2020年山东省普通高中学业水平等级考试4月(模拟)数学试题

山东省日照市2020届高三4月模拟考试（一模）数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习山东省日照市2020届高三4月模拟考试（一模）数学试题（含答案解析）1 已知复数z满足,则复数z在复平面内对应点所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案解析】 A【分析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：A．2 已知集合，，则（）A. B. {1} C. {0,1} D. {－1,0,1}【答案解析】 B【分析】化简集合，按交集定义，即可求解.【详解】由，得，所以，故选：B．3 南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为，则“总相等”是“相等”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.【详解】根据祖暅原理，当总相等时，相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“总相等”是“相等”的充分不必要条件.故选：A4 已知圆，直线．若直线上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则a的取值范围（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】由已知可得直线上存在点，使得，转化为圆心到直线的距离，求解即可.【详解】直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，则，只需，即圆的圆心到直线的距离，或.故选：C.5 当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于，所以为上的递减函数，且过；为上的单调递减函数，且过，故只有D选项符合.故选：D.6 已知定义在R上的函数，，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.7 已知函数和（）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到的图象，只需把的图象（）A. 向左平移1个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移1个单位D. 向右平移个单位【答案解析】 A【分析】如图所示，计算得到，取靠近原点的三个交点，，，，得到，故，根据平移法则得到答案.【详解】如图所示：，故，.取靠近原点的三个交点，，，，为等腰直角三角形，故，故，故，，故为了得到的图象，只需把的图象向左平移1个单位 .故选：.8 如图，在直角坐标系xOy中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，，，，按此规律一直运动下去，则（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案解析】 C【分析】由已知点坐标，得出的前8项，归纳出数列项的规律，即可求解.【详解】由直角坐标系可知，，，，，，，即，，，，，，，，…，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为，则，所以，，，.故选：C．9 （多选题）为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，测量了他们的体重（单位：千克）．健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示，对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间内的人数不变B. 他们健身后，体重在区间内的人数减少了2个C. 他们健身后，体重在区间内的肥胖者体重都有减轻D. 他们健身后，这20位肥胖着的体重的中位数位于区间【答案解析】 ACD【分析】根据饼图分别求出20名肥胖者在健身前和健身后在各区间体重的人数，逐项验证，即可得出答案.【详解】图（1）中体重在区间，，内的人数分别为8，10，2；图（2）中体重在区间，，内的人数分比为为6，8，6；故选：ACD．10 （多选题）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）A. 该班选择去甲景点游览B. 乙景点的得票数可能会超过9C. 丙景点的得票数不会比甲景点高D. 三个景点的得票数可能会相等【答案解析】 AC【分析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.【详解】由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，所以选择甲的一定大于等于10人.故选：AC．11 （多选题）若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（）A. B.C. D.【答案解析】 AC【分析】由已知条件，构造函数，可得在上单调性，利用函数的单调性，结合的取值范围，得到的范围，进而求出的范围，即可求出结论.【详解】设，则，故函数在上单调递增，且，，故，，而，，故A正确，B错误．，故，所以，，故C正确，D错误．故选：AC.12 （多选题）已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点B，C，（B在轴上方，C在轴下方），与双曲线渐近线交于点A，D（A在轴上方），O为坐标原点，下列选项中正确的为（）A. 恒成立B. 若，则C. 面积的最小值为1D. 对每一个确定的n，若，则的面积为定值【答案解析】 ABD【分析】对于A选项，设直线方程为，分别与双曲线方程以及双曲线渐近线方程联立，求出中点坐标，并判断是否相等即可；对于B选项，由，得到，结合A选项的结果，即可判断选项B是否正确；对于C选项，设直线方程为，，直线分别与渐近线方程联立，求出坐标，进而求出的面积，根据的范围，求出的面积的范围即可；对于D选项，由已知可得，利用选项A的方程，得到关系，求出的面积即可.【详解】设，代入得，①显然，，即，设，，则，是方程①的两个根，有，，设，，由得，由，得；所以，所以和的中点重合，所以，所以恒成立．故A正确．因为和的中点重合为，所以，又，所以，所以，故B正确．设直线方程为，，由得，由得，，，，，故C错误.因为，所以，得，即，所以，，又，，，所以是定值．故D正确．故选：ABD.13 已知向量，，若，则__________．【答案解析】【分析】根据向量垂直坐标表示，即可求解.【详解】因为，所以，即.故答案为：．14 的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案解析】 15的展开式的通项公式为，令，，故该展开式中的常数项为，故答案为15．15 直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则__________，的最小值是__________．【答案解析】 2；【分析】由抛物线焦点坐标，求出；设直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，得出的纵坐标积为定值，进而得到横坐标积为定值，结合抛物线的定义将所求的式子转化为点（或点）横坐标的函数，即可求解.【详解】因为抛物线的焦点，所以；设点，，直线，联立方程，得，所以，，所以，法一：，当且仅当时取等号．法二：，所以，当且仅当时取等号．故答案为：2；.16 若点M在平面外，过点M作面的垂线，则称垂足N为点M在平面内的正投影，记为．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为，平面为，点P是棱CC1上一动点（与C，C1不重合），．给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点P使得平面；③存在点P使得其中正确结论的序号是___________．【答案解析】①②【分析】设，根据正方体的结构特征确定在边上，且，为中点，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，确定点坐标，用表示长度，结合的范围，求出长度，即可判断①；根据正方体的特征，取的一个法向量，利用建立的方程，求解即可判断②；再由，建立的方程，求解即可判断③.【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点．在正方体中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可证，，则，．以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则,，，，．对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；对于命题②，，则平面的一个法向量为，，令，解得，所以，存在点使得平面，命题②正确；对于命题③，，令，整理的，该方程无实根，所以不存在点使得，命题③错误．故答案为：①②．17 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求的值；（2）若，，求△ABC的面积．【答案解析】（1）；（2）【分析】（1）将已知等式边化角，再由两角和正弦得，即可求解；（2）由（1）的结论结合已知，根据余弦求出其中一个角，即可得出结论.【详解】（1）由正弦定理，可化为，也就是．由中可得．即．由正弦定理可得，故．（2）由可知．而，由余弦定理可知．又于是．．18 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{an}的公差，前n项和为Sn，若________，数列{bn}满足，，．（1）求{an}的通项公式；（2）求{bn}的前n项和．【答案解析】（1）；（2）．【分析】（1）若选①，在中，取，结合值和①，即可求出的通项公式，若选其它的两个条件公差皆为3，结果一样；（2）根据已知关系，得到为等比数列，即可求解.【详解】（1）因为，当时，．，，，若选①，．若选②，整理得，或（舍去），；若选③，（2）由（1）知：，即．即数列是以1为首项，以为公比的等比数列．的前项和．19 如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，为正方形，平面平面ABCD，，.(1)求证:平面平面；(2)点M为线段EF上一动点，求与平面所成角正弦值的取值范围.【答案解析】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得，由面面垂直的性质定理证得平面，由此证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，设出的长，利用直线的方向向量和平面的法向量，求得与平面所成角正弦值的表达式，进而求得与平面所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形中，，，，. 即，.又平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面（2）解:由(1)知，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，即令，则，平面的一个法向量为.设与平面所成角为，当时取最小值，当时取最大值故与平面所成角正弦值的取值范围为.20 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为圆心过椭圆左顶点M的圆与直线相切于N，且满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．【答案解析】（1）；（2）有，最大值【分析】（1）由已知可得到直线的距离等于，结合，建立方程组，求解即可得出椭圆的标准方程；（2）即求内切圆的半径是否有最大值，因为周长为，转化为的面积是否有最大值，设，则，再设出直线的方程为，与椭圆方程联立，得出关系，表示为的函数，根据其特征求出范围，即可得出结论.【详解】（1）由已知椭圆方程为，设椭圆右焦点，由到直线的距离等于，得，，又，，又，求得，．椭圆方程为，（2）设，，设的内切圆半径为，的周长为，所以，根据题意，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由，得，，，，，所以，令，则，所以，令，则当时，，单调递增，所以，，即当，，直线的方程为时，的最大值为3，此时内切圆半径最大，内切圆面积有最大值．21 每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满30棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满50棵获得一次乙箱内摸奖机会，每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球，个黄球，5个黑球，乙箱内有4个红球和6个黄球，每次摸一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．（1）经统计，每人的植树棵数X服从正态分布，若其中有200位植树者参与了抽奖，请估计植树的棵数X在区间内并中奖的人数（结果四舍五入取整数）；附：若，则，．（2）若，某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会，求中奖金额（单位：元）的分布列；（3）某人植树100棵，有两种摸奖方法，方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大．【答案解析】（1）34人；（2）分布列见解析；（3）选方法二所得奖金的期望值较大【分析】（1）甲箱内摸奖一次中奖的概率为0.5，根据已知正态分布，在区间的概率为根据参考数据，即可求解；（2）先求出中奖金额的可能值，求出对应值的概率，即可得到分布列；（3），先求出甲摸一次所得奖金的期望，并用表示，从而得到方法一所得奖金的期望，再求出方法二所得奖金的期望值，两种方法期望值对比，即可得出结论.【详解】（1）依题意得，，得，植树的棵数在区间内有一次甲箱内摸奖机会，中奖率为，植树棵数在区间内人数约为：人中奖的人数约为：人．（2）中奖金额的可能取值为0，50，100，150，200．；；；；；故的分布列为501001502000．250．30．290．120．04（3），甲箱摸一次所得奖金的期望为，方法一所得奖金的期望值为；乙箱摸一次所得奖金的期望值为，方法二所得奖金的期望值为140，的值可能为1，2，3，4，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．22 已知函数在点处的切线方程为．（1）求，；（2）函数图像与轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为，函数，，求的最小值；（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．【答案解析】（1），；（2）0；（3）证明见解析【分析】（1）由已知可得，，求出，可得的方程组，求解即可；（2）先求出的负根，进而求出切线方程，求出函数，进而求出单调区间，即可得出结论；（3）根据（2）可得的图像在的上方，同理可证出的图像也在以的另一零点为切点的切线上方，求出与两切线交点的横坐标为，则有，即可证明结论.【详解】（1）将代入切线方程中，得，所以，又或，又，所以，若，则（舍去）；所以，则；（2）由（1）可知，，所以，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为曲线在点处的切线方程为，则，因为，所以，所以，．若，，若，，，所以.若，，，，所以在上单调递增，，函数在上单调递增．当时，取得极小值，也是最小值，所以最小值．（3），设的根为，则，又单调递减，由（2）知恒成立．又，所以，设曲线在点处的切线方程为，则，令，．当时，，当时，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故．又，所以．。

