已知二次函数

中考专题训练——二次函数与角度问题1．已知二次函数232y ax bx =+-（0a ≠）的图象经过A （1，0）、B （−3，0）两点，顶点为点C ．(1)求二次函数的解析式； (2)如二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点G ，抛物线上是否存在点Q ，使得∠QAB=∠ABG ，若存在求出Q 点坐标，若不存在请说明理由；(3)经过点B 并且与直线AC 平行的直线BD 与二次函数232y ax bx =+-图象的另一交点为D ，DE ∠AC ，垂足为E ，DF y 轴交直线AC 于点F ，点M 是线段BC 之间一动点，FN ∠FM 交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为△NFH 的外心，求点M 从点B 运动到点C 的过程中，P 点经过的路线长． 2．在平面直角坐标系中，抛物线l ：()2220y x mx m m =--->与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON = (1)求m 的值；(2)设点G 是抛物线在第三象限内的动点，若GBC ACO ∠=∠，求点G 的坐标；(3)将抛物线222y x mx m =---向上平移3个单位，得到抛物线l '，设点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，射线PO 、QO 分别交直线=2y -于点P '、Q '，设P '、Q '的横坐标分别为P x '、Q x '，且4P Q x x ''⋅=，求证：直线PQ 经过定点．3．已知二次函数y ＝x 2十（k ﹣2）x ﹣2k ．(1)当此二次函数的图像与x 轴只有一个交点时，求该二次函数的解析式；(2)当k ＞0时，直线y ＝kx +2交抛物线于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 在线段AB 上，过点P 做PM 垂直x 轴于点M ，交抛物线于点N ． ∠求PN 的最大值（用含k 的代数式表示）；∠若抛物线与x 轴交于E ，F 两点，点E 在点F 的左侧．在直线y ＝kx +2上是否存在唯一一点Q ，使得∠EQO ＝90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；(3)在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '，将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线'l 与线段BM '交于点C ，设点B 、M '到直线l '的距离分别为1d 、2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ∠连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，求DEEB的最大值； ∠过点D 作DF ∠AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的∠DCF ＝2∠BAC ，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为D ，且过C （－4，m ）． (1)求点A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点P 在该抛物线上（与点B ，C 不重合），设点P 的横坐标为t ．∠当点P 在直线BC 的下方运动时，求∠PBC 的面积的最大值， ∠连接BD ，当∠PCB ＝∠CBD 时，求点P 的坐标．7．如图所示，抛物线y =−x 2+bx +3经过点B (3，0)，与x 轴交于另一点A ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图，设点D 是x 轴正半轴上一个动点，过点D 作直线l ∠x 轴，交直线BC 于点E ，交抛物线于点F ，连接AC 、FC ．∠若点F 在第一象限内，当∠BCF =∠BCA 时，求点F 的坐标； ∠若∠ACO +∠FCB =45°，则点F 的横坐标为______．8．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标； (3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点． ∠直线EF 的解析式是______；∠点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -，连接AB ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点P 在直线AB 上方的抛物线上，过点P 作PE AD ∥交x 轴于点E ，交线段AB 于点G ，连接PD 交线段AB 于点Q ．(1)求抛物线的表达式；(2)当GQ AQ =时，设点P 的横坐标为m ，求m 的值；(3)在（2）的条件下，线段BE 上有一点F ，直线AD 上有一点K ，连接KF 、GF ，当2FKD FGB ∠=∠，且8KF =时，直接写出．．．．点K 的纵坐标．．．． 10．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，OA =OC =3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 为直线AC 下方抛物线上一点，连接BP 并交AC 于点Q ，若AC 分ABP 的面积为1：2两部分，请求出点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点N ，使得45BCO BNO ∠+∠=︒，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y =ax 2+2x −3与x 轴交于A 、B 两点，且B (1，0)．(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标；(2)如图1，点P 是直线y =x 上在x 轴上方的动点，当直线y =x 平分∠APB 时，求点P 的坐标；(3)如图2，已知直线y =23x −49分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点()0,5C -．(1)求a ，b 的值；(2)已知点M 在射线CB 上，直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P ．∠抛物线上是否存在点P ，满足:2:1=AM MP ，如果存在，求出点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由； ∠连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．13．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若()1,0A -且3OC OA =．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是该抛物线的顶点，点(),P m n 是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、BP ，当2PBA CBD ∠=∠时，求m 的值；(3)如图2，BAC ∠的角平分线交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与射线AB ，AC 分别交于E ，F ，已知当直线l 绕点M 旋转时，11AE AF+为定值，请直接写出该定值． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1L ：2y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，且经过点(1,3)-，点C 是抛物线1L 的顶点，将抛物线1L 向右平移得到抛物线2L ，且点B 在抛物线2L 上．