§7.1 二阶电路的零输入响应
二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。
下面主要通过分析RLC 串联电路来说明求二阶电路响应的方法。
1.方程和初始条件
图 7.1
图7.1所示的RLC串联电路在t=0时刻闭合开关，设电容原本充有电压U0，此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。
电路的KVL方程及元件的VCR 为：
若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程：
初始条件为：u C (0+)= U 0 ，i (0+)=0 ，或
若以电感电流为变量，则方程为：
初始条件为：i (0+)=0 ，
根据 得：
2．二阶微分方程的解及其物理意义
以电容电压为变量，电路方程为：
从中得特征方程：
特征根为：
上式表明特征根仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。
当R、L、C的参数不同，特征根为不同的形式。
下面分三种情况讨论。
（1）当时，特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态。
此时方程的解为：
由初始条件：，
得： 即：
因此电容电压为：
电流为：
电感电压为：
图7.2给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形，从中可以看出，电容电压和电流始终不改变方向，且最终衰减至零，说明电容始终在释放能量，称过阻尼放电。
能量的转换过程如图7.3所示。
图7.2表明t=t m时，i C取得最大值，t=2tm时，u L为极小值。
通过对电流求导，可计算时间t m。
即：
图 7.2
→ →
图 7.3
（2）当时，特征根为两个共轭复根，电路处于振荡放电状态。
令： 则特征根为：
电容电压的u C的通解形式为：
经常把上式写成三角函数形式：
故把ω称为振荡频率。
通解中待定常数A ， b 根据初始条件确定，即：
联立求解以上方程得：
由于ω、ω０、δ、b 满足图7.4所示的三角关系:
所以
则
图 7.4 图 7.5
图7.5 给出了电容电压和电流随时间变化的波形，从中可以看出，波形呈衰减振荡的状态，在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向，表明储能元件在周期性的交换能量，处于振荡放电。
在半个周期里能量的转换过程如图7.6 所示。
图 7.6
若RLC 振荡回路中的电阻 R=0 ，则产生等幅振荡放电。
此时有：
（3）当时，特征根为两相等的负实根，电路处于临界阻尼状态。
特征根为：
方程的通解为：
根据初始条件得：
解得：
从以上诸式可以看出，电压和电流具有非振荡的性质，其波形类似于图7.2，波形呈衰减状态，然而，这种过程是振荡与非振荡过程的分界线，所以称为临界阻尼状态，这时的电阻称为临界电阻。
总结以上分析过程得用经典法求解二阶电路零输入响应的步骤：
1)根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为二阶线性齐次常微分方程；
2)由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电还是振荡放电还是临界放电状态，三种情况下微分方程解的形式分别为：
特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态：
特征根为两个相等的负实根，电路处于临界阻尼状态：
特征根为共轭复根，电路处于衰减振荡状态：
3）根据初始值确定积分常数从而得方程的解。
以上步骤可应用于一般二阶电路。
例7-1图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时打开开关, 求电容电压u C并画出其变化曲线。
例 7 — 1 图（ a ）（ b ）
解：求解分三步：
（1）首先确定电路的初始值。
由 t＜0 的时稳态电路，即把电感短路，电容断路，
得初值为：uＣ(0－)=25V ，i L(0－)=5A
（2）开关打开，电路为RLC串联零输入响应问题，以电容电压为变量的微分方程为：
带入参数得特征方程为： 50P 2+2500 P +106=0
解得特征根：
由于特征根为一对共轭复根，所以电路处于振荡放电过程，解的形式为：
（3）确定常数，根据初始条件得：
有： 即：
电压随时间的变化波形如图（b）所示。
例7-2图示电路为RC振荡电路，试讨论k取不同值时输出电压u2的零输入响应情况。
图例7-2
解：对节点 A 列写 KCL 方程：
列写 KVL 方程：
对方程两边微分，整理得：
特征方程为：
特征根为：
令： 则：
下面进行讨论：
（1）若，特征根为一对共轭复根，电路为振荡情况，此时有：
，|3 - k|＜2 ， 1＜k＜5
当1＜k＜3时有 d＞0 ，为衰减振荡；
当 k=3 时有 d = 0 ，为等幅振荡；
当 3＜k＜5 时有 d＜0 ，为增幅振荡。
（2）若，特征根为两个负实根，电路为阻尼情况，此时有：
，, k＜1 , k＞5
§7.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
1．零状态响应和阶跃响应
二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。
二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路的阶跃响应。
零状态响应和阶跃响应的求解方法相同。
现以图7.6所示RLC 串联电路为例说明求解方法。
图中激励为阶跃电压，因此电路的初始储能为:
u C(0－)=u C(0+)=0，i L(0－)=i L(0+)=0。
图 7.6
t＞0 后，根据 KVL 和元件的 VCR 得以电容电压为变量的电路微分方程：
特征方程为；
方程的通解求法与求零输入响应相同。
令方程中对时间的导数为零，得方程的特解 :
则u C的解答形式为：
由初值 确定常数
电路在阻尼状态和振荡状态时电容电压随时间的变化波形如图7.7所示，表明电容电压从零上升最后稳定在E 值。
图 7.7
2．二阶电路的全响应
如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。
全响应是零状态响应和零输入响应的叠加，可以通过把零状态方程的解带入非零的初始条件求得全响应。
例7-3图示电路在t＜0 时处于稳态，t=0 时打开开关, 求电流i 的零状态响应。
例 7 — 3 图（ a ）（ b ）
解：（1）列写微分方程，由 KCL 得：
由 KVL 得：
整理以上两个方程得：
方程为二阶非齐次常微分方程。
解答形式为：
（2）求通解i'
特征方程为：
特征根为：P1=－2 ，P2=－6
所以
（3）求特解i ”
由图（b）所示的稳态模型得：i=0.5u1，u1=2(2－0.5u1)，解得：u1=2V，i=1A
所以
（4）定常数
电路的初始值为
由图（c）所示的0+电路模型得：
（ c ）
所以
因此电流为：
例7-4图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时闭合开关,已知：i L(0-)=2A，u C(0-)=0，求电流i L和i R。
例 7 — 4 图
解：(1) 列微分方程
应用结点法得：
整理有：
(2) 令对时间的导数为零，求得特解：
(3) 求通解
特征方程为：
特征根为：P = -100 ± j 100
所以：
(4) 定常数，代入初值有
解得： 所以
(5) 求电流i R
§7.3 二阶电路的冲激响应
零状态的二阶电路在冲击函数激励下的响应称为二阶电路的冲击响应。
注意电路在冲击激励下初始值发生了跃变。
现以图7.8所示RLC串联电路为例说明求解方法。
图 7.8
图中激励为冲击电压，因此t=0 时电路受冲击电压激励获得一定的能量。
根据 KVL 和元件的 VCR 得 t=0 时刻以电容电压为变量的电路微分方程为：
把上式在 t=0－到0+区间积分并考虑冲击函数的性质，得：
为保证上式成立，u C不能跃变，因此，等式左边第二和第三项积分为零，式子变为：
即：
最后有： →
上式说明冲击电压使电感电流跃变，电感中储存了磁场能量，而冲击响应就是该磁场能量引起的变化过程。
t＞0+后，冲击电压消失，电路为零输入响应问题。
t＞0+后的电路方程为：
带入初始条件得：
解得：
若，则：。