2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测（一模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1 C ．i D ．1- 2．已知集合2{|log 2}A x R x =∈<，集合{}|12B x R x =∈-<，则AB =（ ） A ．(0,3) B ．(1,3)-C ．(0,4)D ．(,3)-∞ 3．已知某市居民在2021年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布2(2000,100)N ，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为（ ）附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P u μσξσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=． A ．0.9759 B ．0.84 C ．0.8185 D ．0.4772 4．设0.22a =，sin 2b =，2log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c a b >>5．已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．已知四棱锥P ABCD -的所有棱长均相等，点E ，F 分别在线段PA ，PC 上，且//EF 底面ABCD ，则异面直线EF 与PB 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．在同一直角坐标系下，已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为（ ）A ．2 BCD ．18．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）A ．112125B ．80125C ．113125D ．124125二、多选题9．已知向量(1,1)a b +=，(3,1)a b -=-，(1,1)c =，设,a b 的夹角为θ，则（ ） A ．||||a b = B ．a c ⊥ C ．//b c D ．135θ=︒ 10．已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ）A ．2()2f x -≤≤B ．()f x 在区间(0,)π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．3x π=为()f x 图象的一条对称轴11．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21n n a =-D ．1n T <12．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中AB =11A B =1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）．AB ．11AA CC ⊥ C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题13．若(0,)x ∈+∞，14x x a -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 14．已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()01f =，则()2f =__________． 15．已知a ∈N ，二项式61a x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中含有2x 项的系数不大于240，记a 的取值集合为A ，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有__________个． 16．2021年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________．四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n ∈N ． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，22222()(1tan )b b c a A =+--．（1）求角C ；（2）若c =D 为BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度． 条件①：ABC 的面积4S =且B A >；条件②：cos B =．19．在如图所示的四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BCE 为边长为2的等边三角形，AB AE =，点F ，O 分别为AB ，BE 的中点，OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线．（1）证明：平面ABE ⊥平面BCE ；（2）记CDE 的重心为G ，求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值．20．某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱｡（1）已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表：求成交额y （百亿元）与时间变量x （记2021年为1x =，2021年为2x =，……依次类推）的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；（2）在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A 、两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X ．（i ）求X 的分布列及()E X ；（ii ）已知每个订单由*2,()k k k ≥∈N 件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ，假设27sin 4k p k k ππ=-，sin 4k q k π=，求()E Y 取最大值时正整数k 的值． 附：回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211())ˆ()n n ii i i i i n ni ii i x y nx y x x y y b x nx x x ====-⋅--==--∑∑∑∑，ˆa y bx =-． 21．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2F 点又恰为抛物线2:4D y x =的焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线1x =-的距离分别为1d ，2d ，12||AB d d =+．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记OAB ，OEF 的面积分别为1S ，2S ．（ⅰ）证明：1EFF △的周长为定值； （ⅱ）求21S S 的最大值． 22．已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为1y =． （1）当()0,2x ∈时，证明：0()2 f x <<；（2）设函数()()g x xf x =，当(0,1)x ∈时，证明：0()1g x <<；（3）若数列{}n a 满足：1()n n a f a +=，101a <<，*n ∈N ．证明：1ln 0n i i a =<∑．参考答案1．B【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【详解】 解：12(12)2i i i z i i i i---===---，则z 的共轭复数2z i =-+的虚部为1． 故选：B ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A【分析】先求出集合A ，集合B ，由此能求出AB ．【详解】解：集合2{|log 2}{|04}A x R x x x =∈<=<<， 集合{||1|2}{|13}B x R x x x =∈-<=-<<，{|03}(0,3)A B x x ∴=<<=．故选：A ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 3．C 【分析】由已知可得2000μ=，100σ=，然后结合σ与2σ原则求解．【详解】解：ξ服从正态分布(2000N ，2100)，2000μ∴=，100σ=，则[]1(19002200)()(22)()2P P P P ξμσξμσμσξμσμσξμσ<<=-<<++-<<+--<<+10.6826(0.95440.6826)0.81852=+-=． 故选：C ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的运用、σ与2σ原则的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．A【分析】把它们和0，1比较，可得出结果．【详解】解：0.221a =>，0sin21b <=<，2log 0.20c =<，则a b c >>，故选：A ．【点睛】本题考查指数，对数比较大小，属于基础题．5．C【分析】令()0f x =可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案．【详解】解：39,0(),0x x x f x xe x ⎧-=⎨<⎩，当0x 时，()0f x =，即390x -=，解得2x =；当0x <时，()0x f x xe =<恒成立，()f x ∴的零点为2α=．又当0x 时，()39x f x =-为增函数，故在[0，)+∞上无极值点；当0x <时，()x f x xe =，()(1)x f x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，1x ∴=-时，()f x 取到极小值，即()f x 的极值点1β=-，211αβ∴+=-=．故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．6．D【分析】连接AC ，BD ，设AC BD O =，由线面平行的性质定理推得//EF AC ，运用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求角．【详解】解：连接AC ，BD ，设AC BD O =，则EF ⊂平面PAC ，平面PAC平面ABCD AC =， 由//EF 底面ABCD ，可得//EF AC ，由四边形ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥，由O 为AC 的中点，PA PC =，可得PO AC ⊥，又BD OP O =，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，可得AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，则AC PB ⊥，又//EF AC ，可得EF PB ⊥，即异面直线EF 与PB 所成角的大小为90︒．故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．7．D【分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数a ，b ．再画出曲线D 的图象和双曲线的图象，观察图象可得解．【详解】C 方程为22221(0)y x a a a-=>所以c =，故焦点为(0,)，渐近线y x =±，取)到0x y -=的距离为22=，解得2a b ==． 所以双曲线方程为22144-=y x ． 函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D 的方程为： sin[2()]sin(2)cos2362y x x x πππ=-+=-=-． 同一坐标系做出曲线C 、D 的图象：由图可知，当B 点为cos2x y =-与y 轴的交点(0,1)-，A 点为双曲线的下顶点(0,2)-时，||AB 最小为1．故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线方程的求法和三角函数的图象变换．同时考查了利用数形结合解决问题的能力．属于中档题． 8．A 【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率． 【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112()()()555125P C =+=．故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 9．BD 【分析】根据题意，求出,a b 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，(1,1)a b +=，(3,1)a b -=-，则(1,1)a =-，(2,0)b =， 依次分析选项：对于A ，2a ||=，||2b =，则||||a b =不成立，A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(1,1)c =，则0a c =，即a c ⊥，B 正确；对于C ，(2,0)b =，(1,1)c =，//b c 不成立，C 错误；对于D ，(1,1)a =-，(2,0)b =，则2a b =-，2a ||=，||2b =，则cos θ==，则135θ=︒，D 正确； 故选：BD ． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 10．