数理逻辑与集合论作业二 - 参考解答

无限集合初步z写出集合论公理的一阶描述. 解答外延公理:空集公理:偶对公理:并集公理:子集公理:幂集公理:无穷公理:替换公理:正规公理:选择公理：□z证明:可数符号表上有限长字符串集合是可数的.证明假设给定的可数符号表是集合 , 则 {长度是 的字符串的集合 . {长度是 的字符串的集合 .{每个 都是可数集合, 这可数个可数集合的并集是可数的.高等数理逻辑作业全部]xy(]z(z J x ?z J y)> x =y )^x ]y(y J x)./]xy ^u ]z(z J u ?z=x Z z=y).]x ^u ]y(y J u ?(^z(z J x [y J z))).]x 1,l ,x n ]x ^y ]z(z J y ?z J x [9).]x ^y(]z(z J y ?z N x )).^x(IJ x [(]y(y J x >y +J x ))).]x 1,l ,x n ]x(<> ^y ]z(z J y ?^u J x 9[u,z])).]x(x=I> ^y(y J x [y Q x=I ))./]x(x=I> ^y(91[92))./A 1S 1=A 2S 2={ab|a,b J A}l S n□z证明: .证明可以仅考虑开区间 内的实数, 证明可以按照以下方式构造双射: □公理集合论初步z空集是函数. 证明是一个函数, 当且仅当以下性质成立:其中{ 是公式 {是公式是一个函数. 这是因为:在上述定义中, 两个蕴涵式的前提不成立.□z对于集合 及 , 则它们的交集是集合.证明这个集合是存在的, 是由子集公理保证的:相应的集合是 、一阶公式是 . □z对于集合 及 ,它们的卡氏积 是集合. 对于以下两个实数:对应于以下实数:R .R #R (0,1)(0,1)#(0,1).(0,1).u=0$a 0a 1a 2l v=0$b 0b 1b 2l w=0$a 0b 0a 1b 1a 2b 2l a 91[92.91]x(x J a > ^uv(x=< u ,v> )).92]uvw(< u ,v> J a [< u ,w> J a > v =w ).I x J a > ^uv(x=< u ,v> ),< u ,v> J a [< u ,w> J a > v =w x y a-b={x|x J a [x J b}./a-b={x J a|x J b}./a x Jb /x y x #y={<u ,v> |u J x,v J y}证明对于集合 及 , 乘积 的存在性可以由子集公理保证:其中:{ 是集合:{ 是公式: . □z假设 是两个集合, 存在 到 的满射. 证明: 存在 到 的单射.证明假设 是满射, 则可以定义 到 的映射 : 是单射, 这是因为当 时, , 所以□公理集合论及自然数理论初步z证明: 存在无限集合 证明定义以下公式 :其中{ 是公式: . {是公式: .对任意的 , 存在唯一一个函数 满足由此可知, 对任意的 , 存在唯一的 使得根据替换公理, 可知存在集合这时对每个 , 考虑集合因为 是满射, 所以 不是空集, 任取 作为 的象, 则可以定义 到 的映射 . a b a #b a #b={w|w J c [9(w)}.c 3(3(x)P 3(a P b)).9(w)^uv(u J a [v J b [w=<u ,v> )A,B A B B A f:A >B B A g y J B f -1({y})={x J A|f(x)=y},f f -1({y})x J f -1({y})y B A g g y 1=y 2J B /f -1({y 1})Q f -1({y 2})=I g(y 1)=g(y 2)./{0,{1},{{2}},{{{3}}},l }.)(x,y)(x=0> y =x )[(\x=0> ^f(91[92[y=f(x)))91func (f)[0J dom (f)[f(0)=x [dom (f)=x +92]u(u J dom (f)[u +J dom (f)> f (u +)={f(u)})n J =f 91[n][92.n J =a )[n,a]..={a|^n(n J =[)[n,a])}.0,{1},{{2}},{{{3}}},lJ ..□z证明: 证明假设 是两个自然数, 满足 , 这时, 根据定义可知:若 , 则 {从 可知 , 因而 .{从 可知 , 因而 .这时集合 不满足正规公理:这个矛盾表明 .□命题逻辑的可靠性证明命题逻辑具有可靠性. 证明如下定义公理系统:z公理:{ : . { : . {: .z规则:定义 为: 存在公式序列 使得z 或者 ;z 或者 是公理; z 或者存在 , 使得 是 . 且 是 .这时, 对任意的赋值 , 都有同时所以这是命题逻辑的可靠性质. 如下定义公理系统:当 且 ,时, . 