六年级下册数学试题-奥数专题：第7讲-应用题(无答案)全国通用

六年级下册奥数讲义-奥数⽅法：假设法（练习⽆答案）全国通⽤对于某些数学问题，可以根据题⽬中的已知条件或结论作出某种假设，然后依据假设进⾏分析推理，这种解题⽅法叫做假设法。

假设思维是⼀种常⽤的推测性的辩证思维，它要求⼈们在错综复杂的数量关系中，找出能起主导作⽤的某⼀数量或某⼀等量关系，以显现可求解的对应关系，从⽽确定解题思路。

常⽤的假设有条件假设、问题假_设、单位假设及情境假设等。

⽤假设法解题的思维过程分为三步：第⼀步对题⽬中的部分条件进⾏假设，第⼆步由假设导出⽭盾，第三步分析产⽣⽭盾的原因，原因找到后，问题也就解决了。

【例1]有五堆苹果，较⼩的三堆平均有18个苹果，较⼤的两堆，苹果数之差为5个，⼜，较⼤三堆平均有26个苹果，较⼩的两堆苹果数之差为7个。

最⼤堆与最⼩堆平均有22个苹果。

则每堆各有个苹果。

分析与解答根据题意按从⼤到⼩⽤字母表⽰如下：abcde，因为a，b，c的平均数是26，所以b应接近26，则a=26+5=31，e=22×2-31=13，d=13+7= 20。

c=18×3-13-20=21，符合题意，故每堆有(从⼤到⼩)31、26、21、20、13。

[例2] 绕湖的⼀周是22千⽶，甲、⼄⼆⼈从湖边某⼀地点同时出发反向⽽⾏，甲以4千⽶／⼩时的速度每⾛1⼩时后休息5分钟，⼄以6千⽶／⼩时的速度每⾛50分钟后休息10分钟，则两⼈从出发到第⼀次相遇⽤分析与解答如图1所⽰，包括休息时间，甲65分钟⾛4千⽶，⼄60分钟⾛5千⽶(⼄以60千⽶／⼩时的速度⾛50分钟只能⾛5千⽶)。

剩下的路程两⼈共同⾛完需：(22-19)÷(4+6)=0．3(⼩时)=18(分钟)故两⼈从出发到第⼀次相遇⽤时：65×2+18=148(分钟)。

[例3】⼩⽞和⼩斌⼀起跳绳，⼩⽞先跳了2分钟，然后两⼈各跳了3分钟，⼀共跳了780下，已知⼩⽞⽐⼩斌每分钟多跳12下，问⼩⽞⽐⼩斌多跳了多少下?周『-路剖析因为本题中有些数量关系⽐较隐蔽，如果对已知条件作出假设，就能顺利找到解此题的途径和答案了。

7.植树问题植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。

凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

数量关系式：①沿线段植树棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷（棵树-1）总路程=株距×（棵树-1）②沿周长植树棵树=总路程÷株距株距=总路程÷棵树总路程=株距×棵树例：沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米。

后来全部改装，只埋了201 根。

求改装后每相邻两根的间距。

分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。

解： 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）（1）沿一个周长为48米的圆形水池旁种杨柳树，每隔12米种一棵，可以种的树棵？（2）一个正方形鱼塘的周长是1200米，在4个角上都种上树后每边都种了16棵树，求每棵树之间相距多少米？（3）解放军一个加强连244人排成四路纵队过一座桥，从队伍第一排上桥到最后一排离桥共用了15分钟。

已知队伍前后两排相距2米，行进的速度是每分钟60米，求桥长多少米？（4）一条长7200米的公路两旁从起点到终点原来每隔120米种有一棵树，现在要在树与树之间等距离增加5棵树，求公路两旁现在共有多少棵树？（5）公园里有一个湖，湖边周长是3600米，按等距离共种了120棵杨树。

现在要在每3棵杨树间等距离安放一条长椅供游人休息。

沿湖边安放一周需要多少条长椅？椅与椅之间的距离是多少米？8.盈亏问题盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。

他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

第七讲 一题多解学奥数的本意是开发智力，整合知识。

我们通过一题多解的训练形式，要努力形成举一反三、融会贯通的能力，常见的解题方法主要是算术方法和方程等，算术方法是我们解小学奥数题的主力，方程作为一种数学工具也是我们解题时经常依赖的，除了这些以外，我们还有很多非常规、非典型的解题方法，如（1） 特殊值法；（2） 利用图形解题；（3） 取特殊情形、极限考虑.分析：转动小三角形使小三角形和大三角形相反方向，容易看出小三角形的 面积是大三角形的四分之一.Ⅰ 考虑特殊情况与特殊值特殊情况与特殊值的方法一般只适合用于巧解填空题，利用特殊情况和特殊值的原则，主要有：1）不违背题目条件；2）特殊情况或特殊值代入原题后不会产生逻辑或数值上的矛盾； 3）特殊情况或特殊值有利于题目的解决.由于特殊情况和特殊值的特殊性，建议大家不要在解答题或证明题中使用这种方法，这种方法仅仅作为一种应试技巧和参考.教学目标专题精讲想挑战吗 ？一个正三角形中内接一个圆， 圆中又内接一个小三角形，问小 三角形的面积是大三角形面积的 几分之几？【例1】 如图，在一个边长为6正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原长正形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 .分析：（方法一）对于任意一个梯形（如图），上底和下底分别为a 和b 时，阴影部分的面积可以表示为bs1、s2、s3的和，而s3：s4=s1：s2=（s1+s3）：（s2+s4）=a ：b ，同理s1：s3=s2：s4=a ：b ，所以：s1：s2：s3：s4=a2：ab ：ab ：b2，所以阴影部分的面积等于22222a ab a ab b +++.连接两个正方形的对应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，每个梯形中阴影部分的面积都占到了222222672226616+⨯⨯=+⨯⨯+，所以阴影部分面积是两个正方形之间的面积的716，阴影部分的面积为227(62)1416⨯-=,（方法二）取特殊情况，使得两个正方形的中心相互重合，由上右图可知，A 、B 、C 、D 均为相邻两格点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为1.5，因此空白处的总面积为5.16⨯ 222242=⨯+⨯÷，阴影部分的面积是142266=-⨯.【例2】 （★★★★人大附中入学测试题）如图，有三个正方形ABCD 、BEFG 和CHIJ ，其中正方形ABCDDFI 的面积是 ．S EHIF－21(6+a)(4+a)＝20。

