下列各组中的两个集合相等的有____________ （1）P ={x |x =2n ，n ∈Z }，Q ={x |x =2(n +1)，n ∈Z } （2）P ={x |x =2n -1，n ∈N +}，Q ={x |x =2n +1，n ∈N +}；（3）P ={x |x 2-x =0}，Q ={x |x =1(1)2n+-，n ∈Z }.（4）P ={x |y =x +1}，Q ={(x ，y )|y =x +1}四、解答题44．已知集合 {|05}A x x a =<-…，{|6}2a B x x =-<…． （1）若A B ⊆，求 a的取值范围；（2）若 B A ⊆，求 a 的取值范围； （3）集合A与 B能够相等？若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由．45．含有三个实数的集合可表示为{a ，b a，1}，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}．求a ＋a 2＋a 3＋…＋a 2011＋a 2012的值．46．已知集合{|4}A x x a =-=，集合{}1,2,B b =（1）是否存在实数a ，使得对任意实数b 都有A B ⊆成立？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.（2）若A B ⊆成立，写出所有实数对(),a b 构成的集合.47．已知集合1{|24}2x A x =<< ，{}B x x a =<，{}121C x m x m =-<<+． （1）若A B ⊆时，求实数a 的取值范围； （2）若C 是A 的子集，求实数m 的取值范围．48．设集合{}21,1,33A a a a =--+-，{}2210B x x x =-+=，(){}210C x x a x a =-++=.（1）讨论集合B 与C 的关系； （2）若0a <，且C A ⊆，求实数a 的值.【答案详解】1．B①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集． 故选：B ． 2．D 解：2{|0,}{|02,}{1x A x x N x x x Nx-=≤∈=<≤∈=，2} {|2,}{|04,}{0B x x x Z x x x Z =≤∈=≤≤∈=，1，2，3，4}，因为A C B ⊆⊆，所以C 中元素至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4； 所以集合C 的个数即为集合{0，3，4}子集的个数：328=． 故选：D ． 3．D【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|04,1,2,3,4B x x x =<≤∈=N ．因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选：D ．4．C【详解】因M N ⊆，而N φ⊆，所以M φ=时，即21a a ≤-，则13a ≤，此时M φ≠时，M N ⊆，则1123110242a a a a a a a ⎧>⎪-<⎧⎪⎪-≥⇒≤⎨⎨⎪⎪≤≤⎩⎪⎩，无解， 综上得13a ≤，即实数a 的取值范围是1(,]3-∞.故选：C5．D【详解】因为集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，B A ⊆，所以2a ≥.故选：D6．B【详解】由题意，集合[]1,2A =，可得{}[]2,2,4B y y x a x A a a ==+∈=++，因为A B ⊆，所以2142a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得[]2,1a ∈--． 故选：B.7．C【详解】解：{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，注意到后面集合中有元素 0， 由于集合相等的意义得 0a b += 或 0a =．0b a≠，0a ∴≠， 0a b ∴+=，即 =-a b ，1b a=-， 1b ∴=，1a =-，2b a ∴-=．故选：C8．D【详解】由于A B =，所以 （1）11a b a b b+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，结合集合A 元素的互异性可知此方程组无解.（2）11a b b a b+=-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1213a b a b ==⇒+=. 故选：D9．B【详解】 因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，故1a =-，0b =，即()2021202120212021101a b +=-+=-.故选：B.10．D【详解】由题意知，集合A ≠∅，所以1a >，又因为A 是U 的子集，故需9a ≤，所以a 的取值范围是19a <≤．故选：D11．A【详解】①错，当m ＝0时，不是一元二次方程；②错，Δ＝4＋4a ，并不一定大于或等于0；③正确；④错，空集是任何非空集合的真子集.故选：A.12．A【详解】若集合{}2|210A x mx x =++≤=∅，则不等式2210mx x ++>恒成立，当0m =时，不等式2210mx x ++>可化为210x +>，则12x >-，不满足题意；当0m ≠时，为使不等式2210mx x ++>恒成立，只需0440m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得1m >， 综上集合{}2|210A x mx x =++≤=∅时，1m >；又集合{}2|210A x mx x =++≤≠∅，所以1m £.