(1)求抛物线1L 的表达式；(2)在抛物线2L 上是否存在一点P ，使得90PAC ∠=︒，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标；(3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 16．抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,4)，与x 轴交于点,(3,0)A B 两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线上的动点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 在直线BC 上方抛物线上，连接AM 交BC 于点E ，求MEAE的最大值及此时点M 的坐标；(3)如图2，已知点(0,1)Q ，是否存在点M ，使得1tan 2MBQ ∠=？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，直线4y x =+恰好经过B 、C 两点．(1)求二次函数的表达式；(2)点D 为第三象限抛物线上一点，连接BD ，过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，若2OE BE =，求点D 的坐标；(3)设F 是抛物线上的一个动点，连结AC 、AF ，若2BAF ACB ∠=∠，求点F 的坐标．18．抛物线y 1=x 2+（3-m ）x +c 与直线l ：y 2=kx +b 分别交于点A （-2，0）和点B （m ，n ），当-2≤x ≤4时，y 1≤y 2．(1)求c 和n 的值（用含m 的式子表示）；(2)过点P （1，0）作x 轴的垂线，分别交抛物线和直线l 于M ，N 两点，则∠BMN 的面积是否存在最大值或者最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由；(3)直线x =m +1交抛物线于点C ，过点C 作x 轴的平行线交直线l 于点D ，交抛物线另一点于E ，连接BE ，求∠DBE 的度数．19．如图，抛物线2323y x x -=-+与x 轴交于点A 和点B ，直线:l y kx b =+与抛物线2323y x x -=-+交于点D和点12F n ⎛⎫⎪⎝⎭，，且与y 轴交与点()02E ，．(1)求直线l 的函数表达式；(2)若P 为抛物线上一点，当POE OED =∠∠时，求点P 的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、B 两点，且与x 轴的负半轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D 为直线AB 上方抛物线上的一点，2ABD BAC ∠=∠，直接写出点D 的坐标．参考答案1．(1)21322y x x =+- (2)542⎛⎫- ⎪⎝⎭，或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(3)1【分析】（1）将A （1，0）、B （-3，0）代入232y ax bx =+-，即可求解； （2）先求出BG 的解析式为13y x 22=--，然后再进行分类讨论，分别求得点Q 的坐标即可；（3）可知△DNH 与△FNH 是直角三角形，外心P 在斜边NH 的中点，分别求出直线AC 及直线BD 的函数关系式，再分为当M 运动到C 点时及当点M 运动到B 点时两种情况进行讨论，求解即可．【解析】（1）∠二次函数232y ax bx =+-的图像经过A （1,0）、B （-3,0）， ∠30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∠二次函数的解析式为213y x x 22=+-； （2）由题可知G 点坐标30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线BG 的解析式为y px q =+，得： 30302k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∠BG 的解析式为13y x 22=--，∠AQ ∥BG ，直线AQ 的解析式11y x 22=-+，联立直线AQ 与二次函数解析式2112213x 22y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得1110x y =⎧⎨=⎩或22452x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩此时Q 的坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∠直线11y x 22=-+与y 轴的交点为K 102⎛⎫⎪⎝⎭，，其关于x 轴的对称点为11K 02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 直线1AK 的解析式为：11y x 22=- 与二次函数解析式联立得 2112213x 22y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 解得1110x y =⎧⎨=⎩或22232x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，此时Q 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 综上,抛物线上存在点Q 使得∠QAB =∠BAG ，Q 点坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭，或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（3）如图，易知△DNH 与△FNH 是直角三角形，外心P 在斜边NH 的中点，∠PD =PF =12NH ，所以点P 是线段DF 的垂直平分线上的动点， ∠直线AC 的解析式为y =x -1，BD ∥AC ， ∠直线BD 的解析式为y =x +3， ∠D （3,6），∠当M 运动到C 点时1H 与点E 重合，1FN AC ⊥，则1FN BD ⊥，又因为∠DEF =90°，DE =EF ， ∠四边形1DN FE 为正方形， ∠1P 是线段DF 的中点（3,4）；∠当点M 运动到B 点时，22FN FH ⊥，∠四边形DN 1FE 是正方形∠122190N FN BFC N N F BCF ∠=∠∠=∠=︒，，∠21N N F BCF ∽， ∠121CF BC N F N N =， ∠四边形DN 1FE 是正方形，∠11,4N （），∠2112BC CF N N N F ==，∠12N N =∠22,5N （）， 同理26,3H （）， 所以22N H 的中点2P （4，4），∠134P （，）， ∠121PP =【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，会求函数的交点坐标，根据点M 的运动情况确定P 点的轨迹是线段是解题的关键．2．