第七讲应用问题（一）一、要熟练掌握简单应用题的解法所谓简单应用题，指的是用一步计算解答的应用题，它是解答复合应用题的基础.复合应用题是由几个有联系的简单应用题组合而成的.为了能够解答比较复杂的应用题，掌握好简单应用题的解法是非常必要的.现在，我们来看下面的例题. 例1 农场要播种小麦 1260 亩，原计划用2 台播种机，每台每天播 70 亩，实际播种时，又增加 1 台同样的播种机，这样，可以比原计划提早几天完成？分析与解：为了求出实际播种比原计划提早几天完成，可以先求出原计划播种多少天，再求出实际播种多少天，问题可以得到解答.（1）原计划播种多少天？1260÷（70×2）＝9（天）（2）实际播种多少天？1260÷（70×3）＝6（天）（3）提早几天完成？9－6＝3（天）答：实际比原计划提早 3 天完成.本题是由几个有联系的简单应用题组合而成的.可以看出，掌握简单应用题的解法是解答复合应用题的基础.1．用加法解答的简单应用题加法定义把两个数合并在一起，求一共是多少的运算方法，叫做加法.在实际生活中，常遇到用加法解答的应用题有如下几种：（1）在原数上添上几个.如，树上有 5 只小鸟，又飞来3 只，一共有几只小鸟？又如，晶晶有 6 支铅笔，又买来 3 支，一共有几支铅笔？（2）求两个数的和.如，平平有 8 支铅笔，方方有7 支铅笔，他们共有几支铅笔？又如，哥哥养了 6 条小金鱼，弟弟养了 5 条小金鱼，他们共养了几条小金鱼？堂运来一批面粉，已经吃了 18 袋，还剩12 袋.原来运进多少袋？又如，六年级学生在校园里植树，已经栽了 25 棵，还有10 棵没有栽.原来要栽多少棵树？（4）求比一个数多几的数.这种类型的应用题，是已知较小数与相差数，求较大数.如，学校买来故事书 60 本，买的科技书比故事书多 30 本，买来科技书多少本？又如，五年级（1）班有男生20 人，比女生少3 人，女生有多少人？（男生比女生少 3 人，也就是女生比男生多 3 人，求的是女生有多少人，所以用加法计算.在解答时，要先把题意看明白，不要一见到“比…少”的语句就用减法计算.这是值得注意的.）2．用减法解答的简单应用题减法定义已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法.在实际生活中，常遇到用减法解答的应用题有如下几种：（1）求剩余.如，停车场上原有 15 辆汽车，开走了 9 辆，还剩下几辆？又如，方方原来有 8 支铅笔，用了 4 支，还剩几支？（2）求另一个加数.如，买来彩色粉笔及白色粉笔共 40 盒，其中彩色粉笔10 盒，白色粉笔多少盒？又如，某种货物加上包装重 67 千克，其中包装4 千克，这种货物净重多少千克？场上原来有 12 辆汽车，现在还剩下 7 辆，开走了几辆？又如，学校食堂里原有面粉 15 袋，一个星期之后，还剩面粉 8 袋，求吃了几袋？（4）求两个数的差.这种类型的应用题，是已知较大数与较小数，求它们的差.可以求较大数比较小数多多少，或者求较小数比较大数少多少.如，六年级种了50 棵向日葵，五年级种了 40 棵向日葵，六年级比五年级多种多少棵？五年级比六年级少种多少棵？又如，图书箱里有故事书 90 本，有科技书70 本，故事书比科技书多多少本？科技书比故事书少多少本？（5）求比一个数少儿的数.这种类型的应用题，是已知较大数与相差数，求较小数.如，百货商店第一天卖出玩具 48 件，第二天卖出的比第一天少 10 件，第二天卖出玩具多少件？又如，学生参加建校劳动，六年级同学共运砖 600 块，五年级比六年级少运砖 150 块，五年级同学运砖多少块？3．加法、减法应用题之间的关系用一步运算解答的加法、减法简单应用题，根据数量之间的关系，可概括成两组.（1）甲量、乙量同总和之间的关系：甲量＋乙量＝和（求总和）（2）比较两个量相差多少：甲量－乙量＝差（求两个量的差）4．用乘法解答的简单应用题在小学数学教材里，乘法的定义是：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法. 遇到相同数的连加，用乘法计算就比用加法要简便得多.如，正方形的边长是 23 厘米，周长是多少厘米？如果用加法计算，就是：23＋23＋23＋23＝92（厘米）；如果用乘法计算，就是：23×4＝92（厘米）.用乘法解答的简单应用题，可以分为以下两类：（1）求几个相同加数的和.根据乘法定义解答这种类型的乘法应用题.如，校园里有 4 行杨树，每行15 棵，共有杨树多少棵？又如，一支铅笔9 分钱，买同样的铅笔 8 支，应付多少钱？（2）求一个数的几倍是多少.根据“倍”的意义解答这种类型的乘法应用题. 如，步行每小时行5 千米，骑自行车每小时行进的路程相当于步行的 3 倍，骑自行车每小时行进多少千米？又如，副食店里运来红糖 300 千克，运来的白糖是红糖的 2 倍，运来白糖多少千克？5．用除法解答的简单应用题除法定义已知两个乘数的积与其中的一个乘数，求另一个乘数的运算，叫做除法.除法是乘法的逆运算，由两类乘法应用题，可以引出下面四种类型的除法应用题：（1）把一个数平均分成几份，求一份是多少.这类应用题同乘法应用题对照，就是已知积与相同加数的个数，求相同加数是多少.通常把这种情况的除法应用题，叫等分问题.如，学校有 30 个羽毛球，平均分给6 个班，每个班可以得到几个羽毛球？又如，一台拖拉机 7 小时耕地 56 亩，平均每小时耕地多少亩？（2）求一个数里包含几个另一个数.这类应用题同乘法应用题对照，就是已知积与相同加数，求相同加数的个数.通常把这种情况的除法应用题，叫包含问题.如，学校有 30 个羽毛球，每个班给 5 个，可以分给几个班？又如，有苹果600 千克，每 30 千克装一筐，可以装多少筐？（3）求一个数是另一个数的几倍.这种应用题是乘法应用题中求一个数的几倍是多少的题目的逆运算题目，解答时，要注意题目里所求问题的叙述顺序，根据问题中两个量（或数）的前后顺序确定被除数和除数.凡是求甲是乙的多少倍的时候，都是甲除以乙.如，六年级学生栽了 24 棵树，四年级学生栽了 12 棵树，六年级学生栽的树是四年级学生所栽树的几倍？又如，父亲今年 40 岁，儿子今年10 岁，父亲的年岁是儿子年岁的几倍？（4）已知一个数的几倍是多少，求这个数.这种应用题也是乘法应用题中求一个数的几倍是多少的题目的逆运算题目.通常把这种类型的应用题，叫做求一倍的数.如，南河湾今年种小麦 270 亩，恰好是所种水稻亩数的 3 倍，种水稻多少亩？又如，为了迎接六一儿童节，四年级两个班的学生做大红花.四（1）班做了120 朵，是四（2）班所做红花的 2 倍，求四（2）班做了多少朵？6．乘法、除法应用题之间的关系用一步运算解答的乘法、除法应用题，其数量之间的关系，可概括为如下两组：（1）每份数、份数同总数之间的关系：（2）比较两个量的倍数：总之，用一步运算解答的应用题，在实际生活中经常遇到，是组成复合应用题的因素，是解答复合应用题的基础.又可以把它们看作是基本概念题.这些题目，往往是已知两个数量，求第三个数量.解答时要认真分析已知条件和问题之间的关系，选择正确的算法.二、要理解概念，熟悉数量间的关系1．要理解名词术语的含义在解答应用题时，要弄清题意.在分析题意时，要特别注意题中的名词术语，理解它们的含义，这样才能选择正确的计算方法.下面，解释几个常见的名词术语，帮助大家理解它们的含义.（1）“增加”与“增加到”.“增加”与“增加到”的含义是不同的.增加，是在原有的基础上再添上一个数，而原数不包括在内.