若 , 则 .]mn(m J =[n J =[m +=n +> m =n).m,n m +=n +m P {m}=n P {n}.m=n/m J m P {m}m J n P {n}m J n n J n P {n}n J m P {m}n J m x={m,n}x=I> ^y(y J x [y Q x=I )./m=n 91A > (B > A )92(A > (B > C ))> ((A > B )> (A > C ))93(\A > B )> ((\A > \B)> A )A,A > B B.D U C < A 1,A 2,l ,A n > A iJ > A ij,k< i A k A j > A i A n C v v(91)=1,v(92)=1v(93)=1.v(A)=1v(A >B )=1v(B)=1D UCD X Cz公理:z规则:{ . 单调性{反证法{三段论{演绎定理 {,{{{, {,{可以类似地验证可靠性.□命题逻辑完备性对任意的极大协调集合 及公式 , 有以下性质:z当且仅当 . 证明若 则 . 若 , 则这时 , 与 的协调性相矛盾.所以 . 若 则 . 若 , 则根据极大协调集合的定义, 可知 是不协调的,所以 , 这与 相矛盾, 所以 .□A U A.D U A D ,D d U AD ,\A U B 且D ,\A U\B D U A.D U A 且D U A > B D U B.D ,A U B D U A > B .D U A [B D U AD U A [B D U B.D U A 且D U B D U A [B.D ,A U C 且D ,B U C D ,A Z B U C.D U A D U A Z BD U A D U B Z A.D U A ?B 且D U A D U BD U A ?B 且D U B D U A.D ,A U B 且D ,B U A D U A ?B.D A,B \A J D A J D /\A J D A JD /A J D A,\A J D D A JD /A JD /\A J D \A JD /D P {\A}D ,\A U 0,A J D A JD /\A J Dz当且仅当 并且 . 证明若 则 并且 . 因为所以当 时,因为极大协调集合对 是封闭的, 所以若 并且 则 . 若 并且 ,则因而根据极大协调集合对 是封闭的,可知 .□z 当且仅当 或者 .z 当且仅当 蕴涵 . z当且仅当 等价于 .命题逻辑公理独立性(1)z独立于 . 证明选择以下真值表验证: □z独立于 . 证明选择以下真值表验证:A [B J D A J D B J D A [B J D A J D B J D A [B U A 且A [B U B,A [B J D D U A 且D U B.U A J D 并且B J D .A J D B J D A [B J D A J D B J D D U A 且D U B,D U A [B,U A [B J D A Z B J D A J D B J D A > B J D A J D B J D A ?B J D A J D B J D 92{91,93}> 0123\00113310010020003030000093{91,92}> 01\0010□命题逻辑公理独立性(2)z单调性规则是独立的 证明在单调规则之外的规则, 前提都不增加, 若不使用此规则, 则以下推演关系是不可证的:由此可得独立性证明.□z反证法规则是独立的 证明对于任意的真值赋值 及公式 , 定义可以得到新的逻辑推出关系 . 除反证法规则之外, 其他规则都是可靠的. 使用反证法规则可得推演关系但由此可得独立性的证明.□z演绎定理规则是独立的证明对于任意的真值赋值 及公式 , 定义可以得到新的逻辑推出关系 . 对于与 无关的规则, 都是可靠的. 以下考虑三段论规则:需证明:对任意的赋值 , 若 , 则从1000A,B U A.v A v(\A)=1.X d \\p U p.\\p X d/p.v A,B v(A > B )=i aa a aa e a a a a j0,若v(A)=1,1,否则.X dd > D U A 且D U A > B D U B.D X dd A且D X dd A > BD X ddB.v v(D )=1可知这与定义相矛盾, 所以 .所以是成立的. 因此使用演绎定理规则, 可得推演关系但由此可得独立性的证明.□z... 证明同理可以证明其他规则是独立的.□直觉主义逻辑证明以下推导关系成立:z证明从 及 , 可知同理可知所以□z若 , , 且 , 则 . D X dd A 且D X dd A > B ,v(A)=1且v(A > B )=1,v(D )=0v(D )=1D X dd A D X dd A >B v(B)=1D X ddB.p U q > p ,p X dd/q > p .\(A Z B)U c \A [\B.C >D U c \D > \C U c A > A Z B U c \(A Z B)> \A.U c \(A Z B)> \B.\(A Z B)U c \A [\B.\A [\B U c \(A Z B).证明. .所以 . 所以集合不是 协调的.由 可知□z证明 集合不是 协调的.所以□z证明 集合不是 协调的.所以□证明以下推导关系不成立:z证明假设 分别是命题变元 , 构造模型 使得其中{ 使得 及 ,{ 使得 及 .这时 , , 所以但是 , 所以\A,\B,A U c 0\A,\B,B U c 0\A,\B,A Z B U c 0{\A [\B,A Z B}U c -(\+)\A [\B U c \(A Z B).A Z B U c \(\A [\B).