(1)1m =(2)点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由x =0处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）连接AC 、BC ，过点C 作CT CB ⊥，设BG 交CT 于点T ，作TH y ⊥轴于点H ，由抛物线解析式求得A 、B 、C 坐标，可得∠OBC 、∠CHT 是等腰直角三角形，由BC 和tan tan GBC ACO ∠=∠可得TC ，进而可得T 点坐标，再由B 点坐标可得直线BC 解析式，然后与二次函数解析式联合求得交点坐标即可解答；（3）设点()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -，由原点可得直线PO 、QO 的解析式，再由y =-2可得点Q '、P '横坐标，由4P Q x x ''⋅=可得()1212230x x x x -++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立可得()220x m x n -+-=，利用根与系数的关系可得122x x m +=+，12x x n =-，代入()1212230x x x x -++=求得21n m =--，于是直线PQ 为()21y m x =--经过定点2,1；(1)解：依题意得：()222y x m m m =----，∠抛物线的对称轴为直线x m =， ∠ON m m ==，在222y x mx m =---中，令0x =，则2y m =--，∠()0,2C m --， ∠22OC m m =--=+，∠3OC ON =，∠23m m +=，解得1m =；(2)解：如图，连接AC 、BC ，过点C 作CT CB ⊥，设BG 交CT 于点T ，作TH y ⊥轴于点H ，由（1）得1m =，∠抛物线的解析式为2=23y x x --，()0,3C -，3OC =，令0y =，则2230x x --=，解得11x =-，23x =，∠点A 在点B 的左侧，∠()1,0A -，()3,0B ，3OB =，在Rt AOC 中，1tan 3OA ACO OC ∠==， 3OB OC ==，则OBC △是等腰直角三角形，BC =∠OCB =45°，∠TCB =90°，则∠TCH =45°，∠CHT △是等腰直角三角形，∠GBC ACO ∠=∠，∠1tan tan 3GBC ACO ∠=∠=， ∠13CT BC =，1133CT BC ==⨯=∠sin451TH CH ==︒=，∠()1,2T --，由点()1,2T --与点()3,0B ，可求得1322TB y x =-， 联立得2132223y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩， 解得：1130x y =⎧⎨=⎩，221274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∠点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)解：如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到抛物线l '：22y x x =-，∠点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，∠设点()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -，由()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -分别可求得：()12OP y x x =-，()22OQ y x x =- ∠点P '、Q '在直线=2y -上，∠点12,22P x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭，22,22Q x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭， ∠4P Q x x ''⋅= ∠1222422x x --⋅=--，即()()12221x x --=，整理得()1212230x x x x -++=， 设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立得：22,y x x y mx n⎧=-⎨=+⎩，22x x mx n -=+， 整理得()220x m x n -+-=，由根与系数的关系可得：122x x m +=+，12x x n =-，∠()1212230x x x x -++=，∠()2230n m --++=，∠21n m =--，∠直线PQ 的解析式为21y mx m =--，()21y m x =--，∠当2x =时，1y =-，∠直线PQ 经过定点2,1；【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系；此题综合性较强，正确作出辅助线并掌握函数图象交点坐标的意义是解题关键． 3．(1)244y x x =-+(2)∠32k +，∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90EQO ∠=︒【分析】（1）根据函数图像与x 轴只有一个交点，结合Δ0=求出k 值即可；（2）∠根据题意，求出()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--，利用两点之间距离公式求出PQ ,得出11m ≤∠二次函数综合中的直角三角形分两种情况：当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时；当圆与直线相交且一个交点为A 时；分情况求解即可．(1)解：二次函数的图像与x 轴只有一个交点，∠22(2)8(2)0k k k ∆=-+=+=，解得2k =-，∠所求抛物线的解析式为244y x x =-+；(2)解：如图所示：∠∠点P 在线段AB 上，且直线AB 解析式为2y kx =+，∠设点M 的横坐标为m ，则()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--，∠22(2)2PN mk m k m k ⎡⎤=+-+--⎣⎦2222m m k =-+++2(1)32m k =--++，把2y kx =+代入2(2)2y x k x k =+--得：2(2)22x k x k kx +--=+，∠222220,(1)2(1)x x k x k ---=-=+，∠0k >，∠2(1)0k +>，∠1x =∠x 的值可以取到1，即11m ≤≤∠m 的值可以取到1，∠当1m =时PN 的最大值为32k +；∠设直线2y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ，则()22,0,0,2,,2G H OG OH k k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭．在Rt GOH 中，由勾股定理得：GH = 令2(2)20y x k x k =+--=，即()(2)0x k x +-=，解得：x k =-或2x =．∠(),0E k -，OE k =．（∠）当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时，如图∠所示：设直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切的切点为Q ，此时90,90GQM EQO ∠∠=︒=︒．设OE 中点为点M ，连接MQ ，如图∠所示，则,0.5MQ GH MQ ME OM k ⊥===．∠22k GM OG OM k =-=-， ∠,90∠=∠∠=∠=︒MGQ HGO MQG HOG ， ∠∽MOG HOG ， ∠=MQ GM OH GH ，即22222k k k -=， ∠2221618k k k +=-+ ∠2169k =，解得：43k =±， ∠0k >， ∠43k =． （∠）当圆与直线相交且一个交点为A 时，如图∠所示，设另一个交点为Q ，∠OE 是圆的直径，∠90EQO ∠=︒，此时可得：OG OE =， ∠2k k=，解得：k = ∠0k >，∠k =∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90EQO ∠=︒． 【点评】本题考查二次函数综合，涉及到利用判别式求二次函数解析式、二次函数综合中的线段最值问题、二次函数综合中的直角三角形问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，并掌握解决相关二次函数综合问题题型的方法技巧是解决问题的关键．4．