推广一下，“增长”，“增加了”与增加的含义是相同的.例如，地理小组原有组员 15 人，后来又增加3 人，现在共有组员多少人？又如，去年小麦平均亩产 365 千克，今年比去年增加了 30 千克，今年小麦平均亩产量是（365＋30＝）395 千克.增加到，是指在原有的基础上增加了一部分之后，所达到的结果，也就是说，原有的数加上增加的数，得出增加到的数.是把原数包括在内，表示原数与增加部分的和.即：原有的数＋增加的数＝增加到的数（2）增加几倍增加几倍，指的是比原来的数多了几倍.比如，比原数增加 2 倍，那么增加后的数就是原数的 3 倍；如果比原数增加 9 倍，那么增加后的数就是原数的 10 倍；如果比原数增加n 倍，那么增加后的数就是原数的（n＋1）倍.用图表示（3）“减少”与“减少到”.在应用题中还常常遇到“减少”与“减少到”等术语，它们之间也是有区别的.减少，指的是从原数里减去的那个数.跟它含义相同的有：减少了、降低了、节省了等等.例如，原来做一个零件的时间是 18 分钟，现在减少了4 分钟，现在做一个零件只要（18－4＝）14 分钟.减少到，指的是从原数里减去一部分之后，所得到的结果.例如，原计划派去参观排球比赛的学生有 70 人，由于场地容量较小，决定前往参观的人数减少到 50 人，也就是说，减少了 20 人.又如，原计划播种小麦 150 亩，调整计划之后，播种小麦的面积减少到 120 亩，也就是说，减少了 30 亩.即：原有的数－减少的数＝减少到的数（4）“扩大”与“扩大到”.在原来的基础上扩展、扩充或放大，叫做扩大.在教材中，扩大常与“倍” 联系起来使用.例如，某数扩大 5 倍就是某数乘以5.如果卡车的时速一定，路程扩大3 倍，所用的时间也扩大相同的倍数.又如，操场的宽度不变，长度扩大3 倍，总的面积也将扩大 3 倍.扩大到几倍，指的是一个数（或量）扩大之后的结果相当于原来这个数（或量）的几倍.例如.莱园的面积原来有 40 平方米，现在扩大到 3 倍，现在的面积就是（40×3＝）120 平方米.又如，小操场的面积原来有 80 平方米，现在扩大到 4 倍，现在的面积就是（80×4＝）320 平方米了.通常，把“扩大”与“扩大到” 看成是同一个意思.对于“扩大了”，怎样理解呢？一个数扩大了几倍，指的是扩大了的那一部分相当于原来这个数的几倍.例如，菜园的面积原来有 40 平方米，现在扩大了2倍，这就是说，扩大了的面积是80 平方米，加上原有的面积共有（40＋80＝）120平方米了.又如，小操场的面积原来有 80 平方米，现在又扩大了3 倍，这就是说，扩大了的面积是240 平方米，加上原有的面积共有（80＋240＝）320 平方米.（5）“缩小”与“缩小到”.在原来的基础上由大变小，叫做缩小.在教材里，缩小常与“倍”联系起来使用，缩小几倍就是除以几.例如，某数缩小 3 倍，就是某数除以 3.如果汽车的时速一定，路程缩小 3 倍，所用的时间也缩小相同的倍数.小菜园的宽度不变，长度缩小 2 倍，菜园的面积也将缩小 2 倍.缩小到几分之几，指的是缩小后的结果相当于原数的几分之几.例如，菜园的面积原来有 80 平方米，现在缩小到原来面积的八分之五，那么缩小后平方米.“某数缩小到五分之一”与“某数缩小五倍”是同样的含义.对于“缩小了”，怎样理解呢？缩小了几分之几，指的是缩小了的部分相当于原数的几分之几.例如，菜园的面积原来有 80 平方米，现在缩小了八积原来有 120 平方米，现在缩小了五分之一，那么缩小了的部分是（120×2．要弄清条件与条件之间的关系以及条件与问题之间的关系一道应用题，不管是简单应用题还是比较复杂的应用题，都有已知条件和所求问题两部分.解答应用题时，首先要弄清楚条件与条件间的关系及条件与问题间的关系.在一道简单应用题里，已知条件至少有两个，而在这两个条件之间，彼此也必有一定的关系.就以“比……多”、“比……少”来说吧，例如，晶晶做了 28朵红花，比亮亮多做了 6 朵，亮亮做了几朵？根据这道题的已知条件，我们可以知道，晶晶做的红花多，亮亮做的红花少.因此，事先应该知道，求出亮亮做花的朵数一定要比 28 朵少.若把已知条件改变一下呢，例如，晶晶做了28 朵红花，比亮亮少做了 6 朵，亮亮做了几朵？根据这样的已知条件，可知晶晶做的红花少而亮亮做的红花多.事先也应该想到，求得亮亮做花的朵数一定要比 28 朵多.有的应用题，虽然已知条件相同，但如果所求问题变化了，那么所选择的运算方法也要随着变化.例如，小悦做了 12 件好事，小朋做了6 件好事.根据这两个条件，可以提出的不同的问题和采用的运算方法如下：（1）他们一共做了多少件好事？（加法）（2）小悦比小朋多做几件好事？（减法）（3）小悦做好事的件数是小朋做好事件数的几倍？（除法）因此，在解答应用题时，既要注意条件之间的关系，又要注意条件与问题之间的关系.3．要熟悉常用的数量关系（1）常用的数量关系式：路程＝速度×时间总价＝单价×数量工作总量＝工作效率×时间总产量＝亩产量×亩数重量＝比重×体积（2）要理解数量关系式中各种量的意义.只有理解数量关系式中各种量的意义，才能正确选用数量关系式解答应用题. 下面，对“速度”、“工作效率”、“亩产量”等几个量加以说明.速度，它表示单位时间内所走的路程.题目中经常出现“飞机每小时飞行 500 千米”、“汽车每小时行 60 千米”、“人每小时走 5 千米”等等，这就表示飞机、汽车和人行进的速度.在算术题里给出的条件常常是平均速度，写成“每小时行多少千米”，“每分钟或者每秒钟行进多少米”.所谓“每小时”，指的是在任何一个小时之内走的路是同样多的意思.计算时，可以把这个速度看作是相同加数（一份数），要求几小时一共行多少路，就是求几个相同加数的和，用乘法计算.这时，我们可直接选用求路程的公式：路程＝速度×时间.工作效率，指的是单位时间内所完成的工作量，表示平均值；亩产量，一般情况下，也是平均亩产量.（3）牢记主要的数量关系式.数量关系式比较多，把其中主要的数量关系式记住，其余的就可以推导出来了.哪些是主要的呢？上面列出的常用关系式中，相乘的关系式可以认为是主要的.假如记住了相乘的关系式，随之而来的两个除法关系式就可以列出来了.如同三乘以二得六，于是能够知道六除以二得三，六除以三得二一样.需要牢记的数量关系式有：路程＝速度×时间总价＝单价×数量工作总量＝工作效率×时间总产量＝亩产量×亩数重量＝比重×体积应用的次数多了，其他的数量关系式，自然也就熟悉了.习题七说出下列各题的计算方法，不必列式计算.1．锅炉房二月份烧煤 42 吨，比一月份节省了 8 吨，一月份烧煤多少吨？2．修路队计划修一条长 18 千米的路，修好了一段之后，还剩下 3 千米没有修，修好了多少千米？3．五（1）班学生学雷锋做好事，已经做了 15 件，再做几件就够 20 件了？4．人民机器厂九月份生产机器 135 台，比八月份多17 台，八月份生产机器多少台？5．少先队员种蓖麻，平均每 3 棵收0.5 千克蓖麻籽，种了 60 棵蓖麻，可以收蓖麻籽多少千克？6．南京长江大桥公路桥全长 4590 米，人们过桥时，平均每分钟走 85 米，多少分钟可以通过大桥？7．南河塔村今年粮食平均亩产达到 520 千克，相当于解放前粮食亩产的 8 倍.解放前平均亩产粮食多少千克？8．修一条公路，已经修了 24 千米，剩下的正好是已修的 2 倍.这条公路还有多长没有修？9．学校操场原有 320 平方米，现在扩大到原来的 3 倍.扩大之后是多少平方米？。

