中考数学专题分类复习： 数学思想专题练习

专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想类型一腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论解题策略:先分不同情况画出图形,再进行计算.当不明确腰和底时,还要利用三角形三边关系进行检验.1.(1)等腰三角形的两边长分别为2和5,则其周长为.(2)等腰三角形的两边长分别为2,3,则其周长为;(3)等腰三角形的两边长分别为2,4,则其周长为.2.若等腰三角形的一个角为80°,则顶角为.3.若等腰三角形的一个角为110°,则顶角为.4.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.类型二锐角与钝角不明时需分类讨论解题策略:此类题目一般与三角形的高相联系,主要的讨论点在于三角形的形状不同,高的位置不同.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个三角形的底角的度数.6.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,∠CAD=50°,求∠B的度数.7.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.类型三画等腰三角形时的分类讨论解题策略:在平面直角坐标系中找一个点,使它与另两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种:(1)以两定点中的一个为圆心,以两点之间的距离为半径作圆;(2)连接两定点,作线段的垂直平分线.8.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C(原点除外),使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C有个.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.10.已知点A和B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出个.教师详解详析例112[解析] 本题在解答过程中,要分两种情况:①当2为腰长时,三角形的三边长为2,2,5,显然不能构成三角形;②当5为腰长时,三角形的三边长为5,5,2,能构成三角形,所以其周长为12.1.(1)7或8(2)102.20°或80°3.110°4.45°或72°例2(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,作BD⊥AC于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=45°.由三角形的内角和定理可得∠C=67.5°.(2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,作BD⊥AC交CA的延长线于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=135°.由三角形的内角和定理可得∠C=22.5°.综上,这个三角形的底角的度数为67.5°或22.5°.5.解:当∠C为锐角时,∠B=70°;当∠C为钝角时,∠B=20°.6.解:先证△BDF≌△ADC,①当∠ABC为锐角时,∠ABC=45°;②当∠ABC为钝角时,∠ABC=135°.故∠ABC的度数为45°或135°.例34[解析] 如图,共4个点.7.88.6。

专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。

有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。

【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n=2(m +n)=2×(−1)=−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识．(1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( ) A. 2B. −2C. −4D. −312 【答案】B 【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3，∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( ) A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=c a .也考查了一元二次方程解的定义． 根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根，∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12． 故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a ⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a ⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1．故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4，故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+n mn 是解题的关键．原式通分后可得出m+n mn ，代入m +n =3mn 即可求出结论．【解答】解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ，∴原式=m+n mn =3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2；(2)y x +x y ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1，∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1，∴原式=x 2+y 2xy =61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可；(2)将所求式子变形为x 2+y 2xy ，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5．解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0．∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②． 【答案】解：由①得：2x −3y =2③，将③代入②得：1+2y =9，即y =4，将y =4代入③得：x =7，则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③把方程①代入③得2×3+y =5∴y =−1把y =−1代入①得x =4∴方程组的解为{x =4y =−1请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19② (2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值； 【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③，把①代入③得：3x +10=19，即x =3，把x =3代入①得：y =2，则方程组的解为{x =3y =2； (2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy 5， 由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy 5−xy =32， 整理得：xy =4，∴x 2+4y 2=82+2xy 5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。