{\A [\B,A Z B}U c -A Z B U c \(\A [\B).\A Z\B U c \(A [B).{A [B,\A Z\B}U c -\A Z\B U c \(A [B).\A >B U c \B > A A,B p,q K =<V ,R> ,V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}.v v(p)=0v(q)=0w w(p)=1v(q)=0q K ,v =0q K ,w =0(\q)K ,v=1.p K ,v =0另一方面,所以即在模型 的第一层, 左边取 而右边取 . 因而上述公式是不永真的, 因而是不可证的.□z证明假设 是命题变元 . 构造模型 , 使得其中{ 使得 ,{ 使得 .这时 , 但 , 所以□z证明假设 分别是命题变元 , 构造模型 , 使得其中{ , , { , , {, .□假设 是命题逻辑公式集合,是命题逻辑公式,则 其中证明以下证明:z .(\q > p )K ,v =0.(\p)K ,v=0,(\p)K ,w=0,(\p > q )K ,v=1.K 10U c A Z\A A p K =< V ,R> V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}.v v(p)=0w w(p)=1p K ,v =0(\p)K ,v =0(p Z\p)K ,v=0.\(A > \B)U c A [B A,B p,q K =< V ,R> V={v 1,v 2,v 3},R={(v 1,v 1),(v 2,v 2),(v 3,v 3),(v 1,v 2),(v 1,v 3)}.v 1(p)=0v 1(q)=0v 2(p)=1v 2(q)=0v 3(p)=0v 3(q)=1D A \D U\A \D U c \A \D ={\B|B J D }.\\\A U c\Az若 , 则 .则可知以下条件是等价的:z .z . z .. 因为 , 所以是不相容的, 因而 .若 , 则 . 因为 , 所以存在一个 推演, 将出现的所有公式 都换为 , 以下证明这样得到一个 推演. 以应用 为例. 这时有被转换为将前提推演序列中的 换为 , 则可以由 得到□模态命题逻辑z证明以下推演关系:证明假设 是 . 从 及 , 根据 推演规则, 可知 . 所以 . 同理可知 . 由此可知 □证明: {D U A \\D U c \\A \D U\A \\\D U c\\\A \D U c\A \\\A U c \A A U c \\A {\\\A,A}\\\A U c \A D U A \\D U c \\A D U A U -C \\C U c -(\-)> ,\E U F 且> ,\E U\F >U E ,\\> ,\\\E U \\F 且\\> ,\\\E U \\\F \\>U \\E ,\\\E \E (\+)\\> U \\E.U T (`(A > B )[`(B > A ))> (`A ?`B).D {`(A >B ),`A}D U T `(A >B )D U T `A T-D U T `B `(A >B )U T `A > `B `(B >A )U T `B > `A U T (`(A >B )[`(B > A ))> (`A ?`B)U T `(A [B)?(`A [`B).`(A [B)U T (`A [`B)A [B U A{ (性质){ (同理){{{ (规则){ (性质){ (性质){{ (性质)□证明{ (已证){ (性质){ (性质){ (定义)□z证明 可靠性.证明只需证明对任意 及 , 若 , 则从 可知 :因而对任意的 , 都有根据定义, 当且仅当 当且仅当(1)对任意的 , 都有`(A[B)U`A`(A[B)U`B`(A[B)UT(`A[`B)`A[`B UT`(A[B)U A> (B> A[B)UT`(A> (B> A[B))UT`A> `(B> A[B)`A UT`(B> A[B)`A UT`B> `(A[B)`A,`B UT`(A[B)UTa(A Z B)?(a A Za B).UT`(\A[\B)?(`\A[`\B)UT\`(\A[\B)?\(`\A[`\B)UT\`\(A Z B)?(\`\A Z\`\B)UTa(A Z B)?(a A Za B)S4-D XS4`AD XS4``A.M=< V,R> J KS4v J V D M,v=1D XS4`A `A M,v=1,w:vRwA M,w=1.``A M,v=1v 1:vRv1`A M,v1=1.对任意的v1,v2:vRv1,v1Rv2,都有A M,v2=1但根据传递性可知 , 所以由 (1) 成立可知 (2) 成立. 所以 .□z证明 可靠性. 证明只需证明对任意 及 , 若 , 则从 可知 :因而存在 , 都有根据定义,当且仅当当且仅当这时 成立 所以由 (1) 成立可知 (2) 成立.所以 .□谓词逻辑推演规则 以下规则是可靠的:证明以下证明 (:左规则) 是可靠的, 其他规则的可靠性可以类似证明. 