二次函数y=ax2的图象和性质练习题(含答案)

人教版2022-2023学年九年级数学上册 二次函数y=ax^2的图象和性质练习题学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．对于二次函数y ＝x 2-4x -1的图象，下列叙述正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝2C ．顶点坐标为（-2，-5）D ．当x ≥2时，y 随x 增大而减小2．一次函数y kx k =+与二次函数2y ax =的图象如图所示，那么二次函数2y ax kx k =--的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，正方形OABC 的边长为2，OC 与y 轴正半轴的夹角为30°，点A 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为（ ）A ．3-B ．C ．D ．13-4．已知：10a -<<，且点()()()1232,,,,2,a y a y a y -+都在函数2y x 的图像上，那么123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．321y y y <<D ．312y y y <<5．抛物线y ＝2x 2与y ＝－2x 2相同的性质是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．对称轴是x 轴6．已知226A x x n =++，222423B x x n =+++，下列结论正确的个数为( ) ①若226A x x n =++是完全平方式，则3n =±； ①B －A 的最小值是2；①若n 是0A B +=的一个根，则2216549n n +=； ①若()()202220192A A --=，则()()22202220194A A -+-= A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,5P ，则a 的值为（ ） A ．54B ．54-C ．45D ．45-8．如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点1,0对称轴为直线1x =．则下列结论：①0abc >；①20a b +=；①函数2y ax bx c =++的最大值为4a -；①若关于x 的方数21ax bx c a ++=+无实数根，则105a -<<．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x 轴的直线2y =，与二次函数2y x ，2y ax =分别交于A 、B 和C 、D ，若2CD AB =，则a 为（ ）A ．4B ．14C ．2D ．1210．已知点（1，y 1），（2，y 2）都在函数y ＝﹣x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1，y 2大小不确定二、填空题11．已知抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，4），则当x ≤0时，y 随x 的增大而 _____． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P ，点()3,2Q ，如果二次函数2y ax =的图象与线段PQ 有交点，那么a 的取值范围为__________． 13．如果函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，那么m =____．14．如图，点A 是y 轴正半轴上一点，直线AC 平行于x 轴，分别交抛物线21(0)y x x =≥与22(0)2x y x =≥于,B C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图像于点D ，直线DE AC ∥，交2y 的图像于点E ，则DEAB=_____．15．已知0a <，二次函数2y ax =-的图象上有三个点()()()1232,,1,,3,A y B y C y -，请比较123,,y y y 的大小：___________．（用“＜”连接） 三、解答题16．如图，已知抛物线26y ax bx +＝＋经过A (-1,0)，B (3,0)两点，C 是抛物线与y 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．17．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．参考答案：1．B【分析】根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：①224125y x x x =--=--（）， ①该函数图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为（2，-5）， ①当2x ≥时，y 随x 的增大而增大， 故选项B 符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．B【分析】由二次函数2y ax =的图象知：开口向上，0a >，一次函数y kx k =+图象可知0k >，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：由二次函数2y ax =的图象知：开口向上，0a >，一次函数y kx k =+图象可知0k >，∴二次函数2y ax kx k =--的图象开口向上，对称轴2kx a-=-在y 轴的右侧，交y 轴的负半轴，①B 选项正确， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 3．D【分析】过点C 、A 分别作CD ①x 轴，AE ①x 轴，垂足分别为D 、E ，可得①COD ①①OAE ，在Rt COD 中，由①COD =60°， 可得①OCD =30°，从而得到112OD OC == ，CD =，进而得到1OE AE == ，可得到点)1A- ，即可求解．【详解】解：如图，过点C 、A 分别作CD ①x 轴，AE ①x 轴，垂足分别为D 、E ，根据题意得①AOC =90°，OA =OC =2，①COD =90°-30°=60°， ①①AOE +①COD =90°， ①CD ①x 轴，AE ①x 轴， ①①CDO =①OEA =90°， ①①AOE +①OAE =90°， ①①COD =①OAE ， ①①COD ①①OAE ， ①AE =OD ，OE =CD ， 在Rt COD 中，①COD =60°， ①①OCD =30°，①112OD OC == ，①CD =，①1OE AE == ，①点)1A - ，把)1A-代入()20y ax a =<，得：21a -=⨯，解得：13a =- ．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到①COD ①①OAE 是解题的关键． 4．B【分析】计算对应的函数值，后作差比较大小，判断即可． 【详解】①点()()()1232,,,,2,a y a y a y -+都在函数2yx 的图像上，①221(2)44y a a a =-=-+，22y a =，223(2)44y a a a =+=++，①10a -<<，①-4a ＞0，-4a +4＞0，4a ＜0，4a +4=4（a +1）＞0，①22324444y y a a a a -=++-=+＞0，223144448y y a a a a a -=++-+-=＜0， ①31y y <，23y y <， ①231y y y <<， 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确进行作差进行实数大小的比较是解题的关键． 5．B【分析】根据二次函数的性质即可判断．【详解】解：抛物线22y x =的开口向上，对称轴为y 轴，有最低点； 抛物线22y x =-开口向下，对称轴为y 轴，有最高点； 故抛物线22y x =与22y x =-相同的性质是对称轴都是y 轴， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 6．B【分析】①利用完全平方式求解；①利用整式的加减运算和配方法求解；①利用求根公式和完全平方公式求解；①利用完全平方公式求解． 【详解】解：①①A =x 2+6x +n 2是完全平方式， ①n =±3，故结论正确； ①①B -A=2x 2+4x +2n 2+3-（x 2+6x +n 2） =x 2-2x +n 2+3 =（x -1）2+n 2+2， 而（x -1）2+n 2≥0，①B -A ≥2，①B -A 的最小值是2，故结论正确；①①A +B =x 2+6x +n 2+2x 2+4x +2n 2+3=3x 2+10x +3n 2+3， 把x =n 代入3x 2+10x +3n 2+3=0， 得3n 2+10n +3n 2+3=0，即6n 2+10n +3=0，解得n =当n =1102,3n n +==- 22211100644(2)4499n n n n ∴+=+-=-=当n =11023n n +==- 22211100644(2)44;99n n n n ∴+=+-=-=故结论错误；①①（2022-A +A -2019）2 =（2022-2019）2=（2022-A ）2+（A -2019）2+2（2022-A ）（A -2019） =（2022-A ）2+（A -2019）2+2×2 =9，①（2022-A ）2+（A -2019）2=5；故结论错误； 故选B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键． 7．A【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a 的值． 【详解】解：二次函数2y ax =的图象经过点(2,5)P ，54a ∴=，解得54a =． 故选：A ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．8．C【分析】由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba-=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b += 图象与y 轴的交点为正半轴，则c ＞0，由此可知abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，计算出函数图象与x 轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：()()12y a x x x x =--，将交点坐标代入得化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，、21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba-=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b +=故①正确， ①图象与y 轴的交点为正半轴， ①c ＞0，则abc ＜0，故①错误， 由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，由图象可知函数与x 轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x =1，故函数图象与x 轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：()()12y a x x x x =--， 将交点坐标代入得：()()13y a x x =+-， 故化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，故①正确，21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，故①正确， 则①①①正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 9．B【分析】先求出点A 、B 的坐标由此得到AB 的长，由此得到CD 的长，点D 的坐标，代入解析式即可得到答案．【详解】解：如图，设直线AB 交y 轴于点E ， ①直线2y =与二次函数2yx 交于A 、B ，①当2y =时，2=2x ，得x =①2),(2,2)A B ，①AB = ①2CD AB =，①CD由二次函数的对称性可得CE=DE ①D（，2），将点D 的坐标代入2y ax =，得8a =2，解得a =14，故选：B ．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键． 10．B【分析】分别求出1y 和2y 的值即可得到答案．【详解】解：①点（1，y 1），（2，y 2）都在函数y ＝﹣x 2的图象上，①2111y =-=-，2224y =-=-，①12y y >，故选B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，正确求出1y 和2y 是解题的关键．11．减小【分析】根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性．【详解】解：①抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，4），①4＝4a ，即a ＝1；①a ＝1＞0，①抛物线开口向上，①对称轴x ＝0，①当x ≤0时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小【点睛】本题主要考查了二次函数()20y ax a =≠ 的图象和性质，熟练掌握二次函数()20y ax a =≠ 的图象和性质是解题的关键．12．292a ≤≤ 【分析】线段PQ 在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大|a|越小，当2y ax =经过点()3,2Q 求出a 的最小值；当2y ax =经过点()1,2P 求出a 的最大值．【详解】解：由题意可知：线段PQ 在第一象限，当a ＜0时开口向下，显然2y ax =的图象与线段PQ 没有交点；当开口向上时，由抛物线性质“开口越大|a|越小”可知：当2y ax =经过点()3,2Q 时，a 有最小值，此时29a =，解出29a =， 当2y ax =经过点()1,2P 时，a 有最大值，此时2a =，解出2a =，故a 的取值范围为：292a ≤≤．【点睛】本题考查抛物线的性质：a 的正负决定抛物线的开口方向，|a |决定抛物线的开口大小，|a |越大，开口越小；|a |越小，开口越大．13．2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m 的值．【详解】①函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，①m 2−m ＝2，（m−2）（m ＋1）＝0，解得：m 1＝2，m 2＝−1，①m ＋1≠0，①m≠−1，故m ＝2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m 的方程是解题关键．14．22 【分析】设2,,2m C m 再分别求解,,DE AB 从而可得答案. 【详解】解：设2,0,2m C m m 2,,2m OAAC m 22,,22BB m y x m 2,2AB m DC y ∥轴，2,,D D x m y mDE AC ∥，2,E y m 则22,2x m 2,Ex m 221,DE m m m12 2.2m DEAB故答案为：2【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形，熟练的应用函数图象上点的坐标满足函数的解析式建立方程是解本题的关键.15． y 2< y 1< y 3【分析】二次函数的抛物线开口向上，对称轴为y 轴，根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．【详解】解：①二次函数2y ax =-（a ＜0），①-a >0，①该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y 轴．①()()()1232,,1,,3,A y B y C y -为二次函数y=ax 2-3ax+c （a ＜0）的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴y 轴的距离远近顺序为：（3，y 3）、（-2，y 1）、（1，y 2），①三点纵坐标的大小关系为：y 2< y 1< y 3．故答案为：y 2< y 1< y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．16．(1)2246y x x =-++(2)2327324S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0＜m ＜3)，当m =32时，△PBC 的面积取得最大值，最大值为274【分析】(1)应用待定系数法将A (-1，0)，B (3，0)代入26y ax bx +＝＋中，可得609360a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解方程组即可得出答案；(2)过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，如图，当x =0时代入二次函数解析式2246y x x =-++=6，即可算出点C 的坐标．设直线BC 的解析式为y =kx +c ，把B (3,0)，C (0,6)代入y =kx +c 中，求出k ，b 的值即可算出直线BC 的解析式，根据点P 在抛物线上可设的坐标为(m ，2246m m -++)，则点F 在直线BC 上可设坐标为(m ，-2m +6)，即可算出PF =2246m m -++-(-2m +6)，再由()212632PBC S m m =⨯-+⨯=239m m -+=2327324m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当m =32时，△PBC 的面积取得最大值点P (m ，n )在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，即可算出m 的取值范围．（1）解：将A (-1,0)，B (3,0)代入26y ax bx ++＝中，得：609360a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：24a b =-⎧⎨=⎩， ①抛物线的解析式为2246y x x =-++；（2）解：过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，如图所示，由(1)知：当x =0时，y =6，①点C 的坐标为(0，6)；设直线BC 的解析式为y =kx +c ，把B (3，0)，C (0，6)代入y =kx +c 中，得：306k c c +=⎧⎨=⎩，解得：26k c =-⎧⎨=⎩， ①直线BC 的解析式为y =-2x +6．设点P 的坐标为(m ,2246m m -++)，则点F 的坐标为(m ,-2m +6)，①PF =2246m m -++-(-2m +6)=226m m -+， ①12PBC S PF OB =⋅ ①S =()212632m m ⨯-+⨯=239m m -+ =2327324m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ①点P (m ，n )在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，①0＜m ＜3． 故2327324S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0＜m ＜3)， ①-3<0，①当m =32时，①PBC 的面积取得最大值，最大值为274． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值的计算方法进行求解是解决本题的关键．17．（1）a =-1，b =-1；（2）y =-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x =0；（3）x ＜0；（4）【分析】（1）把(1，b )代入直线y =2x -3中，解得b 的值，得到交点坐标是(1，-1)，再把交点坐标代入函数y =ax 2即可解题；（2）由（1）中结论得到抛物线解析式为y =-x 2，再根据抛物线的性质解题；（3）根据抛物线的图象性质解题：当a <0时，抛物线图象开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大；（4）联立抛物线y =-x 2与直线y =-2成方程组，解方程组即可解得点A(，-2)，B-2)，再解得AB 的长为2，最后根据三角形面积公式解题．【详解】解：（1）将x =1，y =b 代入y =2x -3，得b =-1，所以交点坐标是(1，1-)， 将x =1，y =1-代入y =ax 2，得a =1-，所以a =1-，b =1-；(2)抛物线的解析式为y =-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x =0(即y 轴)；(3) a =1-<0，抛物线图象开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，即当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y =- 2与抛物线y =-x 2相交于A 、B 两点，抛物线顶点为O (0，0)．由22y y x =-⎧⎨=-⎩，得112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①A (，-2)，B -2)①AB(，|-2|=2①122AOB S ∆=⨯= 【点睛】本题考查一次函数与抛物线综合题，是重要考点，涉及抛物线与一元二次方程、一次函数解析式、抛物线的图象与性质、三角形面积等知识，掌握相关知识是解题关键．。