第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题、把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之与n=ｎ１+n2+…＋nｍ(n1≥n2≥…≥nm≥1)的一种表示法,叫做n的一种分拆、对被加项及项数ｍ加以一些限制条件,就得到某种特别类型的分拆、早在中世纪,就有关于特别的整数分拆问题的研究。

１742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于６的偶数都能够写成两个奇质数的与”,这就是著名的哥德巴赫猜想,中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果、下面我们通过一些例题,简单介绍有关整数分拆的基本知识、一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法能够把6表示为若干个自然数之与？解:依照分拆的项数分别讨论如下:①把６分拆成一个自然数之与只有1种方式;②把6分拆成两个自然数之与有3种方式6=５+1=4＋2=3＋３;③把6分拆成3个自然数之与有3种方式6=4+1＋1=３+2＋1=2+2＋2;④把6分拆成4个自然数之与有2种方式６=3＋1+１+１=2＋2+1+1;⑤把6分拆成5个自然数之与只有1种方式6=２+1＋1＋１+１;⑥把６分拆成６个自然数之与只有1种方式6＝1+１+１＋1＋1＋1、因此,把6分拆成若干个自然数之与共有１+3+3＋２＋１+1＝11种不同的方法。

说明:本例是不加限制条件的分拆,称为无限制分拆,它是一类重要的分拆、例２有多少种方法能够把1994表示为两个自然数之与?解法1:采纳有限穷举法并考虑到加法交换律:１994＝1９９3+1＝１+1993=1992+２＝2＋1９9２=998＋９９６＝９96+998=9９７+997因此,一共有997种方法能够把1９94写成两个自然数之与。