中考数学常用数学思想专题卷（附答案）一、单选题（共4题；共8分）1.甲乙两地相距180km，一列快车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，再次过程中，两车恰好相距10km的次数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知二次函数（m为常数），当时，的最大值是15，则的值是（）A. -10和6B. -19和C. 6和D. -19和63.若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为（）A. 10B.C. 10或D. 10或4.平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共8题；共16分）5.正方形ABCD的边长为3，点E为射线AD上一点连接CE，设直线CE与BD交于点F，若AD＝2DE，则BF的长为________．6.已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是________．7.在△ABC中，∠A = 30°，AB = m，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△ECD，若△ECD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积为________（用m的代数式表示）．8.已知：在中，为边上的高，且，若，，则的面积为________.9.在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为________度．10.已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内的任意一点，且满足CD＝AC，若△ADB是以AD为腰的等腰三角形，则∠CDB的度数为________．11.如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B 重合）．若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为________cm．12.如图，已知平行四边形ABCD中，AD = 6，AB = ，∠A = 45°．过点B、D分别做BE⊥AD，DF⊥BC，交AD、BC与点E、F．点Q为DF边上一点，∠DEQ = 30°，点P为EQ的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN = EQ，则EM的长等于________．三、综合题（共8题；共96分）13.已知二次函数y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3（m是常数）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）如果二次函数的图象经过原点．①求m的值；②若m＜0，点C是一次函数y＝﹣x+b（b＞0）图象上的一点，且∠ACB＝90°，求b的取值范围；（2）当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．14.若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”（1）若对任意m，n，点M（m，n）和点N（﹣m+4，n）恒在“等边抛物线”C1：y＝ax2+bx上，求抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2：y＝ax2+bx+c为“等边抛物线“，求b2﹣4ac的值；（3）对于“等边抛物线“C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．15.如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．16.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得点P在射线BC上，且∠APB＝∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D，E，F中，⊙O的依附点是________；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，请求出圆心C的横坐标n的取值范围．17.在数轴上，点A，B，C表示的数分别是－6，10，12．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动．（1）运动前线段AB的长度为________；（2）当运动时间为多长时，点A和线段BC的中点重合？（3）试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB= AC？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由．18.如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600，一个人骑摩托车从A处以20m/s 的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？19.如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=20，BC=15,点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A 运动，当运动到点A时停止.若设点D的运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.（1）当t=2时，求CD、AD的长；解：t=2时，CD=2×2=4∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15∴AC=AD=AC-CD=25-4=21（1）当t=2时，求CD、AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求出t的值；（3）当t为何值时，△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值.20.如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．（1）若AB＝4，求n的值；（2）如图，若△ABC为直角三角形，求n的值；（3）如图，在（2）的条件下，若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、单选题1. D2. D3. C4. B二、填空题5. 6 或26. ﹣1.5或7. 或8. 48或1689. 60或10 10. 45°或135°11. 1或2 12. 1或2三、综合题13. （1）解：①∵二次函数的图象经过原点，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3．