初中数学：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象及特征练习（含答案）一、选择题1．关于二次函数y＝12x2的图象,下列说法中错误的是链接学习手册例1归纳总结( )A．它的形状是一条抛物线B．它的开口向上,且关于y轴对称C．它的顶点在原点处,坐标为(0,0)D．它的顶点是抛物线的最高点2．已知二次函数y＝－2x2,则下列各点不在该函数图象上的是( ) A．(1,－2) B．(0,0)C．(－2,2) D．(2,－4 2)3．若抛物线y＝(2m－1)x2的开口向下,则m的取值范围是( )A．m<0 B．m<1 2C．m>12D．m>－124．抛物线y＝2x2,y＝－2x2,y＝12x2的共同特征是链接学习手册例1归纳总结( )A．开口向上B．对称轴是y轴C．都有最高点D．图象不是位于x轴上方就是位于x轴下方5．若抛物线y＝ax2经过点P(1,－2),则它也经过点( )A．P1(－1,－2) B．P2(－1,2)C．P3(1,2) D．P4(2,1)6．在同一直角坐标系中,函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax(a≠0)的大致图象可以是图K－2－1中的( )图K－2－17．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图K－2－2所示的平面直角坐标系,其函数表达式为y＝－125x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度AB为( )图K－2－2A．－20 m B．10 mC．20 m D．－10 m二、填空题8．抛物线y＝4x2的开口方向________,顶点坐标是________,对称轴是________；抛物线y＝－14x2的开口方向________,顶点坐标是________,对称轴是________.9．若抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同,则a＝________．10．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图K－2－3所示,则k的取值范围为________．图K－2－311．请写出与二次函数y＝－5x2的图象关于x轴对称的图象的函数表达式：________．12．已知二次函数y＝13x2的图象如图K－2－4所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2,则△AOB的面积为________．图K－2－413．如图K－2－5,边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是________．图K －2－514．如图K －2－6,垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ,B 两点,过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ,D ,过点B 作EF ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ,F ,则S △OFB S △EAD＝________．图K －2－6三、解答题15．已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象经过点(－2,4)． (1)求a 的值,并写出这个二次函数的表达式；(2)画出这个二次函数的图象,并直接写出它的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置．16．已知一个正方形的周长为C cm,面积为S cm2.(1)求S与C之间的函数表达式；(2)画出所求函数的图象；(3)求当S＝4时该正方形的周长．17．某涵洞是抛物线形,它的横断面如图K－2－7所示．现测得水面宽AB＝1.6 m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m.(1)在图中直角坐标系内,求涵洞所在抛物线的函数表达式；(2)有一艘宽为1 m,高为1 m的小舟,问该小舟能否通过这个涵洞？请通过计算说明理由．图K－2－7综合探究如图K－2－8,在平面直角坐标系中,A是抛物线y＝12x2上的一个动点,且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E,点B的坐标为(0,2),直线AB交x轴于点C,点D与点C关于y轴对称,直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为m,△BDE的面积为S.(1)当m＝2时,求S的值．(2)求S关于m(m≠2)的函数表达式．(3)①若S＝3时,求AFBF的值；②当m＞2时,设AFBF＝k,猜想k与m的数量关系并证明．图K－2－8[课堂达标]1．[解析] D ∵抛物线y＝12x2中二次项系数为12,∴此抛物线开口向上,顶点坐标为(0,0),它的顶点是抛物线的最低点．2．[解析] C 分别把四个选项中的坐标代入函数表达式检验．3．[解析] B ∵抛物线的开口向下,∴2m－1<0,∴m<1 2 .4．[答案] B5．[答案] A6．[全品导学号：63422188][解析] C 在同一直角坐标系中,a值的正、负情况应保持一致．根据图象知：A中直线不是y＝ax的图象,B和D中两个函数的a的符号不一致,故不正确．只有C中两个函数的a值相同,都为负数．故选C.7．[解析] C 根据题意知点B的纵坐标为－4.把y＝－4代入y＝－125x2,得x＝±10,∴A(－10,－4),B(10,－4),∴AB＝20.即水面宽度AB为20 m．故选C.8．[答案] 向上(0,0) y轴向下(0,0) y轴9．[答案] 2或－210．[答案] k＞－1[解析] 由抛物线的开口方向向上,可得k＋1＞0,解得k＞－1.故答案是k＞－1. 11．[答案] y＝5x212．[答案] 8 3[解析] 由抛物线的对称性可知AB＝4,令x＝2,则y＝13×22＝43,所以S△AOB＝12×4×43＝83.13．答案] 2[解析] 根据抛物线的轴对称性可知图中阴影部分的面积＝12×2×2＝2.14．[答案] 1 6[解析] 设点A,B的横坐标为a,则点A的纵坐标为a2,点B的纵坐标为a2 4.∵BE∥x轴,∴点F的纵坐标为a2 4.∵F是抛物线y＝x2(x≥0)上的点,∴点F的横坐标为x＝y＝12 a.∵CD∥x轴,∴点D的纵坐标为a2.∵D是抛物线y＝x24(x≥0)上的点,∴点D的横坐标为x＝4y＝2a,∴AD＝a,BF＝12a,CE＝34a2,OE＝14a2,∴S △OFBS △EAD ＝12BF·OE 12AD·CE＝18×43＝16.15．解：(1)把(－2,4)代入y ＝ax 2,得4＝(－2)2·a, ∴a ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2.(2)画图略,这个二次函数图象的顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴,开口方向向上,除顶点外图象位于x 轴的上方．16．[解析] (1)由该正方形的周长求出其边长,然后求出其面积的表达式；(2)根据函数表达式画出图象；(3)当S ＝4时,根据函数表达式求出该正方形的周长,从而得解．解：(1)S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫C 42＝116C 2.(2)如图所示．(3)当S ＝4时,由S ＝116C 2,得4＝116C 2,解得C ＝8或C ＝－8(不合题意,舍去),∴C ＝8, ∴该正方形的周长为8 cm.17．[解析] 由于抛物线的顶点为原点,可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2.由于水面宽AB ＝1.6 m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m,因此A(－0.8,－2.4),B(0.8,－2.4),把其中一个点的坐标代入,可求得a 的值,即得函数表达式．解：(1)∵抛物线的顶点为原点,∴可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2.∵水面宽AB ＝1.6 m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m, ∴A(－0.8,－2.4),B(0.8,－2.4)．将点A 或点B 的坐标代入函数表达式,得－2.4＝0.82a,解得a ＝－154,∴抛物线的函数表达式为y ＝－154x 2.(2)当x ＝0.5时,y ＝－1516.∵2.4－1516＝11780(m)＞1 m,∴该小舟能通过这个涵洞．[素养提升]解：(1)∵点A 在抛物线y ＝12x 2上,AE ⊥y 轴且AE ＝m,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2.当m ＝2时,A(2,1)．又B(0,2),∴直线AB 的函数表达式为y ＝－22x ＋2, ∴C(22,0),∴OC ＝2 2.∵点D 与点C 关于y 轴对称,∴OD ＝OC ＝22,∴S ＝12BE·OD＝ 2.(2)(Ⅰ)当0<m<2时(如图①),同(1)得过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2,B(0,2)的直线的函数表达式为y ＝m 2－42m x ＋2,∴OC ＝4m4－m 2＝OD,∴S ＝12BE·OD＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12m 2·4m4－m 2＝m ；(Ⅱ)当m>2时(如图②),同(Ⅰ)得S ＝12BE·OD＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－2·4mm 2－4＝m.由(Ⅰ)(Ⅱ)得S ＝m(m>0,m≠2)．(3)①连结AD,如图③.∵S ＝3＝m,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. 设S△ADF S △BDF ＝S△AEF S △BEF＝AFBF ＝k,∴S △ADF ＝kS △BDF ,S △AEF ＝kS △BEF , ∴S △ADE S △BDE ＝S△ADF －S △AEF S △BDF －S △BEF ＝k （S △BDF －S△BEF ）S △BDF －S △BEF＝k,∴AFBF＝k＝S△ADES△BDE＝12×3×323＝34.②k与m之间的数量关系为k＝14m2.证明：连结AD,如图④.∵S△ADF S△BDF ＝S△AEFS△BEF＝AFBF＝k,∴S△ADF ＝kS△BDF,S△AEF＝kS△BEF,∴S△ADE S△BDE ＝S△ADF＋S△AEFS△BDF＋S△BEF＝k（S△BDF＋S△BEF）S△BDF＋S△BEF＝k,∴k＝S△ADES△BDE ＝12m·12m2m＝14m2.。

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1．在同一直角坐标系中作出函数y＝x2，y＝2x2和y＝3x2的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝2x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝3x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．2．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－2x2和y＝－3x2的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝－x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－2x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－3x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．3．(1)抛物线y＝ax2的开口方向和开口大小由________决定，当a________0时，抛物线的开口向上；当a________0时，抛物线的开口向下；(2)抛物线y＝ax2的顶点坐标是( )，当a________0时，它是抛物线的最低点，即当x＝________时，函数取得最小值为________；当a________0时，它是抛物线的最高点，即当x＝________时，函数取得最大值为________；(3)抛物线y＝ax2的对称轴是________．4．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－x2＋2，y＝－x2－3的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝－x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－x2－3的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝－x2＋2，y＝－x2－3与抛物线y＝－x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝－x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝－x2＋2；把抛物线y＝－x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝－x2－3．5．填空(如果需要可作草图)：(1)抛物线y＝x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；(2)抛物线y=x2＋2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；(3)抛物线y＝x2－3的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝x2＋2，y＝x2－3与抛物线y＝x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝x2＋2；把抛物线y＝x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝x2－3．答案：1． (0，0) ，y轴，上；(0，0) ，y轴，上；(0，0) ，y轴，上；小．2． (0，0) ，y轴，下；(0，0) ，y轴，下；(0，0) ，y轴，下；小．3． (1) a，＞，＜；(2) (0，0) ，＞，0，0；＜，0，0；(3) y轴．4． (0，0) ，y轴，下；(0，2) ，y轴，下；(0，－3)，y轴，下；上，2；下，3．5． (1) (0，0) ，y轴，上；(2) (0，2) ，y轴，上；(3) (0，－3) ，y轴，上；上，2；下，3．思考·探索·交流1．把抛物线y＝x2沿y轴向上平移3个单位能得到抛物线y＝3x2吗？把抛物线y＝－x2沿y轴向下平移3个单位能得到抛物线y＝－3x2吗？答案：1．不能，不能．高频考点强化训练：三视图的有关判断及计算时间：30分钟 分数：50分 得分：________ 一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )2．(2016·贵阳中考)如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是【易错6】( )3．如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图( )4．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..5．一个长方体的主视图、俯视图如图所示(单位：cm)，则其左视图的面积为( )A ．36cm 2B ．40cm 2C ．90cm 2D ．36cm 2或40cm 2第5题图 第6题图6．(2016·承德模拟)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图和左视图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体个数可能有( )A ．8个B ．6个C ．4个D ．12个二、填空题(每小题4分，共16分)7．下列几何体中：①正方体；②长方体；③圆柱；④球．其中，三个视图形状相同的几何体有________个，分别是________(填几何体的序号)．8．如图，水平放置的长方体的底面是边长为3和5的长方形，它的左视图的面积为12，则长方体的体积等于________．9．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是________．乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..第8题图 第9题图 第10题图10．(2016·秦皇岛卢龙县模拟)由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x 的值为________，y 的值为________．三、解答题(10分)11．如图所示的是某个几何体的三视图． (1)说出这个几何体的名称；(2)根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．中考必考点强化训练专题：简单三视图的识别◆类型一 简单几何体的三视图1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..第1 题图 第2题图 第3题图 2．(2016·抚顺中考)如图所示几何体的主视图是( )3．(2016·南陵县模拟)如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是( )4．(2016·肥城市一模)如图所示的四个几何体中，它们各自的主视图与俯视图不相同的几何体的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2016·宁波中考)如图所示的几何体的主视图为( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..6．(2016·鄂州中考)一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是( )7．(2016·菏泽中考)如图所示，该几何体的俯视图是( )◆类型二 简单组合体的三视图8．(2016·黔西南州中考)如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是( )9．(2016·营口中考)如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，小明准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的主视图应该是( )10．(2016·日照中考)如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是( )11．(2016·烟台中考)如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..这个几何体的主视图和俯视图分别为( )。