ACD 【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：已知函数22()sin cos cos 2cos22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-=-=-，x ∈R ，则A 、2()2f x -正确，B 、当26x k ππ-=，k Z ∈，即212k x ππ=+，k Z ∈，()f x 在区间(0,)π上只有2个零点，则()f x 在区间(0,)π上只有1个零点错误，C 、()f x 的最小正周期为π，正确D 、当3x π=时，函数()2sin(2)6f x x π=-，x ∈R ，2sin 22336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3x π=为()f x 图象的一条对称轴，正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查二倍角公式和三角函数的性质，属于中档题． 11．BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 12．AD 【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断． 【详解】 解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于AB =11A B =11SA B 与SAB ∆相似比为1:2；则124SA AA ==，2AO =，则SO =1OOA 对； 因为4SA SC AC ===，则1AA 与1CC 夹角为60︒，不垂直，B 错；该四棱台的表面积为8241022S SS S =++=++⨯⨯=+上底下底侧，C 错；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO 上，在平面11B BOO 上中，由于1OO ，111B O =，则12OB OB ==，即点O 到点B 与点1B 的距离相等，则2r OB ==，该四棱台外接球的表面积为16π，D 对， 故选：AD ．【点睛】本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题． 13．(],4-∞ 【分析】直接根据基本不等式求解最值即可求得结论． 【详解】解：因为(0,)x ∀∈+∞，11144244x x x x x x -+=+=，当且仅当14x x =，即12x =时取等号，又(0,)x ∈+∞，14x x a -+≥恒成立；4a ∴；故答案为：(],4-∞． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题． 14．1- 【分析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于点(1,0)对称，据此可得()()20f f =-，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(1,0)对称， 则有()(2)f x f x =--，又由(0)1f =，则()()201f f =-=-；故答案为：1-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析()f x 的对称性，属于基础题． 15．18 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，根据题意求得r 的值，可得A ，再利用排列组合的知识求出结果． 【详解】 解：二项式61()a x x++展开式的通项公式为6216(1)rr r r T C a x -+=+， 令622r -=，求得2r，可得展开式中含有2x 项的系数为2226(1)15(1)C a a +=+．再根据含有2x 项的系数不大于240，可得215(1)240a +，求得4141a ---． 再根据a N ∈，可得0a =，1，2，3，即{0A =，1，2，3 }，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共123333218A A =⨯⨯=， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，排列组合的应用，属于中档题． 16．3 125【分析】（1）设出公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可； （2）设出方程，分别表示出圆心到直线的距离1d =，2d =，3d =，结合弦长公式求得k ，m 即可 【详解】解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4,0)-，(4,0)，设公切线方程为(0)y kx m k =+≠且k存在，则22==，解得3k =±，0m =，故公切线方程为y =±，则Q 到直线l的距离d =， 故l 截圆Q的弦长3==； （2）设方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：1d =2d，3d =，则22221234(4)4(4)4(9)d d d d =-=-=-，即有22=，①2249-=-，②解①得0m =，代入②得2421k =， 则2416144214(4)425121d ⨯=-=+，即125d =，故答案为：3；125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，公切线方程，方程思想，数形结合思想，属于中档题．17．（1）2n a n =；113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）存在4k =满足题意．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，在等差数列{}n a 中，由已知求解公差d ，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由112a b =求得1b ，结合已知求得2b ，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）由（1）知，1()(1)2k k k a a S k k +==+，由6k S k <解得k 范围，再由131132239k k T -=->⨯，解得k 范围，即可判断出结论．【详解】解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236S S a -== 又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2d = 从而1322a a d =-=，所以2(1)22n a n n =+-⨯= 由112a b =得：111b T == 因为22141133b T T =-=-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113b q b ==，所以1111133n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知：()1(1)2k k k a a S k k +==+所以(1)6k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05k <<又因为1111313131********k k kk T -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⨯⎝⎭- 所以131132239k k T -=->⨯，即11139k -<，解得3k > 所以4k = 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（1）34C π=；（2）选择条件②，AD = 【分析】（1）22222()(1tan )b b c a A =+--．利用余弦定理可得；222cos (1tan )b bc A A =-．化为(cos sin )b c A A =-，再利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）选择条件②，cos B =，可得sin 5B =．利用诱导公式可得sin sin()A BC =+，由正弦定理可得：sin sin c Aa C=．在ABD ∆中，由余弦定理可得AD ． 【详解】解：（1）在ABC 中，由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=， 所以222cos (1tan )b bc A A =-，所以(cos sin )b c A A =- 又由正弦定理知：sin sin b Bc C=，得sin sin (cos sin )B C A A =- 所以sin()sin (cos sin )A C C A A +=-即：sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C C A C A +=- 所以sin cos sin sin A C C A =-因为sin 0A ≠，所以cos sin C C =-，所以tan 1=-C 又因为0C π<<，所以34C π=（2）选择条件②：cos 5B =因为cos 5B =，所以sin 5B =因为sin sin()sin cos sin cos 10A B C B C C B =+=+=由正弦定理知：sin sin c aC A=，所以sin sin c A a C ==在ABD △中，由余弦定理知：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅解得：AD =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（1）详见解析；（2． 【分析】（1）O 为BE 的中点，利用等边三角形的性质可得OC BE ⊥，根据OF 是异面直线AB 与OC 的公垂线，可得OC OF ⊥．可得OC ⊥平面ABE ．进而得出：平面ABE ⊥平面BCE ． （2）根据F ，O 为中点，可得//OF AE ，又OF 是异面直线AB 与OC 的公垂线，可得OF AB ⊥，AE AB ⊥可得：OA ⊥平面BCE ．建立如图所示的空间直角坐标系．设平面ABCD 的一个法向量为(),,n x y z =，可得0n BA n BC ==，由C ，E ，D 的坐标可得CED ∆的重心G ．设直线AG 与平面ABCD 所成角为θ，则sin |cos AG θ=<，|||||||n AG n n AG >=．【详解】解：（1）证明：因为O 为BE 的中点，所以在等边BCE 中，OC BE ⊥ 又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线，所以OC OF ⊥又因为OF BE O ⋂=，OF BE ⊂、平面ABE ，所以OC ⊥平面ABE 因为OC ⊂平面BCE ，所以平面ABE ⊥平面BCE（2）因为F 、O 为中点，所以//OF AE ，又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线， 所以OF AB ⊥，AE AB ⊥，所以ABE △为等腰直角三角形连接AO ，AB AE ==1OA =因为OA BE ⊥，OA ⊂平面ABE ，平面ABE ⊥平面BCE 且平面ABE 平面BCE BE =所以OA ⊥平面BCE因此，以O 为原点，分别以OE 、OC 、OA 所在的直线为x 、y 、z 轴建系如图所示：则(0,0,1)A ，(1,0,0)B -，C ，(1,0,0)E 因为四边形ABCD 为平行四边形，设()000,,D x y z因为BC AD =，所以()000(1,,1x y z =-所以D设面ABCD 的一个法向量为(,,)n x y z =(1,0,1)BA =，(1,BC =由0000x z n BA n BC x ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩令1y =-，则x =z =(3,1,n =- 因为(0,3,0)C ，(1,0,0)E ，D ，所以CDE △的重心为G 的坐标为2133⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2233AG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设直线AG 与平面ABCD 所成角为θ，则3sin |cos ,|35||||AG AG AG n n n θ⋅=<>===⋅ 【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形与等腰直角三角形的性质、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）ˆ 4.5 3.7y x =+；30.7百亿元；（2）（i ）分布列详见解析，()E X p q =+；（ii ）3．【分析】（1）计算x 、y ，求出系数b 和a ，写出线性回归方程，利用方程计算6x =时y 的值即可；（2）()i 由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；()ii 根据题意求出()E Y 的解析式，利用换元法和求导法计算()E Y 取最大值时正整数k 的值． 【详解】解：（1）由已知可得：1234535x ++++==，91217212717.25y ++++==5119212317421527303i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑522222211234555ii x==++++=∑所以515222153035317.245ˆ 4.55553105i ii ii x yx ybxx ==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑所以ˆ17.2 4.53 3.7a y bx=-=-⨯= 所以ˆˆ 4.5 3.7ybx a x =+=+ 当6x =时， 4.56 3.730.7y =⨯+=（百亿元）所以估计2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7（百亿元） （2）（ⅰ）由题知，X 的可能取值为：0，1，2(0)(1)(1)P X p q ==-- (1)(1)(1)P X p q q p ==-+- (2)P X pq ==所以X 的分布列为：()0(1)(1)(2)2E X p q p q pq pq p q =⨯--++-+=+（ⅱ）因为Y kX =所以27sin sin ()()()2sin 44k k E Y kE X k p q k kk k k k πππππ⎛⎫ ⎪==+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭令110,2t k ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，设()2sin f t t t ππ=-，则()()E Y f t =因为1()2cos 2cos 2f t t t πππππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，且0,2t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以，当10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '>，所以()f t 在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当11,32t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '<，所以()f t 在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 所以，当13t =即3k =时，1()33f t f π⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭（百亿元）所以()E Y 取最大值时k 的值为3 【点睛】本题主要考查了概率与随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，属于中档题．