②∵m＜0，∴m＝﹣1．把m＝﹣1代入y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3中，得：y＝x2﹣4x．当y＝x2﹣4x＝0时，x1＝0，x2＝4，∴AB＝4．以AB为直径作⊙P，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与圆相交时，可得∠ACB＝90°．如图，一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与⊙P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得∠PCF＝90°．当x＝0时，y＝﹣x+b＝b，∴点E（0，b）；当y＝﹣x+b＝0时，x＝b，∴点F（b，0）．∴AE＝AF＝b，∴∠PFC＝45°．又∵∠PCF＝90°，∴△PCF为等腰直角三角形，∴PF＝PC＝2 ，∴b＝AF＝2+2 ．∴b的取值范围为0＜b≤2+2（2）解：∵y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3＝（x+m﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1﹣m．①当1﹣m≤﹣0.5，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，∴（2+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝2或m＝﹣4（舍去）；②当1﹣m＞﹣0.5，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝﹣3时，函数最大值为5，∴（﹣3+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝1或m＝7（舍去）．综上所述，m＝2或m＝1．14. （1）解：由题意得，点H和点N关于对称轴对称，∴对称轴x＝＝2，又∵x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，①当a＞0时，顶点坐标为（2，﹣2 ），代入y＝ax2﹣4ax，得：﹣2 ＝4a﹣8a，解得：a＝，∴y＝x2﹣2 x；②当a＜0时，顶点坐标为（2，2 ），代入y＝ax2﹣4ax，得：2 ＝4a﹣8a，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2+2 x；综上，y＝x2﹣2 x或y＝﹣x2+2 x（2）解：设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），令y＝ax2+bx+c＝0，∴x＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝| ﹣|＝| |＝| |，又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴＝，∵b2﹣4ac≠0，∴| |＝，∴b2﹣4ac＝12（3）解：由（2）得b2﹣4ac＝12，∴c＝，∴C3：y＝x2+bx+ ，由题意知该等边抛物线过（1，1），∴1+b+ ＝1，解得b＝﹣6或b＝2，又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，∴b＜﹣2，∴b＝﹣6，∴y＝x2﹣6x+6，联立，解得x＝1或x＝6，∴m的最大值为615. （1）解：对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝∴k＝．（2）解：如图，∵tan∠BAO＝∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）• t＝﹣t2+ t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）• t＝t2﹣t．（3）解：∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝∴2t+1＝∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为16. （1）①E,F②如图2，∵点T在直线y＝﹣x上，∴点T在第二象限或第四象限，直线y＝﹣x与x轴所夹的锐角为60°，当点T在第四象限，当OT＝1时，作CT⊥x轴，易求点C（，0），当OT'＝3时，作DT'⊥x轴，易求D（，0），∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围＜t＜，当点T在第二象限，同理可得满足条件的点T的横坐标t的取值范围﹣＜t＜﹣，综上所述：满足条件的点T的横坐标t的取值范围：＜t＜或﹣＜t＜﹣，（2）解：如图3﹣1中，当点C在点M的右侧时，由题意M（1，0），N（0，2）当CN＝3时，OC＝＝，此时C（，0），当CM＝1时，此时C（2，0），∴满足条件的n的值的范围为2＜n＜．如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，当⊙C与直线MN相切时，由题意M（1，0），N（0，2），∴MN＝，∴sin∠MON＝＝＝，∴C'M＝∴C'M＝1﹣，∴C′（1﹣，0），当CM＝3时，C（﹣2，0），∴满足条件的m的值的范围为﹣2＜n＜1﹣，综上所述，满足条件的n的值的范围为：2＜n＜或﹣2＜n＜1﹣．17. （1）16（2）解：设当运动时间为x秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有﹣6+3t=11+t，解得t=故当运动时间为秒长时，点A和线段BC的中点重合（3）解：存在，理由如下：设运动时间为y秒，①当点A在点B的左侧时，依题意有(10+y)﹣(3y﹣6)=2，解得y=7，﹣6+3×7=15；②当点A在线段BC上时，依题意有（3y-6）-（10+y）=解得y=-6+3 =19综上所述，符合条件的点A表示的数为15或1918. （1）解：设经过x秒摩托车追上自行车，20x=5x+1200，解得x=80．答：经过80秒摩托车追上自行车．（2）解：设经过y秒两人相距150米，第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，20y-1200=5y-150解得y=70．第二种情况：摩托车超过自行车150米时，20y=150+5y+1200解得y=90．答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米19. （1）解：t=2时，CD=2×2=4∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15∴AC=AD=AC-CD=25-4=21（2）解：①∠CDB=90°时，即解得BD=12所以CD=t=9÷2=4.5②∠CBD=90°时,点D和点A重合t=25÷2=12.5综上所述，t=4.5或12.5秒（3）t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形.20. （1）解：当y＝0时，x2﹣x﹣n＝0，解得：x1＝，x2＝，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0）．∵AB＝4，∴﹣＝4，整理，得：9+8n＝16，解得：n＝（2）解：当x＝0时，y＝x2﹣x﹣n＝﹣n，∴点C的坐标为（0，﹣n）．∵△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO．又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OA•OB＝OC2，即﹣• ＝n2，整理，得：n2﹣2n＝0，解得：n1＝0（舍去），n2＝2．（3）解：由（2）可知，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝．设点P的坐标为（m，m2﹣m﹣2），分两种情况考虑，如图2所示：①若BC为边，当四边形BCP1Q1为平行四边形时，﹣m＝4﹣0，解得：m＝﹣，∴点P1的坐标为（﹣，）；当四边形BCQ2P2为平行四边形时，m﹣＝4﹣0，解得：m＝，∴点P2的坐标为（，）．②若BC为对角线，设BC，P3Q3的交点为M，∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴点M的坐标为（2，﹣1），∴+m＝2×2，解得：m＝，∴点P3的坐标为（，﹣）．综上所述：存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣，），（，）或（，﹣）．第11 页共11 页。

