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寿险精算学(一)

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寿险精算 第一讲 寿险精算概述与利息理论

寿险精算 第一讲 寿险精算概述与利息理论
心的是在这些投保期限中被保险人死亡的风险。 养老金基金可能会有义务对一个20岁的青年支付未来几十年
的养老金。它要确保将基金进行安全的投资，并在需要的时 候立即供款。但是投资所能获得的未来利息收入是不确定的。 在决定养老金的金额时，精算师必须对一个较长时间内的这 种不确定的利息做出估计。 一个设计未来几十年人口模型的精算师必须考虑到以后30到 40年间出生、死亡、结婚、离婚等等的变化，包括随着社会 的发展这些变量的变化。
2、单利
1）定义：假定一个单位本金的投资在每一个计息
期所得到的利息是相等的，而利息并不用于再投资， 按这种形式增长的利息称为单利。
某人在银行存入100元，如果单利的年利率为6%，那么每年他 将得到6元。1年后账户里有106元，2年后有112元…
2）单利的计算公式：I=P×i×n
其中，P表示本金，i表示利率，n表示计息期，I表示利息
对趸缴保费的保单，保费收入是确定的。而有些保单， 其保费的缴纳不是采用期初趸缴的形式，而是在一段 时间里多次缴纳，具体的某笔保费缴纳与否取决于被 保险人是否处于生存正态，也就是说，寿险公司的保 费收入取决于被保险人的未来生存时间，保费收入的 现值和保险给付支出的现值都是随机变量，但保费的 大小不是随机变量，是预期现值的函数。为了解这个 方程，我们要假定被保险人的死亡率和未来可实现利 率的值。
➢ 精算师的作用：“在给金融投资等问题提供专 家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释不确 定的未来事件方面，发挥精算行业的作用并提 高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
金融问题 不确定的 未来的
精算面对的是 “金融”问题。
从非常简单的问题，如确定在一项抵押下每 月的投资是多少，
到非常复杂的问题，如管理一项大的养老基 金，等

寿险精算原理 第一章

寿险精算原理 第一章


4、实际利率、名义利率、实际贴现率、名 义贴现率、利息强度和折现因子之间的等 价关系（单位时间为1年的情况下）：
m
m
i 1 m

d 1 i 1 v 1 d p 1 1
p

p
e

例3、已知年度实际利率为8%，求等价的 利息强度。 例4、一笔业务按利息强度6%计息，求投 资500元经8年的积累值。
a
a
n

1 i

n
dn
n a
a
n 1
1 i
n
1 i
n
n 1
n
1 i

i 1 i
※ d n 与 n无关，为常数，通常把这种情 况下的贴现率叫做复贴现率。
②与实际贴现率 d 等价的实际利率为 1 d 。 如果某人以实际贴现率 d 借款1元，则 实际上的本金为1 d ，而利息（贴现，意 味着期初支付）金额为 d ，则实际利率为：
例2、某银行以单利计息，年息为2%，某 人存入5000元，问5年后的积累值是多少？

例3、如果例2中银行以复利计息，其他条 件不变，问5年后的积累值是多少？
1.1.3 实际贴现率
某一个度量期的实际贴现率，是指该度量 期内得到的利息金额与此度量期期末积累 值金额之比。实际利率通常用字母 d 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际贴侠率 用 d n 表示，则有
In a
n
a
n
n 1
1 i a
1 i n
n

1 i
n 1
i 1 i
1

寿险精算第一章资料

寿险精算第一章资料

uxt
整值剩余寿命
定义：(x未) 来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
1
S0x t S0x
S0
x S0x S0x
t
精算符号
剩余寿命的生存函数 t p：x
t px Pr T x
t
Sx
t
S0 x S0
t x
1
t
qx
特别：
x p0 S0 x
精算符号
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概
率
px 1 px
qx
：x岁的人将q在x 11年qx内死亡的概率
t u qx
剩余寿命的期望与方差
完全平均余寿：(x)剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 t px ) t pxdt
0
0
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
整值剩余寿命的期望与方差
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
分布函数
定义
F0 (t) Pr[T 0 t]
意义：新生儿在 t岁之前死亡的概率。
定义： Fx (t) PrT x t
意义：x在 年t 之内死亡的概率。
定义：密度函数 f (x) F(x)
De Moivre模型(1724)