解法2:构造加法算式:因此,只须考虑从上式右边的1993个加号“＋”中每次确定一个,并把其前、后的1分别相加,就能够得到一种分拆方法;再考虑到加法交换律,因此共有997种不同的分拆方式。

说明:应用本例的解法,能够得到一般性结论:把自然数n≥2表示为两个自然数之与,一共有k种不同的方式,其中例3有多少种方法能够把100表示为(有顺序的)3个自然数之与?(例如,把3+５+92与5+３＋92看作为１０0的不同的表示法)分析本题仍可运用例1的解法2中的处理方法、解:构造加法算式因此,考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个,并把它们所隔开的前、中、后三段的１分别相加,就能够得到一种分拆方法、因此,把100表示为3个自然数之与有种不同的方式。

2018年小学六年级奥数竞赛试卷1．找规律填数．①、、、、、；②、、、、、．2．计算．3．用简便方法计算．174×4．5．小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分，如果他往返都坐车，全部行程需30分，如果他往返都步行需多少分？6．如图是边长为4厘米的正方形，AE＝5厘米，求OB是多少厘米？7．某小学四、五、六年级共有学生430人，已知五年级与四年级人数的比是5：4，六年级人数是五年级的，六年级比四年级多多少人？8．有11个自然数，在计算平均数保留两位小数时，小红算成了12.41，他跟正确答案一对照，发现百分位上算小了，那么正确的商约是多少？9．A＝33332÷33334 B＝22221÷22223A与B比较，大．10．一个分数，它的分子增加2可约简为，分子减1可约简为，原来这个数是．11．一个分数，如果分母加上3可约分为，如果分母减去3可约分为，原来的分数是．12．一桶油100千克，食堂第一天吃去，第二天吃去了余下的，第二天吃去多少千克？还剩多少千克？13．书橱里，第二层比第一层多放24本书，如果从第一层拿8本放入第二层，这时第一层的本数是第二层的．两层共放了多少本书？14．甲乙两队合修一条公路，15天可以完成任务，甲乙两队的工效比为3：2，甲、乙两队每天各能完成这项工程的几分之几？15．修一条路，甲队独修10天可以完成，乙队独修15天可以完成．两队合作时，甲队另有任务停工了5天，修完这条路共用了多少天？16．水果店进了一批苹果，进价每千克4.5元，实际每千克售价为6元，如果一次进苹果250千克，先按定价卖了180千克，然后再打八折销售，售完后共可盈利多少元？17．一种皮大衣，由于急于资金回笼，决定降价出售．每件先降低300元，后来又降低10%，一件卖855元，问这种皮大衣原价多少元？18．求图中阴影部分的面积．19．六年级共有395名学生，男生的与女生的共251人，六年级有男生多少人？20．修一条公路，甲独修要40天，乙独修要24天，现在两队同时从两端开工，结果在距中点60米处相遇，这条这公路长多少米？21．暑假里，妈妈批发“三明治”与“蛋筒”两种冷饮共用去24元，三明治的单价是付钱总数的，蛋筒单价是三明治的，三明治和蛋筒各买了几支？22．火车A从甲站到乙站需5小时，火车B从乙站到甲站需6小时，两列火车同时从两站出发相向而行，火车B中途停车卸货用去1小时30分钟，相遇时火车A行了几小时？2018年小学六年级奥数竞赛试卷参考答案与试题解析1．找规律填数．①、、、、、；②、、、、、．【分析】①规律：分子每次递增3，分母每次递增4；②规律：、＝、、＝，分子是从1开始的自然数列，分母都是16；据此解答即可．【解答】解：①＝，＝；②、、、、、＝；故答案为：，；，．【点评】数列中的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题．2．计算．【分析】（1）根据拆项公式＝﹣拆项后通过加减相互抵消即可简算．（2）根据拆项公式拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：（1）＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝（2）＝﹣+﹣+﹣……﹣+＝【点评】本题考查了分数拆项公式的灵活应用．3．用简便方法计算．174×【分析】这两道题根据乘法的分配律简算即可．【解答】解：（1）＝（1003﹣1）×＝1003×﹣1×＝1001﹣＝（2）174×＝174×0.75+125×0.75＝（174+125）×0.75＝299×0.75＝（300﹣1）×0.75＝300×0.75﹣1×0.75＝225﹣0.75＝224.25【点评】本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解和灵活应用．4．【分析】根据拆项公式＝（﹣）×拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：＝（﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（﹣）＝＝【点评】本题考查了分数拆项公式＝（﹣）×的灵活应用．5．小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分，如果他往返都坐车，全部行程需30分，如果他往返都步行需多少分？【分析】根据题意，往返都坐车，全部行程需30分，即单程坐车需要30÷2＝15分钟，上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分，则单程步行用时90﹣15＝75分钟，往返都步行用时＝75×2＝150分，据此回答．【解答】解：根据题意得（90﹣30÷2）×2＝75×2＝150（分）答：如果他往返都步行需150分．【点评】本题考查了时间问题．6．如图是边长为4厘米的正方形，AE＝5厘米，求OB是多少厘米？【分析】连接BE、AF可以看出，三角形ABE的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面积公式就可以求出OB的长度．【解答】解：如图连接BE、AF，则BE与AF相交于D点S△ADE ＝S△BDF则S △ABE ＝S 正方形＝×（4×4）＝8（平方厘米）；OB ＝8×2÷5＝3.2（厘米）；答：OB 是3.2厘米．【点评】此题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可．7．某小学四、五、六年级共有学生430人，已知五年级与四年级人数的比是5：4，六年级人数是五年级的，六年级比四年级多多少人？【分析】五年级与四年级人数的比是5：4＝15：12；又因为六年级人数是五年级的，所以六年级人数：五年级人数：四年级人数＝16：15：12，然后把四、五、六年级的总人数430人，按16：15：12的比例分配即可．【解答】解：5：4＝15：12所以，六年级人数：五年级人数：四年级人数＝16：15：1216+15+12＝43430×＝160（人）430×＝120（人）160﹣120＝40（人）答：六年级比四年级多40人．【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．关键是求出四、五、六年级人数的连比．8．有11个自然数，在计算平均数保留两位小数时，小红算成了12.41，他跟正确答案一对照，发现百分位上算小了，那么正确的商约是多少？【分析】因为自然数都是整数，所以这11个自然数的和一定是一个整数；由题意“他跟正确答案一对照，发现百分位上算小了”可知：这11个数的平均数应在12.41～12.49之间；因为12.41×11＝136.51，12.49×11＝137.39，所以可以知道这11个自然数的和一定是137；用137除以11，结果是约等于12.45．【解答】解：这11个数的平均数应在12.41～12.49之间，12.41×11＝136.5112.49×11＝137.39136.51＜137＜137.39所以，这11个自然数的和一定是137，137÷11≈12.45答：正确的商约是12.45．【点评】解答此题的关键是先结合题意，推导出这11个数的和的取值范围，进而根据平均数和数量和总数三者之间的关系，求出正确的答案．9．A＝33332÷33334 B＝22221÷22223A与B比较，A大．