方法技巧专题(一) 数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案(以形助数)，或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2.若实数a,b,c在数轴上对应的点如图F1-1,则下列式子正确的是()图F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3.[2017·怀化] 一次函数y=-2x+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于点A,B,则△AOB的面积是 ()A.B.C.4D.84.[2018·仙桃] 甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1-2所示.下列说法:①乙车的速度是120 km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有()图F1-2A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h 的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.[2018·白银] 如图F1-3是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,对于下列说法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m为常数),⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是()图F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图F1-4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:.图F1-48.[2018·白银] 如图F1-5,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4),则关于x的不等式组的解集为.图F1-59.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F1-6.图F1-6由图易得:+++…+= .10.当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为.11.已知实数a,b满足a2+1=,b2+1=,则2018|a-b|= .12.已知函数y=使y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为.13.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图F1-7(2)观察图F1-8,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,并用含有n的代数式填空:图F1-81+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1= .14.[2018·北京] 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.参考答案1.B2.D3.B4.B[解析] 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h是乙在追甲,并在2 h时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x-2×80=80,解得x=120,故①正确;在2 h时甲、乙距离为0,在6 h时乙到达B地,此时甲、乙距离=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正确;H点是乙在B地停留1 h后开始原路返回,6 h时甲、乙距离是160 km,1 h中只有甲在走,所以1 h后甲、乙距离80 km,所以点H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80÷(120+80)=0.4,所以n=7.4,故④错误.综上所述,①②③正确,④错误,正确的有3个,故选B.5.B[解析] 由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.(1)如图①,当x=3,y取得最小值时,解得h=5(h=1舍去);(2)如图②,当x=1,y取得最小值时,解得h=-1(h=3舍去).故选B.6.A[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,即x=-=1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a+b=0,∴①②正确.∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,知抛物线与x 轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c<0,∴③错误.当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点,也是二次函数的最大值.当x=m时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此时有a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),∴④正确.∵抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,由图知,当2<x<3时,有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,根据抛物线的对称性可知,当-1<x<0时,也有一部分图象位于x 轴下方,说明此时y<0,∴⑤错误.故选A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2<x<2[解析] ∵y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-n-2=-4,解得n=2.∴P点坐标是(2,-4).观察图象知:2x+m<-x-2的解集为x<2.解不等式-x-2<0可得x>-2.