故选：A.13．D【详解】由于集合A 是点集而B 是数集，所以是两类集合，所以交集为空集，故选：D.14．C【详解】解析：设任意1x A ∈，则111(21),9x k k Z =+∈，当12,k n n Z =∈时1141(41)999x n n =+=+，所以1x B ∈；当121,k n n Z =-∈时，1141(41)999x n n =-=-，所以1x B ∈． 所以A B ⊆又设任意2x B ∈，则2222414(41),999x k k k Z =±=±∈因为22412(2)1k k +=+，22412(21)1k k -=-+，且22k 表示所有的偶数，221k -表示所有的奇数．所以2241k k Z ±∈()与21()n n Z +∈都表示所有的奇数． 所以2x A ∈．所以B A ⊆故A B =．故选：C ．15．D【详解】解：由题意知，集合{}11A =-，， 由于1mx =，∴当0m =时，B =∅，满足B A ⊆；当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由于B A ⊆，所以11m=或11m =-， 1m ∴=或1m =-， 0m ∴=或1或1-．即m 的取值个数为3，故选：D ．16．A【详解】解：①0N ⊆，0为集合N 的一个元素，0N ∈，故①错误，②Q π∈，因为π为无理数，Q π∉，故②错误，③{}{}a a b c d ⊆，，，，因为集合{}a 是集合{}a b c d ，，，的子集，故③正确，④R ∅∈，因为∅为R 的子集，故④错误．17．B【详解】 b a，0a ∴≠ {}2,,1,,0b a a a ba ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭0b a ∴=，即0b =， {}{}2,0,1,,0a a a ∴=∴当21a a a ⎧=⎨=⎩时，1a =-或1a =， 当1a =时，即得集合{}1,0,1，不符合元素的互异性，故舍去，当21a a a =⎧⎨=⎩时，1a =，即得集合{}1,0,1，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，1a =-，0b =()2020202020212021101∴+=-+=a b ，故选：B18．B 【详解】 ()()|21,,|2,44M x x k k Z N x x k k Z ππ⎧⎫⎧⎫==⋅-∈==⋅+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 21k -为奇数，2k +为整数，所以M N ⊆.故选：B19．B【详解】集合A 中，由111x <--得，当1x >时，11x <-+，0x <（舍）；当1x <时，11x >-+，0x >，所以集合{}01A x x =<<；集合B 中，若1640m ∆=+≤，4m ≤-，则B R =，符合要求；若4m >-，根据二次函数对称轴为2x =，若A B ⊆，则140m --≥，3m ≤-，综上可得：3m ≤-20．B【详解】对于A ：M ，N 都是点集，(2,3)与(3,2)是不同的点则M ，N 是不同的集合，故不符合； 对于B ：M ，N 都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求；对于C ：M 是点集，表示直线1x y +=上所有的点，而N 是数集，表示函数1x y +=的值域，则M ，N 是不同的集合，故不符合；对于D ：M 是数集，表示1，2两个数，N 是点集，则M ，N 是不同的集合，故不符合；故选：B ．21．D由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n =2k （k ∈Z ），则x =k +1（k ∈Z ），当n 为奇数时，设n =2k +1（k ∈Z ），则x =k +1+12（k ∈Z ），∴N ⊆M ，故选：D.22．C【详解】因为B A ⊆，所以21m =或22m =-因为22m =-无解，所以22m =-不成立，由21m =得1m =±，所以实数m 的取值集合为{}1,1-.故选：C.23．D6{|}{0,3,4,5}6x N N x∈∈=-， ∴6{|}6x N N x∈∈-的子集的个数为4216=. 故选：D.24．D解：∵{}{}2201,2x x x --==-，∴与集合{}1,2A =-相等的是{}220x x x --=.故选：D25．B【详解】{2,3,4,6}A B =å，所以集合A B å的非空真子集的个数为42214-=， 故选：B .26．C【详解】 解：集合1{|}26n C x x n Z ==+∈，，∴当()2n a a Z =∈时，211266a x a =+=+， 当()21n a a Z =+∈时，2112263a x a +=+=+， 又集合1{|}6A x x k k Z ==+∈，，A C ∴Ü， 集合1{|}23m B x x m Z ==-∈，，集合1{|}26n C x n Z ==+∈，，1112326m m --=+， 可得C B =，综上可得A C B =．Ü 故选：C ．27．D由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,∴22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0.计算得出p ＝－3，q ＝4.则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3； 即(x －1)2－4(x －1)＝0；则x －1＝0或x －1＝4，计算得出x ＝1或x ＝5.