【分析】根据题意，分别求出A，B值，根据分数比较大小，分子相同时，分母大的反而小进行判断即可．【解答】解：根据题意得因为所以所以A＞B．故答案为A．【点评】本题考查了比较大小．10．一个分数，它的分子增加2可约简为，分子减1可约简为，原来这个数是．【分析】根据题意，可以设原来这个分数的分子是2x﹣2，分母是3x，则根据分子减1可约简为，列出方程，解出未知数，求出分数即可．【解答】解：设原来这个分数的分子是2x﹣2，分母是3x，则6x﹣9＝3x3x＝9x＝3所以原分数为．故答案为．【点评】本题考查了分数应用题．11．一个分数，如果分母加上3可约分为，如果分母减去3可约分为，原来的分数是．【分析】分子不变，如果分母加上3可约分为，即分母是分子的5倍；如果分母减去3可约分为，即分母是分子的2倍；前后两次变化相差了3+3＝6，相当于分子的5﹣2＝3倍，然后根据差倍公式：数量差÷（倍数﹣1）＝较小数进一步解答即可．【解答】解：（3+3）÷（5﹣2）＝6÷3＝22×5﹣3＝7所以，原来的分数是．故答案为：．【点评】此题属于差倍问题，关键是求出数量差和倍数差；运用关系式：数量差÷（倍数﹣1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）．12．一桶油100千克，食堂第一天吃去，第二天吃去了余下的，第二天吃去多少千克？还剩多少千克？【分析】根据题意，一桶油100千克，食堂第一天吃去，第一天吃去千克，余下100﹣4＝96千克，第二天吃去了余下的，第二天吃了千克，还剩96﹣6＝90千克，据此回答．【解答】解：根据题意得＝100﹣4＝96（千克）（千克）96﹣6＝90（千克）答：第二天吃去6千克，还剩90千克．【点评】本题考查了分数的应用．13．书橱里，第二层比第一层多放24本书，如果从第一层拿8本放入第二层，这时第一层的本数是第二层的．两层共放了多少本书？【分析】根据题意设第一层有书x 本，则第二层有书（x+24）本，如果从第一层拿8本放入第二层，此时第二层有书（x+24+8）本，第一层有书（x ﹣8）本，根据这时第一层的本数是第二层的，列出方程，解出第一层第二层的书本数，求和即可．【解答】解：根据题意设第一层有书x 本，则第二层有书（x+24）本，则7x ﹣56＝3x+964x ＝152x ＝3838+24＝62（本）38+62＝100（本）答：两层共放了100本书．【点评】本题考查了分数应用题．14．甲乙两队合修一条公路，15天可以完成任务，甲乙两队的工效比为3：2，甲、乙两队每天各能完成这项工程的几分之几？【分析】把修一条公路的工作量看作单位“1”，那么甲、乙两队的工作效率和是，然后把它按3：2的比例分配即可求出各自的工作效率．【解答】解：×＝×＝答：甲、乙两队每天分别能完成这项工程的、．【点评】本题考查了按比例分配问题和工程问题的综合应用，关键是理解按比例分配问题的结构和特征．15．修一条路，甲队独修10天可以完成，乙队独修15天可以完成．两队合作时，甲队另有任务停工了5天，修完这条路共用了多少天？【分析】把这项工程看成单位“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是；乙单独修了5天，由此求出乙的工作量×5＝；剩下的工作量1﹣＝是甲、乙合作完成的工作量，用这个工作量除以甲、乙的工作效率和就是甲、乙合作工作了几天，进而求出共用了几天．【解答】解：1﹣×5＝1﹣＝÷（+）+5＝4+5＝9（天）答：修完这条路共用了9天．【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看作单位“1”，再利用它们的数量关系解答．16．水果店进了一批苹果，进价每千克4.5元，实际每千克售价为6元，如果一次进苹果250千克，先按定价卖了180千克，然后再打八折销售，售完后共可盈利多少元？【分析】根据“商品的销售利润＝（销售价﹣成本价）×销售量”，把250千克分两部分计算各自的利润，再相加即可．【解答】解：（6﹣4.5）×180＝1.5×180＝270（元）（250﹣180）×（6×80%﹣4.5）＝70×0.3＝21（元）270+21＝291（元）答：售完后共可盈利291元．【点评】商品利润＝商品售价﹣商品进价，商品的销售利润＝（销售价﹣成本价）×销售量．17．一种皮大衣，由于急于资金回笼，决定降价出售．每件先降低300元，后来又降低10%，一件卖855元，问这种皮大衣原价多少元？【分析】根据题意，这种皮大衣第二次降价前的价格＝855÷（1﹣10%）＝950（元），根据“每件先降低300元”，求出原价＝950+300＝1250（元），据此回答．【解答】解：根据题意得855÷（1﹣10%）+300＝＝950+300＝1250（元）答：这种皮大衣原价1250元．【点评】本题考查了分数应用题．18．求图中阴影部分的面积．【分析】（1）阴影部分的面积＝大正方面积的一半+小正方形的面积﹣下方答三角形的面积；（2）阴影部分的面积＝（圆的面积﹣三角形面积）×2．【解答】解：根据题意得（1）S阴＝＝32+36﹣42＝26（平方厘米）S阴＝＝（78.5﹣50）×2＝28.5×2＝57（平方厘米）故答案为：26；57．【点评】本题考查了组合图形的面积．19．六年级共有395名学生，男生的与女生的共251人，六年级有男生多少人？【分析】根据题意，可以设男生有x人，则女生有（395﹣x）名，根据男生的与女生的共251人，列方程解答即可．【解答】解：设男生有x人，则女生有（395﹣x）名．则x＝210答：六年级有男生210人．【点评】本题考查了分数应用题．20．修一条公路，甲独修要40天，乙独修要24天，现在两队同时从两端开工，结果在距中点60米处相遇，这条这公路长多少米？【分析】把这条公路的总长度看成单位“1”，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，它们的和就是合作的工作效率；用总工作量除以合作的工作效率就是完成工程需要的时间，再用工作时间分别乘它们的工作效率求出它们分别完成了总工程量的几分之几；在距中点600米处相遇，那么甲队就比乙队少修了60×2米，它对应的分数应是两队完成的工作量的差，由此用除法求出总长度；进而求解．【解答】解：两队合修需要：1÷（+）＝1÷＝15（天）这段公路长：60×2÷（×15﹣×15）＝120÷（）＝120÷＝480（米）；答：这条这公路长480米．【点评】把总工作量看成单位“1”，利用工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，求出它们的工作量之间的关系，再根据基本的数量关系求解；注意理解“距中点60米处相遇”那么它们的工作量差应是2个60米．21．暑假里，妈妈批发“三明治”与“蛋筒”两种冷饮共用去24元，三明治的单价是付钱总数的，蛋筒单价是三明治的，三明治和蛋筒各买了几支？【分析】根据题意，三明治的单价是付钱总数的，付钱总数是24元，根据分数乘法的意义，则三民治的单价是（元）；蛋筒单价是三明治的，蛋筒的单价是（元），设三明治买了x支，蛋筒买了y支，根据题意可得不定方程x+y＝24，求出它的整数解即可，【解答】解：（元）（元）设三明治买了x支，蛋筒买了y支，x+y＝24整理得：y＝48﹣3x则，3x＜48，即，x＜16所以三明治买了1～15支，对应着蛋筒分别买了45、42、38、…、3支（公差为3）；答：三明治买了1、2、3、4、…14、15支，对应着蛋筒分别买了45、42、38、…、3支（公差为3）．【点评】本题考查了不定方程和分数乘法应用题的实际应用，关键列出不定方程．22．火车A从甲站到乙站需5小时，火车B从乙站到甲站需6小时，两列火车同时从两站出发相向而行，火车B中途停车卸货用去1小时30分钟，相遇时火车A行了几小时？【分析】由“火车A从甲站到乙站需5小时，火车B从乙站到甲站需6小时”得知：火车A每小时行甲、乙两站距离的，火车B每小时新两站距离的；据“火车B中途停车卸货用去1小时30分钟”得知，火车A比B多行了1.5小时，此时间内火车A行了两站距离的，也就是说两火车共行了两站的时相遇，相遇时两车都行驶了÷（+）＝小时，然后用这个时间加上1.5小时就是火车A共行的时间．【解答】解：1小时30分钟＝1.5小时×1.5＝（1﹣）÷（+）＝（小时）+1.5＝（小时）相遇时火车A行了小时．【点评】此题并不难，只要灵活运用“行程问题”公式即可．。