寿险精算学课件-期缴保费

寿险精算学课件-期缴保费

]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
所以Z s与Z k 独立,则
Var(L) Var(Zs Zk )
E(Zs Zk )2 E(Zs Zk )2
E
(
Z
2 s
)E
(Z
2 k
)
E(Z
s
)2
(2)E(L)
0
Ax
Px ax
0
Px
Ax ax
(3)Var(L)
(1
Px d
)2
[
2
Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (dax )2
例5.3
▪ 假设由某寿险公司的经验生命表可得 ： A60 0.4097 ，2 A60 0.2153 a60 10 ，i 0.025
▪求
（1）P60 （2）Var(L)
ax
Ax
(m)Px(m)
ax
Px
(m)Px(m)
ax
由Ax
Px ax
1
dax
Px ax
1 ax
=Px +d ,则
(m)
P(m) x
Px
(m)Px(m)
Px +d
P(m) x
=
(m)
Px (m)
Px
+d
例5.7
▪ 已知 i 0.05 ，ax 1.68 ，被保险人在每
一个分数年内死亡服从均匀分布
a
1 A
x:n
1 0.747
10.373

精算数学寿险精算学课件

精算数学寿险精算学课件

❖ 保障标的的不同
人寿保险life insurance 生存保险pure endowment
insurance 两全保险 endowment
insurance
❖ 保障期是否有限
定期寿险 term year insurance
终身寿险whole life insurance
3、人寿保险的性质
2、人寿保险的分类
❖ 受益金额是否恒定
定额受益保险 level benefit insurance 变额受益保险varying benefit insurance
❖ 保单签约日和保障期期 始日是否同时进行
非延期保险non-deferred insurance
延期保险 deferred insurance
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即 预定利率）。
4、趸缴纯保费的厘定
❖ 4.2厘定原则
保费净均衡原则 解释
❖所谓净均衡原则(it is net because it has not been loaded)， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金 的期望现时值(expectation of the present value of the net premium equals expectation of the present value of the payment)。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是 在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值
❖ 趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
1、死亡即刻赔付(payable at the moment of death)
❖ 死亡即刻赔付的含义

社会保险基金精算(第一章)寿险精算基础(2)

社会保险基金精算(第一章)寿险精算基础(2)
2
n −1
− nv
n
= a n − nv n
a n − nv ( Ia ) n = i
n
对于期首付等差递增年金来说， 对于期首付等差递增年金来说， 期首付等差递增年金来说
a n − nv ( Ia ) n = d
n
期末付等差递增年金的终值 期末付等差递增年金的终值 (FV) 等差递增年金的
(1 + i) n
(1 + i) n
(1 + i ) 2
(1 + i )
1 0
1 1
1 2
1 3
L
1 n-2
1 n-1 n
付款额 时间
L
思路1 思路
sn
= (1 + i ) + (1 + i ) 2 + L + (1 + i ) n
1 − (1 + i) n 1 + i (1 + i) n − 1 (1 + i) n − 1 s n = (1 + i) ⋅ = ⋅ = 1 − (1 + i) i 1 d
1000
0 1
1100 1200
2 3
L
1700
8
1800
9
1900
10
付款额
L
时间
900 100
0 1
900 200
2
900 300
3
L
900 800
8
900 900
9
900 1000
10
付款额
L
时间
900
900 200
2
900 300
3