(1)223y x x =-++ (2)21525()228S m =--+，最大值为258(3)45°【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出a 的值；（2）设M 的坐标为（m ，-m 2+2m +3），然后根据面积关系将∠ABM 的面积进行转化；（3）由（2）可知m =52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．（1）解：令x =0代入y =-3x +3，∠y =3，∠B （0，3），把B （0，3）代入223y ax ax a =--，∠3=-3a ，∠a =-1，∠二次函数解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）令y =0代入y =-x 2+2x +3，∠0=-x 2+2x +3，∠x =-1或3，∠抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3，∠M 在抛物线上，且在第一象限内，∠0＜m ＜3，令y =0代入y =-3x +3，∠x =1，∠A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，-m2+2m+3），S=S四边形OAMB-S△AOB=S△OBM+S△OAM-S△AOB=1 2×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3=-12（m-52）2+258∠当m=52时，S取得最大值258．（3）由（2）可知：M′的坐标为（52，74）；过点M′作直线l1∠l′，过点B作BF∠l1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，∠∠BFM′=90°，∠点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∠点C在线段BM′上，∠F在优弧BM H'上，∠当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′∠l1，∠A（1，0），B（0，3），M′（52，74），∠由勾股定理可求得：AB M B M A''===过点M′作M′G∠AB于点G，设BG =x ，∠由勾股定理可得：M ′B 2-BG 2=M ′A 2-AG 2，∠2285125)1616x x -=-，∠,x =cos BG M BG M B ''∠==， ∠l 1∠l ′，∠∠BCA =90°，∠BAC =45°．【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．5．(1)213222y x x =--+ (2)∠45；∠存在，D （-2，3）【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y =-12x 2+bx +c ，于是得到结论； （2）∠如图1，令y =0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ∠x 轴于M ，过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；∠根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到P A =PC =PB =52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，解直角三角形即可得到结论．(1)解：对于函数：y =12x +2， 令x =0，则y =2，令y =0，则x =-4，∠A （-4，0），C （0，2），∠抛物线y =-12x 2+bx +c 经过A ．C 两点， ∠1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩，∠b =-32，c =2， ∠y =-12x 2-32x +2； (2)解：∠如图，令y ＝0， ∠213x x 2022--+=， ∠14x =-，21x =，∠B （1，0），过D 作DM ∠x 轴交AC 于点M ，过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ，∠DM BN ∥，∠DME BNE ∽△△， ∠DE DM BE BN=， 设()213,222D a a a --+， ∠1,22M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∠B （1，0）， ∠51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∠()221214225552a a DE DM a BE BN --===-++， ∠-15<0， ∠当a ＝-2时，DE BE 的最大值是45； ∠∠A （-4，0），B （1，0），C （0，2），∠AC =BC =AB ＝5，∠222AC BC AB +=，∠∠ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ， ∠3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∠52PA PC PB ===， ∠∠CPO ＝2∠BAC ，∠()4tan tan 23CPO BAC ∠=∠=， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∠∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC +∠CDG ，∠∠CDG ＝∠BAC ， ∠1tan tan 2CDG BAC ∠=∠=，即12RC DR =， 令213,222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∠DR ＝-a ，21322RC a a =--， ∠2131222a a a --=-，∠10a =（舍去），22a =-，∠2D x =-，3D y =．∠D （-2，3）．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．6．(1)A （-5，0），B （-1，0）；C （-4，-3）；D （-3，-4） (2)∠278；∠（0，5）或（32-，74-）【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式即可求出点D 的坐标，令y =0，求出x 的值即可得到A 、B 的坐标，把x =-4代入抛物线解析式求出y 即可求出点C 的坐标；（2）∠先求出直线BC 的解析式为1y x =+，过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ，则点P 的坐标为（t ，265t t ++），点F 的坐标为（t ，t +1），254PF t t =---，再根据=PBC PFC PFB S S S +△△△23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，进行求解即可；∠分如图1所示，当点P 在直线BC 上方时，如图2所示，当点P 在直线BC 下方时，两种情况讨论求解即可．