需要证明以下事实:对任意的模型 及一个赋值, 当 时, 从 可知, 对任意的, 都有(1)对任意的 , 都有(2)vRv 2D X S 4``A S 5-D X S 5a AD X S 5`a A.M =<V ,R> J K s 5v J V D M ,v =1D X S 5a A a AM ,v=1,w:vRw A M ,w =1.`a AM ,v=1v 1:vRv 1a AM ,v1=1.对任意的v 1:vRv 1,存在v 2:v 1Rv 2,使得AM ,v2=1wRv 2D X S 5`a A ]]^^]D ,A x tX B D ,]xA X B.M M X D ,]xA M X]xA a J |M |M X A[a].而每个项 在 中代表一个具体的值, 所以 , 因而□谓词逻辑完备性质已知 是公式集合,是公式, 常元 不在 中出现, 证明: 证明根据谓词逻辑的完备性质, 只需证明 即因为常元 不出现在 中, 所以任意改变 在 中的取值, 都不影响 的真值.假设 的取值是 , 从 及可靠性,可知因为 是任意的, 所以□已知 是协调公式集合,且证明这些公式集合的并集是协调的. 证明假设 是公式集合若 不协调, 则 . 因为每个推演仅涉及有限多个公式, 所以存在 , 使得根据 的定义, 可以假设 .假设 , 则 . 这与 的协调性相矛盾. 所以 是协调的.□实闭域的判定性质语言 的理论 具有量词消去性质, 当且仅当 若 , 则对于任意的模型 , 当 时,对 的任意 个原子公式或者原子公式的否定t M M X D ,A x t M X B.D A c D P {A}D U A x c D U]xA.D X]xA,M M X D M X]xA.c D P {A}c M D P {A}c a D U A x c M X A[a].a M X]xA.D n (n=0,1,2,l )D 0N D 1N D 1Nl > D 0P D 1P D 1Pl > >U 0A 1,A 2,l ,A m J > A 1,A 2,l ,A m U 0.> A i J D k il=max {k 1,k 2,l ,k m }A 1,A 2,l ,A m J D l D l > L T L k证明(结构归纳法)假设已证明以下结论 (*):对任意的开公式 因为而 是一个开公式, 所以存在开公式 使得这里的 是一个开公式.由此可知, 每个前束范式都等值于一个开公式. 对于结论 (*), 可以将开公式 写为其中每个 是一些原子公式或者原子公式的否定的合取式. 这时所以, 只需对上述 这一类公式考察量词消去性质.□(介值定理)证明在实闭域内, 每个多项式可以分解为 次及 次多项式的乘积, 可以假设这些多项式的最高项系数都是 .次多项式 可以写为z若 , 则 可以分解为 次多项式的乘积.z若 , 则 .所以, 当 的取值在一个区间 内改变符号时, 一定有一个 次因子, 它在这个区间内取值改变符号, 该 次因子在这个区间内有零点, 因而 在这个区间内有零点.□存在 的一个开公式 , 使得对任意的开公式 , 存在开公式 , 使得9i (x ,x 1,x 2,l ,x n ),i=1,2,l ,k,L <(x 1,x 2,l ,x n )T X]x 1,x 2,l ,x n (^x (91[92[l[9k )?< (x 1,x 2,l ,x n )).))d T X^x )?)d.3]x 3等值于\^x \3,\33d T X^x \3?3d,T X]x 3?\3d,\3d))1Z )2ZlZ )k ,)i X^x()1Z )2ZlZ )k )?(^x )1Z^x )2ZlZ^x )k ),)i RCF X]xy(x< y [f(x)f(y)< 0> ^z(x< z [z< y [f(z)=0)).1212x 2+ax+b (x+a 2)2+(b-a24),(b-a 24)50x 2+ax+b 1(b-a24)>0RCF X x 2+ax+b> 0f(x)[a,b]f(x)11f(Rolle 定理) 证明(由介值定理证明 Rolle 定理)每个多项式最多有有限个零点, 当 时, 可以假设在区间 内, 不再有其他零点.所以 在区间 内不可能是单调的, 因而存在 使得 . 对于多项式 , 根据介值定理可知: 存在 使得 .□一阶逻辑的不可判定性质写出以下 Turing 机对应的一阶语句:解答这些转换规则对应以下语句: ::::□RCF X]xy(x< y [f(x)=0[f(y)=0> ^z(x< z [z< y [f d (z)=0)).f(a)=f(b)=0[a,b]f f [a,b]u<v J [a,b]f d (u)f d (v)< 0f d c J [a,b]f d (c)=0{q 01Rq 0,q 00Rq 2,q 110q 2,q 10Rq 1}q 01Rq 0]xy(R 0(x,f 1(y))> R 0(f 1(x),y))q 00Rq 2]xy(R 0(x,f 0(y))> R 2(f 0(x),y))q 110q 2]xy(R 1(f 0(x),f 1(y))> R 2(x,f 0(f 0(y))))]xy(R 1(f 1(x),f 1(y))> R 2(x,f 1(f 0(y))))q 10Rq 1]xy(R 1(x,f 0(y))> R 1(f 0(x),y))。