21．（1）2212x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii．【分析】（1）由已知求得2(1,0)F ，可得1c =，又以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点，知b c =，从而求得a 与b 的值，则答案可求；（2）()i 由题意，1x =-为抛物线D 的准线，由抛物线的定义知，1222||||||AB d d AF BF =+=+，结合22||||||AB AF BF +，可知等号当且仅当A ，B ，2F 三点共线时成立．可得直线l 过定点2F ，根据椭圆定义即可证明11||||||EF EF FF ++为定值；()ii 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，求出||AB 与||EF可得21||||4S EF S AB ==；若直线l 的斜率存在，可设直线方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得||AB ，||EF，可得2212||1()1||242S EF S AB k ===∈+，由此可求21S S 的最大值．【详解】解：（1）因为2F 为抛物线2:4D y x =的焦点，故2(1,0)F所以1c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c =所以a =1b =所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=（2）（ⅰ）由题知，因为1x =-为抛物线D 的准线 由抛物线的定义知：1222||AB d d AF BF =+=+又因为22||AB AF BF ≤+，等号当仅当A ，B ，2F 三点共线时成立 所以直线l 过定点2F 根据椭圆定义得：112112||4EF EF FF EF EF FF FF a ++=+++==（ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x = 因为||4AB =，||EF =21||||4S EF S AB == 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，()2222240k x k x k -++= 所以212224k x x k ++=，212244||2k AB x x k +=++=设()33,E x y ，()44,F x y ，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-=则2342412k x x k +=+，23422212k x x k -=+所以)23421||12k EF x k+=-==+则2212||11||242S EF S AB k ⎛⎫⎪⎛⎫===⨯∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭综上知：21S S【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析． 【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可求a ，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求()f x 的范围；（2）先对()g x 求导，结合导数及（1）的结论可求函数()g x 的范围，即可证； （3）结合（1）（2）的结论，结合对数的运算性质可证． 【详解】解：（1）由题知：()(ln 1)2f x a x x '=+-，(1)20f a '=-= 所以2a =，2()2ln 2f x x x x =-+所以()2(ln 1)f x x x '=+-，令()ln 1h x x x =+-，则11()1xh x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 在区间(0,1)上单调递增； 当(1,2)x ∈时，()0h x '<，()h x 在区间(1,2)上单调递减； 所以()(1)0h x h ≤=，即()0f x '≤ 所以()f x 在区间(0,2)上单调递减，所以2()(2)4ln 22ln16ln 0f x f e >=-=->又因为()ln 10h x x x =+-≤，所以ln 1≤-x x ，所以2222()2ln 22(1)222(1)12f x x x x x x x x x x =-+≤--+=-+=-+< 综上知：当(0,2)x ∈时，0()2f x <<（2）由题意，因为2()()()4ln 322g x f x xf x x x x x ''=+=-++所以()()()222()22ln 2222()22g x x x x x x f x x x '=-++-+-=+-+- 由（1）知：()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()(1)1f x f >=， 又因为当(0,1)x ∈时，222(2,1)x x -+-∈--所以()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <= 由（1）可知：()0f x >，又(0,1)x ∈，∴()()0g x xf x => 综上可知：0()1g x << （3）由（1）（2）知：若(0,1)x ∈，1(1)()2f f x =<<，若(1,2)x ∈，0(2)()(1)1f f x f <<<= 因为1(0,1)a ∈，∴()21(1,2)a f a =∈，()32(0,1)a f a =∈，()43(1,2)a f a =∈ 所以21(0,1)k a -∈，2(1,2)k a ∈，*k ∈N 当2n k =时，()()()()()()12312342213211n k k k a a a a a a a a a a g a g a g a ++⨯⨯⨯⨯==<………当21n k =-时，()()()()()()12312342322211323211n k k k k k a a a a a a a a a a a g a g a g a a -----⨯⨯⨯⨯==<………所以1231n a a a a ⨯⨯⨯⨯<…，从而()121ln ln 0nin i aa a a ==⨯⨯⨯<∑…【点睛】本题综合考查了导数及函数的性质在证明不等式中的应用，考查了考试的逻辑推理与运算的能力，属于难题．。

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A2019——2020学年度高三模拟考试数学试题 2020．04考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()12z i i +=，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2=|20M x x -<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =I （ ） A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-3．南北朝时代数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S ，2S ，则“1V ，2V 相等”是“1S ，2S 总相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知圆22:1C x y +=，直线:40l ax y -+=．若直线l 上存在点M ，以M 为圆心且半径为1的圆与圆C 有公共点，则a 的取值范围（ ） A ．(][),33,-∞-+∞UB ．[]3,3-C ．(),-∞+∞UD ．⎡⎣5．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知函数()f x x ω=和()()0g x x ωω=>的图像的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点．为了得到()y g x =的图像，只需把()y f x =的图像（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位 8．如图，在直角坐标系xOy 中，一个质点从()12,A a a 出发沿图中路线依次经过()34,B a a ，()56,C a a ，()78,D a a ，L ，按此规律一直运动下去，则2017201820192020a a a a +++=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

山东师范大学附属中学2020届高三下期4月学习质量评估考试数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0,1,2,3}，2(|230),B x x x =--<则A ∪B= A.(-1,3)B. (-1,3]C. (0,3)D. (0,3]2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ·i=1+2i,则z 的共轭复数为 A.2-iB.1- 2iC.2 +iD.i-23.已知两个力12(1,2),(2,3)F F ==-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3,F 3F =A.(1,-5)B.(-1,5)C.(5,-1)D.(-5,1)4.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan2θ=5.A -5.B5.C -5.D 5.函数f(x)= x+cos x 的大致图象是6.已知x>0,y>0,且191,x y+=则xy 的最小值为 A.100B.81C.36D.97.已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为1，P 是1上一点，直线PF 与抛物线交于M,N 两点,若3,MF PF =u u u r u u u r则|MN|=16.3A8.3B C.23.3D 8.已知a 123,,{2,4,6}.a a ∈，记123(,,)a a a N 为123,,a a a 中不同数字的个数,如:N(2,2,2)=1，N(2,4,2)=2，N(2,4,6)=3, 则所有的123(,,)a a a 的排列所得的123(,,)N a a a 的平均值为19.9A B.329.9C D.4二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9."一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体。

2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1. C2. B3. A4. B5. B6. D7. A8. C 二、多项选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题13. 45-14. 300 15. 12 16. 24x y =，四、解答题17．解：（1）因为2cos cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得所以2sin cos cos sin cos )A A B C C B =+, …………………………1分即 2sin cos )A A B C =+， …………………………2分 又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=所以2sin cos A A A =， …………………………3分 而0A π<<，sin 0A ≠所以cos A =所以6A π=. …………………………4分（2）因为11sin 22ABCBC S bc A a h ∆==⋅ …………………………5分将b =3BC h =，1sin 2A =代入，得a =…………………………6分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是2222c =+-⨯， …………………………8分 即 29180c c -+=，解得3c =或6c =. …………………………10分18．解：设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则18b q=，38b q =， 于是8384q q-⨯=， …………………………2分 即2620q q +-=，解得12q =，23q =-（舍去）. …………………………4分 若选①：则142a b ==，41434202S a d ⨯=+=，解得2d =， …………………………6分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，…………………………8分 1111(1)1n S n n n n ==-++， …………………………9分 于是12111111111+(1)()()122311k k T S S S k k k =++=-+-++-=-++L L ……10分 令1151116k ->+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16. ……12分 若选②：则142a b ==，113232(2)2a d a d ⨯+=+，解得12a d ==.下同①.