专题2.8 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．8 二次函y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇） （专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值1．抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ） A ．（0，3），x ＝3B ．（0，﹣3），x ＝0C ．（3，0），x ＝3D ．（3，0），x ＝02．下列各点中，在抛物线24y x =-上的是（ ） A ．()1,3B ．()1,3--C ．()1,5-D ．()1,5--3．抛物线y ＝-3x 2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）． A ．向下，（0，-4） B ．向下，（0，4） C ．向上，（0，4）D ．向上，（0，-4）4．关于二次函数224y x =+，下列说法错误．．的是（ ） A ．它的图象开口方向向上 B ．它的图象顶点坐标为（0，4） C ．它的图象对称轴是y 轴D ．当0x =时，y 有最大值45．若在同一直角坐标系中，作23y x =，22y x =-，221y x =-+的图像，则它们（ ） A ．都关于y 轴对称 B ．开口方向相同C ．都经过原点D ．互相可以通过平移得到知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+2x ．点D （n ，y 1），E （3，y 2）在抛物线上，若y 1＜y 2，则n 的取值范围是（ ） A ．n ＞3或n ＜﹣1B ．n ＞3C ．n ＜1D ．n ＞3或n ＜17．已知函数y=x 2﹣2，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜2B ．x ＞0C ．x ＞﹣2D ．x ＜08．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是( ) A ．y x 1=-+ B ．2y x 1=-C ．1y x=D ．2y x 1=-+9．点11(0.5,)P y -，22(2.5,)Py ，33(5,)P y -均在二次函数22y x x =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>10．已知点()()()25,,521A m B m C m n --++,,,在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A ．2y x =+B ．25y x =--C ．25y x =+D ．2y x=-知识点三、二次函数()20y ax k a =+≠的图象11．2y ax k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数21(1)2(1)x x y x x⎧+≥-⎪=⎨<-⎪⎩则下列图像正确的是（ ）A ．B ．C．D．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）A．B．C．D．14．二次函数y＝－x2－1的图象大致是（）A．B．C．D．15．二次函数22=--的图象大致是（）y xA．B．C．D．知识点四、二次函数()20y ax k a =+≠的性质综合16．下列关于抛物线y ＝2x 2﹣3的说法，正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴是直线x ＝1C ．抛物线与x 轴有两个交点D ．抛物线y ＝2x 2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y ＝2（x ﹣2）2﹣317．二次函数22y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．当0x =时，函数的最大值是2-C ．抛物线的对称轴是直线2x =D ．抛物线与x 轴有两个交点18．关于二次函数y ＝﹣2x 2+1，以下说法正确的是（ ） A ．开口方向向上B ．顶点坐标是（﹣2，1）C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＝0时，y 有最大值﹣1219．二次函数221y x =-的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点1,1C ．抛物线的对称轴是直线1x =D ．抛物线与x 轴有两个交点20．关于二次函数221y x =-+，则下列说法正确的是（ ） A ．开口方向向上 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 C ．顶点坐标是（-2，1）D ．当x =0时，y 有最小值1知识点五、二次函数()20y ax k a =+≠图形与其他函数图象的判定21．直线y=ax+c 与抛物线y=ax 2+c 的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）A ．B ．C ．D ．22．函数ay x=与20()y ax a a =--≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．23．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A ．B ．C ．D ．24．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．25．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．26．在同一直角坐标系中2y ax b =+与()y ax b a 0,b 0=+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．27．点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >二、填空题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值28．抛物线223y x =--的开口方向_______，对称轴是_____，顶点坐标是_______． 29．通过_______法画出221y x =+和221y x =-的图像：通过图像可知：221y x =+的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．221y x =-的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．30．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．31．抛物线2y ax k =+的图象相当于把抛物线2y ax =的图象______（k ＞0）或______（k ＜0）平移______个单位．32．一抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性33．已知点P （﹣2，y 1）和点Q （﹣1，y 2）都在二次函数2y x c =-+的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是_____．34．已知二次函数y ＝－x 2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________. 35．当m=______时抛物线22(1)9m m y m x +=++开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．36．已知二次函数y ＝2x 2+bx ，当x ＞1时，y 随x 增大而增大，则b 的取值范围为______． 37．设点（﹣1，y 1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y=﹣x 2+a 上的三点，则y 1、y2、y3的从小到大排列为__________. 三、解答题38．在同一直角坐标系中画出二次函数2113=+y x 与二次函数2113=--y x 的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 39．如图，已知抛物线24y x =-+．（1）该抛物线顶点坐标为________；（2）在坐标系中画出此抛物线y 的大致图像（不要求列表）；（3）该抛物线24y x =-+可由抛物线2y x =-向________平移________个单位得到；（4）当0y >时，求x 的取值范围． 40．已知二次函数2y x 4x =-+．()1求函数图象的对称轴和顶点坐标；()2求这个函数图象与x 轴的交点坐标．参考答案：1．B【分析】按照二次函数y ＝ax 2+k 顶点坐标（0，k ），对称轴y 轴即可求解． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣3，∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y 轴； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2．B【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：∵当x=-1时，y=x 2-4=-3； 当x=1时，y=x 2-4=-3；∵点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式． 3．B【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】抛物线y ＝-3x 2＋4 ∵30-<∵抛物线y ＝-3x 2＋4开口向下当0x =时，y ＝-3x 2＋4取最大值，即y ＝4 ∵顶点坐标为()0,4 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． 4．D【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断． 【详解】∵224y x =+，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝0，顶点为（0，4），当x ＝0时，有最小值4， 故A 、B 、C 正确，D 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a （x−h ）2＋k 中，对称轴为x ＝h ，顶点坐标为（h ，k ）． 5．A【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．【详解】A.因为23y x =，22y x =-，221y x =-+这三个二次函数的图像对称轴为0x =，所以都关于y 轴对称，故选项A 正确，符合题意；B.抛物线23y x =，22y x =-的图象开口向上，抛物线221y x =-+的图象开口向下，故选项B 错误，不符合题意；C.抛物线22y x =-，221y x =-+的图象不经过原点，故选项C 错误，不符合题意；D.因为抛物线23y x =，22y x =-，221y x =-+的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D 选项错误，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键． 6．A【分析】由抛物线的对称轴找到E 点的对称点，抛物线开口向下，y 1＜y 2时结合图象求解； 【详解】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+2x 的对称轴为x ＝1， E （3，y 2）关于对称轴对称的点（﹣1，y 2）， ∵抛物线开口向下，∵y 1＜y 2时，n ＞3或n ＜﹣1， 故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E 点关于对称轴的对称点是解题的关键． 7．D【详解】解：∵y =x 2-2，∵抛物线开口向上，对称轴为y 轴，∵当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y =ax 2+c 的图象的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键．8．B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断【详解】解：A 、y x 1=-+，一次函数，k ＜0，故y 随着x 增大而减小，错误；B 、2y x 1=-（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，正确；C 、1y x=，k =1＞0，分别在一、三象限里，每个象限内y 随x 的增大而减小，错误； D 、2y x 1=-+（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，错误． 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想是解答本题的关键.9．D【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．【详解】解：∵()22211y x x x =-+=--+，∵抛物线对称轴为直线1x =，∵10a =-<，∵1x <时，y 随x 的增大而增大，∵()222.5,P y 的对称点为()20.5,y -，且50.51-<-<，∵123y y y =>．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．10．B【分析】由点A （-5，m ），B （5，m ）的坐标特点，于是排除选项A 、B ；再根据A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a ＜0，可得结果．【详解】解：∵A （-5，m ），B （5，m ），∵点A 与点B 关于y 轴对称；由于y =x +2不关于y 轴对称，2y x=-的图象关于原点对称，因此选项A 、D 错误； ∵n 2＞0，∵m +n 2+1＞m ；由A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， 对于二次函数只有a ＜0时，满足条件，∵B 选项正确，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．11．D【分析】根据二次函数的对称轴进行判断即可．【详解】二次函数2y ax k =+的对称轴为0x =观察四个选项可知，只有选项D 的图象符合故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性），掌握二次函数的图象与性质是解题关键．12．C【分析】根据所给解析式判断出正确函数图象，注意自变量的取值范围．【详解】A 选项错误，两个函数图象都不符合自变量的取值范围；B 选项错误，反比例函数的图象不符合自变量的取值范围；C 选项正确；D 选项错误，当=1x -时，图象不应该是一条直线．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图象．13．C【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A 、B 、D ，故选C ．【详解】解：A选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，A=48b ac错误；B选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；=48b acC选项，由函数解析式，2=48-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；b acD选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．=48b ac【点睛】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个数，判断图像的形状．14．C【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】二次函数y＝－x2－1的图象开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，故选项C符合题意．【点睛】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．15．D【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴即可判断.【详解】由题意可知：a＝－1，所以开口向下，顶点坐标为（0，－2），故答案选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式来判断该函数的图象，解本题的要点在于熟知二次函数图象的基本性质.16．C【分析】根据二次函数的性质及二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.【详解】∵2>0，∵抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，∵对称轴是y轴，故B选项错误，∵-3<0，抛物线开口向上，∵抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.17．D【分析】根据二次函数22y x =-的图象和性质，逐一判断选项，即可.【详解】∵a=1>0，∵抛物线开口向上，故A 错误，∵当0x =时，函数的最小值是2-，∵B 错误，∵抛物线的对称轴是y 轴，∵C 错误，∵∆=224041(2)80b ac -=-⨯⨯-=>，∵抛物线与x 轴有两个交点，∵D 正确，故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.18．C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2x 2+1，∵该函数图象开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为（0，1），故选项B 错误；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确；当x ＝0时，y 有最大值1，故选项D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．D【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B 进行判断；利用方程2x 2-1=0解的情况对D 进行判断．【详解】A. a =2,则抛物线y =2x 2−1的开口向上，所以A 选项错误；B. 当x =1时,y =2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B 选项错误；C. 抛物线的对称轴为直线x =0，所以C 选项错误；D. 当y =0时,2x 2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.20．B【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.【详解】因为20a =-<，所以二次函数图像开口向下，故A 选项错误；因为抛物线开口向下，对称轴为y 轴，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故B 选项正确；二次函数221y x =-+的顶点为（0,1），故C 选项错误；因为二次函数开口向下，对称轴为y 轴，所以当x =0时，y 有最大值1，故D 选项错误. 故选B.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键.21．A【详解】两图象与y 轴的交点相同,故排除了B 、D,若a>0,选A,C 中两个函数中的a 符号相反.22．B【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.【详解】解：当a>o 时，函数a y x=的图象位于一、三象限，20()y ax a a =--≠的开口向下，交y 轴的负半轴，选项B 符合；当a<o 时，函数a y x=的图象位于二、四象限，20()y ax a a =--≠的开口向上，交y 轴的正半轴，没有符合的选项.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.23．C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题．【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）． 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解决此题的关键．24．C【详解】解：二次函数y =x 2+1中，a =1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)，符合条件的图象是C.故选C.25．B【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．【详解】解：二次函数y ＝x 2＋1中，a ＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），符合条件的图象是B ．故选B ．【点睛】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．26．A【分析】本题由一次函数y ax b =+图象得到字母系数的正负，再与二次函数2y ax b =+的图象相比较看是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a 0<，b 0<，由直线可知，a 0<，b 0<，故本选项正确； B 、由抛物线可知，a 0<，b 0>，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a 0>，b 0<，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； D 、由抛物线可知，a 0>，b 0>，由直线可知，a 0<，b 0>，故本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象.解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．27．D【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有A ．若12y y =，则12x x =±，原说法错误；B ．若12x x =-，则12y y =，原说法错误；C ．若120x x <<，则12y y <，原说法错误；D ．若120x x <<，则12y y >，原说法正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．28． 下 y 轴 （0，－3）【解析】略29． 描点 向上 y 轴 ()0,1 向上 y 轴 ()0,1-【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可．【详解】解：通过描点法画出221y x =+和221y x =-的图像，通过图像可知：221y x =+的开口方向向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,1)，221y x =-的开口方向向上，对称轴y 轴，顶点坐标(0,1)-，故答案为：描点；向上；y 轴；()0,1；向上；y 轴；()0,1-．【点睛】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键．30．23y x =-【分析】根据开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同可得1a =，再利用顶点坐标即可写出解析式．【详解】∵抛物线与2y x =-的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）∵设抛物线解析式为：2y x k =+，代入顶点坐标（0，-3）得：3k =-∵解析式为23y x =-故答案为23y x =-．【点睛】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．31． 向上 向下 |k |【解析】略32．23(2)32y x =++ 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】抛物线的顶点为(2,3)-∴可设此抛物线的解析式为2(2)3y a x =++ 又此抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同 32a ∴= 则此抛物线的解析式为23(2)32y x =++ 故答案为：23(2)32y x =++． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 33．12y y <．【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】∵二次函数2y x c =-+的开口向下，对称轴为y 轴，∵当0x <时，y 随x 的增大而增大，∵21-<-，∵12y y <，故答案为：12y y <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．34．4.【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.【详解】∵在24y x =-+中：23x -≤≤，∵其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），∵其最大值为4.故答案为：4.【点睛】熟记“二次函数2(0)y ax k a =+≠的图象的顶点坐标为(0)k ，”是解答本题的关键.35． 1- y 轴 上升【分析】根据二次函数的指数是2列出方程求出m 的值，再根据抛物线开口方向向下可得10+<m ，然后求解即可．【详解】解：由题意得，222m m +=且10+<m ， 解得113m ，213m 且1m <-，∵1m =-对称轴是y 轴， ∵113130m∵在对称轴左侧部分是上升；故答案是：1-y 轴，上升．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，熟记性质和概念是解题的关键．36．b ≥﹣4【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．【详解】解：二次函数y ＝2x 2+bx 对称轴为直线x ＝﹣22⨯b ＝﹣4b ， ∵a ＝2＞0，x ＞1时，y 随x 增大而增大，∵﹣4b ≤1， 解得b ≥﹣4．故答案为：b ≥﹣4．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．37．y1>y2>y3【分析】由题意可得对称轴为y 轴，则（-1，y 1）关于y 轴的对称点为（1，y 1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．【详解】∵抛物线y=-x 2+a ，∵对称轴为y 轴，∵（-1，y 1）关于对称轴y 轴对称点为（1，y 1），∵a=-1＜0，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∵1＜2＜3，∵y 1＞y 2＞y 3，故答案为y 1＞y 2＞y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键.38．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.【详解】（1）解：如图：，2113=+y x 与2113=--y x 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴， 2113=+y x 与2113=--y x 图象的不同点是：2113=+y x 开口向上，顶点坐标是（0，1），2113=--y x 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：2113=+y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；2113=--y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.39．解：（1）(0,4)；（2）见解析；（3）上，4；（4）22x -<<．．【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；（4）结合函数图像，写出函数图像上x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）抛物线的对称轴为：x =-2b a=0 令x =0，y =4则顶点坐标为（0，4）；（2）由（1）得，抛物线与y 轴的交点为（0，4），令y =0，x =±2，则抛物线与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：（3）由上加下减的原则可得，y =-x 2向上平移4个单位可得出y =-x 2+4；（4）根据图像得，当y >0时，x 的取值范围为：-2<x <2．【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．40．（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，∵图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．。

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点诠释：j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()0y ax c c =+<抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质1．（•宁夏）已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题可先由一次函数y=ax 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax 2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax 2图象中a 的正负，再与一次函数比较．） 【答案】C ；【解析】A 、函数y=ax 中，a ＞0，y=ax 2中，a ＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a ），故A 错误；B 、函数y=ax 中，a ＜0，y=ax 2中，a ＞0，故B 错误；C 、函数y=ax 中，a ＜0，y=ax 2中，a ＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a ），故C 正确；D 、函数y=ax 中，a ＞0，y=ax 2中，a ＜0，故D 错误． 故选：C ．【总结升华】解此类题的基本方法有两种：方法一，根据选项逐个验证；方法二，分a ＞0和a ＜0两种情况讨论直接找答案.但要注意图象的交点情况. 举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．【答案】B.2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2aay ax +=的图象是开口向上的抛物线．【思路点拨】根据二次函数y=2ax （a ≠0）的图形和性质，结合草图解决问题. 【答案与解析】(1)由题意得，a-2＜0，解得a ＜2． (2)由题意得，3a-2＜0，解得23a <． (3)由题意得，1|2|2a +=-，解得152a =-，232a =-． (4)由题意得，220a a a ⎧+=⎨>⎩，解得a 1＝-2，a 2＝1，但a ＞0，∴a ＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围． 举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．【答案】-2.3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．【思路点拨】分别求出△A 0A 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3的边长，找出边长的变化规律. 【答案与解析】如图所示，作B 1C 1⊥y 轴，垂足为C 1． ∵△A 0A 1B 1为等边三角形，∴∠A 0B 1C 1＝30°．设A 0C 1＝a ，则A 0B 1＝2a ，B 1C 1＝3a ．∴B 1(3a ，a )， ∴22(3)3a a =，∴12a =，∴011A B =． 作B 2C 2⊥y 轴，设A 1C 2＝m ，则A 1B 2＝2m ，C 2B 2＝3m ， ∴2(3,1)B m m +． ∴221(3)3m m +=． ∴2m 2-m-1＝0，即(2m+1)(m-1)＝0，∴m ＝1或12-(舍)． ∴A 1B 2＝2．同理可求A 2B 3＝3，A 3B 4＝4，… ∴△A 2012B 2013A 2013的边长为2013．【总结升华】在△A 0A 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3中，运用勾股定理表示出B 1、B 2、B 3的坐标，利用抛物线解析式223y x =建立等式是关键. 类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质4.（•江阴市校级二模）关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ） A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3. 【答案】B. 【解析】A 、∵二次函数y=2x 2+3中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵抛物线的对称轴x=﹣=0，∴当x ＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，故本选项正确；C 、抛物线的对称轴为x=0，故本选项错误；D 、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，故本选项错误．故选B ．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y 轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．【答案】4.（提示：10-6=4.）5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【思路点拨】（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax 2+6，把点A （-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m ，即y=4.5时，求x 的值，再根据P 点坐标，勾股定理求PB 的值. 【答案与解析】解：（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax 2+6（a ＜0），∵点A （-4，0）或B （4，0）在抛物线上，∴0=a•（-4）2+6， 16a+6=0，16a=-6，38a =-．故抛物线的函数关系式为2368y x =-+. （2）过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，连接PB ，则PQ=4.5m ．将y=4.5代入2368y x =-+，得x=±2． ∴P （-2，4.5），Q （-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6， 从而|PB|=224.567.5m += 所以照明灯与点B 的距离为7.5m ．【总结升华】本题考查建系确定点的坐标，应用二次函数解决实际问题，建系的方法不唯一.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)my m x -=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23- 2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值 4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．（•市北区一模）在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =- D ．212y x = 二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. （•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ． 12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．（•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．【答案与解析】 一、选择题1.【答案】D ；【解析】依题意得m 2-10＝2且2+m ＜0，即m ＝±3m ＜-2，所以23m =-2．【答案】D ；【解析】由函数y=ax 2+c 的图象性质可得.3．【答案】D ；【解析】两条抛物线一个开口向上，有最小值，另一个开口向下，有最大值.4.【答案】C ；【解析】根据图象y=ax 2的性质，三个函数的顶点都是原点、对称轴都是y 轴、最低点都为0，由于a值不同，所以他们的图像形状不同.5.【答案】D ；【解析】A 、由一次函数y=kx+k 的图象可得：k ＞0，此时二次函数y=kx 2﹣kx 的图象应该开口向上，错误；B 、由一次函数y=kx+k 图象可知，k ＞0，此时二次函数y=kx 2﹣kx 的图象顶点应在y 轴的负半轴，错误；C 、由一次函数y=kx+k 可知，y 随x 增大而减小时，直线与y 轴交于负半轴，错误；D 、正确．故选：D ．6．【答案】C ；【解析】依题意知点(2，-2)在y ＝ax 2图象上，所以-2＝a ×22，12a =-．所以212y x =-． 二、填空题7．【答案】向下；y 轴；（0,0）.8．【答案】25y x =-+；【解析】根据平移规律：上加下减.9．【答案】a ＜0 ；【解析】∵x 2＜x 1＜0，y 2＜y 1，所以y 随x 的增大而增大，结合图象知，抛物线开口向下．10．【答案】43-. 【解析】当x=1时，y=ax 2=a ；当x=2时，y=ax 2=4a ，所以a ﹣4a=4，解得a=43-． 故答案为：43-． 11．【答案】y=3x 2+1或y=-3x 2+1.【解析】形状相同，说明a 相同，所以a=3±，再将顶点坐标（0，1）代入即可求出c.12．【答案】2π；【解析】根据抛物线的对称性，将x 轴下方的阴影翻到上方，正好形成一个半圆形，半圆的面积为21222ππ⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x 2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米， 故答案为：． 14.【解析】（1）∵1y x =+，∴令0y =，则1x =-，∴(1,0)A -，即抛物线C 的顶点坐标为(1,0)-，又抛物线C 是由抛物线22y x =-平移得到的，∴2a =-，∴抛物线C 的解析式为22(1)y x =-+．（2）由（1）知，抛物线C 的对称轴为直线1x =-．∵20a =-<，∴当1x >-时，y 随x 的增大而减小，又∵12112x x -<-<<，∴12y y >． 15.【解析】解：（1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表、描点、连线，图象如图： （2）根据图象得S=1cm 2时，正方形的周长是4cm ．（3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2．。