2016广东高考理数大二轮专项训练第1讲集合与常用逻辑用语考情解读 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p 为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}(2)(2013·广东)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1)A(2)B解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A.(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则()A．M⊆N B．N＝MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝(1,4)(2)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9答案(1)C(2)C解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)(2014·江西)下列叙述中正确的是()A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)C(2)D解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．(2)“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案 (1)若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数 (2)充分不必要 解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log 3M >log 3N ，又因为对数函数y ＝log 3x 在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M >N ；当M >N 时，由于不知道M 、N 是否为正数，所以log 3M 、log 3N 不一定有意义．故不能推出log 3M >log 3N ，所以“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的充分不必要条件． 热点三 逻辑联结词、量词例3 (1)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题(2)(2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题的否定既要否定量词，还要否定判断词． 答案 (1)C (2)D解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故选C. (2)命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假B ．p 假q 真C．“p∧q”为假D．“p∧q”为真x＋2ax0＋2－a＝0”．若命(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，2题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1 B．a≤2或1≤a≤2C．a>1 D．－2≤a≤1答案(1)C(2)C解析(1)△ABC中，C>B⇔c>b⇔2R sin C>2R sin B(R为△ABC外接圆半径)，所以C>B⇔sin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，命题p是假命题．若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>bac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题，故选C.x＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，2实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}答案 B解析 因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}， 所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}，故∁U A ＝{2}． 2．(2014·重庆)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q 答案 D解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、綈p 为假命题，綈q 为真命题，綈p ∧綈q 、綈p ∧q 为假命题，p ∧綈q 为真命题，故选D. 押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 答案 B解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B.2．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题 答案 D解析 因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.所以函数f (x )有且只有一个零点的充分必要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，此时0<a <12是函数f (x )有且只有一个零点的既不充分也不必要条件，应排除B ；同理，可排除C ，应选A.(推荐时间：40分钟)一、选择题1．(2014·陕西)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1)答案 B解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．故选B.2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．13 答案 D解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13，应选D.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8答案 C解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧ m >1，a >1或⎩⎨⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件，故选B.5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x >xB ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≥xC ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x >xD ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x答案 C解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是 “cos x >x ”，故选C.6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充分必要条件．7．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 答案 C解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0， 由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有两个元素．