若选③：则142a b ==，113(2)(3)8a d a d +-+=，解得43d =. ………………6分 于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+， …………………8分 131311()2(2)42n S n n n n =⨯=-++， ……………………9分 于是31111111[(1)()()()]4324112k T k k k k =-+-++-+--++L 3111(1)4212k k =+--++ 9311()8412k k =-+++， ………………………………………10分 令1516k T >，得111124k k +<++，注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7. ………………………12分19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点,所以DE 是ABC ∆的中位线，所以//DE AC ， …………………………2分y又DE PAC ⊄平面，AC PAC ⊂平面，所以//DE PAC 平面.同理可证//EF PAC 平面. ………………………………………3分 又DE EF E =I ，,DE DEF EF DEF ⊂⊂平面平面，所以平面//DEF PAC 平面， ……………………………………4分 因为GF DEF ⊂平面，所以//GF PAC 平面. ………………………………5分 （2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，以向量,EB EP u u u r u u u r所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP u u u r u u u r垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -. ………6分设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11(0,,)22F ，1,0)2G ， 11(0,,)22FE =--u u u r，1()62FG =-u u u r ， 11(0,,)22FP =-u u u r . ……………………7分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00FE FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg m m，即00y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 令1z =，得1y =-，x =1,1)=-m …………………………9分又平面PFG 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则00FG FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg n n，即111100x y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 令11y =，得11z =，1x =于是取=n ………………………………………………11分 设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，则3cos cos ,5θ=<>===g m n m n m n . 所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为35. ………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为13011090110100600.61000+++++=，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6. …………………2分（2）由题意得列联表如下：…………3分2K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ …………………5分 因为5.542 3.841>所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人. ………………7分随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,2164310(2)n n C C P C ξ++==,36310(3)n n C P C ξ++==, ………………9分 所以随机变量ξ的分布列为0312213646464633331010101001232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=⨯+⨯+⨯+⨯≥ ………………10分12213364646101232n n n n C C C C C C ++++⨯+⨯+⨯≥,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23n n n n n n n n n ++++++++≥+++， 23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，3(6)2(10)n n +≥+，解得2n ≥. …………………………………………12分 21．解：（1）由()0f x ≤可得，1ln (0)xa x x+≥>， 令1ln ()x h x x +=，则221(1ln )ln ()x x x x h x x x ⋅-+-'==， ………………1分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值， ………………3分 要使1ln xa x+≥，只需(1)1a h ≥=， 故a 的取值范围为1a ≥， ………………4分显然，当1a =时，有1ln 1xx+≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立， 令11()n x n n *+=>∈N ，则有111ln 1n n n n n ++<-=，所以231111ln ln ln 11223n n n ++++<++++L L ，即：1111ln(1)23n n++++>+L ； ………………6分（2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e x xa x x+=--，令21ln ()(1)e x x t x x x +=--，则22ln ()(1)e x xt x x x-'=--， ………………8分 当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单调递减，故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =， ………………10分 又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞， ………………11分所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解. ………………12分 22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得22224214a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2284a b ==，，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ……3分 （2）设11((,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ，所以110OP OQ x t =+=u u u r u u u r g，即1y =. ……………………4分因为Q 点在椭圆上，所以2211184x y +=. （i）将1y =代入椭圆，得212324x t =+，221244t y t =+，于是22222114=(8)4()OP OQ t x y ++++2264244t t =+++,t ∈R . …………5分 因为2264244t t +++2264+4204t t =+++20≥36= 当且仅当2264+4=4t t +，即=2t ±时，取等号. 所以224OP OQ +的取值范围为[36,)+∞. ……………………………………7分 （ii ）存在.定圆的方程为224x y +=.假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值.因为11((,)P t Q x y ，所以直线PQ 方程为11()(()0x t y y x t -----=，整理可得1111(()0y x x t y ty ----+=， ………………………………8分 所以O 到直线PQ的距离d =， …………………………9分由（i）知，1y =，得212324x t =+，221244t y t =+，110x t +=，注意到10x ≠，知11t x =-.所以222111|||ty t -+=+=+， …………………10分又=2=== ……………………11分所以2d r ===，因此，直线PQ 与圆224x y +=恒相切. …………………………………………12分。

2020年4月普通高考（山东卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z ＝1a ii＋－（a 为实数），若z 为纯虚数，则a 是（ ） A ．－1 B ．1 C ．－2D ．22．若3422a b c ln ===，，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．已知()0,1A ，()3,5B ，向量a AB =r u u u r ，()sin ,cos b αα=r ，且//a b r r，则tan α=（ ）A ．34B ．34-C ．43D ．43-4．已知02παβ<<<且()41,tan 53sin ααβ=-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．913C ．139D ．35．函数在处的切线过点，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，某广场要规划一矩形区域ABCD ，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m 宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m 2，则该矩形区域ABCD 占地面积的最小值为( )A ．248 m 2B ．288 m 2C ．328 m 2D ．368 m 27．如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧»AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的全面积与体积分别为（ ）A ．B ．100(1π+C ．D ．100(1π+ 8．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

2020年高三统一质量检测数学试题全卷满分150 分.考试用时120分钟｡一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,复数12,iz i-=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –iB.1C. iD. -12.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B= A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是 A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b5.已知函数39,0()( 2.718...,0x xx f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β= A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2.B.C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=r r r r r 设,a b rr 的夹角为θ,则.||||A a b =r r .B a c ⊥r r.//C b c r r D. θ=135° 10.已知函数22()sin 23sin cos cos ,f x x x x x =+-x ∈R,则 A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π.3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}n n n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.3 11.B AA CC ⊥C.该四棱台的表面积为26D.该四棱合外接球的表面积为16π三､填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分｡ 13.若∀x 1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____ 15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L ､S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S ､圆L 均与圆Q 外切｡已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L ､圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ; (2)若直线l 截圆L ､圆S ､圆Q 所得弦长均等于d,则d=____. (本题第一个空2分,第二个空3分)四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡ 17.(10分)设等差数列{}n a 的前n项和为,n S 等比数列{}n b 的前n项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139k T >？若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由｡18.(12分)在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--. (1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度｡ 条件①:△ABC 的面积S=4且B> A; 条件②:25cos 5B =注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线｡(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.20. (12 分)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡ (1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:年份2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿元）912172127求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A ､B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在A ､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k(k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sin sin,44k k p q k k kπππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值.附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值; (ii)求21S S 的最大值.22. (12 分)已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1. (1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ; (3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.ni ia=<∑最新文档。