(1)解：∠抛物线解析式为()226534y x x x =++=+-，∠抛物线顶点D 的坐标为（-3，-4）；令y =0，则2650x x ++=，解得=1x -或5x =-，∠抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），∠点A 的坐标为（-5，0），点B 的坐标为（-1，0）；令4x =-，则()()246453y =-+⨯-+=-，∠点C 的坐标为（-4，-3）；(2)解：∠设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∠043k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， ∠11k b =⎧⎨=⎩， ∠直线BC 的解析式为1y x =+，过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ，∠点P 的横坐标为t ，∠点P 的坐标为（t ，265t t ++），点F 的坐标为（t ，t +1），∠2216554PF t t t t t =+---=---，∠=PBC PFC PFB S S S +△△△()()11=22P C B P PF x x PF x x ⋅-+⋅- ()12B C PF x x =⋅- ()23542t t =-++ 23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ∠当52t =-时，∠PBC 的面积最大，最大为278；∠如图1所示，当点P 在直线BC 上方时，∠∠PCB =∠CBD ，∠PC BD ∥，设直线BD 的解析式为11y k x b =+，∠1111034k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， ∠1122k b =⎧⎨=⎩， ∠直线BD 的解析式为22y x =+，∠可设直线PC 的解析式为22y x b =+，∠()2243b ⨯-+=-，∠25b =，∠直线PC 的解析式为25y x =+，联立22565y x y x x =+⎧⎨=++⎩得240x x +=， 解得0x =或4x =-（舍去），∠5y =，∠点P 的坐标为（0，5）；如图2所示，当点P 在直线BC 下方时，设BD 与PC 交于点M ，∠点C 坐标为（-4，-3），点B 坐标为（-1，0），点D 坐标为（-3，-4），∠()()22241318BC =---+-=⎡⎤⎣⎦,()()22231420BD =---+-=⎡⎤⎣⎦，()()22243342CD =---+---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∠222BC CD BD +=，∠∠BCD =90°，∠∠BCM +∠DCM =90°，∠CBD +∠CDB =90°，∠∠CBD =∠PCB ，∠MC =MB ，∠MCD =∠MDC ，∠MC =MD ，∠MD =MB ，∠M 为BD 的中点，∠点M 的坐标为（-2，-2），设直线CP 的解析式为23y k x b =+，∠23234322k b k b -+=-⎧⎨-+=-⎩， ∠23121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∠直线CP 的解析式为112y x =-， 联立211265y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=++⎩得2211120x x ++=， 解得32x =-或4x =-（舍去）， ∠74y =-， ∠点P 的坐标为（32-，74-）； 综上所述，当∠PCB ＝∠CBD 时，点P 的坐标为（0，5）或（32-，74-）；【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．7．(1)y =−x 2+2x +3(2)∠532,39⎛⎫⎪⎝⎭；∠73或5【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）∠作点A关于直线BC的对称点G，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，求得G(3，4)，利用待定系数法求得直线CF的解析式为：y=13x+3，联立方程组，即可求解；∠分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求CF的解析式，联立方程可求解．（1）解：∠B(3，0)在抛物线y=−x2+bx+3上，∠y=−32+3b+3，解得b=2，∠所求函数关系式为y=−x2+2x+3；（2）解：∠作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI∠x轴于点I，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，如图：令x=0，y=3；令y=0，−x2+2x+3=0，解得：x=3或x=-1，∠A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∠OB=OC，AB=4，∠△OCB是等腰直角三角形，则∠OCB=∠OBC=45°，∠∠HAB=∠OBC=∠AHI=∠BHI=45°，∠HI= AI=BI=12AB=2，∠H(1，2)，∠G(3，4)，设直线CG的解析式为：y=kx+3，把G(3，4)代入得：4=3k+3，解得：k=13，∠直线CF的解析式为：y=13x+3，∠223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=+⎪⎩，解得：53329xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以F点的坐标为(53，329)；∠当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，∠点B（3，0），点C（0，3），∠OB=OC=3，∠∠CBO=∠BCO=45°，∠点A（-1，0），∠OA=1，∠∠FCE+∠ACO=45°，∠CBO=∠FCE+∠CNO=45°，∠∠ACO=∠CNO，又∠∠COA=∠CON=90°，∠∠CAO∠∠NCO，∠CO NO AO CO=，∠313NO =，∠ON=9，∠点N（9，0），同理可得直线CF解析式为：y=-13x+3，∠-13x+3=-x2+2x+3，∠x1=0（舍去），x2=73，∠点F的横坐标为73；当点F在x轴下方时，如图，设CF与x轴交于点M，∠∠FCE+∠ACO=45°，∠OCM+∠FCE=45°，∠∠ACO=∠OCM，又∠OC=OC，∠AOC=∠COM，∠∠COM∠∠COA（ASA），∠OA=OM=1，∠点M（1，0），同理直线CF解析式为：y=-3x+3，∠-3x+3=-x2+2x+3，∠x1=0（舍去），x2=5，∠点F的横坐标为5，综上所述：点F的横坐标为5或73．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8．(1)24y x=-+(2)232,39 P⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)∠y x =；∠4【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ，过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F ．证明DAB DEB ≌△△，求得点E 的坐标，进而求得直线DE 的解析式为11033y x =+，联立抛物线解析式即可求解； （3）∠根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为y x =；∠连接GH ，交EF 于点M ，则2GH GM =，过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点N ，当GM 最大时，∠GFE面积最大，设()2,4G m m -+，则(),N m m ，根据()12GFE E F S GN x x =⋅-△以及二次函数的性质求得当12m =-时，∠GFE 面积最大，115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据∠的方法求得H 的坐标，根据中点公式求得M 的坐标，根据勾股定理求得GH ，由2GH GM =即可求解．（1）∠2y ax c =+过()2,0A -，()1,3D -∠403a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解之得14a c =-⎧⎨=⎩∠抛物线解析式为24y x =-+（2）过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ，过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F ．