故选C.9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．10．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2] D ．[－1,1] 答案 A解析 ∵p ∨q 为假命题， ∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题， ∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题， 得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.故选A. 二、填空题11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________. 答案 (1，＋∞) 解析 由x (x －1)≥0 可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)； 又由x －1>0可得x >1， 则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案 －4解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a ＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．答案 1解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算2.（本小题满分13分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋（a－1）x－a>0}，B＝{x|（x＋a）（x ＋b）>0（a≠b）}，M＝{x|x2－2x－3≤0}．（1）若∁B＝M，求a，b的值；U（2）若－1<b<a<1，求A∩B；（3）若－3<a<－1，且a2－1∈∁A，求实数a的取值范围．U【答案】（1）a＝1，b＝－3，或a＝－3，b＝1；（2）A∩B＝{x|x＜－a或x＞1}；（3）≤a≤－．B＝M，则得到B,M两集合的边界值相同，从而可得【解析】首先整理化简集合A,M，（1）中∁U到a，b的值；（2）中由－1<b<a<1可求得集合B的范围，借助于数轴求解A∩B即可；（3）由－3<a<－1求解集合A的范围，得到A的补集，代入a2－1∈∁A可得a的不等式，求解其范U围B＝{x|（x＋a）（x＋b）≤0}，M＝{x|（x 试题解析：由题意，得A＝{x|（x＋a）（x－1）>0}，∁U＋1）（x－3）≤0}．（1）若∁B＝M，则（x＋a）（x＋b）＝（x＋1）（x－3），U所以a＝1，b＝－3，或a＝－3，b＝1．（2）若－1<b<a<1，则－1<－a<－b＜1，所以A＝{x|x<－a或x>1}，B＝{x|x<－a或x>－b}．故A∩B＝{x|x＜－a或x＞1}．（3）若－3<a<－1，则1<－a<3，所以A＝{x|x<1或x>－a}，∁A＝{x|1≤x≤－a}．又由a2－UA，得1≤a2－1≤－a，即，解得≤a≤－．．1∈∁U【考点】1．一元二次不等式的解法；2．集合的交并补运算3.（本题满分8分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，A∪（）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B=（2，6），A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）[2，8]．【解析】（1）由交集、并集、补集的定义容易求解；（2）由子集运算可列出关于a的不等式组，解得即可．试题解析：（1）∵A={x|1≤x＜6}=[1，6），B={x|2＜x＜9}=（2，9），全集为R，∴A∩B=（2，6），=（﹣∞，2]∪[9，+∞），则A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）因为C={x|a＜x＜a+1}，B={x|2＜x＜9}，且C B，所以解得：2≤a≤8，则实数a的取值范围是[2，8]．【考点】交集、并集、补集、子集运算．4.若集合则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】两集合的交集即两集合的相同的元素构成的集合，因此【考点】集合的交集运算5.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）设，集合，．（Ⅰ）若且，求实数P的取值范围；（Ⅱ）若，求B．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）集合是一个二次方程的解集，，则其判别式；（Ⅱ）由，说明二次方程的解是和3，由韦达定理可求得，解方程可得集合．试题解析：（Ⅰ）由已知得：，则方程有实根，故，解得：或；（Ⅱ）由知：方程有两根-1和3，由韦达定理得：，所以，于是集合B的元素是方程，即的根，解之得：或或，从而集合．【考点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解方程．6.（本小题满分8分）已知集合，，若能使成立的所有实数的集合是，求集合．【答案】（－∞，4]．【解析】（I）先利用，转化为．由空集是任何集合的子集，需要对集合B是否为空集分类讨论。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号有 .（请将真命题的序号都填上）【答案】_②③__【解析】略2.（本小题16分）设n为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n，x∈N*}，记数集P的所有k（1≤k≤n，k∈N*）元子集的所有元素的和为Pk．（1）求P1，P2;（2）求P1+P2+…+Pn．【答案】（1）P1=， P2=（2）n（n+1）·2n-2【解析】（1）及时定义的题目，关键从定义出发：P1=1+2+3+…+n=，数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故P2=（n-1）（1+2+3+…+n）=（2）类似得Pk=·（1+2+3+…+n）=，则P1+P2+…+Pn=（+++…）=·2n-1试题解析：（1）易得数集P={1，2，3，…，n}，则P1=1+2+3+…+n=，数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故P2=（n-1）（1+2+3+…+n）=．（2）易得数集P的k（1≤k≤n，k∈N*）元子集中，每个元素均出现次，故Pk=·（1+2+3+…+n）=，则P1+P2+…+Pn=（+++…）=·2n-1=n（n+1）·2n-2．【考点】新定义题目，组合数性质3.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．【答案】【解析】，，由是的充分不必要条件，即集合是集合的子集，即【考点】简易逻辑4.“成立”是“成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，即，由，得，∵，∴“成立”是“成立”的充分不必要条件，故选：A．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．5.设集合，，则．【答案】【解析】由集合，可得，由可得，∴，故答案为：．【考点】交集及其运算．6.设条件p：|x－2|<3，条件q：0<x<a，其中a为正常数．若p是q的必要不充分条件，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】p:-1<x<5,而命题p,q可以分别用集合表示。