绝密★启用前山东省2020年普通高中学业水平等级考试(模拟卷)数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}|){(}2|){(2x y y x B y x y x A ===+=，，，,则=B A I A ．)}11{(， B ．)}42{(，- C ．)}42()11{(，，，- D ．Φ2．已知)(R b a bi a ∈+，是ii +-11的共轭复数,则=+b a A ．1- B ．21- C ．21 D ．1 3．设向量)12()31()11(，，，，，=-==c b a ,且c b a ⊥-)(λ,则=λA ．3B ．2C ．2-D ．3- 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是 A ．210- B ．120- C ．120 D ．2105．已知三棱锥ABC S -中,2π=∠=∠ABC SAB ,4=SB ,132=SC ,2=AB ,6=BC ,则三棱锥ABC S -的体积是A ．4B ．6C ．34D ．366．已知点A 为曲线)0(4>+=x xx y 上的动点,B 为圆1)2(22=+-y x 上的动点,则||AB 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．23 D ．247．设命题p ：所有正方形都是平行四边形,则p ⌝为A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形8．若1>>>c b a 且2b ac <,则A ．a c b c b a log log log >>B ．c a b a b c log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c b a a c b log log log >>二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

绝密★启用前山东省潍坊市昌乐县普通高中2020届高三毕业班下学期4月高考模拟考试数学试题2020年4月一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =IA ．{|14}x x -<<B ．{|03}x x <<C ．{|02}x x <<D ．{|01}x x <<2．设复数z 满足||1z i +=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则A ．22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+= C ． 22(1)1x y ++= D ．22(1)1x y +-=3．已知123a =，131log 2b =，21log 3c =，则 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75．现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为x ,方差为2s ,则A ．70x =,275s <B ．70x =,275s >C ．70x >,275s <D ．70x <,275s >5.已知角α的终边经过点(sin47,cos 47)P o o ,则sin(-13)=αoA. B. 12-D.126．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,……,该数列的特点是：前两个数均为1,从第三数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,则()()()222132243354+a aa a a a a a a -+-+-+L L ()2201320152014a a a -=A.1006- B ．0 C ．1007 D ．17．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >,0b >）的左、右焦点分别为12,F F ,O 为坐标原点．P是双曲线在第一象限上的点,直线PO 交双曲线C 左支于点M ,直线2PF 交双曲线C 右支于另一点N ．若122PF PF =,且260MF N ︒∠=,则双曲线C 的离心率为A B ． C D 8．设()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时,()x f x e =,若对任意的[,1]x a a ∈+,不等式2()()f x a f x +≥恒成立,则实数a 的最大值是A ．32-B ．23-C ．34- D ．2 二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分． 9.设函数(32)1,1()(0,1),1x a x x f x a a a x --≤⎧=>≠⎨>⎩,下列关于函数的说法正确的是A.若2a =,则2(log 3)3f =B.若()f x 为R 上的增函数,则312a <<C.若(0)1f =-,则32a = D.函数()f x 为R 上的奇函数 10.已知函数()|cos |sin f x x x =+,则下列结论正确的是A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象是轴对称图形C.函数()f xD.函数()f x 的最小值为1-11.已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为A.1MB.2MC.3MD.4M12.在三棱锥D-ABC 中,AB=BC=CD=DA =1,且AB ⊥BC ,CD ⊥DA ,M,N 分别是棱,BC CD 的中点,下面。

2020年山东省高考数学（4月份）模拟试卷一、选择题. 1．复数√3+i1−√3i（i 为虚数单位）等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．若集合A ={y|y =x 13，−1≤x ≤1}，B ={x|y =√1−x}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣∞，1]B ．[﹣1，1]C ．∅D ．13．若0＜x ＜y ＜1，则下列不等式成立的是（ ） A ．(12)x ＜(12)y B ．x −12＜y −12C ．log 2x 12＜log 2y 12D ．log 12x 3＜log 12y 34．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 满足PA →=2PM →，则AM →⋅(PB →+PC →)=（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−235．设函数f(x)=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)，x ∈R ，则函数f （x ）是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数6．过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2+y 2＝5相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ） A ．2√2B ．3C ．2√3D ．67．一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．388．设F 1，F 2是双曲线x 2−y 224=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．4√2B ．8√3C ．24D ．48二、多项选择题：（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，优题速享部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．则下列函数可以构成互生函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=√2(sinx +cosx) C ．f （x ）＝sin xD ．f(x)=√2sinx +√210．平面α外有两条直线m 和n ，从下面的条件中可以推出m ⊥n 的是（ ） A ．m ⊥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ⊥α，n ⊂αD ．m ∥α，n ∥α11．设y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y ＝f （x ）的判断正确的是（ ） A ．y ＝f （x ）是周期为2的函数 B ．y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称 C ．y ＝f （x ）在[0，1]上是增函数D ．f(12)=0．12．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，在定义域x ∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为﹣1．下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是奇函数B ．若f （x ）在[s ，t ]内递减，则|t ﹣s |的最大值为4C ．若f （x ）的最大值为M ，则最小值为﹣MD ．若对∀x ∈[﹣2，2]，k ≤f '（x ）恒成立，则k 的最大值为2 三、填空题（每题5分，共20分）13．点M （5，3）到抛物线x 2＝ay （a ＞0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ． 14．若(x +1x )n 展开式中第2项与第6项的系数相同，则n ＝ ，那么展开式的常数项为 ．15．已知函数f(x)={log 2x 3x (x ＞0)#/DEL/#(x ≤0)#/DEL/#，且关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ． 16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如表的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？ （请用百分数表示） 附： P （K 2＞k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)四、解答题（本题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C =√55．（1）求角B 的大小；（2）若c ＝4，求△ABC 面积．18．已知数列{a n }满足a n+1=1+an3−an(n ∈N ∗)，且a 1=13.（I ）求证：数列{1a n −1}是等差数列，并求a n ；（II ）令b n =2(n+2)2a n(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n （n ∈N *）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？ 20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使PA ∥平面MQB ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小21．已知函数f （x ）=1−xax+lnx ． （Ⅰ）当a ＝1时，求f （x ）在[12，2]上最大值及最小值； （Ⅱ）当1＜x ＜2时，求证（x +1）lnx ＞2（x ﹣1）．22．已知椭圆两焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为2√2，离心率为√22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且PF 1→⋅PF 2→=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点． （1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．参考答案一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数√3+i1−√3i（i为虚数单位）等于（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】先把√3+i1−√3i 等价转化为√3+i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i)，由此能求出结果．解：√3+i1−√3i=(√3+i)(1+√3i)(1−3i)(1+3i)=4i4＝i．故选：C．2．若集合A={y|y=x13，−1≤x≤1}，B={x|y=√1−x}，则A∩B＝（）A．[﹣∞，1]B．[﹣1，1]C．∅D．1【分析】集合A表示的是函数的值域，求出幂函数的值域即集合A，集合B表示的函数的定义域，令被开方数大于等于0求出解集即集合B；利用交集的定义求出A∩B．解：∵A={y|y=x13，−1≤x≤1}={y|﹣1≤y≤1}集合B={x|y=√1−x}={x|x≤1}∴A∩B＝[x|﹣1≤x≤1}故选：B．3．若0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是（）A．(12)x＜(12)y B．x−12＜y−12C．