由24y x =-+，令0y =，得122,2x x =-=，则()2,0BD B D y x x =-，即DF BF =，∠45DBF ∠=︒，∠45DBE ∠=︒又∠DB DB =，BD 平分ADP ，∠DAB DEB ≌△△，∠BA BE =，()2,0B∠()2,4E设直线DE 的解析式为y kx b =+，324k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得13103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∠直线DE 的解析式为11033y x =+ 联立2411033y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩解得213,3329x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩则232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）∠直线EF 解析式为y x =．抛物线关于y 轴对称，所以旋转后图形关于x 轴对称， ∠对于抛物线上任意一点(),P a b 关于原点旋转90°后对应点为()1,P b a -在旋转后图形上，()1,P b a -关于x 轴对称的点()2,P b a 在旋转后图形上，∠(),P a b 与()2,P b a 关于y x =对称， ∠图形2关于y x =对称，∠直线EF 解析式为y x =故答案为：y x =∠GH如图，连接GH ，交EF 于点M ，则2GH GM =，过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点N ，∠当GM 最大时，∠GFE 面积最大，又∠()12GFE E F S GN x x =⋅-△ 设()2,4G m m -+，则(),N m m ∠22117424G N GN y y m m m ⎛⎫=-=-+-=-++ ⎪⎝⎭ ∠当12m =-时，∠GFE 面积最大，115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭由∠可知115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y x =的对称点H 15142⎛⎫ ⎪⎝⎭，- ∴1313,88M ⎛⎫ ⎪⎝⎭8GM ∴=∠GH 的最大值为：2GH GM ==【点评】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．9．(1)234y x x =-++(2)1m = (3)227或227【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式为1y x =+，然后证明∠PGQ ∠∠DAQ 得到PG =AD =4，再由点P 的坐标为()234m m m ++，-，点G 的坐标为（m ，m +1），得到23414PG m m m =-++--=，由此求解即可；（3）如图所示，过点F 作FH ∠AB 于H ，过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ，过点Q 作QM ∠KF 于M ，连接FG ，设2BF t QD s KD k ===，，，则42DF t =-，先证明∠HBF =∠HFB =45°，得到HB HF ==，再由（2）得1m =，求得BG =HG =，tan =2HF t FGH HG t=-∠；根据角平分线的定义和性质得到QM QD s ==，∠FGH =∠QKD ，再由111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△，推出()428k t s k -=+，则tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠，可以推出()222282168t t t t k t t---+==， 在Rt ∠FKD 中，22264DF DK KF +==，得到()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，由此即可求出t 的值即可得到答案．(1) 解：∠抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -，∠934440a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， ∠13a b =-⎧⎨=⎩， ∠抛物线解析式为234y x x =-++；(2)解：设直线AB 的解析式为1y kx b =+，∠11034k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∠11k b =⎧⎨=⎩， ∠直线AB 的解析式为1y x =+，∠PE AD ∥，∠∠PGQ =∠DAQ ，∠GPQ =∠ADQ ，又∠AQ =GQ ，∠∠PGQ ∠∠DAQ （AAS ），∠PG =AD =4，∠点P 的横坐标为m ，∠点P 的坐标为()234m m m ++，-，点G 的坐标为（m ，m +1），∠23414PG m m m =-++--=，∠2210m m -+=，解得1m =；(3)解：如图所示，过点F 作FH ∠AB 于H ，过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ，过点Q 作QM ∠KF 于M ，连接FG ，设2BF t QD s KD k ===，，，则42DF t =-，∠点B 的坐标为（-1，0），点A 的坐标为（3，4），∠BD =AD =4，∠∠ABD =45°，∠FH ∠AB ，∠∠HBF =∠HFB =45°， ∠HB HF ==，由（2）得1m =，∠点G 的坐标为（1，2），∠BE =GE =2，∠BG = ∠HG BG HB =-=， ∠tan =2HF t FGH HG t=-∠； ∠KQ 平分∠FKD ，QM ∠FK ，QD ∠DK ，∠FKD =2∠FGB ，∠QM QD s ==，∠FGH =∠QKD ， ∠111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△， ∠()111428222k t s sk -=⨯+， ∠()428k t s k-=+， ∠tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠， ∠4282t t k t-=+-， ∠()222282168t t t t k t t---+==， 在Rt ∠FKD 中，22264DF DK KF +==，∠()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， ∠43222464288256641616464t t t t t t t -+-+-++=， ∠2344322161644642882566464t t t t t t t t -++-+-+=，∠432880240256640t t t t -+-+=，∠43210243280t t t t -+-+=，∠()()2221016143280t t t t t -++-+=，∠()()()()22827220t t t t t --+--=，∠()()32814420t t t t -+--=，∠()()()28122220t t t t t ⎡⎤-++--=⎣⎦，∠()()()()262220t t t t t --+--=⎡⎤⎣⎦，∠()()226220t t t -+-=， ∠点F 在BE 上，∠22BF t BE =≤=，∠1t ≤，∠2620t t -+=，解得3t =-3t =，∠()22262442168442t t t t t t k t t t -+-+-+-=====，∠2DK =，∠点K 的纵坐标为227或227．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．