以下是参考答案。

对于较长的答案，只要回答出要点即可。

每题10分。

酌情评分。

1（A）、答案：300元。

源源，田田，晖晖每人拿出100元即可。

1（B）、答案：故选派方案有：(1)派A、C出差；(2)派A、D出差；(3)派A、B、D出差；(4)派C出差(5)派D出差；(6)派B出差；(7)派B、D出差由于题目要派两个人去出差，因此只有方案(1)、(2)、(7)满足要求，即：派A、C出差；派A、D出差；派B、D出差。

2（A）、答案：底下放一个1，然后2 3放在1上面，另外的4 5竖起来放在1的上面。

另外参考：要两人才能做到，先在平面上摆放一枚，再在这枚硬币的正面立着放两枚（这两枚是侧面接触的），这样，这三枚硬币之间形成一个三角形空隙。

剩下的两枚在空隙处交叉就行了，注意这两枚同样是平躺着，但可能需要翘起一定的角度。

2（B）、答案：a=a+b；b=a-b；a=a-b；3（A）、答案：根据I，每条供词都是由供词中没有提到的怀疑对象所作的。

因此，供词与怀疑对象之间的对应关系只有两种可能：A B(1)布拉德：亚当是无辜的。

(1)科尔：亚当是无辜的6(2)科尔：布拉德说的是真话。

(2)亚当：布拉德说的是真话。

(3)亚当：科尔在撒谎。

(3)布拉德：科尔在撒谎。

对于A，(2)支持(1)；而(3)否定(2)，进而否定(1)。

事实上，供词变成了：(1)布拉德：亚当是无辜的。

(2)科尔：亚当是无辜的。

(3)亚当：亚当有罪。

如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。

根据Ⅱ，这是不可能的。

如果“亚当是无辜的”是真话，那么布拉德和科尔说了真话，而且其中有一人是有罪的。

根据Ⅱ，这也是不可能的。

因此，A是不可能的。

对于B，(3)否定(1)；而(2)支持(3)，进而否定(1)。

事实上，供词变成了：(1)科尔：亚当是无辜的。

(2)亚当：亚当有罪。

(3)布拉德：亚当有罪。

如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。

根据Ⅱ。

1. 集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。

1、 证明R 是X 上的等价关系。

2、 求出X 关于R 的商集。

1、 证明：（1） 自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,（2） 对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,（3） 传递性：X y x Xy x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上的先等价关系。

2、X/R=}]2,1{[R ><2. 设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >} 要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。

南京邮电大学 2009/2010 学年 第 二 学期 《 集合论与数理逻辑 》清欠考试标 准 答 案一、填空题 (每空2分，共20分)1．设{2,,{3},4},{{},3,4,1}A a B a ==，请在下列集合中间填入适当的符号：{}a ∈ ;{,4,{3}}B a ⊂⊆或 A 。

2．设集合{1,2,3},{2,3},{3,4}A B C ===，则A B A C ⨯-⨯= {1,2,2,2,3,2<><><>B C ⊕= {2,4}3．设{1,2,3,4,2,2}f =<><><>，{4,2,2,5,3,1}g =<><><>，则 f g = {1,5,3,2,2,5}<><><>1()f g -= {5,1,2,3,5,2}<><><>4．公式P Q →的逆换式是 Q P → 。

5．集合{}A a =的幂集()A ρ为 {,{a}}Φ 。

6．))())()(((x R z Q y P z y x →→∀∃∃中y ∃的作用域是 P (y )Q (z →。

7．设N 为自然数集合，R 为实数集合，则[]K N < []K R 。

二、判断题，正确的打√，错误的打×。

(每题2分，共20分)1．“这朵花多好看啊！”是命题。

( × )2．如果A B A C ⋂=⋂，则B C =。

( × )3．设{,,}A a b c =，则A 上的二元关系{,,,,,,,}R a c b b b c c c =<><><><>具有传递性。

( √ )4．空集是任何集合的子集。

( √ )5．关系{,|,,10}f n m n m N n m =<>∈+<是函数。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.命题“若，则”的否命题为______【答案】若，则【解析】略2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】解：首先“三段论”推理：大前提，小前提，然后是结论。

而该命题的大前提：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，是错误的，因此推理后的结论也是错误的。

只有大前提，小前提都正确，结论才是正确的。

函数的极值点3.命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A．若是偶数，则与不都是偶数B．若是偶数，则与都不是偶数C．若不是偶数，则与不都是偶数D．若不是偶数，则与都不是偶数【答案】C【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数【考点】四种命题4.已知集合,集合,则（）A．B．{1}C．{－1}D．{－1,1}【答案】B【解析】集合，，【考点】（1）分式不等式的解法；（2）三角函数的值域；（3）交集和补集的混合运算。

