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2.6 平面向量数量积的坐标表示典题精讲例1湖北高考卷，理1)已知向量a =（3,1），b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b =3，则b 等于（ ）A.（23,21）B.（21, 23）C.（433,41） D.(1,0) 思路解析：方法一（待定系数法）：设b =(x,y)(x≠y)，则依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,33,122y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,21y x 方法二（代入验证法）：将四个选项逐一验证，仅有选项B 符合题意.答案：B绿色通道： 已知向量的坐标时，通常利用向量数量积的坐标表示来解决有关向量问题. 变式训练1已知|a |=132,b =(-2,3),且a ⊥b ，则a 的坐标为_______________.思路解析：利用向量的长度公式和垂直的条件列出关于向量ab 的坐标的方程，然后求解.设a =(x,y)，则x 2+y 2=52.由a ⊥b 得-2x+3y=0.由以上两个条件得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.4,64,6y x y x 或 答案：(6，4)或(-6，-4)变式训练2已知向量a 与b 同向，b =(1,2),a ·b =10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c =(2,-1)，求(b ·c )a .思路分析：由向量a 与b 同向可得a =λb ，且λ＞0.解：(1)∵向量a 与b 同向，b =（1，2），∴a =λb =（λ，2λ）.又∵a ·b =10， ∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a 与b 同向的条件,∴a =（2，4）.(2)∵b ·c =1×2+2×(-1)=0,∴(b ·c )a =0.例2(湖北高考卷，理19)如图2-6-2，在Rt△ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.图2-6-2思路分析：可以用分解向量法和建立直角坐标系法解决.解法一（基向量法）： ∵⊥，∴·=0. ∵=-,=-,=-, ∴·=(-)·(-) =AP ·-AP ·AC -AB ·+AB ·AC =-a 2-AP ·AC +AB ·AP=-a 2+·(-)=-a 2+21PQ ·=-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1即θ=0(与方向相同)时, ·最大,其最大值为0.解法二（坐标法）：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立如图2-6-3所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c ,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P 的坐标为（x,y ）,则Q （-x,-y ）.图2-6-3 ∴BP =(x-c ,y), =(-x,-y-b ), BC =(-c ,b ), =(-2x,-2y). ∴BP ·CQ =(x-c )(-x)+y(-y-b )=-(x 2+y 2)+c x-b y.∵cos θ,||||2a bycxBC PQ -=∙∴cx -by=a 2cos θ.∴·=-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0,(与BC 方向相同)时,BP ·最大,其最大值为0.绿色通道 解决向量问题的两种方法：①基向量法：选择不共线（最好垂直）的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；②坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.变式训练1如图2-6-4，正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，试求cos 〈,〉的值.思路分析：最优解法坐标法.解法一（坐标法）：如图2-6-4所示.图2-6-4以OA 和OC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则有A=(1,0)，C=(0,1),B=(1,1)， ∴OD =（1，21），OE=（21，1），故cos∠542525121211||||=⨯⨯+⨯=OE OD .解法二(基向量法)：以和为基向量建立平面向量基底.设=a ,=b ， 则有|a |=|b |=1，〈a ,b 〉=2π，a ·b =0. ∴=+=+21=+21=a +21b ，=+=+21=+21=21a +b . ∴||=2541)21(222=+∙+=+b b a a b a ， ||2=2541)21(222=+∙+=+b b a a b a ,·=(a +21b )·(21a +b )=21a 2+45a ·b ＋21b 2=1. 54||||=OE OD . 变式训练2已知a ,b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角. 思路分析：可以由条件求出a ·(a +b )及|a +b |代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a |=|b |，有|a |2=|b |2，又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2，∴a ·b =21|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=23||3||||21||||||)(22=∙+=++∙a a a a b a a b a a ，∴θ=30°. 解法二：设向量a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，∵|a |=|b |，∴x 12+y 12=x 22+y 22.由|b |=|a -b |，得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12)，即a ·b =21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2×21 (x 12+y 12)=3(x 12+y 12)得 |a +b |=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=233)(21)(||||)(2121212121212121=+∙++++=++∙y x y x y x y x b a a b a a ， ∴θ=30°.解法三：在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以，为邻边作平行四边形. ∵|a |=|b |，即||=||.∴OACB 为菱形，OC 平分∠A OB ， 这时=a +b ，=a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即||=||=||.∴△A OB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°.问题探究问题在直角坐标系中，将单位向量OA 旋转90°到向量OB 的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导思：探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系. 探究：如图2-6-5所示，在单位圆中，设=(a 1,a 2)，=(x,y)，图2-6-5 ∵OA ⊥OB ，且|OA |=|OB |=1，∴有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,1,1,022222121y x a a y a x a整理得⎩⎨⎧=-=12,a y a x 或⎩⎨⎧-==,,12a y a x 即当按逆时针方向旋转90°时，=(-a 2,a 1)，当按顺时针方向旋转90°时，=(a 2,-a 1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式.例如：求证：cos(α+90°)=-sin α,sin(α+90°)=cos α.证明：设α的终边与单位圆交于点A ，则A(cos α,sin α)，所以=(cos α,sin α). ∴|OA |=1，即OA 是单位向量. 当OA 按逆时针方向旋转90°后到OB ，则点B(cos(α+90°),sin(α+90°))，由结论可得B(-sin α,cos α).∴(cos(α+90°),sin(α+90°))=(-sin α,cos α).∴cos(α+90°)=-sin α，sin(α+90°)=cos α.。
