第8章 真空中静电场

R2
U0 = ∫
R1
dq 2πrdr R = ∫R12 − σ 4πε 0 r 4πε 0 r σ =− (R 2 − R 1 ) 2ε 0
E K = −eU 0 =
σe (R 2 − R 1 ) 2ε 0
7
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15、一电偶极子原来与均匀电场平行，将它转到与电场反平行时，外力作功为 A，则当 此电偶极子与场强成 45°角时，此电偶极子所受的力矩为多少?
σ2
σ3
A II
B III
（2） A外 + A静 = 0
A 外 = −A 静 = ΔW =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱq 0 (U B − U A ) = 1.0 × 10−2 × 9.1 × 104 = 9.1 × 10−4 J
8
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17、有一半径为 R，电荷密度为 σ 的均匀带电的圆盘，求: (1) 圆盘轴线上任意一点的电势； (2) 利用场强和电势梯度的关系求该点场强。 解：取 dq = 2πrdr
= ∫0
R
q cos ϕ2πxdx 4πε 0 ( x 2 + h 2 )
2
q 1 h 4πε 0 ( x 2 + h 2 ) ( x 2 + h 2 )1
2πxdx
h
=
q q h [1 − 2 ]= (1 − cos α ) 2ε 0 (R + h 2 ) 1 2 2ε 0
6、一半径为 R 的无限长直圆柱体，均匀带电，电荷体密度ρ > 0，求电场场强分布；并 用 E − r 图表示场强随距离的分布情况。 v r ∑q 解：在圆柱体内外取图示高斯面，由高斯定理 ∫ E ⋅ dS = ε0 2 v r ρπR h r>R ∫ E ⋅ dS = E 2πrh = ε0
∞ R
3
E p = ∫R dE p = ∫ σx
2πσxρdρ
3
4πε 0 (ρ 2 + x 2 ) 2
1
=
2ε 0 (R 2 + x 2 ) 2
方向沿 x 轴方向
2
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5、 如图所示， 在点电荷ｑ的电场中， 取半径为Ｒ的平面， ｑ在该平面的轴线上的Ａ点处．求通过此圆平面的电通 量。 解法一：以 A 为中心，r 为半径作一球面，则通过圆平 面的电通量与通过以圆平面为底的球冠电通量相等。 q Φ0 = 设球面积 S 0 = 4πr 2 ， 通量 ε0 球冠面积
UD = q q q − =− 4πε 0 3l 4πε 0 l 6πε 0 l q 6πε 0 l
——
C
A
⊕
+q
O 2l
−q − Β l
D
A 1 = q(U 0 − U D ) = U 0 − U D =
(2)
A 2 = −( U 0 − U ∞ ) =
q 6πε 0 l
14、在静电透镜实验装置中，有一均匀带电的圆环，内半径为R1，外半径为R2，其电荷 面密度为 σ (负电)，现有一电子沿着轴线从无限远射向带负电的圆环，欲使电子能穿过 圆环，它的初始动能至少要多大? 解：设电子在无穷远处初动能为Ek ,0 点电子动能 ≥ 0 A = e ( U 0 − U ∞ ) = ΔE K = E K
dq = λdl = λRdθ
dE =
+ + + − −
+
+ R
θ
O − −
（λ =
2Q ） πR
λ Rdθ λ dθ = 2 4πε 0 R 4πε 0 R λ cos θdθ 4πε 0 R
π
dE y = dE cos θ =
E y = 2∫ dE cos θ = 2∫02
λ dθ Q cos θ = 4πε 0 R ε0π2R 2
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9、两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm，R2 =20.0cm，已知内球面的电势为 U1=60V，外球面的电势U2= −30V．求： (1) 内、外球面上所带电量； (2) 在两个球面之间何处的电势为零。 q1 q 1 1 R2 dr = 1 ( − ) = 60 − (−30) = 90V 解： （1） ΔU R1R 2 = ∫R 2 1 4πε 0 r 4πε 0 R 1 R 2
10、电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内，试证明离球心 r (r<R ) 处的电动势为 Q (3R 2 − r 2 ) U= 8πε 0 R 3 解：先由高斯定理分别求出球内、球外 E
⎧ Qr ⎪ 4πε R 3 0 ⎪ E=⎨ ⎪ Q ⎪ 4πε r 2 0 ⎩ r<R r>R