【一课一练】22.2二次函数y=ax 2的图象和性质(50分钟，共100分)班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______ 一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.设一圆的半径为r ，则圆的面积S =______，其中变量是_____.2.有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm 和6 cm ，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x <6)的纸条(如图1)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y =______，其中_____是自变量，_____是函数.图1 3.下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是__ ____(其中x 、t 为自变量).4.函数y =622--a a ax是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =__ _ 时，其图象开口向下.5.如图2，根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式：______.6.若抛物线y =ax 2经过点A (3，－9)，则其表达式为______.7.函数y =2x 2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.8.直线y =x +2与抛物线y =x 2的交点坐标是______. 二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ） A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x 10.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是（ ） A.a ≠0，b ≠0，c ≠0 B.a <0，b ≠0，c ≠0 C.a >0，b ≠0，c ≠0 D.a ≠011.函数y =ax 2(a ≠0)的图象与a 的符号有关的是（ ） A.顶点坐标 B.开口方向 C.开口大小 D.对称轴12.函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ） A.±2 B.－2 C.2 D.313. 自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 14.如图3平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是（ ）xA.y =23x 2 B.y =32x 2 C.y =34x 2 D.y =43x 2 15.下列结论正确的是（ ） A.y =ax 2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数16.在图4中，函数y =－ax 2与y=ax +b 的图象可能是（ ）yxyyCD图4三、考查你的基本功(共16分)17.(8分)已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？18.(8分)先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：(1)函数y =3x 2的最小值是多少？(2)函数y =－3x 2的最大值是多少？(3)怎样判断函数y =ax 2有最大值或最小值？与同伴交流.四、生活中的数学(共16分)19.(8分)如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.20.(8分)图6中动物身体的部分轮廓线呈抛物线形状，你还能找出类似的动物或植物吗？(最少举三个)图6 五、探究拓展与应用(共20分)21.(10分)二次函数y =－2x 2的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？作图看看.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？与同伴交流.22.(10分)已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y =31x 2的图象经过A 、B 两点. (1)请求出一次函数的表达式;(2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积.参考答案一、1.πr2S、r 2.(6－x)(8－x) x y 3.①④4.4 －25.y=－2x2(不唯一)6.y=－3x27.y轴 (0，0) 8.(2，4)，(－1，1)二、9.A 10.D 11.B 12.C 13.C 14.D 15.B 16.D三、17.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.18.解：(1)0 (2)0(3)当a>0时，y=ax2有最小值,当a<0时，y=ax2有最大值.四、19.解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).20.如：某些树的树冠、叶片等；动物中鸡的腹部、背部等.五、21.解：两个图象关于x 轴对称；整个图象是个轴对称图形.y =－2x 2 ⎪⎩⎪⎨⎧(0,0)顶点坐标轴对称轴开口方向向下yy =2x 2⎪⎩⎪⎨⎧(0,0) 顶点坐标轴对称轴开口方向向上y 22.解：(1)设A 点坐标为(3，m )；B 点坐标为(－1，n ). ∵A 、B 两点在y =31x 2的图象上, ∴m =31×9=3, n =31×1=31. ∴A (3，3),B (－1，31). ∵A 、B 两点又在y =ax +b 的图象上,∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=.31,33b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1,32b a∴一次函数的表达式是y =32x +1. (2)如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为(－23，0). ∴|DC |=23. S △ABC =S △ADC －S △BDC=21×23×3－21×23×31 =49－41=2.。

专题22.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．关于函数y=（500﹣10x ）（40+x ），下列说法不正确的是（ ） A ．y 是x 的二次函数 B ．二次项系数是﹣10 C ．一次项是100D ．常数项是200003．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三角形的周长c 与边长a 之间的关系D ．圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系 4．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．y=a 2x +bx+c B ．x 2+y -2=0C ．y 2-ax=-2D ．2x -y 2+1=0知识点二、二次函数的参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（ ） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．当函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ）A ．1a =B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =-7．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对8．下列结论正确的是（ ） A ．y=ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数知识点三、二次函数的解析式9．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（ ）A ．230(030)y x x x =-<<B ．230(030)y x x x =-+<C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（ ）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-++C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-11．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）模型的是（ ） A ．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B ．正方形周长与边长之间的关系 C ．正方形面积和正方形边长之间的关系 D ．圆的周长与半径之间的关系12．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（ ）A ．y ＝-10 x 2-560x+7350B ．y ＝-10 x 2+560x -7350C ．y ＝-10 x 2+350xD ．y ＝-10 x 2+350x -7350二、填空题知识点一、二次函数的判断13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列函数中：①y=－x 2；①y=2x ；①y=22+x 2－x 3；①m=3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).15．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．知识点二、二次函数的参数17．定义：由a ，b 构造的二次函数()2y ax a b x b =+++叫做一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax ＋b 叫做二次函数()2y ax a b x b =+++的“本源函数”（a ，b 为常数，且0a ≠）．若一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”是231y ax x a =-++，那么二次函数231y ax x a =-++的“本源函数”是______．18．如果函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，那么m =____．19．当m____________________________时，函数22(23)(2)y m m x m x m =--+-+是二次函数．20．点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________知识点三、二次函数的解析式21．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n 个叠放的图形中，小正方体木块总数m 与n 的解析式是______．22．如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，BE DF =．四边形AEGF 是矩形，矩形AEGF 的面积()2cm y 与BE 的长cm x ()010x <≤的函数关系是______．23．将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________． 24．二次函数()()y 412x x 3=-+-的一般形式2y ax bx c =++是________． 三、解答题25．已知函数y ＝(m 2－m )x 2＋(m －1)x ＋2－2m . (1)若这个函数是二次函数，求m 的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m 的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？26．已知函数()229123y k x kx =-++是关于x 的二次函数，求不等式141123k k -+≥-的解集．27．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y (台)与售价x (万元/台)之间存在函数关系：24y x =-+．（1）设这种摘果机一期销售的利润为1W (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？参考答案1．C解：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．2．C【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可.解：①y=（500﹣10x）（40+x）=-10x2+100x+20000，①y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000，①A、B、D正确，C错误.故选C.【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可.3．D【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；B、t=sv，当s≠0时，是反比例函数，错误；C、C=3a，是正比例函数，错误；D、S=13πR2，是二次函数，正确．故选D．【点拨】本题考查二次函数的定义．4．B解：利用二次函数的定义，可知：A.y=a2x+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；B.x2+y-2=0可变为y=2x+2，是二次函数，故此选项正确；C.y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误；D.x2-y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；故选B．5．A 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 解：由题意得：a ﹣1≠0，解得：a ≠1， 故选：A ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．D 【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 解：①函数21(1)23ay a x x +=-++ 是二次函数，①a -1≠0，2a 1+=2， ①a≠1，21a =， ①1a =-， 故选D ．【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．7．B 【分析】令x 的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可． 解：由题意得：m 2-6m -5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1， ①m=7， 故选：B ．【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0． 8．B 【分析】根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题． 解：A 、应强调a 是常数，a≠0，错误；B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．故选B．【点拨】本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义．9．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x （0＜x＜30）．故选：C．【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．10．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．解：每件的利润为（x-21），①y=（x-21）（350-10x）=-10x2+560x-7350．故选B．【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．11．C【分析】利用二次函数的性质：一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是长常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可．解：A、在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型；B 、正方形周长与边长之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax 2+bx+c模型；C 、正方形面积和正方形边长之间的关系，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c 模型；D 、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax 2+bx+c 模型．故选C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，建立二次函数的模型要从解析式，数值的变化和图象几个方面分析．12．B解：根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x -21）（350－10x ）=－10x 2＋560x －7350，故选B.13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．①① 【分析】一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可．解：①y ＝－x 2，二次项系数为－1，是二次函数；①y ＝2x ，是一次函数；①y ＝22＋x 2－x 3，含自变量的三次方，不是二次函数；①m ＝3－t －t 2，是二次函数. 故填①①．【点拨】本题考查二次函数的定义．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 判断一个函数是二次函数需要注意三点： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a 是否为0．15．①①① 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 解：y 是x 的二次函数的有①，①，①． 故答案是：①，①，①．【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）．16． 3 0 【分析】根据二次函数的定义解答即可．解：二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0． 故答案是：3；0．【点拨】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0．17．2-1y x =﹣【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数231y ax x a =-++的本源函数．解：由题意得3=++1=a b a b ⎧⎨⎩﹣解得=2=1a b ⎧⎨⎩﹣﹣①函数231y ax x a =-++的本源函数是2-1y x =﹣． 故答案为：2-1y x =﹣． 【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．18．2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m 的值．解：①函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，①m 2−m ＝2，（m−2）（m ＋1）＝0，解得：m 1＝2，m 2＝−1，①m ＋1≠0，①m≠−1，故m ＝2．故答案为：2．【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m 的方程是解题关键．19．不等于1-和3【分析】我们一般把形如2y ax bx c =++(a b c 、、为常数)的函数称之为二次函数，其中二次项系数不能为0，据此进一步求解即可.解：根据二次函数的定义可得：2230m m --≠，即：()()130m m +-≠，①1m ≠-，且3m ≠，即当m 不等于1-和3时，原函数为二次函数，故答案为：不等于1-和3.【点拨】本题主要考查了二次函数的定义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 20．6【分析】把点(),1m 代入221y x x =--即可求得22m m -值，将236m m -变形()232m m -，代入即可．解：①点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上，①2121m m =--则222m m -=．①()223632326m m m m -=-=⨯=故答案为：6．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．21．m =2n 2−n【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n 层正方形的个数，即可推出当有n 层时总的正方形个数．解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），第二层的正方形个数为（4×1＋1），第三层的正方形个数为（4×2＋1），……第n 层的个数为：[4×（n −1）＋1]，第n 个叠放的图形中，小正方体木块总数m 为：1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n −2）＋1]＋[4×（n −1）＋1]＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n −2）＋1＋4×（n −1）＋1＝n ＋4（1＋2＋3＋…＋n −2＋n −1）＝n ＋4()()1112n n +--⨯ ＝n ＋2n （n −1）＝2n 2−n ．即：m =2n 2−n ．故答案为：m =2n 2−n【点拨】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n 层时小正方形共增加了4（n −1）＋1个，将n 层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．22．2100y x =-+##2100y x =-【分析】由已知图形可以分析得到矩形AEGF 的长AF 为(10)x +cm ，宽AE 为(10)x -cm ，由面积公式即可计算得到正确答案．解：①正方形ABCD 的边长是10cm ，且BE DF =①矩形AEGF 的长AF 的长为(10)x +cm ，宽AE 的长为(10)x -cm①矩形AEGF 的面积为：()()21010=100y AF AE x x x ==+--+故答案为：2100y x =-+【点拨】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键．23．22()1y x =-+【分析】利用配方法整理即可得解．解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，所以22()1y x =-+．故答案为22()1y x =-+．【点拨】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：2(y ax bx c =++0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．24．2y 8x 20x 12=-++【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式．解：y ＝−4（1＋2x ）（x−3）＝−8x 2＋20x ＋12，故答案为y ＝−8x 2＋20x ＋12．【点拨】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．25．(1). m ≠0且m ≠1.(2). m ＝0.(3). 不可能试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案； （3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数． 解：(1)①这个函数是二次函数，①m 2－m ≠0，①m (m －1)≠0，①m ≠0且m ≠1.(2)①这个函数是一次函数，①①m ＝0.(3)不可能．①当m ＝0时，y ＝－x ＋2，①不可能是正比例函数．26．15k ≤且13k ≠-． 【分析】首先利用二次函数的定义得出k 不能取的值，进而解不等式得出答案.解：∵函数()229123y k x kx =-++是关于x 的二次函数，∴2910k -≠， 解得：13k ≠±， 141123k k -+≥- ()()312416k k -≥+-， 解得：15k ≤， 故不等式141123k k -+≥-的解集为：15k ≤且13k ≠-． 【点拨】此题主要考查了二次函数的定义以及解不等式，正确解不等式是解题关键. 27．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量，列出函数关系式，再将132W =代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）⨯销售量-7，列出函数关系式，再将263W =代入函数关系式得出方程求解即得．解：（1）根据题意列出函数关系式如下：21(6)(6)(24)(15)81W x y x x x =-⋅=--+=--+当132W =时，2(15)8132x --+=，解得18x =，222x =．①要抢占市场份额①8x =．答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为(5)x -万元，销售量24y x =-+．依据题意得22(5)(24)729127W x x x x =--+-=-+-，当263W =时，22912763x x -+-=，解得110x =，219x =．①要继续保持扩大销售量的战略①10x =答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量．。