保险精算学寿险精算现值


1 D x
M
t 0

x t
引进转换函数：Rx M x t
t 0

则 IA x
Rx Dx
根据概率的知识，我们还可以得到
IA x E Z (k 1)v
k 0

k 1 k
qx k Ax
k 0

（2）定期递增寿险
用 IA x:n 表示趸缴净保费，则
631终身寿险年缴净保费死亡年末赔付单位元终身寿险如果规定保费每年一次终身交付这时保险费的现值就是终身生存年金精算现值以表示年缴均衡净保保费在年内缴清632定期寿险年缴净保费在死亡均匀分布的假设下如果被保险人死亡瞬时赔付633两全寿险年缴净保费634延期年金年缴净保费延期年的终身生存年金的年缴净保费设保费的缴付期限为表示年缴净保费
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。 （1）递增型人寿保险的趸缴净保费 （2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单 位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元 用 IA x 表示这种保险的现值，则
IA x:n IA x:n
1
nAx:n 1
（4） 等值递增n年的终身寿险的趸缴净保费
用 I n A 表示趸缴净保费，则
I A IA
n x t n
x
x
n IA x
t 1 其中， IA ( t n 1) v q x t x n
2 2 2n p v p v n x n x n p xn qx . n 2
Z Z1 Z 2

寿险精算_chapter_6-1(1)


净保费的厘定的假定条件
假定一:同性别,同年龄, 假定一:同性别,同年龄,同时参保的被 保险人的剩余寿命是独立同分布的. 保险人的剩余寿命是独立同分布的. 假定二: 假定二:被保险人的剩余寿命分布可以用 经验生命表进行拟合. 经验生命表进行拟合. 假定三: 假定三:保险公司可以预测将来的投资受 即预定利率). 益(即预定利率). 附表3 见p304附表 附表
中英文单词对照
趸缴纯保费 Net single premium 精算现值 Actuarial present value 死亡即刻赔付保险 Insurances payable at the moment of death 死亡年末给付保险 Insurances payable at the end of the year of death
被保障人群的大数性
保险公司依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预 测将来的风险. 测将来的风险.
有关保费
保费是投保人购买保险产品支付的价格 保费=净保费 净保费+附加保费 (毛)保费 净保费 附加保费 净保费补偿保单承诺的保险赔付 附加保费补偿保险公司的费用支出 趸缴保费 均衡保费
中英文单词对照
M x M x+n = Dx
现值随机变量的方差
Var ( zk ) = E ( z ) E ( zk ) = ∑ v
2 k 2 k =0
2
n 1
2 ( k +1)
k p x q x + k E ( zk )
2
A
1 x :n
= ∑v
k =0
n 1
2 ( k +1)
k px q x + k
x l x = 1000 (1 ) 105

《寿险精算学》实验指导书

《寿险精算学》实验指导书李新统计学院保险教研室山东工商学院目录实验一生存分布与生命表实验二人寿保险趸缴纯保费实验三人寿保险年缴均衡纯保费实验四寿险责任准备金的计算实验一生存分布与生命表实验目的：通过本次实验使学生学会如何利用Excel软件来计算各类死亡概率、生存概率及一些其它的生命表函数。

实验内容：Excel的基本用法；中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）的输入；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算整数年龄各种死亡概率、生存概率；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算分数年龄各种死亡概率、生存概率；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算各类生命表函数。

实验步骤：1、在Excel输入中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）；2、利用生命表基础函数计算各整数年龄段的生存概率nx p 和死亡概率nx q 、x m n q 等。

如计算x 岁的人未来5年内死亡的概率，可以用5年内死亡人数比例来近似死亡概率，计算公式应为：55x x x xl l q l +-=。

先计算0岁的人未来5年内死亡的概率50q ，在单元格F2中输入公式“=(C2-C7)/C2”，按回车键得到结果；再拖动F2单元格右下角的填充柄，向下填充，就可以得到F 列所有整数年龄存活人在未来5年内的死亡概率。

结果如下图所示：其它两种死亡概率n x q 、x m n q 的计算方法类似。

3、在死亡均匀分布假设和常数死亡力假设的前提下计算分数年龄死亡率和生存率,,(0,1)t x tx q p t ∈。

比如计算死亡均匀分布假设下0.2x +的个体在未来0.5年内死亡的概率，公式为0.50.20.510.2xx xq q q +=-。

保险精算学-生存年金(1)