1．相遇问题.相遇问题：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类问题叫相遇问题。

基本公式：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间例：甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：两人几小时后相遇？分析：相遇时间＝相遇路程÷速度和解：30÷(4＋6)＝3(小时)（1）（1）甲、乙两量汽车从A、B两城同时相向开出，4个小时在途中相遇。

已知甲汽车每小时行40千米，乙汽车每小时行55千米，问A、B两城相距多少千米？（2）甲乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问二人几小时后相遇？（3）（3）甲、乙二人从相距100千米的AB两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走的过程中，甲车发生故障，修车用了1小时，在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度是乙的2倍，且相遇时甲车一修好，问甲乙二人速度各是多少？（4）一辆货车和一辆客车同时从相距299千米的两地相向而行，货车每小时行40千米，客车每小时行52千米，问几小时后两车第一次相距69千米？几小时后两车第二次相距69千米？2．追及问题.追及问题：两个运动的物体在不同地点出发（或在相同地点而不是同时出发、或在不同地点又不是同时出发作同向运动，在前面的行进速度慢些，在一定时间内，后面的追上前面的物体。

这类问题叫追及问题。

基本公式：追及时间＝路程差÷速度差例：甲在乙的后面 28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米，乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙？分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。

已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程）， 28 千米里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。

解： 2 8 ÷（ 16-9 ） =4 （小时）（1）好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？（2）甲乙二人在同一条路上前后相距9千米，他们同时同向一个方向前进，甲在前，以每小时5千米的速度步行，乙在后，以每小时19千米的速度骑自行车追甲。

工程问题工程问题是分数应用题的一种,分数工程问题与整数工程问题一样,都是反映工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系。

分数工程问题的主要特点是一般不给出具体的工作总量（仅表述为一项工作、一批货物、一段路等）,我们习惯上把这项工作看做单位“1”,工作效率用来表示。

工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系为：例题1、一条公路（长180米）,甲队独修需24天完成,乙队独修需30天完成。

甲、乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修6天完成。

乙队修了多少天？简析：此题告诉了这条公路的长,可按整数应用题的方法来解,若是忽略了括号中这条公路的长度,我们就可用“1”来表示工作总量,只是对工作量采用了不同的表示方式,但其数量关系、解题方法与整数应用题完全相同。