∴不等式组的解集是-2<x<2.9.1-10.311.112.1或2[解析] 画出函数解析式的图象,要使y=k成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=k这条直线有3个交点.函数y=的图象如图.根据图象知道当y=1或2时,对应成立的x值恰好有3个,∴k=1或2.故答案为1或2.13.解:(1)1+3+5+7=16=42.观察,发现规律,第一个图形:1+3=22,第二个图形:1+3+5=32,第三个图形:1+3+5+7=42,…,第(n-1)个图形:1+3+5+…+(2n-1)=n2.故答案为:42n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第(n+1)行,(n+2)行到(2n+1)行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1)+[(2n-1)+…+5+3+1]=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.故答案为:2n+12n2+2n+1.14.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图,易知抛物线与y轴交于点(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.。

专题43 整体思想运用1.整体思想的含义整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

2.整体思想方法具体应用范围(1)在代数式求值中的应用(2)在因式分解中的应用(3)在解方程及其方程组中的应用(4)在解决几何问题中的应用(5)在解决函数问题中的应用【例题1】(2020•成都)已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为．【答案】49．【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．∵a＝7﹣3b，∴a+3b＝7，∴a2+6ab+9b2＝(a+3b)2＝72＝49【对点练习】(2019内蒙古呼和浩特)若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为( )A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【答案】D．【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17=x12+x22﹣5x12+17=(x1+x2)2﹣2x1x2﹣5x12+17＝(﹣1)2﹣2×(﹣3)﹣5x12+17＝24﹣5x22=24﹣5(﹣1﹣x1)2=24﹣5(x12+x1+1)＝24﹣5(3+1)＝4【例题2】(2020•衢州)定义a※b＝a(b+1)，例如2※3＝2×(3+1)＝2×4＝8．则(x﹣1)※x的结果为．【答案】x2﹣1．【解析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．根据题意得：(x﹣1)※x＝(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1．【对点练习】分解因式：a2﹣2a(b+c)+(b+c)2【答案】(a﹣b﹣c)2．【解析】分解因式：a 2﹣2a (b +c )+(b +c )2＝[a ﹣(b +c )]2＝(a ﹣b ﹣c )2．【例题3】(2020•天水)已知a +2b =103，3a +4b =163，则a +b 的值为 ．【答案】1【分析】用方程3a +4b =163减去a +2b =103，即可得出2a +2b ＝2，进而得出a +b ＝1． 【解析】a +2b =103①，3a +4b =163②，②﹣①得2a +2b ＝2，解得a +b ＝1．【对点练习】(2019辽宁本溪)先化简，再求值(﹣)÷，其中a 满足a 2+3a ﹣2＝0． 【答案】见解析。

数学思想数学思想是连接根底知识与解题才能的桥梁，是解题规律的总结，是到达以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路.中考常用的数学思想有：整体思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，要注意领会例题中所表达的数学思想，培养用数学思想解题的意识．数形结合思想例〔2021·〕图1是二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕图象的一局部，对称轴是直线x=-2．关于以下结论：①ab ＜0；②b 2-4ac ＞0；③9a-3b+c ＜0；④b-4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=-4，其中正确的结论有〔 〕A ．①③④B ．②④⑤C ．①②⑤D ．②③⑤ 解析：由图象，可得抛物线开口向下，a ＜0，对称轴为x=-2ba=-2，b=4a ＜0，所以ab ＞0，①错误，④正确；抛物线与x 轴有两个交点，交于-4，0两点，所以b 2-4ac ＞0，②⑤正确； 当x=-3时，y ＞0，即9a-3b+c ＞0，所以③错误. 故正确的有②④⑤，选B ． 跟踪训练：1.〔2021·〕有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图2所示，以下各式正确的选项是〔 〕A ．a+b ＜0B ．a-b ＜0C ．a•b＞0D ．ab＞0 2.〔2021·〕图3是轰炸机机群的一个飞行队形，假如最后两架轰炸机的平面坐标分别为A 〔-2，1〕和B 〔-2，-3〕，那么第一架轰炸机C 的平面坐标是____.图1图23.〔2021·黔西南州〕如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一个动点，过点A 作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为4，那么k=___.整体思想例1 〔2021·〕a+b=3,a-b=5，那么代数式a2-b2的值是 .分析：将a2-b2分解因式，视a+b与a-b为一个整体，代入计算即可．解： a2-b2=(a+b)(a-b)=3×5=15.例2〔2021·〕如图1，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，那么∠P的度数是〔〕A．60° B．65° C．55° D．50°解析：根据五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，可得∠EDC +∠BCD=540°-300°=240°，再根据角平分线的定义可得∠PDC+∠PCD=12〔∠EDC +∠BCD〕=120°，所以∠P=180°-120°=60°．应选A．跟踪训练：1.〔2021·黔东南州〕设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，那么x12+x22=〔〕A．6 B．8 C．10 D．122.〔2021·〕抛物线y=ax2+bx+2经过点〔-2，3〕，那么3b-6a=____. 图1图3图43.〔2021·〕如图2，在△ABC 中，AC=4 cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7 cm ，那么BC 的长为〔 〕 A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D ．4 cm4.