10．(1)223y x x =+-(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC 的解析为3y x =--，根据AC 把△ABP 的面积分成1:2两部分，得到=12APQ ABQ S S △△：：，如图所示，过点P 作PD ∠x 轴于D ，过点Q 作DE ∠x 轴于E ， 先求出23EQ PD =，设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点D 的纵坐标为224233m m +-，点D 的坐标为（224133m m ---，224233m m +-），然后求出点B 的坐标，从而求出∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭，，证明∠BEQ ∠∠BDP ，得到224223313m m m ++=-，据此求解即可； （3）分两种情况当点N 在x 轴上方时，过点N 作NH ∠直线BC 于H ，过点H 作HE ∠y 轴于E ，HF ∠x 轴于F ，求出直线BC 的解析式为33y x =-，证明HN =HF ，四边形EOFH 是矩形，得到∠EHF =90°，OE =HF ，证明∠NEH ∠∠BFH 得到NE =BF ，设H 坐标为（m ，3m -3），则NE =BF =m -1，OE =3m -3ON =EN +OE =4m -4，CE =3m -3+3=3m ，点N 的坐标为（0，4m -4），NC =4m -1在Rt ∠NCH 中，由222NH CH CN +=，得到()()222221941m m m m m +-++=-，由此求解即可；当点N 在x 轴下方时，利用等腰三角形的性质求解即可．（1）解：∠OA =OC =3，∠点A 的坐标为（-3，0），点C 的坐标为（0，-3）， ∠9303b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∠23b c =⎧⎨=-⎩， ∠抛物线解析式为223y x x =+-；（2）解：设直线AC 的解析式为1y kx b =+，∠11303k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∠113k b =-⎧⎨=-⎩， ∠直线AC 的解析为3y x =--，∠AC 把∠ABP 的面积分成1:2两部分，∠=12APQ ABQ S S △△：：或=2APQ ABQ S S △△：：1（此种情况不符合题意，舍去），如图所示，过点P 作PD ∠x 轴于D ，过点Q 作QE ∠x 轴于E ，∠=32APB ABQ S S △△：：，∠132122AB PD AB EQ ⋅=⋅， ∠23EQ PD =， 设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点Q 的纵坐标为224233m m +-， ∠点Q 的坐标为（224133m m ---，224233m m +-）， 令y =0，则2230x x +-=，解得1x =或3x =-，∠点B 的坐标为（1，0）， ∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭，， ∠PD ∠x 轴，QE ∠x 轴，∠DP QE ∥，∠∠BEQ ∠∠BDP ， ∠23BE QE BD PD ==， ∠224223313m m m ++=-， 解得2m =-或1m =-，∠点P 的坐标为（-2，-3）或（-1，-4）；（3）解：如图1所示，当N 在x 轴上方时，过点N 作NH ∠直线BC 于H ，过点H 作HE ∠y 轴于E ，HF ∠x 轴于F ， 设直线BC 的解析式为12y k x b =+，∠12203k b b +=⎧⎨=-⎩， ∠1233k b =⎧⎨=-⎩， ∠直线BC 的解析式为33y x =-，∠∠BNO +∠BCO =45°，∠∠NBH =45°，∠∠HNB =45°=∠HBN ，∠HN =HF ，∠EH ∠OE ，FH ∠OF ，OE ∠OF ，∠四边形EOFH 是矩形，∠∠EHF =90°，OE =HF ，∠∠NHE +∠BHE =90°=∠BHF +∠BHE ，∠∠NHE =∠BHF ，又∠∠HEN =∠HFB =90°，∠∠NEH ∠∠BFH （AAS ），∠NE =BF ，设H 坐标为（m ，3m -3），∠NE =BF =m -1，OE =3m -3∠ON =EN +OE =4m -4，CE =3m -3+3=3m ，∠点N 的坐标为（0，4m -4），NC =4m -1在Rt ∠NCH 中，222NH CH CN +=，∠()()222221941m m m m m +-++=-，∠222222191681m m m m m m m +-+++=-+，∠2460m m -=， 解得32m =或0m =（舍去）， ∠点N 的坐标为（0，2）；如图2所示，当点N 在x 轴下方的1N 点时，由等腰三角形的性质可知当1N B BN =（N 点为图1中的N ）时，1BN O BNO =∠∠，∠1OB NN ⊥，∠12ON ON ==，∠点1N 的坐标为（0，-2），综上所述，在y 轴上是否存在一点N （0，2）或（0，-2），使得45BCO BNO ∠+∠=︒．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．11．(1)抛物线解析式为y =x 2+2x -3，A 点坐标为（-3，0）；(2)P 点坐标为（32，32）；(3)以QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为5413． 【分析】（1）把B 点坐标代入抛物线解析式可求得a 的值，可求得抛物线解析式，再令y =0，可解得相应方程的根，可求得A 点坐标；（2）当点P 在x 轴上方时，连接AP 交y 轴于点B ′，可证△OBP ∠∠OB ′P ，可求得B ′坐标，利用待定系数法可求得直线AP 的解析式，联立直线y =x ，可求得P 点坐标；（3）过Q 作QH ∠DE 于点H ，由直线CF 的解析式可求得点C 、F 的坐标，结合条件可求得tan∠QDH ，可分别用DQ 表示出QH 和DH 的长，分DQ =DE 和DQ =QE 两种情况，分别用DQ 的长表示出∠QDE 的面积，再设出点Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得∠QDE 的面积的最大值．(1)解：把B （1，0）代入y =ax 2+2x -3，可得a +2-3=0，解得a =1，∠抛物线解析式为y =x 2+2x -3，令y =0，可得x 2+2x -3=0，解得x =1或x =-3，∠A 点坐标为（-3，0）；(2)解：若y =x 平分∠APB ，则∠APO =∠BPO ，如图1，若P 点在x 轴上方，P A 与y 轴交于点B ′，由于点P 在直线y =x 上，可知∠POB =∠POB ′=45°，在∠BPO 和∠B ′PO 中POB POB OP OP BPO B PO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'， ∠∠BPO ∠∠B ′PO （ASA ），∠BO =B ′O =1，设直线AP 解析式为y =kx +b ，把A 、B ′两点坐标代入可得301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∠直线AP 解析式为y =13x +1， 联立113y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠P 点坐标为（32，32）； (3)解：如图2，作QH ∠CF ，交CF 于点H ，设抛物线交y 轴于点M ．∠CF 为y =23x −49， ∠可求得C （23，0），F （0，-49）， ∠tan∠OFC =OC OF =32， ∠DQ ∠y 轴，∠∠QDH =∠MFD =∠OFC ，∠tan∠HDQ =32， 不妨设DQ =t ，DH，HQ， ∠∠QDE 是以DQ 为腰的等腰三角形，∠若DQ =DE ，则S △DEQ =12DE •HQ =12×t2，。