26.2.1 二次函数y ＝ax 2的图象与性质知识点 1 二次函数y ＝ax 2的图象1．二次函数y ＝－5x 2的图象开口________，对称轴为________，顶点坐标为________． 2．抛物线y ＝ax 2(a <0)经过( )A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限3．经过测试，某种汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时的速度v (千米/时)满足关系式s ＝1100v 2，则下列表示s 与v 之间函数关系的图象为( )图26－2－14．2020·启东市校级月考已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象可能是( )26－2A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④5．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． (1)y ＝－3x 2； (2)y ＝14x 2.知识点 2 二次函数y ＝ax 2的性质6．在二次函数y ＝－14x 2中，当x >0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2; 当x <0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2.(填“>”或“<”)7．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点； ③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．关于二次函数y ＝12x 2，有下列说法：(1)其图象是轴对称图形；(2)当x <0时，y 随x的增大而减小；(3)当x >0时，y 随x 的增大而增大；(4)当x ＝0时，y 有最小值．其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．2020·连云港已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)经过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>010．已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)． (1)求a 的值；(2)当x ＝3时，求出y 的值； (3)说出此二次函数的三条性质．11．如图26－2－3，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2和函数y ＝－12x 2的图象，已知坐标原点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别与x 轴、y 轴平行，如果点D 的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )图26－2－3A ．4B ．8C ．12D ．1612．函数y ＝k (x －k )，y ＝kx 2与y ＝kx (k ≠0)在同一平面直角坐标系内的图象正确的是( )图26－2－413．定义运算“※”为：a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab 2（b >0），－ab 2（b ≤0），如1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4.则函数y ＝2※x 的图象大致是( )图26－2－5 14．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的值为________．15．根据下列条件求m 的取值范围：(1)二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；(2)二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值．16．教材练习第1题变式(1)在同一坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y ＝－12x 2；④y ＝－2x 2.(2)从“函数关系式、函数的对应值表、图象”三个方面进行对比，说说函数关系式中二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响．17．如图26－2－6①所示，P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，点A 的坐标为(4，0)．(1)设点P 的坐标为(x ，y )，试求出△AOP (O 为坐标原点)的面积S 关于点P 的横坐标x 之间的函数关系式；(2)试在图②所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出S 关于x 的函数图象．图26－2－618.如图26－2－7，平行于x 轴的直线AC 与抛物线y 1＝x 2(x ≥0)和y 2＝x 23(x ≥0)分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝________．图26－2－7详解详析1．向下 y 轴(或直线x ＝0) (0，0)2．B [解析] ∵a <0，∴抛物线的开口向下． 又∵抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为(0，0)， ∴该抛物线经过第三、四象限．故选B.3．C [解析] 因为1100>0，所以函数s ＝1100v 2的图象开口向上．由于自变量v >0，故选C.4．B [解析] 当a ＞0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而增大，函数y ＝ax 2的图象开口向上，故①不正确，②正确；当a ＜0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而减小，函数y ＝ax 2的图象开口向下，故④不正确，③正确．∴两函数的图象可能是②③，故选B.5．略 6．< >7．B [解析] 抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2的开口向上，y ＝－x 2的开口向下，故①错误；抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴，②③正确；④错误．故选B. 8．D 9．C [解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)，∴A (－2，y 1)关于y 轴的对称点的坐标为(2，y 1)．又∵a ＞0，0＜1＜2，∴y 1>y 2>0.故选C.10．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)， ∴a ×1＝3， ∴a ＝3.(2)把x ＝3代入y ＝3x 2中，得y ＝3×32＝27. (3)抛物线的开口向上；坐标原点是该抛物线的顶点；当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大(答案合理即可)．11．B [解析] 由图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即12×4×4＝8.故选B.12．C [解析] 一次函数y ＝k (x －k )＝kx －k 2， ∵k ≠0，∴－k 2＜0，∴一次函数的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上．A 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，A 不正确；B 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，B 不正确；C 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴负半轴上，C 正确；D 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，D 不正确．13．C [解析] y ＝2※x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（x >0），－2x 2（x ≤0）.当x ＞0时，图象是抛物线y ＝2x 2对称轴右侧的部分；当x ≤0时，图象是抛物线y ＝－2x 2对称轴左侧的部分．故选C.14．2 [解析] 因为该函数是二次函数，所以x 的指数为2.又因为在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，所以二次函数的图象开口向上，可得二次项的系数大于0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －4＝2，k ＋2＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3或k ＝2，k >－2，∴k ＝2.15．解：(1)∵二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＋3＜0，解得m ＜－3.(2)∵二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值，∴2m －1＞0，解得m ＞12.16．解：(1)列表如下：连线：用平滑的曲线顺次连结各点，图象如图所示：(2)答案不唯一，如|a |相同，两条抛物线的形状就相同；|a |越大，抛物线的开口就越小． 17．解：(1)由于P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，且点P 的坐标为(x ，y )，所以点P 到x 轴的距离为y ＝x 2，所以S ＝12×4×x 2＝2x 2(x ＞0)．(2)由于x >0，所以画出的图象为抛物线S ＝2x 2对称轴右侧的部分(不含原点)，具体图象如图．18．3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，a )，令x 2＝a ，解得x ＝a (负值已舍去)，∴点B (a ，a )．令x 23＝a ，则x ＝3a (负值已舍去)，∴点C (3a ，a )． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为3a ，∴点D 的纵坐标为(3a )2＝3a ， ∴点D 的坐标为(3a ，3a )．∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a . 令x 23＝3a ，∴x ＝3 a (负值已舍去)，∴点E 的坐标为(3 a ，3a )， ∴DE ＝3 a －3a . 故DE AB ＝3 a －3a a＝3－ 3.。

二次函数图像和性质习题精选一．选择题（共30小题）1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．4．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1013y﹣1353下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞07．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或28．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h 的值可以是（）A．6B．5C．4D．39．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大11．如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1C．当x=﹣1时，y的值大于1D．当x=﹣3时，y的值小于012．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤313．如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞014．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．015．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y 随x的增大而增大16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a ﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1C．1D．217．下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2B．﹣4＜x＜2C．x＜﹣2或x＞2D．x＜﹣4或x＞219．已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=320．下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）xy﹣﹣A．B．C．D．21．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根22．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A （﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜﹣2C．x＞0D．﹣2＜x＜823．在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．524．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：﹣1 134…x …﹣2y …04 640…根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．425．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5B．a≤﹣5C．a≥﹣3D．a≤﹣328．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=+1，y=﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4B．3C．2D．130．如图，已知抛物线，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③二次函数图像和性质习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）解解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点答：（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．2．（2014•北海）函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．解答：解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），y=位于第一、三象限，没有选项图象符合，a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），y=位于第二、四象限，B选项图象符合．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．3．（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．解答：解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A 可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4．（2014•南昌）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．解答：解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1013y﹣1353下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：图表型．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向答：下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==，∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x ＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x ＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c 的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解解：分三种情况：答：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．8．（2014•淄博）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6B．5C．4D．3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x ＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x ＜﹣时，y随x的增大而增大；x ＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．9．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．解答：解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．10．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D．此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．点评：11．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1C．当x=﹣1时，y的值大于1D．当x=﹣3时，y的值小于0二次函数的图象；二次函数的性质．考点：专题：压轴题．分析：根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答．解答：解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵﹣1＜1，∴x=﹣1时，y的值小于x=1时，y的值1，即当x=﹣1时，y的值小于1；故本选项错误；D、当x=﹣3时，函数图象上的点在点（﹣2，﹣1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识．12．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．解答：解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，①②联立解得：c≥3，故选B．点评：本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系．13．（2009•新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞0考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．解答：解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k=n不正确．故选：B．点本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．评：14．（2009•丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二次函数的性质．考点：根据抛物线的性质解题．分析：解：①抛物线开口向下，a＜0，所以①错误；解答：②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形，所以②该函数的图象关于直线x=1对称，正确；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，也正确．故选B．点本题考查了抛物线的开口方向，轴对称性和与x轴的交点等知识．评：15．（2009•南昌）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y 随x的增大而增大考二次函数的性质．点：专题：压轴题．分析：根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，逐一判断．解答：解：A、抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，所以ac＞0，错误；B、由图象可知，当x=1时，y＜0，错误；C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根小于1，一个根大于1，错误；D、存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大，正确．故选D．点评：本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，涉及的知识面比较广．16．（2008•仙桃）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1C．1D．2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：由“对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得．解答：解：因为对称轴x=1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0．故选A．点评：巧妙利用了抛物线的对称性．17．（2007•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据坐标系的点的坐标特点，分别求出三角形的底和高，计算面积，再比较．解答：解：①与坐标轴的两个交点为（0，2）（2，0），阴影部分的面积为2×2÷2=2；②当x=1时，y=3，阴影部分的面积为1×3÷2=；③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1，1，两点间的距离为：1﹣（﹣1）=2，与y 轴的交点为（0，﹣1）．阴影部分的面积为2×1÷2=1；④当x=1时，y=4，阴影部分的面积为1×4÷2=2．①④面积相等．故选D．点评：解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高．18．（2007•达州）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2B．﹣4＜x＜2C．x＜﹣2或x＞2D．x＜﹣4或x＞2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞0时，x的取值范围．解答：解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．故选B．点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．19．（2007•泰州）已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=3考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：压轴题．分析：A、当x＜1时，在对称轴右侧，由此可以确定函数的单调性；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0，利用此即可判断是否正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集可以求出，然后就可以判断是否正确；D、根据平移规律可以求出a的值，然后判断是否正确．解答：解：二次函数为y=x2﹣4x﹣a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥﹣4，故选项错误；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4﹣a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3﹣a．函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=3．故选项正确．故选B．点评：此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及图象的平移规律．这些性质和规律要求掌握．20．（2009•塘沽区一模）下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）xy﹣﹣A．B．C．D．考图象法求一元二次方程的近似根．点：把三点代入解方程式，则代入y等于0时，x的值是多少即可．分析：解：代入各点坐标解答：解得y=﹣+解得x=左右则C最符合，故选C．点评：本题考查了一元二次方程的近似根，代入求近似值，再进行对比则最接近的即可．21．（2010•徐汇区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根考点：图象法求一元二次方程的近似根．专题：计算题．分析：结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．解解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶答：点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．点此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式求函数与坐标轴的交点评：以及一元二次方程根的判别式的应用．22．（2013•沙湾区模拟）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜﹣2C．x＞0D．﹣2＜x＜8考点：二次函数的性质．分析：根据两函数交点坐标得出，能使y1＜y2成立的x的取值范围即是图象y2在图象y1上面是x的取值范围，即可得出答案．解答：解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），∵结合图象，∴能使y1＜y2成立的x的取值范围是：﹣2＜x＜8，故选：D．点评：此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系，此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌握．23．（2012•北辰区一模）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：二次函数的性质；二次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据二次函数的性质，结合图象可判断①②③；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④；求出y2=2x+4与两坐标轴的交点画出直线y=2x+4，求出抛物线的解析式，根据y2﹣y1的符号即可判断出⑤．解答：解：由图象可知，在﹣3≤x≤0范围内，y1有最大值1、最小值﹣3，故①错误，②正确；由图象可知，当﹣3≤x＜﹣1时，y1随x的增大而增大，当﹣1＜x＜0时，y1随x 的增大而减小，故③错误；由于y1的最大值是1，所以y1=ax2+bx+c与y=2没有交点，即方程ax2+bx+c=2无解，故④正确；如图所示，由于y2=2x+4经过点（0，4），（﹣2，0），由图可知，二次函数（a≠0）中，当x=1时，y=﹣1；x=﹣2时，y=0，所以，解得，故此二次函数的解析式为y1=﹣x2﹣2x，所以y2﹣y1=2x+4+x2+2x=（x+2）2，因为=（x+2）2≥0，所以y1≤y2，故⑤正确．故选B．点评：本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．24．（2011•苏州模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2﹣1 134…y …0 4 640…根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标为（1，6），且函数值6为最大值，由此判断．解答：解：观察表格可知，抛物线的顶点坐标为（1，6），且抛物线开口向下，故①②③正确；∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），顶点坐标为（1，6），∴抛物线的顶点、与x 轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为×（4+2）×6=18，故④错误．其中正确说法是①②③．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质．关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标，开口方向及与x轴交点坐标．25．（2010•河北）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．解答：解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选D．本题主要考查二次函数的对称性．点评：26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤二次函数的性质．考点：压轴题．专题：根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．分析：解答：解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，正确；③x=1时，y=a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选B．点评：主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5B．a≤﹣5C．a≥﹣3D．a≤﹣3考点：二次函数的性质．分抛物线开口向上，由x≤4时，y随x增大而减小，可知对称轴x=1﹣a≥4，解不。

人教版2021年九年级上册：22.1.2：二次函数y=ax2的图像和性质课时练习一．选择题1．抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是（）A．y＝﹣2x2B．y＝4x2C．同样大D．无法确定2．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝3x2，y＝﹣3x2，y＝﹣x2图象的共同点是（）A．都关于x轴对称，抛物线开口向上B．都关于y轴对称，抛物线开口向下C．都关于y轴对称，顶点都是原点D．都关于原点对称，顶点都是原点3．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．5．两个二次函数的图象如图所示，其中一个是y＝x2，另一个是y＝ax2，则a可能的取值为（）A．1B．C．D．﹣6．已知函数y1＝x2与函数y2＝的图象大致如图．若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．＜x＜2B．x＞2或x＜C．﹣2＜x＜D．x＜﹣2或x＞二．填空题7．二次函数y＝x2的图象开口方向是（填“向上”或“向下”）．8．抛物线的对称轴为．9．已知抛物线的解析式为y＝﹣2x2+1，则抛物线的顶点坐标为．10．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）11．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．12．若函数y＝﹣x2+9的函数值y＞0，则自变量x的取值范围是．13．若函数y＝3x2与直线y＝kx+3的交点为（2，b），则k＝，b＝．14．二次函数y＝x2的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A10在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B10在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A9B10A10都为等边三角形，则△A9B10A10的边长为．三．解答题15．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）y＝2x2；（2）y＝x2．16．不画图象，说出抛物线y＝﹣x2的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高（低）点坐标．17．已知二次函数y＝ax2的图象经过点P（2，5），试确定它的开口方向和a的值．18．已知函数y＝（m﹣3）是关于x的二次函数．（1）求满足条件的m的值；（2）当m为何值时，它的图象有最低点？此时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当m为何值时，它的图象有最高点？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？参考答案一．选择题1．解：抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象中|4|＝4，|﹣2|＝2，∵4＞2，∴抛物线y＝4x2的开口小于y＝﹣2x2的开口，故选：A．2．解：A、都关于y轴对称，但开口方向有的向下，故错误；B、都关于y轴对称，但开口方向有的向上，故错误；C、都关于y轴对称，顶点都是原点，故正确；D、都关于y轴对称，故错误，故选：C．3．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．4．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．5．解：由图象知，二次函数y＝ax2图象的开口向上，且小于二次函数y＝x2的图象的开口，∴a＞，故选：A．6．解：由y1＝y2，即x2＝，解得：x1＝﹣2，x2＝．由图象可知，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是﹣2＜x＜．故选：C．二．填空题7．解：由y＝x2得：a＞0，∴二次函数图象开口向上．故答案为：向上．8．解：∵a＝，b＝0，∴x＝﹣＝0，故答案为直线x＝0或y轴．9．解：∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，1），故答案为：（0，1）．10．解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．11．解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，故答案为：＞．12．解：如图，∵函数y＝﹣x2+9的函数值y＞0，∴﹣x2+9＞0，解得﹣3＜x＜3，故答案为﹣3＜x＜3．13．解：根据题意，把（2，b）代入y＝3x2中，得b＝12；再把交点（2，12）代入y＝kx+3中，得k＝4.5．14．解：∵△A0B1A1是等边三角形，∴∠A1A0B1＝60°，∴A0B1的解析式为y＝x，联立，解得，（为原点，舍去），∴点B1（，），∴等边△A0B1A1的边长为×2＝1，同理，A1B2的解析式为y ＝x+1，联立，解得，（在第二象限，舍去），∴B2（，2），∴等边△A1B2A2的边长A1A2＝2×（2﹣1）＝2，同理可求出B3（，），所以，等边△A2B3A3的边长A2A3＝2×（﹣1﹣2）＝3，…，以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，△A9B10A10的边长A9A10＝10．故答案为：10．三．解答题15．解：列表得：﹣2﹣101282028 y＝2x2y ＝x2202描点、连线可得图象为：16．解：抛物线y＝﹣x2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），开口方向下，最高点坐标（0，0）；17．解：∵二次函数y＝ax2的图象经过点P（2，5），∴4a＝5，解得a＝，∴开口方向向上．18．解：（1）根据题意得m﹣3≠0且m2﹣2m﹣6＝2，解得m1＝﹣2，m2＝4．所以满足条件的m的值为﹣2或4；（2）∵当m﹣3＞0时，图象有最低点，∴m＝4，此时二次函数的解析式为y＝x2，∴当x＞0时，y随x的增大而增大；（3））∵当m﹣3＜0时，图象有最高点，∴m＝﹣2，此时二次函数的解析式为y＝﹣5x2，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．。