P 60000
a30 60000
N 30 D30
60000 91,698 ,459 3,905 ,782
140865 .7（1 元）
19
20
21
(3) 终身生存年金的趸交净保费
• 保险公司的收费原理是期望意义下的现 值或终值的收支相等，这样计算出来的 费用称为净保费.
• 对于1元的终身生存年金，如果要计算 投保人在投保初的一次性交清（趸交） 净保费，则其数额应该等于相应的年金 的精算现值，
(2)
S
1 n Ex
1 vn n px
(1i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex
nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
nEx
现时值
1
E n t x t
1
S
tE x
1
10
第2节
离散生存年金
11
简介
• 离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔 一段时期支付一次年金的保险。
Dx
m
ax
Nxm1 Dx
a m x:n
Nxm1Nxmn1 Dx
54
年金计算一般公式
：首次支付
年金的年龄
n：支付
N N 次数
α
αn
特别： N∞ = 0
Dz
z :需要计算价 值的时间点
55
谢谢您的关注！
(h)ax(h)
其 中 ： (h) i(hi)d d(h)
• 近似公式（实际操作公式）
ii(h)
(h) i(h)d(h)
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以第8年末为时间参照点，有
1.06 + 4×1.06 + x =10×1.06 ⇒x = 3.7435
7 5
请同学们自己练习以其他时刻为时间参照 点
例1.6：求利率 ： （1）某人现在投资4000元，3年后积累到 5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资 6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元， 问实质利率=？
影响利息大小的三要素
本金 利率 时期长度
二、利息的度量
积累函数
a(t)
金额函数
1------------------------------a(t ) K------------------------------ A(t )
A(t )
贴现函数
a (t)
第N期利息
0
−1
a (t)----------------------------1 (t
li m i
m→ ∞
(m )
=
li m d
m→ ∞
(m )
等价公式 一般公式
a (t ) = e
恒定利息效力场合
−1
t ∫0 δ s ds
δ = − ln v ⇔ a (n) = exp{−nδ }
δ = ln(1 + i ) ⇔ a ( n) = exp{nδ }
例1.4 确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
寿险精算学
2006年11月18日
任课教师
姓名
王燕 62511137
wy08@
电话
邮箱
教材 指定教材
王晓军，寿险精算学，中国人民大学出版社， 2005。
参考资料
Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.
i (12) = 6%时， (1 + 0.5%)
12 n
ln 2 =2⇒n= = 11.6 12 ln1.005
i
(12)
= 12%时，
12 n
(1 + 1%)
ln 2 =2⇒n= = 5.8 12 ln1.01
例1.7近似答案 近似答案——rule of 72 近似答案
原理： (1 + i ) n = 2 ⇒ n ln(1 + i ) = ln 2 ln 2 ln 2 i ln 2 0.08 0.72 n= = i = 0.08 = ln(1 + i ) i ln(1 + i ) i ln 1.08 i (1) i ≈ i
例1.5：求本金 ： 某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？
例1.6答案 答案 以第7年末为时间参照点，有
1.06 + 4×1.06 + x 1.06 =10 ⇒ x = 3.7435
6 4
课程结构
利息理论基础 生命表基础 净保费计算 净责任准备金计算 产品定价 责任准备金评估 案例分析
第一部分 利息理论基础
2006年11月18日
利息理论
利息理论基本概念
利息 理论
年金 债务偿还 债券价值
一、利息的定义 定义
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。
(m)
m
d (4) 1 − 4
4
d 1− 4
(4)
3
d 1− 4
(4)
2
d (4) 1− 4
1 1
1− d
d
例1.3 1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
寿险精算学基本思想 损失补偿思想
不能阻止风险发生，但能将风险带来的损失降 低最小 事先防范风险