log2x12＜log2y12D．log12x3＜log12y3【分析】由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，得出结论．解：∵0＜x＜y＜1，根据指数函数的单调性可得(12)x＞(12)y，故A错误；再根据幂函数的单调性可得x−12＞y−12，故B错误；再根据对数函数的单调性可得log 2x 12＜log 2y 12，故C 正确；由x 3＜y 3，函数y =log 12x 在（0，+∞）上是减函数，可得log 12x 3＞log 12y 3，故D 错误，故选：C ．4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 满足PA →=2PM →，则AM →⋅(PB →+PC →)=（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−23【分析】由题设条件 PB →+PC →=2 PM →=P →A ，故可得 AM →•（ PB →+PC →）=−A →M 2，由于线段AM 长度可以求出，故可解出 A →M •（ PB →+PC →）的值． 解：∵PA →=2PM →，∴M 为PA 的中点，又AM ＝1，M 是BC 的中点， ∴AM →⋅(PB →+PC →)=2AM →⋅PM →=−2， 故选：B ．5．设函数f(x)=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)，x ∈R ，则函数f （x ）是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y ＝A sin ωx 的形式，然后由y ＝A sin ωx 的性质得出相应的结论． 解：f （x ）=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)=1+cos(2x+π2)2−1−cos(2x+π2)2＝﹣sin2x所以T ＝π，且为奇函数． 故选：A ．6．过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2+y 2＝5相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ）A ．2√2B ．3C ．2√3D ．6【分析】用点斜式求出直线l 的方程，再求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出线段MN 的长．解：过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 的斜率为1，方程为y ﹣0＝（x +2），x ﹣y +2＝0，圆x 2+y 2＝5的圆心到直线x ﹣y +2＝0 的距离等于√2=√2，由弦长公式得 MN ＝2√5−2=2√3， 故选：C ．7．一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．38【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是把一个各面都涂满红色的4×4×4正方体，锯成同样大小的单位小正方体，共有4×4×4种结果，满足条件的事件是仅有一面涂有色彩的小正方体，共有4×6种结果，得到概率． 解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是把一个各面都涂满红色的4×4×4正方体， 锯成同样大小的单位小正方体，共有4×4×4＝64种结果，满足条件的事件是仅有一面涂有色彩的小正方体，共有4×6＝24种结果， ∴根据古典概型概率公式得到P =2464=38， 故选：D ．8．设F 1，F 2是双曲线x 2−y 224=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ） A ．4√2B ．8√3C ．24D ．48【分析】先由双曲线的方程求出|F 1F 2|＝10，再由3|PF 1|＝4|PF 2|，求出|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，由此能求出△PF 1F 2的面积．解：F 1（﹣5，0），F 2（5，0），|F 1F 2|＝10， ∵3|PF 1|＝4|PF 2|，∴设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=43x ，由双曲线的性质知43x −x =2，解得x ＝6．∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， ∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积=12×8×6=24． 故选：C ．二、多项选择题：（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，优题速享部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．则下列函数可以构成互生函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=√2(sinx +cosx) C ．f （x ）＝sin xD ．f(x)=√2sinx +√2【分析】根据新定义和利用三角函数的图象的性质可得答案． 解：f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），将函数的图象向右平移π4个单位，在向上平移√2个单位可得函数f(x)=√2sinx +√2，根据题意如果若干个函数的图象经过平移后能够重合， 则称这些函数为“互为生成”函数． 则函数可以构成互生函数是A 、D ， 故选：AD ．10．平面α外有两条直线m 和n ，从下面的条件中可以推出m ⊥n 的是（ ） A ．m ⊥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ⊥α，n ⊂αD ．m ∥α，n ∥α【分析】在A 中，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ；在B 中，m ，n 平行；在C 中，由线面垂直的性质定理得m ⊥n ；在D 中，m ，n 相交、平行或异面． 解：由平面α外有两条直线m 和n ，知：在A 中，若m ⊥α，n ∥α，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ，故A 正确； 在B 中，若m ⊥α，n ⊥α，则m ，n 平行，故B 错误；在C 中，若m ⊥α，n ⊂α，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ，故C 正确； 在D 中，若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：AC ．11．设y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f（x）的判断正确的是（）A．y＝f（x）是周期为2的函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称C．y＝f（x）在[0，1]上是增函数D．f(12)=0．【分析】由y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，可得f（x）＝f（x+2），求出周期，因为f（﹣x）＝f（x），所以f（﹣x）＝f（x+2），可得x＝1是对称轴及在[0，1]上单调递减，因为f（x+1）＝﹣f（x），令x=−12可得f（12）＝﹣f（−12）可得f（12）＝﹣f（12），所以f（12）＝0，故选出答案．解：因为y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣f（x+1），而f（x）＝﹣f（x﹣1），所以f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x）＝f（x+2），所以可得函数的周期T＝2，所以A 正确，因为f（﹣x）＝f（x），所以f（﹣x）＝f（x+2），所以对称轴x=−x+x+22=1，即关于x＝1对称，所以B正确；由函数f（x）为偶函数关于y轴对称，又在[﹣1，0]上是增函数，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；因为f（x+1）＝﹣f（x），令x=−12可得f（12）＝﹣f（−12）可得f（12）＝﹣f（12），所以f（12）＝0，所以D正确，故选：ABD．12．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为﹣1．下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．若f（x）在[s，t]内递减，则|t﹣s|的最大值为4C．若f（x）的最大值为M，则最小值为﹣MD．若对∀x∈[﹣2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2【分析】利用过原点求出c的值为0，再根据在x＝﹣1或1处的导数为﹣1，列方程组求出a ，b ．解：由题意f （0）＝0，得c ＝0． f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，∴{3+2a +b =−13−2a +b =−1，解得a ＝0，b ＝﹣4． ∴f （x ）＝x 3﹣4x ，f ′（x ）＝3x 2﹣4．对于A ，C ，显然f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）是奇函数，故A ，C 正确； 对于B ，令f ′（x ）＜0解得23x 23，所以|s −t|≤434，故B 错误； 对于D ，当x ∈[﹣2，2]时，3x 2﹣4≥﹣4，故k 的最大值为﹣4．故D 错误． 故选：AC ．三、填空题（每题5分，共20分）13．点M （5，3）到抛物线x 2＝ay （a ＞0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 x 2＝12y ．【分析】先根据抛物线的方程表示出抛物线的准线方程，然后表示出点M 到准线的距离，根据结果为6求得a ，则抛物线的方程可得． 解：根据抛物线方程可知抛物线的准线为y =−a4则点M 到准线的距离为|3+a4|＝6，求得a ＝12或a ＝﹣36， 故抛物线方程为x 2＝12y ， 故答案为：x 2＝12y ．14．若(x +1x)n 展开式中第2项与第6项的系数相同，则n ＝ 6 ，那么展开式的常数项为 20 ．【分析】利用二项式系数的性质可知 ∁n 1=∁n 5，从而得n ＝6，于是利用二项展开式的通项公式即可求得常数项．解：由题可得∁n 1=∁n 5，从而得n ＝6；∴（x +1x ）6的展开式的通项公式为：∁6r •x 6﹣r •(1x)r =∁6r •x 6﹣2r ； 令6﹣2r ＝0可得r ＝3； ∴展开式的常数项为：∁63=20； 故答案为：6，20．15．已知函数f(x)={log 2x 3x (x ＞0)#/DEL/#(x ≤0)#/DEL/#，且关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是 （1，+∞） ． 【分析】关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根⇔y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点，结合图象可求观察．解：关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根⇔y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a ＞1时，y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点． 故答案为：（1，+∞）．16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如表的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？ 99.5% （请用百分数表示） 附： P （K 2＞k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)【分析】由独立性检验公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)求出K 2，结合表格数据判断出 即可．解：由独立性检验公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50(20×15−10×5)225×25×30×20=253＞7.879，故至少有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故答案为：99.5%四、解答题（本题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tan A＝3，cos C=√55．（1）求角B的大小；（2）若c＝4，求△ABC面积．【分析】（1）求出C的正切函数值，利用两角和的正切函数求解即可．（2）利用正弦定理求出b，然后求解A的正弦函数值，然后求解三角形的面积．解：（1）∵cos C=√55，∴sin C=2√55，∴tan C＝2．∵tan B＝﹣tan（A+C）=−tanA+tanC1−tanAtanC=−3+21−3×2=1，又0＜B＜π，∴B=π4．（2）由正弦定理，得bsinB =csinC，∴b=c×sinBsinC=4×√222√55=√10．∵B=π4，∴A=3π4−C．∴sin A＝sin（3π4−C）＝sin3π4cos C﹣cos3π4sin C=√22×√55−（−√22）×2√55=3√1010．∴S△ABC=12bc sin A=12×√10×4×3√1010=6．18．已知数列{a n}满足a n+1=1+a n3−a n(n∈N∗)，且a1=13.（I）求证：数列{1a n−1}是等差数列，并求a n；（II）令b n=2(n+2)2a n(n∈N∗)，求数列{bn}的前n项和T n．【分析】（I）对a n+1=1+a n3−a n两边同时减去1，整理得到a n+1−1=1+a n3−a n−1=2a n−23−a n，然后两边同时取倒数得到1a n+1−1=−12+1a n−1，即1a n+1−1−1a n−1=−12，进而可证数列{1a n−1}是等差数列，结合等差数列的定义可得到1a n−1=113−1=−32，整理即可得到a n的表达式．（II ）先根据（I ）中的a n 的表达式表示出b n ，然后根据数列求和的裂项法求得答案．