二次函数的图像与性质经典练习题附带详细答案练习一1．二次函数y ax 2的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x＿＿＿时，y 随 x的增大而减小。

2．关于y 1x2，y x2，y3x2的图像，下列说法中不正确的是（）3A．顶点相同B．对称轴相同C．图像形状相同D．最低点相同3．两条抛物线y x2与y x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相反D．都有最小值4．在抛物线y x2上，当y＜ 0 时， x 的取值范围应为（）A． x＞0B． x＜ 0C．x≠ 0D．x≥ 05．对于抛物线y x2与y x2下列命题中错误的是（）A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y 轴对称D．两条抛物线没有公共点6．抛物线y=－b x2＋ 3 的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。

7．抛物线y=－1(x2) 2－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿2＿＿时，y 随x 的增大而增大，x＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

8．抛物线y2(x1)23的顶点坐标是（）A．（ 1， 3）B．（1， 3） C ．（1，3）D．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（ 1，10），则这条抛物线的表达式为（）A． y=3( x1)2－2B． y=3(x1)2＋2 C． y=3( x1)2－2D． y=－ 3( x1)2－210．二次函数y ax2的图像向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，所得新函数表达式为（）A． y=a C． y=a ( x 2)2＋3B．y=a( x 2) 2＋3D．y=a( x2)2－3( x2)2－311．抛物线y x24x 4 的顶点坐标是（）A．（ 2， 0） B ．（ 2，-2 ） C ．（2，-8 ）D．（-2，-8）12．对抛物线 y= 2(x2) 2－3与y=－ 2( x2)2＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反13．函数 y=a x2＋ c 与 y=ax ＋c(a ≠ 0) 在同一坐标系内的图像是图中的（）14．化y x24x3为 y= x24x 3为y a ( x h)2k 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

九年级数学上册《二次函数的图象及其性质》练习题及答案-人教版一、选择题1.已知函数：①y＝ax2；②y＝3(x﹣1)2＋2；③y＝(x＋3)2﹣2x2；④y＝1x2＋x.其中，二次函数的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.二次函数y＝x2＋2x＋3中，自变量的取值范围为( )A.x＞0B.x为一切实数C.y＞2D.y为一切实数3.关于抛物线y＝x2﹣2x＋1，下列说法错误的是( )A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x＝1D.当x＞1时，y随x的增大而减小4.下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x＋4具有相同对称轴的是( )A.y＝4x2＋2x＋1B.y＝2x2﹣4x＋1C.y＝2x2﹣x＋4D.y＝x2﹣4x＋25.点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y3＞y2＞y1B.y3＞y1＝y2C.y1＞y2＞y3D.y1＝y2＞y36.如图，已知二次函数y＝(x＋1)2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值( )A.﹣3和5B.﹣4和5C.﹣4和﹣3D.﹣1和57.已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)如图所示.下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x＝1；③若抛物线经过点(2，y1)，(4，y2)，则y1＞y2；④顶点坐标是(1，－3).其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.48.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如表，则下列判断中正确的是 x … 0 1 3 4 … y…242﹣2…A.抛物线开口向上B.y 最大值为4C.当x ＞1时，y 随著x 的增大而减小D.当0＜x ＜2时，y ＞29.已知点(﹣1，y 1)、(﹣2，y 2)、(2，y 3)都在二次函数y ＝﹣3ax 2﹣6ax ＋12(a ＞0)上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为( )A.y 1＞y 3＞y 2B.y 3＞y 2＞y 1C.y 3＞y 1＞y 2D.y 1＞y 2＞y 3 10.给出一种运算：对于函数y ＝x n，规定y ′＝nx n ﹣1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的解是( ) A.x 1＝4，x 2＝﹣4 B.x 1＝2，x 2＝﹣2 C.x 1＝x 2＝0 D.x 1＝23，x 2＝﹣2 311.在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )12.已知二次函数y ＝－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6 二、填空题13.若()22m 2m 1y m m x--=+是二次函数，则m 的值是______.14.抛物线y ＝﹣x 2＋3x ﹣12的对称轴是 .15.已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________.16.二次函数y ＝x 2＋2x ﹣4的图象的开口方向是 .对称轴是 .顶点坐标是 .17.已知抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点A(﹣1，0)，求抛物线与x轴的另一个交点坐标.18.已知二次函数y＝﹣23x2﹣43x＋2的图象与x轴分别交于A，B两点(如图所示)，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB＋PC取得最小值时，点P的坐标为________.三、解答题19.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米?20.用配方法把二次函数y＝12x2﹣4x＋5化为y＝a(x-h)2＋k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标21.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝7；当x＝1时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝9.求它的函数表达式.22.如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(﹣1，0)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长.23.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)三点.(1)求此抛物线的函数解析式；(2)P为抛物线对称轴上一点，满足PA＝PB，求点P的坐标.24.如图，抛物线y＝－13x2＋bx＋c经过点A(3 3，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积.25.抛物线y＝ax2﹣32x﹣2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知点B的坐标为(4，0)(1)求抛物线的解析式.(2)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标.参考答案1.B.2.B.3.D.4.B5.D6.B7.C.8.D.9.D.10.B.11.D12.B13.答案为：3.14.答案为：直线x＝3 2 .15.答案为：m≥－1.16.答案为：向上,﹣1，(﹣1，﹣5).17.答案为：(﹣3，0).18.答案为：(﹣1，43 ).19.解：(1)S＝x(24﹣3x)，即S＝﹣3x2＋24x.(2)当S＝45时，﹣3x2＋24x＝45. 解得x1＝3，x2＝5.又∵当x＝3时，BC＞10(舍去)，∴x＝5. 答：AB的长为5米.20.解：y＝12x2﹣4x＋5＝12(x﹣4)2﹣3∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，﹣3).21.解：根据题意得∴它的函数表达式为y ＝﹣2x 2﹣5x ＋7.22.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0， 3)，B(﹣1，0) ∴，解得：∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2＋2x ＋3. (2)∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2＋2x ＋3∴顶点D 的坐标为(1，4)，点E 的坐标为(1，0) ∴BE ＝1﹣(﹣1)＝2，DE ﹣4 ∴BD ＝2 5.23.解：(1)根据题意，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－2x －3. (2)抛物线的对称轴为直线x ＝－－22×1＝1设P(1，t)，∵PA ＝PB∴(1－3)2＋t 2＝(1－2)2＋(t ＋3)2，解得t ＝－1 ∴点P 的坐标为(1，－1).24.解：(1)∵抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋c 经过点A(3 3，0)，B(0，3)∴⎩⎨⎧－9＋3 3b ＋c ＝0，c ＝3，解得b ＝2 33.∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋2 33x ＋3.(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x ＝ 3.把x ＝3代入y ＝－13x 2＋2 33x ＋3得y ＝4，则点C 的坐标为(3，4).∵直线AB 过点B(0，3)∴设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3. ∵A(3 3，0)，∴3 3k ＋3＝0，∴k ＝－33∴直线AB 的解析式为y ＝－33x ＋3. 过点C 作CH ⊥x 轴于点H则OH ＝3，CH ＝4，AH ＝OA －OH ＝3 3－3＝2 3. ∴S △ABC ＝S 四边形OHCB ＋S △CHA －S △AOB＝12(OB ＋CH)·OH ＋12AH ·CH －12OA ·OB ＝12×(3＋4)×3＋12×2 3×4－12×3×3 3＝3 3. 25.解：(1)将B(4，0)代入抛物线的解析式中，得： 0＝16a ﹣32×4﹣2，即：a ＝12；∴抛物线的解析式为：y ＝12x 2﹣32x ﹣2.(2)已求得：B(4，0)、C(0，﹣2)，可得直线BC 的解析式为：y ＝x ﹣2；设直线l ∥BC ，则该直线的解析式可表示为：y ＝x ＋b ，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x ＋b ＝x 2﹣x ﹣2，即：x 2﹣2x ﹣2﹣b ＝0，且△＝0； ∴4﹣4×(﹣2﹣b)＝0，即b ＝4； ∴直线l ：y ＝x ﹣4.由于S＝BC×h，当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时，△ABC的面积最大△MBC所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：得M(2，﹣3).。

九年级上学期数学课时练习题21.2二次函数y=ax2的图象和性质一、精心选一选1﹒抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B.C.D.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限4﹒抛物线y＝12x2，y＝－3x2，y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2B.y＝－3x2C.y＝x2D.无法确定5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7﹒苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（）A.B.C.D.8﹒关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（）A .对称轴是y 轴B .顶点是坐标原点C .当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D .y 有最大值 9﹒已知点A （－3，y 1），B （－1，y 2），C （2，y 3）在抛物线y ＝23x 2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A .y 1＜y 2＜y 3B .y 1＞y 2＞y 3C .y 1＜y 3＜y 2D .y 2＜y 3＜y 110.如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2（x ≥0）与y 2＝24x（x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝（ ） A .2 B .2 C .5 D .3 二、细心填一填11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226a a x--，当a ＝_____时，其图象开口向上；当a ＝_____时，其图象开口向下.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点，则m 的取值范围是___________________. 13.已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示，线段AB ∥x 轴，交抛物线 于A 、B 两点，且点A 的横坐标为2，则AB 的长度为__________. 14.对于二次函数y ＝ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4， 则常数a 的值是___________. 15.写出抛物线y ＝12x 2与抛物线y ＝－12x 2的一条共同特征 是_________________________.16.若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P （－2，4），则当x ＝2时，y ＝______.17.抛物线y ＝－3x 2的对称轴是_______________，当x ____________时，抛物线上的点都在x 轴的下方.18.下列函数中，具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有_______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a .三、解答题（本题共8小题，第19题8分；第20、21每小题各10分；第22、 23每小题各12分；第24题14分共66分） 19.已知函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当m 为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性.20.已知，二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝2x +3的图象交于A 、B 两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象； （2）求△AOB 的面积.21.如图，已知直线l 过A （4，0），B （0，4）两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内相交于点P .若△AOP 的面积为4.5，求a 的值.22.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：x/m 5 10 20 30 40 50y/m0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲乙（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y 关于x的函数图象；（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？21.2二次函数y=ax2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A B A A A C D D A1﹒抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小解答：∵a＝2＞0，∴抛物线y＝－2x2开口向下，以y轴为对称轴，有最高点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x ＜0时，y随x的增大而减小；∵a＝－2＜0，∴抛物线y＝2x2开口向上，以y轴为对称轴，有最低点，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；∵a＝12＞0，∴抛物线y＝12x2开口向下，以y轴为对称轴，有最高点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；综合上述，这三条抛物线均以y轴为对称轴，故选：B.2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B.C.D.解答：由y＝－a(x+a)得y＝－ax+a2，当a＞0时，直线y＝－ax+a2经过一、二、四象象，抛物线y＝－ax2开口向下；当a＜0时，直线y＝－ax+a2经过一、二、三象象，抛物线y＝－ax2开口向上；符合上述要求的只有A选项，故选：A.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限解答：∵a＜0，∴抛物线y＝ax2经过三、四象限，故选：B.4﹒抛物线y＝12x2，y＝－3x2，y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2B.y＝－3x2C.y＝x2D.无法确定解答：∵12＜1＜3，∴抛物线y＝12x2的图象开口最大，故选：A.5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右解答：∵a＝13＞0，∴二次函数y＝x2的图象的开口向上，故选：A.6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：①y＝－x，要分两种情况判断其增减性，故不符合题意；②y＝－x2（x＜0），y随x的增大而增大，故不符合题意；③y＝2x+1，y随x的增大而增大，故不符合题意；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小，故符合题意，综上，可知只有④符合题意，故选：A.7﹒苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（）A.B.C.D.解答：由s＝gt2（g＝9.8）可知此函数为二次函数，且g＞0，自变量t的取值范围为t＞0，所以只有C符合题意，故选：C.8﹒关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（）A.对称轴是y轴B.顶点是坐标原点C.当x＞0时，y随x的增大而增大D.y有最大值解答：对于二次函数y＝3x2有下列性质：开口向上；以y轴为对称轴；顶点是坐标原点；当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；y有最小值，故选：D.9﹒已知点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝23x2上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y1＞y2＞y3C.y1＜y3＜y2D.y2＜y3＜y1解答：当x＝－3时，y1＝6；当x＝－1时，y2＝23；当x＝2时，y3＝83，而23＜83＜6，∴y2＜y3＜y1，故选：D.10.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝24x（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB＝（）A.2B.2C.5D.3 解答：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2＝a，解得：x＝a，∴B（a，a），当24x ＝a 时，x ＝a∴C （a a ）， ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为a ∴y 1＝a 2＝4a ，∴点D 的坐标为（a ，4a ）， ∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为4a ，∴24x ＝4a ，解得：x ＝a ，∴点E 的坐标为（a 4a ）， ∴DE ＝a a ＝a ，∴DE AB 2aa＝2， 故选：A . 二、细心填一填11. 4，－2； 12. m ＜－1； 13. 4； 14. －43； 15. 以y 轴为对称轴； 16. 4； 17. y 轴，≠0； 18. ①②.11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226a a x --，当a ＝_____时，其图象开口向上；当a ＝_____时，其图象开口向下. 解答：∵y ＝a 226a a x--是二次函数，∴a 2－2a －6＝2，解得：a 1＝－2，a 2＝4，∴当a ＝4时，其图象开口向上；当a ＝－2时，其图象开口向下，故答案为：4，－2.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点，则m 的取值范围是___________________.解答：∵坐标原点是抛物线y＝(m+1)x2的最高点，∴该抛物线的开口向下，则m+1＜0，解得：m＜－1，故答案为：m＜－1.13.已知二次函数y＝12x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为__________. 解答：当y＝2时，x＝±2，则A、B两点横坐标分别为－2，2，∵AB∥x轴，∴AB＝22--＝4，故答案为：4.14.对于二次函数y＝ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是___________.解答：当x＝1时，y＝ax2＝a，当x＝2时，y＝ax2＝4a，由a－4a＝4得：a＝－43，故答案为：－4 3 .15.写出抛物线y＝12x2与抛物线y＝－12x2的一条共同特征是_________________________.解答：均以y轴为对称轴，故答案为：以y轴为对称轴.16.若二次函数y＝ax2的图象经过点P（－2，4），则当x＝2时，y＝______.解答：将P（－2，4）代入y＝ax2得：(－2)2a＝4，解得：a＝1，∴y＝x2，∴当x＝2时，y＝4，故答案为：4.17.抛物线y＝－3x2的对称轴是_______________，当x____________时，抛物线上的点都在x轴的下方.解答：抛物线y＝－3x2的对称轴是y轴，当x≠0时，抛物线上的点都在x轴的下方，故答案为：y轴，≠0.18.下列函数中，具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有 _______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a . 解答：具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有：①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1），故答案为：①②.三、解答题19.已知函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时，该函数图象的开口向下？（3）当m 为何值时，该函数有最小值？（4）试说明函数的增减性.解：∵函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数，∴232230m m m ⎧+-=⎨+≠⎩，解得：124,13m m m =-=⎧⎨≠-⎩， ∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数；（2）∵函数图象的开口向下，∴m +3＜0，∴m ＜－3，∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下；（3）∵该函数有最小值，∴m +3＞0，∴m ＞－3，∴当m ＝1时，该函数有最小值；（4）①当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；②当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小.20.已知，二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝2x +3的图象交于A 、B 两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；（2）求△AOB的面积.解：（1）画函数图象如下：（2）由图象可知：A（－1，1），B（3，9），设直线y＝2x+3与y轴交点为C，则点C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝12×3×1+12×3×3＝32+92＝6.21.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.解：设点P的坐标为（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，0），B（0，4）分别代入y＝kx+b，得k＝－1，b＝4，故y＝－x+4，∵△AOP的面积为4.5＝12×4×y，∴y＝94，再把y＝94代入y＝－x+4，得x＝74，∴P（74，94），把P（74，94）代入到y＝ax2得：a＝3649.22.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.解：（1）设直线的函数表达式为y＝kx+b，∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b上，∴201k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y＝－x+2；∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2；（3）由22y x y x=-+⎧⎨=⎩得：24x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩， ∵点C 在第二象限，∴点C 的坐标为（－2，4），∴S △COB ＝S △AOC －S △OAB ＝12×2×4－12×2×1＝3， 即△COB 的面积为3.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：x /m5 10 20 30 40 50 y /m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲 乙 （1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y 关于x 的函数图象；（2）猜想出用x 表示y 的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m 时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m 的货船能否在这个河段安全通过？为什么？解：（1）画出y 关于x 的函数图象如下：（2）猜想：y＝1200x2；（3）当水面宽度为36m时，相应的x＝18，则y＝1200x2＝1200×182＝1.62，即此时河段的最大水深为1.62m，∵货船吃水深为1.8m，而1.62m＜1.8m，∴当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段.。