下面列表对比解答。

温馨提示：由上面的列表对比来看,用“1”表示工作总量时,计算更简单。

课堂练习：1、一段公路,甲队单独修要用20天,乙队单独修要用30天。

如果两队合修,每天完成这项工程的几分之几？还剩几分之几？2、修一条公路,甲队单独修要15天,乙队单独修要12天。

甲队先修6天后,剩下的由甲、乙两队合修,甲、乙两队合修还要几天？3、修一条公路,甲队每天修全长的五分之一,乙队独修7.5天修好。

如果两队合修2天后,其余的由乙队独修,还要几天完成？例题2、修一条水道,甲、乙两队合修10天可以完成。

两队合修4天后,余下的由甲队单独修还需12天。

那么乙队单独修这条水道需要多少天？简析：已知工作总量是单位“1”,要求乙完成它所需的时间,关键是要求出乙的工作效率。

甲、乙两队合修10天可以完成,则两队的工作效率和是。

两队合修4天可完成。

那么余下的由甲队单独修用了12天,可求出甲队的工作效率是。

所以乙队的工作效率是。

解：答：乙队单独修这条水道要20天。

课堂练习：1、一项工程,甲、乙两队合作12天可以完成。

如果甲、乙两队先合作4天,剩下的由乙队独做10天也可以完成。

这项工程由乙队独做多少天可以完成？2、一项工程,甲独做10天完成了一半,余下的甲、乙又一起合作了6天,正好全部完成。

第七讲年龄问题知识导航：年龄问题是日常生活中常见的问题。

每个人都有自己的年龄，每个人的年龄都在变化。

那么，一个人的年龄与其他人的年龄之间有什么关系呢？我们来看简单的例子：亮亮 1 岁时，他妈妈 28 岁，妈妈的年龄与亮亮的年龄差是 27 岁，妈妈的年龄是亮亮年龄的 28 倍;当亮亮 9 岁时，他妈妈36 岁，这时妈妈的年龄与亮亮的年龄差仍然是 27 岁，但妈妈的年龄变成了亮亮的 4 倍。

从上面这个例子我们发现，两个不同年龄的人，几年前或几年后，他们年龄的差总是不变的，而他们年龄之间的倍数却在变化。

另外还有一个简单的事实是：任何人的年龄每年都长 1 岁。

如何解年龄问题呢？由于两个不同年龄的人，年龄之差始终不变。

因此，解答年龄问题，关键是要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点，具体分析题目里的数量关系。

第一关：必须会例1.小强今年 6 岁，他爸爸今年 33 岁，小强多少岁时，爸爸的年龄正好是他的 4 倍？解析: 爸爸现在的年龄比小强大的岁数：33-6=27（岁）爸爸的年龄比小强大的倍数：4-1=3当爸爸的年龄正好是小强的 4 倍时，小强的年龄：27÷3=9（岁）解：（33-6）÷（4-1）=9（岁）答：小强 9 岁时，爸爸的年龄正好是他的 4 倍。

我试试：1、小明今年 6 岁，妈妈今年 46 岁。

小明多少岁时，妈妈的年龄是小明年龄的 5 倍？2、李红今年 16 岁，奶奶今年 80 岁。

奶奶多少岁时正好是李红年龄的 9 倍？3、王浩今年 16 岁，爷爷今年 61 岁，几年前爷爷的岁数是王浩的 6 倍？例 2 . 小军今年 9 岁，妈妈今年 36 岁，当小军和妈妈岁数和是 99 岁时，两人各多少岁？解析：当小军增加 1 岁时，妈妈也增加 1 岁，当小军增加 2 岁时，妈妈也增加 2 岁。

这样，99-9-36=54（岁），就是两人共同增加的岁数。

每人增加的岁数是 54÷2=27（岁）当两人岁数和是99 时，小军的岁数：9+27=36（岁），妈妈的岁数：36+27=63（岁）。

解决问题的策略还原法、假设法、替换法一、知识梳理1、还原法（倒推法）从结果开始，一步一步倒推回去，每步倒推时所用的方法要刚好和原来相反，例如原来加的倒推回去就是减，原来减得倒回去就是加，原来乘的倒回去就是除，原来除的就倒回去乘，一直推到最初的数据。

2、替换与假设：“替”指的是替代，“换”指的是更换，替换就是将实际问题中的数量用别的数量来代替，从而使问题简化。

假设是指对条件和问题进行假定和预设，然后根据数量之间的关系，对假定和预设进行调整，从而得到问题的答案。

转化：把较复杂的问题变成较简单的问题，把新颖的问题变成已经解决的问题。

二、精讲例题例1、甲、乙两位师傅共做零件135个，如果从甲做的零件中拿36个给乙，而又从乙做的零件中拿出45个给甲，这时乙的零件个数是甲的1.5倍，原来甲、乙师傅各做零件多少个？分析：根据和倍问题先求出甲现有零件的个数，135：（1.5+1）=54 （个），再逆推出他原有零件的个数：54-45+36=45 （个），乙原有零件135-45=90 （个）。

例2、甲、乙、丙、丁各有棋子若干枚，甲先拿出自己棋子的一部分给乙、丙，使乙、丙每人的棋子各增加一倍，然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式给丙、丁，丙也将自己的棋子的一部分以这样的方式给了甲、丁，最后丁也将自己的棋子的一部分以这样的方式给了甲、乙。

这时四人的棋子都是16枚。

原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？分析：最后一次四人的棋子都是16枚，每次变化中，有一人的棋子数未动，有两人的棋子数增加一倍，倒推时应除以“2”，另一个人的棋子数减少了两人增加的总数。

我们可以用列表法进行倒推:例3、王师傅和李师傅一起打一份稿件。

王师傅打5分钟，李师傅打6分钟，两人一共打了757个字。

已知王师傅每分钟比李师傅多打15个字。

王师傅每分钟打多少个字？李师傅每分钟打多少个字？分析:王师傅每分钟比李师傅多打15个字，王师傅5分钟就比李师傅多打了15*5=75个字，757-75=682，也就是李师傅在11（5+6）分钟打了682个字，每分钟打682/11=62个字，王师傅每分钟打15+62=77个字。