r Rr r ∞r r Q(3R 2 − r 2 ) ∞ r U = ∫ E ⋅ dl = ∫ E 1 ⋅ dl + ∫ E 2 ⋅ dl = r r R 8πε 0 R 3
∞ A
E1（B∞） E2 O R
α
E3（A∞）
EO = E2 =
Ey Ex
2λ 4πε 0 R
B ∞ （a） A E1（B∞） E2 E3（A∞） B （b）
∞
tgα =
=1
α= 45° 即与水平成 45°
图（b）由两根半无限长带电直线和一段半圆弧 组成，方向如图所示。根据矢量合成 λ λ E Ox = E 2 − 2E 1 cos 45 0 = − 2× =0 2πε 0 R 4πε 0 R
E B = E1 + E 2 − E 3 = 3 × 10 −3 2ε 0 − 10 − 3 3 × 10 − 3 U A − U B = E A d1 + E Bd 2 = × 5 × 10 − 2 + × 7 × 10 − 2 2ε 0 2ε 0 = 16 × 10 − 7 16 × 10 − 7 = = 9.1× 10 4 V 2ε 0 2 × 8.85 × 10 −12
2 3 4 ∑ q = ∫0 br 4πr dr = ∫0 4bπr dr = bπr r r
E内 =
bπr 4 br 2 = 2 4πε 0 r 4ε 0
R R
r>R
2 3 4 ∑ q = ∫ ρdV = ∫0 4brπr dr = ∫0 b4πr dr = bπR
r v bπR 4 2 ∫ E 外 ⋅ dS = E 外 4πr = ε0 E外 = bR 4 4ε 0 r 2
所以
Q=
3 q 3
Q
2、线电荷密度为λ的无限长均匀带电线，分别弯成 如图 (a) 和 (b) 所示的两种形状，若圆半径为 R， 试求(a)、(b) 图中 O 点的场强。 解：图（a）由两根半无限长带电直线和一段圆弧组 成，方向如图所示。根据矢量合成 r r r r r E O = E1 + E 2 + E 3 = E 2
R R
ρ (R 2 − r 2 ) 4ε 0 ρR 2 r ln 2ε 0 R
U = ∫r Edr = −
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13、如图所示， AB=2l，弧OCD是以B为 中心，l为半径的半圆。A点有点电荷+q， B点有点电荷−q。 (1) 把单位正电荷从 O 点沿弧 OCD 移到 D 点，电场力作了多少功? (2) 若把单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长 线移到无穷远处，电场力作功又为多少? q −q + =0 解： （1） U 0 = 4πε 0 l 4πε 0 l
r>R
（1） r < R
E ⋅ 2πrl = U = ∫r
0
ρπR 2 l ε0
E=
R 2ρ 2ε 0 r
r>R
（2） r < R
r>R
ρ 2 ρr dr = − r 2ε 0 4ε 0 v v 0v v r ρR 2 R U = ∫r E ⋅ dl + ∫R E ⋅ dl = − (2 ln + 1) 4ε 0 R U = ∫r Edr =
q 1 = 6.67 × 10 −10 C
U2 U1 R1
q2 q1 R2
又
U R1 =
q1 q2 + = 60V 4πε 0 R 1 4πε 0 R 2
q 2 = −1.33 × 10 −9 C
（2）令 r 处 即 所以
U（r）=0
q1 4πε 0 r
+
q2 4πε 0 R2
=0
r=0.10m=10.0cm
E Oy = E 1 sin 45 0 − E 3 sin 45 0 = 0
EO = 0
∞
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3、有一细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，其上半部均 匀分布有电荷 +Q ，下半部均匀分布有电荷 −Q ，如图所 示．求半圆中心Ｏ处的场强。 解：由于对称性，dE+、dE−在x方向上的分量抵 消 Ex = 0
π
解：Q A = ∫ Mdθ = ∫0 PE sin θdθ = 2PE
M = PE sin 45° = A 2 ⋅ = 2 2 2A 4
( A = Pe E − ( − Pe E) = 2Pe E )
16、如图所示，三块互相平行的均匀带电大平面，电荷密度 σ1 -4 2 -4 2 -4 2 为 σ1=1.2×10 C/m ， σ2=0.2×10 C/m ，σ3=1.1×10 C/m ， A点与平面II相距为 5.0cm，B点与平面II相距 7.0cm，求: (1) A、B 两点的电势差； -8 (2) 把电量q 0= −1.0×10 C的点电荷从A点移到B点， 外 力克服电场力作功多少? I σ3 σ2 σ1 − 10 −3 − = − 解： （1） E A = E 1 − E 2 − E 3 = 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0