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学惯用品，假设购置铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支一共需3.15元；假设购置铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支一共需4.2元，那么购置铅笔、练习本、圆珠笔各1件一共需〔 〕5.〔2021·〕先化简，再求值：〔222a a a +-+2144a a a --+〕÷4a a-，其中a 满足a 2-4a-1=0. 方程思想例1〔2021·〕为响应国家的“节能减排〞政策，某厂家开发了一种新型的电动车.如图1，它的大灯A 射出的光线AB ，AC 与地面MN 的夹角分别为22°和31°，AT ⊥MN ，垂足为T ，大灯照亮地面的宽度BC 的长为56m ． 〔1〕求BT 的长〔不考虑其他因素〕；〔2〕一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反响时间是是0.2s ，从发现危险到电动车完全停下所行驶的间隔 叫做最小平安间隔 .某人以20km/h 的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停顿的刹车间隔 是149m ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小平安间隔 的要求〔大灯与前轮前端间程度间隔 忽略不计〕，并说明理由． 〔参考数据：sin22°≈38，tan22°≈25，sin31°≈1325，tan31°≈35〕图2图1分析：〔1〕在Rt△ACT中，根据正切的定义，设AT=3x，CT=5x，在Rt△ABT中利用三角函数表示出BT，即可列方程求解；〔2〕求出正常人作出反响过程中电动车行驶的路程，加上刹车间隔，然后与BT的长进展比拟即可．解：〔1〕由图知∠ACT=31°，∠ABT=22°.在Rt△ACT中，∠ACT=31°，tan31°=ATCT≈35，所以设AT=3x，CT=5x.在Rt△ABT中，∠ABT=22°，tan22°=ATBT＝ATBC CT+≈25，即3556xx+＝25，解得x＝13.所以CT＝5×13＝53，BT＝BC+CT＝56+53＝52m.〔2〕20km/h＝509m/s，509×0.2＝109m，109+149＝83＞52，所以该车大灯的设计不能满足最小平安间隔的要求．例2〔2021•〕如图2，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，那么∠CDE的正切值为___.解析：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.根据旋转的性质，可得AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6.∴△ADE为等边三角形.∴DE=AD=5.如图3，过点E作EH⊥CD于H，设DH=x，那么CH=4-x.图2在Rt △DHE 中，EH 2=52-x 2，在Rt △CHE 中，EH 2=62-〔4-x 〕2. ∴52-x 2=62-〔4-x 〕2，解得x=58.∴EH=2255-8⎛⎫⎪⎝⎭=157.在Rt △DHE 中，tan ∠HDE=EHDH=37. 跟踪训练：1.〔2021·〕假如单项式-xy b+1与12x a-2y 3是同类项，那么〔a-b 〕2021=___. 2.〔2021·〕一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，那么这个多边形对角线的条数是〔 〕A ．27B ．35C ．44D ．543.如图4，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转后得到矩形A ′BC ′D ′.假设边A ′B 交线段CD 于H ，且BH=DH ，那么DH 的值是〔 〕 A ．74 B ．8−2 3 C ．254 D ．6 24.〔2021·〕如图5，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上.假设BC=3，AD=2，EF=23EH ，那么EH 的长为____. 转化思想例1〔2021•〕如图1，透明的圆柱形容器〔容器厚度忽略不计〕的高为12 cm ，底面周长为10 cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A 处，那么蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短途径是〔 〕图4图5A ．13 cmB ．261cm C．61 cmD ．234 cm分析：将容器侧面展开，作点A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短，可知A ′B 的长度即为所求．解：将容器侧面展开，作点A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′B ，那么A ′B 即为最短间隔 .A ′B=22A D BD '+=22512+=13〔cm 〕．应选A ．例2〔2021•〕如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC=2∠D ，连接OA ，OB ，OC ，AC ，OB 与AC 相交于点E ． 〔1〕求∠OCA 的度数；〔2〕假设∠COB=3∠AOB ，OC=23，求图中阴影局部面积〔结果保存π和根号〕. 分析：〔1〕由内接四边形的性质得∠ABC+∠D=180°，结合∠ABC=2∠D ，可得∠D=60°，∠AOC=2∠D=120°，于是∠OCA 的度数易得；〔2〕首先根据∠COB=3∠AOB 可得∠AOB=30°，从而∠COB 为直角，然后利用S 阴影=S 扇形OBC -S △OEC 求解． 解：〔1〕∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABC+∠D=180°.图1图2图3∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，解得∠D=60°.∴∠AOC=2∠D=120°.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°.〔2〕∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，解得∠AOB=30°.∴∠COB=∠AOC-∠AOB=90°.在Rt△OCE中，OC=2 3，OE=OC•tan∠OCE=23•tan30°=2.∴S△OEC=12OE•OC=12×2×23=23，S扇形OBC=290(23)π⨯=3π.∴S阴影=S扇形OBC-S△OEC=3π-2 3．评注：在求不规那么的阴影局部的面积时常转化为几个规那么几何图形的面积和或者差.跟踪训练：1.〔2021•〕如图4，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，那么阴影局部的面积是____〔结果保存π〕．2.〔2021•〕图5，图6为同一长方体房间的示意图，图7为该长方体的外表展开图.〔1〕蜘蛛在顶点A′处.①苍蝇在顶点B处时，试在图5中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近道路；②苍蝇在顶点C处时，图HY画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条道路，往天花板ABCD爬行的最近道路A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近道路A′HC，试通过计算判断哪条道路更近.