净均衡思想
自助互助性 大数定律
精算师 精算师
金融、保险、投资和风险管理的工程师。
精算师的职责 ——保证风险经营的财务稳健性
对风险和损失的预先评价 对风险事件做出预先的财务安排
精算管理和控制系统
风险 分析 利润 分析
i 1 + = 1+ i m
(m)
m
1
1+
i
(4)
4
i 1+ 4
(4)
2
i 1+ 4
(4)
3
i 1+ 4
(4)
4
1
i
1+ i
名义贴现率
d (m) 名义贴现率
d 1 − = 1− d m
(12 )
( 2) i ≈ i ( 6 ) (1) i ≈ i (12 )
0.72 = 12 % ⇒ n = =6 0.12 0.72 = 12 % ⇒ n = = 12 0.06 0.72 = 2% ⇒ n = = 36 0.02
例1.8：求积累值 ： 某人现在投资1000元，第3年末再投资 2000元，第5年末再投资2000元。其中前4 年以半年度转换名义利率5%复利计息，后 三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末 此人可获得多少积累值？
产品 设计 定价
经验 数据 分析 偿付 能力 评价 资产 评估
负债 评估
资产 负债 管理
精算师职业资格考试 精算师执业资格认证 考试体系
北美、英国、日本、中国
认可标准
1998年，欧共体精算协会顾问团公布了欧洲精算培训 核心大纲，以此建立欧洲国家精算师互相资格认可 1998年国际师精算协会通过了国际精算教育指南和培 训大纲，要求至少到2005年以后正是会员的资格符合 教学大纲的要求 2000年，北美精算学会，英国精算学会对各自的教育 大纲进行修改，向国际精算师协会推荐的教育体系靠 拢 2000年底，开始中国精算师资格考试，2004年，中国 精算师分寿险和非寿险两个方向考试。
1、
δ = 5%
2、
δt = 0.05(1+ t)
−2
例1.4答案 答案
1、1000e
10
10δ
= 1000e
10×0.05
= 1648.72
2、 e 1000 ∫
0
0.05(1+t )−2 dt
= 1000e = 1046.50
0.05 0 1+t 10
三、利息问题求解 利息问题求解四要素
原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式
(4) (12 ) 4 −12
3、
⇒ i ( 4)
0.06 −3 = 41 − − 1 12 = 6.0605%
利息力 定义：瞬间时刻利率强度
δt
A ′( t ) d = = [ ln A ( t ) ] A (t ) dt a ′( t ) d = = [ ln a ( t ) ] a (t ) dt =
考核办法
上课到课率 平时作业 综合练习
背景知识 保险的基本概念 精算学及其应用领域 寿险精算学的基本思想 精算师 精算师职业资格考试
保险的概念 保险的概念
投保人根据合同约定，向保险人支付保险费， 保险人对于合同约定的可能发生事故因其发生 所造成的财产损失承担赔偿保险金责任，或者 当被保险人死亡、伤残、疾病或者达到约定年 龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险行 为。
t
−1
I (n)
I ( n ) = A( n ) − A( n − 1)
利息度量一——单利和复利 利息度量一 单利和复利
线形积累
单利
指数积累
复利
a ( t ) = 1 + it i in = 1 + ( n − 1) i
a ( t ) = (1 + i ) t in = i
单复利计息之间的相关关系
• 期初/期末计息：利率/贴现率 • 积累方式：单利计息、复利计息 • 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力
本金在投资期末的积累值
利息问题求解原则
本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知 三求一的问题 工具：现金流图
现金流 p0 时间坐标 0
p1
p2
L L
pn
t1
t2
tn
方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
例1.8答案 答案
A(7) = 1000 × (1 + j )8 × e3δ + 2000(1 + j ) 2 × e 3δ + 2000e 2δ = 1000 × 1.0258 × e 0.09 + 2000 × 1.0252 × e 0.09 + 2000e 0.06 = 5756
复利场合利率与贴现率的关系
I (n) a(n) − a(n −1) dn = = A(n) a(n) i(1+ i) = n (1+ i) i = 1+ i
n−1
复利场合利率与贴现率的关系
初始值
利息
积累值
1
i
d
1+ i
1
−1
v
v = 1− d = 1+ i） （
例1.2 某人投资1万元，如果以5％的利率复利计 息，那么此人利息获取的方式是怎样的， 两年后一共获得多少利息？ 如果该投资项目是以5％的贴现率复利计息， 那么此人利息获取的方式是怎样的，两年 后一共获得多少利息？