所以集合B ＝{1，5}．故选：D .28．C【详解】 解：因为集合301x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭， 所以{|13}B x x =-<≤，又集合13{|}A x x =-≤≤，所以B A Ü，根据韦恩图可得选项C 正确，故选：C.29．A【详解】由题意，由2{|440Q m R mx mx =∈+-<对任意的x 恒成立}，对m 分类：①当0m =时，40-<恒成立，②当0m <时，则2(4)4(4)0m m ∆=-⨯⨯-<，解得0m <，综上可得0m ≤，即{|0}Q m R m =∈≤，所以P 是Q 的真子集.故选：A .30．B解：若x ∈S i ，y ∈S j ，则y －x ∈S k ，从而(y －x )－y ＝－x ∈S i ，所以S i 中有非负元素，由i ，j ，k 的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S 1∪S 2∪S 3中最小的正整数a (由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a 存在)，不妨设a ∈S 1，取S 2∪S 3中的最小正整数b ，并不妨设b ∈S 2，这时b ＞a (否则b 不可能大于a ，只能等于a ，所以b －a ＝0∈S 3，矛盾)，但是，这样就导致了0＜b －a ＜b ，且b －a ∈S 3，这时与b 为S 2∪S 3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S 1，则对任意x ∈S 2，有x －0＝x ∈S 3，∴S 2包含于S 3，对于任意y ∈S 3，有y －0＝y ∈S 2，∴S 3包含于S 2，则S 2＝S 3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等， 故选：B ．31．AD【详解】选项A ：若集合A B =，则有231,22,a a -=⎧⎨-=⎩，因为此方程组无解，所以不存在实数a 使得集合A B =，故选项A 正确. 选项B ：当4a =时，{}52B x x =<<=∅，不满足A B ⊆，故选项B 错误. 若B A ⊆，则①当B =∅时，有232a a -≥-，1a ≥；②当B ≠∅时，有1,231,22a a a <⎧⎪->⎨⎪-<⎩此方程组无实数解； 所以若B A ⊆，则有1a ≥，故选项C 错误，选项D 正确.故选：AD .32．ABD解：P ={x |x 2+x ﹣6=0}={﹣3，2}，①S =∅，a =0；②S ≠∅，S ={x |x 1a =}，1a =-3，a 13=-， 1a =2，a 12=； 综上可知：实数a 的可能取值组成的集合为{12，0，13-}.故选：ABD .33．ABD【详解】对于A ，因为M N =，故222m m m =+⎧⎨=⎩（无解舍去）或222m m m =⎧⎨=+⎩，故0m =，故A 正确. 对于B ，因为∅是{}2,x x a a R ≤∈的真子集，故{}2,x x a a R ≤∈为非空集合，故0a ≥，故B 正确.对于C ，{}1,2P =，若0m =，则Q =∅，满足Q P ⊆；若0m ≠，则1Q m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又Q P ⊆，故11m =或12m=即1m =或12m =，综上，0m =或1m =或12m =，故C 错误.对于D ，因为A 至多有一个元素，故0a =或0980a a ≠⎧⎨∆=-≤⎩， 所以{}908a a a ⎧⎫∈⋃≥⎨⎬⎩⎭，故D 正确. 故选：ABD.34．ABC【详解】{}36A x x =∈-<<R ，若A B =，则3a =-，且22718a -=-，故A 正确.3a =-时，A B =，故D 不正确.若A B ⊆，则()()2233270a a -+⋅-+-≤且2266270a a ++-≤，解得3a =-，故B 正确.当B =∅时，()224270a a --≤，解得6a ≤-或6a ≥，故C 正确. 故选：ABC ．35．ABD【详解】对于A 选项，{}0不是空集，A 错；对于B 选项，当0a =时，则a N ∈且N a -∈，B 错；对于C 选项，{}{}22101x x x -+==，C 对；对于D 选项，取0a =，0b ≠，则方程0ax b +=无实解，D 错.故选：ABD.36．ABC【详解】由于集合A 有且仅有两个子集，则集合A 为单元素集合，即方程220ax x a ++=只有一根. ①当0a =时，方程为20x =，解得0x =，合乎题意；②当0a ≠时，对于方程220ax x a ++=，2440a ∆=-=，解得1a =±.综上所述，0a =或1a =±.故选：ABC.37．BD【详解】{}{}22,,=1,0,2A B z z x y x A y B ⊗==-∈∈∣，故A B ⊗中有3个元素，其真子集的个数为3217-=，故C 错误，D 正确. 当2x =，2y =时，0z =，故A 错误.x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+⨯-共有4个算式，分别为：()()()()2121,3131+-+-，()()()()3232,2222+-+-， 故B 正确．故选：BD ．38．12设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C =，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-=，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1239．