〔2〕在图7中，半径为10 dm的⊙M与D′C相切，圆心M到边C′C的间隔为15 dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙⊙M相切，试求PQ的长度的范围.图4函数思想例1〔2021•黔南州〕为理解交通拥堵情况，经统计分析，彩虹桥上的车流速度v〔千米/时〕是车流密度x〔辆/千米〕的函数，当桥上的车流密度到达220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/时．研究说明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．〔1〕求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；〔2〕在交通顶峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/时且小于60千米/时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？〔3〕当车流量〔辆/时〕是单位时间是内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值.解析：〔1〕设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b.由题意，得20802200k bk b+=⎧⎨+=⎩，，解得2588.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以当20≤x≤220时，v=-25x+88.当x=100时，v=- 25×100+88=48〔千米/时〕.〔2〕由题意，得288405288605xx⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＞，＜，解得70＜x＜120.所以应控制彩虹桥上的车流密度在70＜x＜120范围内.〔3〕当20≤x≤220时，y=vx=〔-2 5x+88〕x=-25〔x-110〕2+4840.所以当x=110时，y最大，为4840.所以当车流密度是110辆/千米，车流量y获得最大值，为每小时4840辆．例2〔2021·〕某乒乓球馆使用发球机进展辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动道路固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的程度间隔为x〔米〕，与桌面的高度为y〔米〕，运行时间是为t〔秒〕，经屡次测试后，得到如下局部数据：t〔秒〕0 …x〔米〕0 1 2 …y〔米〕…〔1〕当t为何值时，乒乓球到达最大高度？〔2〕乒乓球落在桌面时，与端点A的程度间隔是多少？〔3〕乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a〔x-3)2+k.①用含a的代数式表示k；②如图1，球网高度为米，球桌长〔×2〕米，假设球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值.分析：〔1〕由表格中数据可直接得出.〔2〕判断出y是x的二次函数，设顶点式，求出y关于x的解析式，y=0时的x值即为所求.图1〔3〕①由〔2〕可得乒乓球落在桌面时的坐标，代入y=a(x-3)2+k 即可得结果. ②由题意，易得扣杀道路在直线y=101x 上，将y=101x 代入y=a(x-3)2+k ，得20ax 2-(120a+2)x+175a=0，由于球弹起后，恰好有唯一的击球点，所以方程根的判别式等于0，求出此时的a ，符合题意的即为所求.解：如图2，以点A 为原点，桌面中线为x 轴，乒乓球程度运动方向为正方向，建立平面直角坐标系.〔1〕由表格中数据，可得当秒时，乒乓球到达最大高度.〔2〕由表格中数据，可判断y 是x 的二次函数，且顶点为〔1，〕，所以可设y=a(x-1)2+0.45. 将〔0，〕代入，得0.25=a(0-1)2，a=-0.2. 所以二次函数的解析式为y=-0.2(x-1)2+0.45. 当y=0时，-0.2(x-1)2+0.45=0，解得x 1，x 2〔舍去〕. 所以乒乓球落在桌面时，与端点A 的程度间隔 是米. 〔3〕①由〔2〕得乒乓球落在桌面时的坐标为〔，0〕.将〔，0〕代入y=a(x-3)2+k ，得0=a(2.5-3)2+k ，化简，得k=-41a. ②由题意，可知扣杀道路在直线y=101x 上，由①得y=a(x-3)2-41a. 令a(x-3)2-41a=101x ，整理，得20ax 2-(120a+2)+175a=0.当∆=(120a+2)2-4×20a ×175a=0时，符合题意，解得12635635,1010a a -+--==. 当63510a -+=时，求得352x =-，不合题意，舍去； 当63510a --=时，求得352x =，符合题意.所以当63510a --=时，可以将球沿直线扣杀到点A.跟踪训练：1.〔2021·〕小刚以400米/分的速度匀速骑车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500图2米/分的速度骑回出发地.以下函数图象能表达这一过程的是〔〕A B C D2.〔2021·〕如图3，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有局部水，如今匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y〔cm〕和注水时间是x〔s〕之间的关系满足图4中的图象，那么至少需要____ s能把小水杯注满.3.〔2021·〕某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y〔微克/毫升〕与服药时间是x〔小时〕之间的函数关系如图56所示〔当4≤x≤10时，y与x成反比例〕．〔1〕根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；〔2〕问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间是为多少小时？5.〔2021·〕小明到服装店进展社会理论活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价60元，售价图5图3 图4O90元．方案购进两种服装一共100件，其中甲种服装不少于65件．〔1〕假设购进这100件服装的费用不得超过7500元，那么甲种服装最多购进多少件？ 〔2〕在〔1〕的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a 〔0＜a ＜20〕元的价格进展促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？分类讨论思想例1〔2021·〕如图1，二次函数y=ax 2+bx-3a 经过点A 〔-1，0〕，C 〔0，3〕，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ． 〔1〕求此二次函数的解析式；〔2〕连接DC ，BC ，DB ，求证：△BCD 是直角三角形；〔3〕在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？假设存在，求出符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由.分析：〔1〕将A 〔-1，0〕，C 〔0，3〕代入二次函数y=ax 2+bx-3a ，即可确定二次函数的解析式；〔2〕分别求得线段BC ，CD ，BD 的长，利用勾股定理的逆定理进展断定即可；〔3〕分以CD 为底和以CD 为腰两种情况讨论，运用两点间间隔 公式建立起点P 横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．