5.当时，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时点在直线与轴围成的三角形及内部，当时点位于函数与两轴围成的曲边形内，观察两区域可知当成立时一定有成立，反之不成立，即“”是“”的充分不必要条件【考点】1．充分条件与必要条件；2．不等式表示平面区域6.已知集合，，若，则的值为( )A．B．C．或D．或【答案】A【解析】集合A化简得若，【考点】集合的子集关系7.设集合中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】，，元素个数3个．【考点】集合的运算8.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为A．都是奇数B．都是偶数C．至少有两个偶数D．至少有两个偶数或者都是奇数【答案】D【解析】否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为“至少有两个偶数或者都是奇数”．【考点】反证法．9.（本小题满分10分）是否存在实数p，使4x+p＜0 是x2-x-2＞0的充分条件？如果存在求出p 取值范围；否则，说明理由。

作业答案：数理逻辑部分P14：习题一1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（3 答：简单命题，真命题。

（9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。

（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

答：复合命题，假命题。

14、讲下列命题符号化。

（6）王强与刘威都学过法语。

答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。

符号化为：p q ∧（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。

答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。

符号化为：p q →（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。

答：:p 2是素数；:q 4是素数。

符号化为：(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。

:r 太阳从西方升起。

求下列复合命题的真值。

（2）(())r p q p →∧↔⌝（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0.（2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ⌝真值为0；所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.（4）p q r ∧∧⌝真值为1，p q ⌝∨⌝真值为0，()p q r ⌝∨⌝→真值为1；所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1.19、用真值表判断下列公式的类型。

（4）()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。

（7）所以为可满足式。

P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。

（1）()p q q ⌝∧→ 解答：()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。

（2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答：(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合M=｛1,｝，N＝｛1，3｝，M∩N＝｛1,3｝，则实数m的值为（）A．4B．－1C．4或－1D．1或6【答案】Ｂ【解析】略2.已知命题若为假命题，则实数m的取值范围是A．[0，2]B．C．R D．【答案】A【解析】为假命题，所以为假为真【考点】复合命题与不等式性质3.（本小题满分12分）已知命题：，命题：，若“且”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】或．【解析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，据复合函数的真假得到p，q全部为真，可求出a的范围．试题解析：由“且”为真命题，则，都是真命题．：在上恒成立，只需，所以命题：；：设，存在使，只需，即，所以命题：．由得或故实数a的取值范围是或【考点】复合命题的真假、真值表．4.设全集，则（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，，故选A。

【考点】集合的运算5.下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x0∈R，x＋2x＋2≤0B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1【答案】D【解析】命题∃x0∈R，x＋2x＋2≤0是假命题，所以该命题的否定是真命题；任意一个四边形的四个顶点共圆是假命题，所以该命题的否定是真命题；所有能被3整除的整数都是奇数是一个假命题，所以该命题的否定是真命题；∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1是真命题，所以其否定是假命题。

故选D。

【考点】•命题的真假性判断；‚命题p与非p真假性相反。

6.（本小题满分14分）已知命题：方程有两个不相等的实根；命题：关于的不等式对任意的实数恒成立．若“”为真，“”为假，求实数的取值范围．【答案】或．【解析】先确定命题p,q为真时，m的取值范围，再由p,q真假关系确定的取值范围．命题为真：由判别式大于零确定一元二次方程有两个不相等的实根，即，解得或．命题为真：一元二次不等式恒大于零，即对应开口向上的二次函数恒在x轴上方，即判别式小于零，即，解得．而由“”为真，“”为假得：真假或假真，因此列对应方程组解即可.试题解析：解：命题：方程有两个不相等的实根，∴，解得或．命题：关于的不等式对任意的实数恒成立，∴，解得．若“”为真，“”为假，则与必然一真一假，∴或，解得或．∴实数的取值范围是或．【考点】一元二次不等式恒成立，复合命题真假7.已知，:,:．（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围【答案】（I）（Ⅱ）【解析】（I）通过解不等式化简命题p，将p是q的充分条件转化为[-2，6]是[2-m，2+m]的子集，列出不等式组，求出m的范围；（II）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，分类讨论，列出不等式组，求出x的范围试题解析：（I）是的充分条件是的子集的取值范围是（Ⅱ）当时，，由题意可知一真一假，真假时，由假真时，由所以实数的取值范围是【考点】1．命题的真假判断与应用；2．充分条件8.直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】直线是过圆上一点（0，1）的动直线，显然根据图像的对称性，当k=1或k=-1时，△OAB的面积为均，因此“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件。