[)1,-+∞解：分两种情况考虑：①若B 不为空集，可得：211m m -<+，解得：2m <，{},|34B A A x x ⊆=-≤≤，213m ∴-≥-且14m +≤，解得：13m -≤≤，②若B 为空集，符合题意，可得：211m m -≥+，解得：2m ≥.综上，实数m 的取值范围是1m ≥-.故答案为：[)1,-+∞.40．{}1,2-【详解】{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭若0a =，则b a 无意义，故有0,0b b a=∴=，此时有a a b =+，21a ∴=.1a ∴=-或1a =（舍去，因为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中不满足集合的互异性） 1,0a b ∴=-=代入()202120202202020a x a b x a -+-=得220x x +-=，方程的解集为{}1,2-.故答案为：{}1,2-41．102⎧⎫±⎨⎬⎩⎭， 【详解】{}2,2B =-.当0a =时，A =∅，满足A B ⊆.当0a ≠时，1|A x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭， 由于A B ⊆，所以1122a a =-⇒=-或1122a a =⇒=.综上所述，所有a 的取值构成的集合为102⎧⎫±⎨⎬⎩⎭，. 故答案为：102⎧⎫±⎨⎬⎩⎭， 42．=【详解】解：由集合A 得：1|(21),3A x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，由集合B 得：1|(23),3B x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，{|21x x n =+，}{|23n Z x x n ∈==+，}n Z ∈， A B ∴=，故答案为：=．43．（1）（3）（1）中集合P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，有P =Q ；（2）中P 是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q 是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q ，所以P ≠Q .（3）中P ={0，1}，当n 为奇数时，x =1(1)2n +-=0，当n 为偶数时，x =1(1)2n +-=1，所以Q ={0，1}，P =Q .（4）中集合,P Q 的研究对象不相同，所以P ≠Q . 故答案为：（1）（3）.44．【详解】（1） 集合 {|05}{|5}A x x a x a x a =<-=<≤+…，{|6}2a B x x =-<…． A B ⊆，562a a a +⎧⎪∴⎨-⎪⎩……，解得 01a 剟，a ∴ 的取值范围是 []01，．（2）B A ⊆，当 B =∅ 时，62a-…，12a -…；当 B ≠∅ 即12a >-时，562a a a +⎧⎪⎨-⎪⎩……，解得 a ∈∅，a ∴ 的取值范围是 (]12∞--，．（3）A B = 时，562a a a+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 无解，∴ 集合 A 与 B 不能相等．45．0【详解】由题可知a ≠0，b ＝0，即{a ，0，1}＝{a 2，a ，0}，所以a 2＝1⇒a ＝±1， 当a ＝1时，集合为{1，1，0}，不合题意，应舍去； 当a ＝－1时，集合为{－1，0，1}，符合题意． 故a ＝－1，∴a ＋a 2＋a 3＋…＋a 2011＋a 2012＝0．46【详解】解：（1）由题意，集合{|4}A x x a =-={}4,4a a =-+， 因为b 是任意实数，要使A B ⊆，必有4142a a -=⎧⎨+=⎩或4241a a -=⎧⎨+=⎩， 两个方程组都没有实数解，所以不存在满足条件的实数a . （2）由（1）知{}4,4A a a =-+，要使A B ⊆，则满足414a a b -=⎧⎨+=⎩或424a a b -=⎧⎨+=⎩或441a b a -=⎧⎨+=⎩或442a b a -=⎧⎨+=⎩， 解得59a b =⎧⎨=⎩或610a b =⎧⎨=⎩或37a b =-⎧⎨=-⎩或26a b =-⎧⎨=-⎩， 所以实数对(),a b 构成的集合为()()()(){}596103726----，,，,，,，. 47．（1）2a ≥；（2）2m ≤-或102m ≤≤．【详解】（1）依题意得12222x -<<，{}12A x x =-<<，因为A B ⊆，所以2a ≥； （2）因为C 是A 的子集，当C =∅时，有121m m -≥+，解得2m ≤-；当C ≠∅时，有12111212m m m m -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≤⎩，解得102m ≤≤； 综上所述得2m ≤-或102m ≤≤． 48．（1）{}1,{|(1)()0}B C x x x a ==--=， 当1a =时，{}1B C ==；当1a ≠时，{}1,,C a B =是C 的真子集. （2）当0a <时，因为C A ⊆，所以{}1,a A ⊆. 当233a a a +-=时，解得1a =(舍去)或3a =-，此时{}1,3,2A =-，符合题意.当1a a --=时，解得12a =-，此时1171,,24A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭符合题意. 综上，3a =-或12a =-.。