22.1：二次函数的图像和性质（选择题专练）一、单选题1．已知抛物线24y x bx =++经过()2,n -和()4,n 两点，则n 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．12D ．4【答案】C 【解析】将(2)(4)n n -，，，分别代入抛物线24y x bx =++中，转化为解关于n 、b 的二元一次方程组，由代入消元法解题即可．【解答】将(2)(4)n n -，，，代入24y x bx =++中得， 4241644b n b n -+=⎧⎨++=⎩①② 把①代入②，解得2b =-，把2b =-代入①得12n =212b n =-⎧∴⎨=⎩ 故选：C ．【点评】本题考查抛物线解析式的求法，其中涉及二元一次方程组的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．若二次函数2()1y x m =--．当x ≤ 3时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m = 3B ．m >3C ．m ≥ 3D ．m ≤ 3【答案】C【解析】由题知道二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质，当x 在对称轴左边的时候y 随x 的增大而减小，即可得解．【解答】解：由题知二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足3x m ≤≤即可满足题意，故选C ．【点评】本题考查了顶点式的二次函数图像的性质；掌握好二次函数图像的性质时本题的关键． 3．如果函数22(2)27m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m =±B ．2m =C ．m ＝﹣2D ．m 为全体实数【答案】C 【解析】根据二次函数定义可得m-2≠0，222m -=，再解即可．【解答】解：由题意得：m-2≠0，222m -=，解得：m=-2，故选：C ．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．4．把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()2y 211x =-++B ．()2y 211x =--+C ．()2y 211x =---D ．()2y 211x =-+- 【答案】B【解析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【解答】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+． 故选B ．【点评】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 5．二次函数y ＝ax 2+bx +c 与一次函数y ＝ax +c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，排除B 、C ；当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D ；当a ＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A 正确；故选：A ．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．6．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解答】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误．当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2+bx+c ＜x ，∴x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．故④正确．综上所述，正确的结论有③④两个，故选B ．7．关于抛物线：23(1)2y x =-++，下列说法正确的是（ ）．A ．它的开口方向向上B ．它的顶点坐标是(1,2)C ．当1x <-时，y 随x 的增大而增大D ．对称轴是直线1x =【答案】C【解析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】A 选项：∵30-<，∴抛物线23(1)2y x =-++的开口向下，故A 错误；B 选项：抛物线23(1)2y x =-++的顶点坐标是(-1,2)，故B 错误；C 选项：对抛物线23(1)2y x =-++，当1x <-时，y 随x 增大而增大，故C 正确；D 选项：抛物线23(1)2y x =-++的对称轴是直线1x =-，故D 错误．故选C ．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．若二次函数y=mx 2-（m 2-3m ）x+1-m 的图象关于y 轴对称，则m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．1D ．0或3 【答案】B【解析】由于函数图象关于y 轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax 2+c 型，由此求得问题的答案．【解答】解：∵二次函数y=mx 2-（m 2-3m ）x+1-m 的图象关于y 轴对称，∴函数的解析式形式应该是y=ax 2+c 型，∴-（m 2-3m ）=0，解得：m=0或m=3，∵二次函数的二次项系数m 不能为0，∴m=3．故选：B ．【点评】本题考查关于y 轴对称的抛物线的表达式是y=ax 2+c ，（a≠0，a 、c 为常数）．熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键．9．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁． 其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB =CD ，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC 的长为600m ，引桥CE 的长为124m ．缆索最低处的吊杆MN 长为3m ，桥面上与点M 相距100m 处的吊杆PQ 长为13m ．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D 与锚点E 的距离（ ）．A ．150B ．155C ．160D ．165【答案】B 【解析】先建立适当的平面直角坐标系，AC 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，再由已知条件和抛物线的对称性确定出点坐标：(0,0)M ，(0,3)N ，(100,13)Q ，设抛物线的表达式为23y ax =+，将Q 的坐标带入，解得a 的值，就可得出抛物线的表达式，当300MC x ==时，带入抛物线的表达式，得出y 值就是CD 的长度，在Rt △DCE 中利用勾股定理得出DE 的长度，也就是塔顶端D 与锚点E 的距离．【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，依题意可知3MN =，13PQ =，100MP =，600AC =，124CE =，AB DC =，BA AC ⊥，DC AC ⊥，MN AC ⊥，PQ AC ⊥， 由抛物线的对称性可知，13002MC AC ==， 则得点坐标：(0,0)M ，(0,3)N ，(100,13)Q ， 设抛物线的表达式为23y ax =+ ，∵抛物线经过点Q ，∴将点Q 的坐标带入得2131003a =+，解得11000a =得抛物线的表达式为2131000y x =+ ， 当300x =时，得213003931000y =⨯+=， ∵DC AC ⊥，∴90DCE ∠=， ∴22222293124(331)(431)531155DE DC CE =+=+=⨯+⨯=⨯=，答：索塔顶端D 与锚点E 的距离为155米．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，结合勾股定理，是解题的关键．10．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据m 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一判断即可．【解答】A ：由函数y mx m =+的图像可知0m <，即函数222y mx x =-++开口应向上，与图像不符，故A 错误；B 、由函数y mx m =+的图像可知0m <，函数222y mx x =-++的对称轴21022b x a m m=-=-=<-，则对称轴应在y 轴的左侧与图像不符，故B 错误；C ：由函数y mx m =+的图像可知0m >，即函数222y mx x =-++开口应向下，与图像不符，故C 错误；D ：由函数y mx m =+的图像可知0m <，即函数222y mx x =-++开口向上，函数222y mx x =-++的对称轴21022b x a m m =-=-=<-，则对称轴应在y 轴的左侧与图像相符，故D 正确； 故选：D ．【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．11．已知点P （m ，n ）在抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】D【解析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a 的符号和关于a 的不等式，从而得到a 的值．【解答】解：∵抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m ＜8时，总有n ＜1，∴a 不可能大于0，则a ＜0，∴x ＜5时，y 随x 的增大而增大，x ＞5时，y 随x 的增大而减小，∵当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，且x ＝3与x ＝7对称，∴m ＝3时，n≥1，m ＝7时，n≤1， ∴491491a a +≥⎧⎨+≤⎩, ∴4a+9＝1，∴a ＝﹣2，故选：D ．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键．12．如果二次函数y ＝x 2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y 随x 的增大而减小，且关于z 的分式方程1122az z z ----＝2有正数解，则符合条件的整数a 的值有多少个（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】C【解析】先解分式方程求出z ＝22a-，关于z 的分式方程有正数解满足2﹣a ＞0利用二次函数y ＝x 2﹣a x+1，当x≤﹣2时，y 随x 的增大而减小，求出对称轴x ＝﹣-2a ≥﹣2，求出a 的范围﹣4≤a ＜2，且a ≠1即可． 【解答】解：∵11222az z z --=-- ∴1+1﹣a z ＝2（2﹣z ）∴（2﹣a ）z ＝2∴z ＝22a- 关于z 的分式方程有正数解 ∴22a-＞0 ∴2﹣a ＞0∴a ＜2但该分式方程当z ＝2时显然是增根，故当a ＝1时不符合题意，舍去．∵二次函数y ＝x 2﹣a x+1，当x≤﹣2时，y 随x 的增大而减小∴其对称轴x ＝﹣-2a ≥﹣2 ∴a ≥﹣4∴﹣4≤a ＜2，且a ≠1符合条件的整数a 的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个故选择：C ．【点评】本题考查分式方程的解法，抛物线的增减性，不等式的解法，掌握分式方程的解法，抛物线的性质，会求抛物线的对称轴，会利用分式方程的解为正数构造不等式，结合函数的增减性解决问题． 13．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：A ．5B ．3-C ．13-D ．27-【解析】首先观察表格可得二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，则可求得此抛物线的对称轴，然后由对称性求得答案． 【解答】解：二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，∴此抛物线的对称轴为：直线4(2)32x -+-==-， ∴横坐标为1x =的点的对称点的横坐标为7x =-，∴当1x =时，27y =-．故选：D ．【点评】此题考查了二次函数的对称性，根据表格中的数据找到对称轴是解题的关键．14．从﹣3、﹣1、0、12、2、3这六个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的分式方程11ax x --﹣1＝21x -有整数解，且使二次函数y ＝x 2﹣（a ﹣1）x +3，当x ＞12时，y 随x 的增大而增大，那么这六个数中满足所有条件的a 的值之和为（ ）A ．﹣12B ．12C ．32D ．52 【答案】D 【解析】求解分式方程12111ax x x--=--，利用使分式有意义和使分式有整数解的条件来判断符合的a 的值，再将这些数代入二次函数，根据二次函数的性质即可最后确定符合的a 的值，最后相加即可． 【解答】解分式方程12111ax x x--=--，得：21x a =-，且1x ≠． ∴1a ≠-．∴-3、-1、0、12、2、3这六个数中，使x 为整数的a 为：0、12、2、3；将上述满足条件的a （0、12、2、3）逐项代入二次函数表达式，根据二次函数的性质可知满足条件的a 为：0、12、2，∴其和为：52． 故选：D ．【点评】本题考查二次函数的性质，解分式方程和使分式方程有意义的条件，掌握分式方程的解法和二次函数的性质是解答本题的关键．15．抛物线经过点(2,0),(1,0)A B -，且与y 轴交于点C ．若2OC =，则该抛物线解析式为（ ） A ．2y x x 2=--B ．22y x x =---或22y x x =++C ．22y x x =-++D ．2y x x 2=--或22y x x =-++【解析】抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A 、B 两点坐标设出抛物线解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠，代入C 点坐标即可求解．【解答】设抛物线的解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠∵2OC =∴抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2）①当抛物线和y 轴交点的为（0,2）时，得()()20201a =-+解得1a =-∴抛物线解析式为()()121y x x =--+，即22y x x =-++②当抛物线和y 轴交点的为（0，-2）时，()()20201a -=-+解得1a =∴抛物线解析式为()()y x 2x 1=-+，即2y x x 2=--故选D ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用两点式（又叫双根式）较为合适．16．已知二次函数2y ax bx c =+-的图像的对称轴为直线1x =，开口向下，且与x 轴的其中的一个交点是3,0，下列结论：①420a b c +->;②0a b c --<;③3c a =;④520a b c +->正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】根据题意，由对称轴为直线1x =，开口向下，则0a <，抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，当2x =时，0y >可判断①；当1x =-时，0y =可判断②；由12b a -=，0a b c --=可判断③；由3c a =，2b a =-代入计算，即可判断④；然后得到答案.【解答】解：根据题意，∵二次函数2y ax bx c =+-的图像的对称轴为直线1x =，开口向下，且与x 轴的其中的一个交点是()3,0， ∴0a <，抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，12b x a=-=， 由图可知，当2x =时，函数图像在x 轴上方，则0y >，∴当2x =时，420y a b c =+->，故①正确；∵抛物线经过点()1,0-，∴当1x =-时，0y a b c =--=，故②错误； ∵12b a-=，0a b c --=， ∴2b a =-，∴(2)3c a b a a a =-=--=，故③正确；∵2b a =-，3c a =，∴5252233a b c a a a a +-=--⨯=-，∵0a <，则30a ，∴520a b c +->，故④正确；∴正确的选项有①③④，共3个；故选：C.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）． 17．如图，正方形ABCD 边长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y 的表达式，结合选项的图象可得答案．【解答】解：∵正方形ABCD 边长为4，AE ＝BF ＝CG ＝DH∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG∴y ＝4×4﹣12x （4﹣x ）×4＝16﹣8x+2x 2＝2（x ﹣2）2+8∴y 是x 的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，从4个选项来看，开口向上的只有A 和B ，C 和D 图象开口向下，不符合题意；但是B 的顶点在x 轴上，故B 不符合题意，只有A 符合题意．故选：A ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键． 18．如图，顶点坐标为(1,)n 的抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（含端点），则下列结论：①30a b +>；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，()ab m am b +≥+总成立；④关于x 的方程21ax bxc n ++=-有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b ＝﹣2a ，则3a +b ＝a ，于是可对①进行判断；利用2≤c ≤3和c ＝﹣3a 可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n ﹣1有两个交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，而抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a ＜0，所以①错误；∵2≤c ≤3，而c ＝﹣3a ，∴2≤﹣3a ≤3，∴﹣1≤a≤﹣23，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有（）A．①③B．①④C．①②D．①③④【答案】B【解析】由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c最大，故①正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；二次函数与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③错误；对称轴为x＝1，B（﹣1，0），所以A（3，0），由图象可得，y＞0时，﹣l＜x＜3，故④正确．【解答】解:①由图象可知，x=1时，y=a+b+c最大，因此二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②由图象可知，x=-1时，y=0，即a-b+c=0，因此a-b+c=0，故②错误；③由图象可知，函数图象与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵对称轴为x=1，B(-1，0)，∴A(3，0)，∴y ＞0时，-1＜x ＜3，故④正确，则答案为：①④．故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 20．关于二次函数245(0)y ax ax a =--≠的三个结论：①对任意实数m ，都有12x m =+与22x m =-对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y 的整数值有4个，则413a -<≤-或413a ≤<；③若抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6，则54a <-或1a ≥．其中正确的结论是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】由题意可求次函数y=ax 2-4ax-5的对称轴为直线422a x a -=-=，由对称性可判断①；分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为422a x a-=-=， ∴x 1=2+m 与x 2=2-m 关于直线x=2对称，∴对任意实数m ，都有x 1=2+m 与x 2=2-m 对应的函数值相等；故①正确；当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，若a ＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，∵当3≤x≤4时，对应的y 的整数值有4个， ∴413a ≤<， 若a ＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y ＜-3a-5，∵当3≤x≤4时，对应的y 的整数值有4个， ∴413a -<≤-， 故②正确；若a ＞0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6，∴△＞0，25a-20a-5≥0，∴216200550a a a ⎧+>⎨-≥⎩， ∴1a ≥；若a ＜0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6，∴△＞0，25a-20a-5≤0，∴216200550a a a ⎧+>⎨-≤⎩∴a ＜54-， 综上所述：当a ＜54-或a≥1时，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6． 故③正确；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x 轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．21．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可． 【解答】解：2221(1)(1)()24m m y x m x m x m --=--+=-+-， ∴该抛物线顶点坐标是1(2m -，2(1))4m m --， ∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是1(2m -，2(1)3)4m m ---， 1m >，10m ∴->， ∴102m ->， 2222(1)4(21)12(3)4(3)3104444m m m m m m m ---+-------===--<， ∴点1(2m -，2(1)3)4m m ---在第四象限； 故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．22．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④(),(1)a b m am b m +>+≠；⑤23c b <其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【解析】由抛物线开口向下得到a ＜0；由抛物线的对称轴为直线x=2b a-=1得到b ＞0；由抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，则abc ＜0；观察图象得到当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0；当x=2时，y ＞0，即4a+2b+c ＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y 有最大值a+b+c ，则a+b+c ＞am 2+bm+c （m≠1），变形得到a+b ＞m （am+b ）；当x=3时，得到y=9a+3b+c ＜0，根据对称轴得到a=2b -，代入，化简可得得2c ＜3b ．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=2b a-=1， ∴b ＞0；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；②当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，∴b ＞a+c ，所以②错误；③由图可知：当x=2时，y ＞0，即4a+2b+c ＞0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，y 有最大值a+b+c ，∴a+b+c ＞am 2+bm+c （m≠1），∴a+b ＞m （am+b ），所以④正确；⑤当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c ＜0，且x=2b a -=1， 即a=2b -，代入得9（2b -）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故⑤正确； 故选B ．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．23．已知：如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =﹣1，与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且OB =OC ，则下列结论正确的个数是（ ）①b =2a ②a ﹣b +c ＞﹣1 ③0＜b 2﹣4ac ＜4 ④ac +1=b ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】①根据抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=﹣1，即﹣2b a=﹣1，整理后即可得到答案； ②根据图象法即可得到答案； ③观察图象知函数图象与x 轴有两个交点，从而得到b 2﹣4ac ＞0；然后根据表示出a ，b ，c 的值，根据不等式的性质，即可求得；④由抛物线与y 轴相交于点C ，就可知道C 点的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．【解答】解：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=﹣1，∴﹣2b a=﹣1， 整理得b=2a ，故①正确；④由抛物线与y 轴相交于点C ，就可知道C 点的坐标为（0，c ），又因OC=OB ，所以B （﹣c ，0），把它代入y=ax 2+bx+c ，即ac 2﹣bc+c=0，两边同时除以c ，即得到ac ﹣b+1=0，所以ac+1=b ．故④正确；②∵抛物线过点B 、C ，且直线BC 与x 轴所夹锐角为45°，且抛物线只与直线BC 有两个交点B 、C ， 设直线BC 与对称轴x=﹣1交于点D ，对称轴与x 轴交于点E ，易知DE ＜1，∴D 的纵坐标大于﹣1，而抛物线是光滑曲线与直线BC 相交于B 、C 后不会再与直线BC 相交，由此可知抛物线的顶点高于D 点，即：抛物线的顶点纵坐标大于﹣1，所以当x=﹣1时，a ﹣b+c ＞﹣1．故②正确；③∵函数图象与x 轴有两个交点，∴得到b 2﹣4ac ＞0，∵0＜b 2＜4，4ac ＞0，∴b 2﹣4ac ＜4，故③正确；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与x 轴，y 轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a ，b ，c 之间的关系．24．在平面直角坐标系中有两点()()2,4,2,4A B -,若二次函数()2230y ax ax a a =--≠的图像与线段AB 只有一个交点，则（ ）A ．a 的值可以是43-B ．a 的值可以是35C ．a 的值不可能是-1.2D ．a 的值不可能是-1 【答案】C【解析】先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线AB 相交时a 的取值范围.然后分别计算函数与A ，B 相交时a 的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断a 的取值范围.对上述 a 的取值范围综合分析即可得出a 的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可. 【解答】由对称轴可知，212a x a-=-=是该函数的对称轴， 当函数与直线AB 相交时，2423ax ax a =--有解，整理得22(34)0ax ax a --+=，根据根的判别式2244(34)16160a a a a a ∆=++=+≥，解得0a ≥或1a ≤-，因为0a ≠，所以0a >或1a ≤-，且a=-1时，二次函数与AB 有唯一的交点（1,4）.若函数与B 点相交时，将B (2,4)代入()2230y ax ax a a =--≠得4434a a a --= 解得43a =-，则此时如下图：函数恰好与线段AB 有两个交点，所以根据图象，当4434a a a -->时抛物线与线段AB 只有一个交点，解得43a <-； 若函数与A 点相交时,把A (−2,4)代入()2230y ax ax a a =--≠得4434a a a +-=,解得45a =,则此时如下图：函数恰好与线段有一个交点，根据图象当4434a a a +-≥时，抛物线与线段AB 也只有一个交点,解得45a . 综上所述43a <-或45a 或a=-1， A. a 的值不可以是43-，故A 错误； B. 3455<，a 的值不可以是35，B 错误； C. -1.2=6453->-,故a 的值不可能是-1.2，C 正确； D. a 的值可能是-1，故D 错误.故选C.【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征.本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键.在本题中还需注意函数的顶点正好在直线AB 上这种情况.。