解：〔1〕将点A 〔-1，0〕，C 〔0，3〕代入二次函数y=ax 2+bx-3a ，得3033a b a a --=⎧⎨-=⎩，，解得12.a b =-⎧⎨=⎩，所以二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3．〔2〕由二次函数解析式y=-x 2+2x+3，可得点D 坐标为〔1，4〕，点B 坐标为〔3，0〕，所以CD=22(10)(43)-+-=2，BC=2233+=32，BD=22(31)(40)-+-=25. 因为CD 2+BC 2=〔2〕2+〔32〕2=20，BD 2=〔25〕2=20，所以CD 2+BC 2=BD 2，△BCD 是直角三角形.图1〔3〕存在，如图2.①假设以CD 为底边，那么P 1D=P 1C.设点P 1的坐标为〔x ，y 〕，易得P 1C 2=x 2+〔3-y 〕2，P 1D 2=〔x-1〕2+〔4-y 〕2， 因此x 2+〔3-y 〕2=〔x-1〕2+〔4-y 〕2，即y=4-x ．又点P 1在抛物线上，所以4-x=-x 2+2x+3，即x 2-3x+1=0，解得x 1=35+，x 2=35-＜1〔舍去〕. 所以x=35+，y=4-x=55-，即点P 1的坐标为〔35+，55-〕． ②假设以CD 为一腰.点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性，知点P 与点C 关于直线x=1对称，此时点P 2的坐标为〔2，3〕． 所以符合条件的点P 的坐标为〔352+，552-〕或者〔2，3〕． 例2〔2021•〕如图3，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=3x ﹣23与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1． (1〕判断原点O 与⊙P 的位置关系，并说明理由； (2〕当⊙P 过点B 时，求⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长； (3〕当⊙P 与x 轴相切时，求出切点的坐标．分析：〔1〕由直线y=3x ﹣23易得点A ，B 的坐标，从而得∠OBA=30°，然后过点O 作OH ⊥AB 于点H ，利用三角函数可求得OH 的长，继而可得结论；(2〕当⊙P 过点B ，点P 在y 轴右侧时，易得⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角为120°，那么可求得弧长；同理可求得当⊙P 过点B ，点P 在y 轴左侧时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长；(3〕首先求得当⊙P 与x 轴相切，且位于x 轴下方时，点D 的坐标，然后利用对称性可得当图2图3⊙P 与x 轴相切，且位于x 轴上方时，点D 的坐标． 解：〔1〕原点O 在⊙P 外．理由：由，易得A 〔2，0〕，B 〔0，﹣23〕. 在Rt △OAB 中，tan ∠OBA=323OA OB ==，所以∠OBA=30°. 如图4，过点O 作OH ⊥AB 于点H. 在Rt △OBH 中，OH=OB •sin ∠OBA=3.3＞1，所以原点O 在⊙P 外.(2〕如图5，当⊙P 过点B ，点P 在y 轴右侧时，设⊙P 与y 轴的另一交点为C. 因为PB=PC ，所以∠PCB=∠OBA=30°.所以⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°，弧长为=；同理：当⊙P 过点B ，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为. 所以当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长为.(3〕如图6，当⊙P 与x 轴相切，且位于x 轴下方时，设切点为D ， 因为PD ⊥x 轴，所以PD ∥y 轴，∠APD=∠ABO=30°. 在Rt △DAP 中，AD=DP •tan ∠DPA=1×tan30°=，OD=OA ﹣AD=2﹣.所以此时点D 的坐标为〔2﹣，0〕；当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴上方时，根据对称性，可得此时切点的坐标为〔2+，0〕.综上可得，当⊙P 与x 轴相切时，切点的坐标为〔2﹣，0〕或者〔2+，0〕．跟踪训练：1.〔2021•〕一个等腰三角形的两边长分别是2和4，那么该等腰三角形的周长为〔〕A．8或者10 B．8 C．10 D．6或者122.〔2021•〕在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，那么∠A的度数为___.3.〔2021•〕△ABC为⊙O的内接三角形，假设∠AOC=160°，那么∠ABC的度数是〔〕A．80° B．160° C．100° D．80°或者100°4.〔2021•〕如图7，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，那么当△PAB为直角三角形时，AP的长为____.图75.〔2021•凉山州〕在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，那么S△MOD∶S△COB=____.〔2021·黔南州〕如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-1x2+bx+c过点A〔0，4〕6和C〔8，0〕，P〔t，0〕是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D.〔1〕求b，c的值；〔2〕当t为何值时，点D落在抛物线上？〔3〕是否存在t ，使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似？假设存在，求此时t 的值；假设不存在，请说明理由.参考答案数形结合思想 1.B 2.〔2，-1〕 3.-4 整体思想提示：由题可得x1+x2=2，x1x2=-3，所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=22-2×〔-3〕=10.324.B提示：设购置一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x ，y ，z 元. 由，可得37 3.15,482 4.2.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩②-①，得x+y+z=1.05. 5.解：原式=2(2)(2)(1)(2)4a a a a a a a a +-+-•--=21(2)a -. 因为a 2-4a-1=0，所以(a-2)2=5，故原式=15. 方程思想图81.12.C3.C4.3 2转化思想3函数思想1.C2.53.〔1〕血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x〔0≤x＜4〕，下降阶段的函数关系式为y=32x〔4≤x≤10〕．〔2〕6小时5.〔1〕75件；〔2〕当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；②当a=10时，按哪种方案进货都可以；③当10＜a＜20时，购进甲种服装65件，乙种服装35件.分类讨论思想1.C °或者35°或者2 5.4∶9或者1∶9励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。