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（原卷版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）A ．{|20}x x -<<B ．{|01}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{|23}x x -<≤【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3}A =，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N ⊆B ．{}4M N =C ．M N ⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．111,,23⎧⎫⎬⎭D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧⎫=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）A ．7人B ．8人C ．9人D ．10人。

高一数学集合知识点全总结一、集合的概念集合是具有某种特定性质的事物的总体或类别。

集合中具体的元素称为集合的成员。

集合的表示方法有三种：列举法、描述法和集合的图示法。

1. 列举法：集合A = {a, b, c, d, e}2. 描述法：集合A = {x|x具有某种特定的性质}3. 图示法：通常用Venn图来表示，也可以用数轴、区间等形式表示。

二、集合的基本运算1. 并集设A和B是两个集合，A和B的并集，记作A∪B，是一个集合C，C中的元素是A和B 中所有元素的集合，即C={x | x∈A或x∈B}。

2. 交集设A和B是两个集合，A和B的交集，记作A∩B，是一个集合C，C中的元素是A和B 中共有元素的集合，即C={x | x∈A且x∈B}。

3. 差集设A和B是两个集合，A和B的差集，记作A-B，是一个集合C，C中的元素是属于A 但不属于B的所有元素的集合，即C={x | x∈A,x∉B}。

4. 补集A的补集，记作Ā，是一个集合C，C中的元素是不属于A的所有元素的集合，即C={x | x∈U,x∉A}，其中U为全集。

5. 交叉并集设A和B是两个集合，A和B的交叉并集，记作A⊕B，是一个集合C，C中的元素是A 和B中所有元素的集合减去A和B的交集，即C={x | x∈A或x∈B,但x∉A∩B}。

6. 笛卡尔积对于两个集合A和B，在数学上，A和B的笛卡尔积，记作AxB，是一个集合C，C中的元素是由A和B中的每个元素按一定次序组成的。

写作C={(a,b)|a∈A,b∈B}以上的集合运算规则和公式需要通过具体的例题来进行练习和理解。

三、集合的关系1. 包含关系若集合A的每个元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作A⊆B或B⊇A。

特别地，空集是每个集合的子集。

2. 相等关系若集合A和B有相同的元素，则A等于B，记作A=B。

3. 差集和补集的关系若A⊆B，则A-B=BĀ。

四、集合论的重要定理1. 德摩根定理对于任意两个集合A和B，有以下两个等式成立：A∪B = AĀ∩BĀA∩B = AĀ∪BĀ2. 韦恩图定理对于任意三个集合A、B和C，有以下等式成立：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)3. 分配率对于任意三个集合A、B和C，有以下等式成立：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)以上定理是在集合论中非常重要的定理，需要通过具体的例题来进行理解和应用。