课堂导学三点剖析1.两个向量数量积的坐标【例1】 已知：a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π)求证：a +b 与a -b 互相垂直.思路分析：要证（a +b ）⊥(a -b ),只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识 证法一：由已知a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),有a +b =(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a -b =（cosα-cosβ,sinα-sinβ）,又(a +b )·(a -b )=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=0,所以（a +b ）⊥(a -b ).证法二：∵a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=(cos 2α+sin 2α)-(cos 2β+sin 2β)=1-1=0.∴(a +b )⊥(a -b ).友情提示两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一. 各个击破类题演练 1已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），求证：△ABC 是直角三角形证明:∵AB =（2-1，3-2）=（1，1）,AC =（-2-1，5-2）=（-3，3）, ∴·=1×(-3)+1×3=0, ∴⊥即AB ⊥AC∴△ABC 是直角三角形.变式提升 1已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量的坐标.解析：设b =(x,y)为所求单位向量则x 2+y 2=1①又∵a ⊥b∴a ·b =(4,2)·(x,y)=4x+2y=0∴4x+2y=0② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.552,55552,55y x y x 或∴b =(552,55-)或b =(552,55-). 2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想【例2】 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.思路分析：本题思路较多.可以由条件求出a ·(a +b )及|a +b |代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a|=|b |，有|a|2=|b |2，又由|b |=|a -b |,得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2，∴a ·b =21|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则 cosθ=23||3||||21||||||)(22=+=++a a a a b a a b a a ， ∴θ=30°.解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.∵|a |=|b |，即||=||，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时=a +b ，=a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即||=||=||.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°. 友情提示本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会类题演练 2已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值.解析：建立如右图所示的坐标系.则A （4，0），B （0，6），E （2，0），F （0，3）.=（-4，3），=（2，-6），||=5，||=102，cos ∠501013101026||||-=-=BE AF . ∴两中线所成钝角的余弦值为501013-. 变式提升 2设a =(4,-3),b =(2,1)，若a +t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值.解析:a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),(a +t b )·b =(4+2t,t-3)·（2，1）=5t+5,|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=-++t t t .由（a +t b ）·b =|a +t b ||b |cos45°,得5t+5=4)1(5252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去.∴t=1.3.向量垂直的等价条件的应用【例3】 如右图，已知正方形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（5，3），则点C 的坐标是()A.（2，7）B.（23，215） C.（3，6） D.（25，213） 思路分析：欲求点C 的坐标，可设点C 为（x ，y ），然后利用条件建立x 、y 的方程组.注意到四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，且|AB |=|BC |，可用它们建立x 、y 的方程组. 解：设C 点坐标为（x ，y ），则AB =（4，3），BC =（x-5，y-3）.∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ⊥BC ，|AB |=|BC |. ∴⎩⎨⎧=+--+=+⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+=-+-∙.09610,2934,)3()5(34,0)3(3)5(4222222y x y x y x y x y x 即解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.1,87,2y x y x 或 又∵C 点在第一象限，∴⎩⎨⎧-==.1,8y x 舍去. 答案：A友情提示求点的坐标，设出点的坐标然后建立坐标的方程组是解决这类题的常用方法.另外还可考虑几何法，作BM ⊥x 轴于点M ，DN ⊥x 轴于点N ，易得△ABM ≌△DAN ，可得D 点坐标为（-2，4），然后利用=+，易得C 点坐标.类题演练 3如右图，已知△ABC 中，A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），AD 是BC 边上的高，求及点D 的坐标.解析：设D 的坐标为（x,y ）∵AD ⊥BC,∴AD ⊥BC ,CD 与BC 共线. 又∵AD =(x-2,y+1),BC =(-6,-3),CD =(x+3,y+1).∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=-+⎩⎨⎧=+++-=+---.1,1.012,032.0)1(6)3(3,0)1(3)2(6y x y x y x y x y x 解得即 ∴D 点坐标为（1，1），∴AD =（-1，2）.变式提升 3以原点O 和A （4，2）为2个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°,求B 的坐标和AB 的长.解析：如右图，设B 的坐标为（x,y ）,则OB =（x,y ）,AB =(x-4,y-2).∵∠B=90°,∴⊥,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x 2+y 2=4x+2y.① 设的中点为C ，则C(2,1),=(2,1),=(x-2,y-1).∵△AOB 为等腰直角三角形，∴⊥, 2（x-2）+(x-1)=0,即2x+y=5.②由①②可得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.1,3.3,12211y x y x 或 ∴B 的坐标为（1，3）或（3，-1），AB =（-3，1）或（-1，-3）， ∴|AB|=|AB |=10.。
§6 平面向量数量积的坐标表示知识梳理1.向量数量积的坐标表示已知a =(a 1,a 2)，b =(b 1,b 2)，则a ·b =a 1b 1+a 2b 2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2.两个向量垂直的坐标表示已知a =(a 1，a 2)，b =(b 1,b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2=0；a ⊥b ⇔ (a 1,a 2)∥(-b 2,b 1).3.向量的长度、距离和夹角公式（度量公式）(1)长度公式：已知a =(a 1,a 2)，则|a |=2212a a +.(2)距离公式：如果A(x 1，y 1），B(x 2，y 2)，则||=212212)()(y y x x -+-. (3)夹角公式：已知a =(a 1,a 2)，b =(b 1,b 2)，则两个向量a 、b 的夹角为cos 〈a ,b 〉=222122212211b b a a b a b a +++.知识导学1.复习平面向量的坐标表示，向量共线和垂直的条件，向量的长度和夹角的概念.2.本节的重点是向量数量积的应用，难点是灵活应用数量积解决有关问题.疑难突破1.为什么向量的数量积能用坐标表示？剖析：由于向量能用坐标表示，那么向量的数量积也能用坐标表示，因此其突破方法是利用平面向量的坐标表示来推导.设a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则i ·i =1，j ·j =1，i ·j =j ·i =0.∵a =x 1i +y 1j ,b =x 2i +y 2j ，∴a ·b =(x 1i +y 1j)·(x 2i +y 2j )=x 1x 2i 2+x 1y 2i ·j +x 2y 1i ·j +y 1y 2j 2=x 1x 2+y 1y 2,即a ·b =x 1x 2+y 1y 2.用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想，进一步体会到数形结合思想在解决数学问题时所带来的便利.2.为什么（a ·b ）c =a (b ·c )不成立？剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义来证明；突破路径3：利用反证法通过向量数量积的坐标表示来证明等式不成立.方法一：举反例.如图2-6-1所示，设=a ，=b ，=c ，且||=1，||=2，||=3，〈,〉=3π，〈, 〉=3π，则〈,〉=3π2. ∴a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉=1，b ·c =|b ||c |cos 〈b ，c 〉=3.∴(a ·b )c =c ，a (b ·c )=3a .很明显c =3a 不成立，图2-6-1∴(a·b)c=a(b·c)不成立.再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5),则(a·b)c= ［1×(-3)+2×4］(6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),a(b·c)=(1,2)［-3×6+4×(-5)］=(-38)(1,2)=(-38,-72).∴(a·b)c=a(b·c)不成立.方法二：下面用向量数量积的几何意义来分析.由于向量的数量积是实数，则设a·b=λ，b·c=μ.则(a·b)c=λc，a(b·c)=μa.由于c，a是任意向量，则λc=μa不成立.∴(a·b)c=a(b·c)不成立.方法三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3).则a·b=x1x2+y1y2,b·c=x3x2+y3y2.∴(a·b)c=(x1x2+下标y1y2)(x3,y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，a(b·c)=(x3x2+y3y2)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).假设(a·b)c=a(b·c)成立,则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)，∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3，x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.∴y1y2x3=x1y2y3，x1x2y3=x2x3y1.∴y2(y1x3-x1y3)=0，x2（x1y3-x3y1）=0.∵b是任意向量，∴x2和y2是任意实数.∴y1x3-x1y3=0.∴a∥c.这与a，c是任意向量，即不一定共线相矛盾.∴假设不成立.∴(a·b)c=a(b·c)不成立.。
也谈高考热点—数量积 数量积是平面向量的一朵奇葩，其运算形式有cos (0)a b a b ααπ⋅=≤≤r r r r 与1212a b x x y y ⋅=+r r 两种。
用数量积来处理有关长度、角度、垂直关系，及构造不等式与函数都有其独到之处 。
因此关于数量积的考查，也成为高考命题的热点。
以下就其在高考中的考查形式，分类例述如下一、求长度例1 设向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r ，()||1,,,a a b c a c =-⊥⊥u u r r r r r r ,则222a b c ++r r r 的值是分析：本题考查向量的代数运算，必须要熟练掌握数量积与向量加减法运算。
解析：()()0,0a b c a b c a c b c a c a c -⊥⇒-⋅=⋅-⋅=⊥⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r ，故0b c ⋅=r r ()2222220()21a b c a b c a b c b c b c b c ++=⇒-=+⇒-=+=++⋅=+=r r r r r r r r r r r r r r r r 由， 所以2222222a b c a b c ++=++=r r r r r r评注：求向量的模，通常是转化为向量的平方，利用向量的数量积来解决。
这是解决向量长度的一种重要方法。
二、求角例2 已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 分析： 要求两向量夹角，必须回到向量数量积的运算公式上来处理。
解：,0||2||≠= 且关于x 的方程0||2=⋅++x x 有实根，则2||4a a b -⋅r r r ≥0，设向量,a b r r 的夹角为θ，cosθ=||||a b a b ⋅⋅r r r r ≤221||1412||2a a =r r ，∴θ∈],3[ππ，选B. 评注：将向量的运算揉合在方程之中，这也是近年高考对向量考查的一个方向。