二次函数考试题目及答案1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。

答案：由于二次函数的图象开口向上，所以a>0。

又因为函数图象经过点(1,0)和(3,0)，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)。

将点(2,-4)代入，得到-4=a(2-1)(2-3)，解得a=4。

因此，二次函数的解析式为y=4(x-1)(x-3)。

2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，且抛物线的顶点在直线y=-2x上，求抛物线的解析式。

答案：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)。

由于顶点在直线y=-2x上，设顶点坐标为(m,n)，则有n=-2m。

根据抛物线的对称性，顶点的横坐标m=(3-1)/2=1，所以n=-2。

将顶点坐标(1,-2)代入抛物线解析式，得到-2=a(1+1)(1-3)，解得a=1。

因此，抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)。

3. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(0,2)和(2,0)，且对称轴为直线x=1，求二次函数的解析式。

答案：由于二次函数的对称轴为直线x=1，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)^2+k。

将点(0,2)代入，得到2=a(0-1)^2+k，即2=a+k。

又因为函数图象经过点(2,0)，代入得到0=a(2-1)^2+k，即0=a+k。

解得a=-2，k=2。

因此，二次函数的解析式为y=-2(x-1)^2+2。

4. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为A(-2,0)和B(4,0)，且抛物线经过点(1,3)，求抛物线的解析式。

答案：设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)。

将点(1,3)代入，得到3=a(1+2)(1-4)，解得a=-1/3。

因此，抛物线的解析式为y=-1/3(x+2)(x-4)。

5. 二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点(-1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。

二次函数已知两点求解析式二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学建模和解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍如何利用已知的两个点来求解二次函数的解析式。

假设我们已知二次函数上的两个点，分别为点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们的目标是求解出这个二次函数的解析式。

首先，我们可以利用已知的两个点来建立方程组。

根据二次函数的一般式y = ax² + bx + c，我们可以得到以下两个方程：1. 代入点A的坐标得到方程1：y1 = ax1² + bx1 + c2. 代入点B的坐标得到方程2：y2 = ax2² + bx2 + c接下来，我们需要解这个方程组。

首先，我们可以将方程1和方程2相减，消去c，得到方程3：(y2 - y1) = a(x2² - x1²) + b(x2 - x1)然后，我们可以继续消去a，得到方程4：(y2 - y1 - b(x2 - x1)) = (x2² - x1²)b现在，我们得到了一个关于b的方程，我们可以通过解这个方程得到b的值。

将方程4整理一下，得到方程5：b = (y2 - y1 - (x2² - x1²)b)/(x2 - x1)接下来，我们将b的值代入方程1或方程2中，解得c的值。

假设我们使用方程1来代入，得到方程6：c = y1 - ax1² - bx1最后，我们将a、b、c的值代入二次函数的一般式，得到这个二次函数的解析式。

综上所述，我们可以通过已知的两个点来求解二次函数的解析式。

按照以上步骤，我们依次求解出b和c的值，然后代入一般式，即可得到所求解析式。

本文通过详细的步骤介绍了如何利用已知的两个点来求解二次函数的解析式。

希望本文对你理解和应用二次函数有所帮助。

如果有任何问题，请随时提问。

二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b 或b =(舍)， ∴二次函数解析式为y =27x +;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b 舍)或b (舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =2或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =27x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2=4 ,4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a-，24b a -）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a -=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a+)2+1−2(1)4a a +， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C与直线y3=x-3 除顶点外的另一交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，由2(2)13y xy x⎧=--⎨=-⎩，解得x=2或x=3，∴m的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C与直线l都过点a（h，-1）．第8题解图②当0＜a≤1时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数点，即当x=h+3时，y2＞y1恒成立．∴k（h+3）-kh-1＞a（h+3-h）2-1，整理得：k＞3a．又∵0＜a≤1，所以0＜3a≤3，所以k＞3．9.已知二次函数23 2y ax bx=+-的图象与y轴交于点B，（1）若二次函数的图象经过点A（1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线x=1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a，当x>n时，y随x的增大而增大，请求出n的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x=-1,且直线y=2x-2与直线l也关于直线x=-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l的上方，在1<x<2这一段位于直线y=2x-2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a bba⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a -< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。