二次函数图像和性质习题精选一．选择题（共30小题）1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．4．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=D．当﹣1＜x＜2时，y＞0C．当x＜，y随x的增大而减小7．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或28．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6B．5C．4D．39．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大11．如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=﹣1时，y的值大于1 D．当x=﹣3时，y的值小于012．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤313．如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞014．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．015．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1 C．1D．217．下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞219．已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=320．下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.5521．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．﹣2＜x＜823．在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．524．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 1 3 4 …y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．425．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣328．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4B．3C．2D．130．如图，已知抛物线，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x 值是或．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③二次函数图像和性质习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a 的正负，再与一次函数比较．）解答：解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．2．（2014•北海）函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．解答：解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），y=位于第一、三象限，没有选项图象符合，a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），y=位于第二、四象限，B选项图象符合．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．3．（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．解答：解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4．（2014•南昌）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．解答：解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：图表型．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．D．当﹣1＜x＜2时，y＞0当x＜，y随x的增大而减小考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c 的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．8．（2014•淄博）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6B．5C．4D．3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．9．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．解答：解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．10．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．11．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=﹣1时，y的值大于1 D．当x=﹣3时，y的值小于0考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答．解答：解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵﹣1＜1，∴x=﹣1时，y的值小于x=1时，y的值1，即当x=﹣1时，y的值小于1；故本选项错误；D、当x=﹣3时，函数图象上的点在点（﹣2，﹣1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识．12．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．解答：解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，①②联立解得：c≥3，故选B．点评：本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系．13．（2009•新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞0考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．解答：解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k=n不正确．故选：B．点评：本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．14．（2009•丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的性质解题．解答：解：①抛物线开口向下，a＜0，所以①错误；②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形，所以②该函数的图象关于直线x=1对称，正确；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，也正确．故选B．点评：本题考查了抛物线的开口方向，轴对称性和与x轴的交点等知识．15．（2009•南昌）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，逐一判断．解答：解：A、抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，所以ac＞0，错误；B、由图象可知，当x=1时，y＜0，错误；C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根小于1，一个根大于1，错误；D、存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大，正确．故选D．点评：本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，涉及的知识面比较广．16．（2008•仙桃）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1 C．1D．2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：由“对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得．解答：解：因为对称轴x=1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0．故选A．点评：巧妙利用了抛物线的对称性．17．（2007•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据坐标系的点的坐标特点，分别求出三角形的底和高，计算面积，再比较．解答：解：①与坐标轴的两个交点为（0，2）（2，0），阴影部分的面积为2×2÷2=2；②当x=1时，y=3，阴影部分的面积为1×3÷2=1.5；③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1，1，两点间的距离为：1﹣（﹣1）=2，与y轴的交点为（0，﹣1）．阴影部分的面积为2×1÷2=1；④当x=1时，y=4，阴影部分的面积为1×4÷2=2．①④面积相等．故选D．点评：解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高．18．（2007•达州）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞0时，x的取值范围．解答：解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．故选B．点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．19．（2007•泰州）已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=3考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：压轴题．分析：A、当x＜1时，在对称轴右侧，由此可以确定函数的单调性；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0，利用此即可判断是否正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集可以求出，然后就可以判断是否正确；D、根据平移规律可以求出a的值，然后判断是否正确．解答：解：二次函数为y=x2﹣4x﹣a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥﹣4，故选项错误；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4﹣a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3﹣a．函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=3．故选项正确．故选B．点评：此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及图象的平移规律．这些性质和规律要求掌握．20．（2009•塘沽区一模）下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.55考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：把三点代入解方程式，则代入y等于0时，x的值是多少即可．解答：解：代入各点坐标解得y=0.5x2﹣2.95x+4.23解得x=3.47左右则C最符合，故选C．点评：本题考查了一元二次方程的近似根，代入求近似值，再进行对比则最接近的即可．21．（2010•徐汇区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根考点：图象法求一元二次方程的近似根．专题：计算题．分析：结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．解答：解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．点评：此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．22．（2013•沙湾区模拟）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．﹣2＜x＜8考点：二次函数的性质．分析：根据两函数交点坐标得出，能使y1＜y2成立的x的取值范围即是图象y2在图象y1上面是x的取值范围，即可得出答案．解答：解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），∵结合图象，∴能使y1＜y2成立的x的取值范围是：﹣2＜x＜8，故选：D．点评：此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系，此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌握．23．（2012•北辰区一模）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：二次函数的性质；二次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据二次函数的性质，结合图象可判断①②③；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④；求出y2=2x+4与两坐标轴的交点画出直线y=2x+4，求出抛物线的解析式，根据y2﹣y1的符号即可判断出⑤．解答：解：由图象可知，在﹣3≤x≤0范围内，y1有最大值1、最小值﹣3，故①错误，②正确；由图象可知，当﹣3≤x＜﹣1时，y1随x的增大而增大，当﹣1＜x＜0时，y1随x的增大而减小，故③错误；由于y1的最大值是1，所以y1=ax2+bx+c与y=2没有交点，即方程ax2+bx+c=2无解，故④正确；如图所示，由于y2=2x+4经过点（0，4），（﹣2，0），由图可知，二次函数（a≠0）中，当x=1时，y=﹣1；x=﹣2时，y=0，所以，解得，故此二次函数的解析式为y1=﹣x2﹣2x，所以y2﹣y1=2x+4+x2+2x=（x+2）2，因为=（x+2）2≥0，所以y1≤y2，故⑤正确．故选B．点评：本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．24．（2011•苏州模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 1 34…y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标为（1，6），且函数值6为最大值，由此判断．解答：解：观察表格可知，抛物线的顶点坐标为（1，6），且抛物线开口向下，故①②③正确；∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），顶点坐标为（1，6），∴抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为×（4+2）×6=18，故④错误．其中正确说法是①②③．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质．关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标，开口方向及与x轴交点坐标．25．（2010•河北）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．解答：解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选D．点评：本题主要考查二次函数的对称性．26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．解答：解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，正确；③x=1时，y=a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选B．点评：主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：二次函数的性质．分析：抛物线开口向上，由x≤4时，y随x增大而减小，可知对称轴x=1﹣a≥4，解不等式即可．解答：解：∵二次函数对称轴为直线x=1﹣a，开口向上，∴当x≤1﹣a时，y随x增大而减小，∴1﹣a≥4，解得a≤﹣3．故选D．点评：本题考查了二次函数的增减性．抛物线开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小，右边y随x的增大而增大；抛物线开口向下时，在对称轴左边，y随x的增大而增大，右边y随x的增大而减小．28．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6个单位长度．解答：解：抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，即|y1﹣y2|=2．当直线l向右平移3个单位时，阴影部分的面积是：2×3=6．故选C．点评：主要考查了函数图象动态变化中的不变量，本题的关键点是能看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形．29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4B．3C．2D．1考点：二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：解：通过计算发现，当O与C重合时，S△ABC=2，据此据此推断出以AB为底边的三角形的高，从图上找到点C1、C2，再作CC3∥AB，使得C3与C到AB的距离相等，若求出C的坐标，则存在C3点，使得以AB为底的三角形面积为2．解答：解：∵S△ABC=×2×2=2，可见，当O与C重合时，S△ABC=2，作CD⊥AB，∵AO=BO=2，。