解：（I ）∵a n+1=1+a n 3−a n ∴a n+1−1=1+a n 3−a n −1=2a n−23−an故1a n+1−1=3−a n 2a n −2=1−a n 2a n −2+22a n −2=−12+1a n −1∴1a n+1−1−1a n −1=−12∴数列{1a n −1}是公差为−12的等差数列 而a 1=13，∴1a n −1=113−1=−32∴1a n −1=−32−12(n −1)=−n+22∴a n −1=−2n+2a n =1−2n+2 =nn+2（II ）由（I ）知a n =nn+2 ∴b n =2(n+2)2⋅nn+2=2n(n+2)=1n −1n+2故T n ＝b 1+b 2++b n =11−13+12−14++1n −1n+2=1+12−1n+1−1n+2=32−2n+3(n+1)(n+2)19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n （n ∈N *）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？ 【分析】（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望．（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C ，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果．解：（1）设袋中黑球的个数为x（个），记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则P(A)=x15=25．∴x＝6．设袋中白球的个数为y（个），记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则P(B)=1−C15−y2C152=47，∴y2﹣29y+120＝0，∴y＝5或y＝24（舍）．∴红球的个数为15﹣6﹣5＝4（个）．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是ξ的数学期望Eξ=1121×0+44105×1+235×2=56105=815；（2）设袋中有黑球z个，则z=25n(n=5，10，15，）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出则P(C)=1−C35n2C n2=1625+625×1n−1，当n＝5时，P（C）最大，最大值为710．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小【分析】（1）证明平面PAD 内的直线AD ，垂直平面PQB 内的两条相交直线BQ ，PQ ，即可证明平面PQB ⊥平面PAD ；（2）连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，说明PA ∥平面MQB ，利用PA ∥MN ，根据三角形相似，即可得到结论；（3）建立空间直角坐标系，先求出平面MQB 的法向量，平面ABCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【解答】（1）证明：连BD ，∵四边形ABCD 菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形， ∵Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴AD ⊥PQ又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，AD ⊂平面PAD ∴平面PQB ⊥平面PAD ；（2）当t =13时，使得PA ∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，连接MN ，则O 为BD 的中点， 又∵BQ 为△ABD 边AD 上中线，∴N 为正三角形ABD 的中心，令菱形ABCD 的边长为a ，则AN =√33a ，AC =√3a ．∴PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB ＝MN ∴PA ∥MN ∴PM PC=AN AC =13即：PM =13PC ，t =13；（3）由PA ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （0，√3，0）），Q （0，0，0），P （0，0，√3）设平面MQB 的法向量为n →=(x ，y ，1)，可得{n →⋅QB →=0n →⋅MN →=0，而PA ∥MN ，∴{n →⋅QB →=0n →⋅PA →=0，∴y ＝0，x =√3∴n →=(√3，0，1)取平面ABCD 的法向量m →=(0，0，1)∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12∴二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小为60°． 21．已知函数f （x ）=1−xax+lnx ． （Ⅰ）当a ＝1时，求f （x ）在[12，2]上最大值及最小值； （Ⅱ）当1＜x ＜2时，求证（x +1）lnx ＞2（x ﹣1）．【分析】（Ⅰ）求出f （x ），求f ′（x ），根据导数符号判断函数f （x ）在[12，2]上的极值情况，再求端点值，即可得到函数f （x ）的最值．（Ⅱ）为便于求导数，因为x +1＞0，所以要证明原不等式成立，只要证明lnx ＞2(x−1)x+1即可．构造函数F （x ）=lnx −2(x−1)x+1，求导数F ′（x ）判断函数F （x ）在（1，2）上的单调性，经判断得到F （x ）在（1，2）上单调递增，所以F （x ）＞F （1）＝0，这样即证出lnx ＞2(x−1)x+1，所以证出原不等式． 解：（Ⅰ）f （x ）=1x +lnx −1，f ′（x ）=−1x 2+1x =x−1x2； ∴x ∈[12，1)时，f ′（x ）＜0；x ∈（1，2]时，f ′（x ）＞0；f （1）＝0是函数f （x ）的极小值，即f （x ）的最小值；又f （12）＝1﹣ln 2，f （2）＝ln 2−12；∴f （x ）的最大值是1﹣ln 2；∴函数f （x ）在[12，2]上的最小值是0，最大值是1﹣ln 2；（Ⅱ）∵x +1＞0，∴要证明原不等式成立，只要证明lnx ＞2(x−1)x+1； 设F （x ）=lnx −2(x−1)x+1，则F ′（x ）=1x −2(x+1)−2(x−1)(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2＞0； ∴函数F （x ）在（1，2）上是增函数，∴F （x ）＞F （1）＝0；∴lnx ＞2(x−1)x+1； ∴原不等式成立．22．已知椭圆两焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为2√2，离心率为√22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且PF 1→⋅PF 2→=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点． （1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可知b ，进而根据离心率和a ，b 和c 的关系求得a 和c ，则椭圆的方程可得．进而求得焦点的坐标，设出点P 的坐标，分别表示出PF1→和PF2→，进而根据PF 1→⋅PF 2→=1求得x 0和y 0的关系式，把点P 的坐标代入椭圆方程求和另一个关系式，联立方程求得x 0和y 0即P 的坐标．（2）根据（1）可知PF 1∥x 轴，设PB 的斜率为k ，根据点斜式表示出直线的方程，与椭圆的方程联立消去y ，设出B 的坐标，根据题意可求得x B 的表达式，同理求得x A 的表达式，进而可知x A ﹣x B 的表达式，根据直线方程求得y A ﹣y B ，进而根据斜率公式求得直线AB 的斜率，结果为定值． 解：（1）设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1，由题意可得b =√2，c a=√22，即a =√2c ， ∵a 2﹣c 2＝2 ∴c =√2，a ＝2∴椭圆方程为y 22+x 24=1∴焦点坐标为（0，√2），（0，−√2），设p （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0） 则PF 1→=（﹣x 0，√2−y 0），PF 2→=（﹣x 0，−√2−y 0）， ∴PF 1→•PF 2→=x 02﹣（2﹣y 02）＝1 ∵点P 在曲线上，则y 024+x 022=1∴x 02=4−y 022， 从而4−y 022−（2﹣y 02）＝1，得y 0=√2，则点P 的坐标为（1，√2）（2）由（1）知PF 1∥x 轴，直线PA ，PB 斜率互为相反数，设PB 的斜率为k （k ＞0）， 则PB 的直线方程为y −√2=k （x ﹣1），由{y −√2=k(x −1)x 22+y 24=1得（2+k 2）x 2+2k （√2−k ）x +（√2−k 2）﹣4＝0 设B （x B ，y B ），则x B =2k(k−√2)2+k2−1=k 2−2√2k−22+k 2，同理可得x A =k 2+2√2k−22+k2，则x A −x B =4√2k 2+k2，y A ﹣y B ＝﹣k （x A ﹣1）﹣k （x B ﹣1）=8k 2+k2所以AB 的斜率k AB =y A −yB x A−x B=√2为定值．。

绝密★启用前2020届山东省烟台市高三4月模拟考试（一模）数 学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{}ln(1)M x y x ==+，{}e x N y y ==，则M N =IA .(1,0)-B .(1,+)-∞C .(0,+)∞D .R 2.已知复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则z =A .1i +B .1i -C .12i +D .12i - 3.设x ∈R ，则“|2|1x -<”是“2230x x +->”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.数列{}n F ：121F F ==，()122n n n F F F n --=+>，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为A .33B .34C .49D .505.设ABCD 为平行四边形，||4AB =u u u r ，||6AD =u u u r ，3BAD π∠=．若点,M N 满足BM MC =uuu r uuu r ，2AN ND =uuu r uuu r，则NM AM =uuur uuu r gA .23B .17C .15D .96.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下 后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落 过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为A .332B .1564 C .532D .5167.设P 为直线3440x y -+=上的动点，,PA PB 为圆22:(2)1C x y -+=的两条切线，,A B 为切点，则四边形APBC 面积的最小值为A.3B.23C.5D.258.已知函数e e ()e e x xx xf x ---=+，实数,m n 满足不等式(2)(2)0f m n f n -+->，则下列不等关系成立的是A.1m n +>B.1m n +<C.1m n ->-D.1m n -<- 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省2020年普通高中学业水平等级考试（模拟）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一．选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。

1-8小题只有一个选项．．．．．．符合题意，9 -12为多选题）1．设集合，，则A∩B=( )．A.{0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [1,3]D. [0,3]2.已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要比充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.函数，若，，，则（）A. B. C. D.4.已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足，若，则（）A. B. 3 C. 6 D. 与有关的数值5.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。

例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，。

根据这些信息，可得sin234°＝A. B. C. D.6.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且,若,则展开式中常数项( )A. 32B. 24C. 4D. 87.在棱长为1的正四面体A-BCD中, E是BD上一点, ,过E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为（）A. B. C. D.8.若定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是( )A.(3，＋∞)B. (－∞，3)C. (－3，＋∞)D. (－∞，－3)以下为多选题：9. 已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设为数列前n项和，则当时，n的取值可以是下面选项中的（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知函数，则关于x的方程的实根个数可能为（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个11. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F 为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A. 点到平面的距离B. 直线与平面所成的角C. 三棱锥的体积D. △的面积12.函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为A，B两点间距离，定义为曲线在点A与点B之间的“曲率”，其中正确命题为：A.存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；B.函数图像上两点A与B的横坐标分别为1,2，则“曲率”；C.函数图像上任意两点A、B之间的“曲率”；D.设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数t的取值范围是(－∞,1).二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。