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二阶动态电路分析

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二阶非线性动态电路

二阶非线性动态电路

二阶非线性动态电路分析题目：二阶非线性电路如图1，R=10Ω,i=ϕ+32.0ϕ，C=0.25×210-F,C U (-0)=2V.求C U (t)（t>0）,并画出t>0时ϕ-C U 的相图。

图1.二阶非线性电路理论分析:解：取ϕ与C U 为状态变量，t>0时： 32.0-ϕϕ-=-==i i dt du C C c => 380-400ϕϕ-=dtdu c 32.0ϕϕϕR R U Ri U u dt d C C L --=-== => 3210ϕϕϕ--=C U dtd Matlab 求解：此非线性动态电路难求解析解，因此利用Matlab 做数值求解，得到响应在离散时刻的近似值，再根据此离散值做出响应相关图像。

Matlab 求解的原理是利用ode45函数解微分方程组。

ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta 单步算法。

ode45函数语法为[T,Y] = ode45(odefun, tspan,y0)，这里tspan 选择0到2.5s ，初值C U =2,ϕ=0。

首先写一个函数M 文件列出待求解方程组如下：function dy=rlc(t,y)dy=zeros(2,1)dy(1)=-400*y(2)-80*y(2)^3dy(2)=y(1)-10*y(2)-2*y(2)^3end在命令行输入[t,y]=ode45(@rlc,[0 2.5],[2 0])，可求出响应C U （t ）、ϕ（t ）数值解。

在命令行输入：plot(t,y(:,1))grid on 数值解title('Uc-t曲线')xlabel('t')ylabel('Uc')可得到Uc(t)曲线。

可以更直观的观查Uc随时间的变化。

图2 Uc响应曲线同理可得到ϕ（t）图像如图3所示：图3 ψ-t曲线同理可得到ϕ-Uc相图如图4所示。

图4 ϕ-Uc相图结果分析：观察图形可发现，该电路处于振荡放电过程，未知量L 满足不等式R<C L2。

二阶电路分析

二阶电路分析
rlc对于图示直流激励的rlc串联电路当u时可以得到以下非齐次微分方程电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成电路的固有频率为时对应齐次微分方程的通解为微分方程的特解为全响应为利用以下两个初始条件可以得到得到求解这两个代数方程得到常数k例95电路如图所示
第九章
二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，
(9 5)
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC (0) K1 K 2
对式(9－5)求导，再令t=0得到
(9 6)ห้องสมุดไป่ตู้
duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) K 1 s1 K 2 s2 C
(9 7)
求解以上两个方程，可以得到
1 K1 ＝ s2 －s1 1 K2 ＝ s1 －s 2 iL ( 0) s2 uC (0) C iL ( 0) s1 uC (0) C
uC ( t ) e 3t [ K 1 cos 4t K 2 sin( 4t ) ]
iL(0)=0.28A得到以下两个方程
uC (0) K 1 duC ( t ) dt
t 0
( t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值
3 K 1 4 K 2
i L ( 0) 7 C
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
i2 (t) =ε( t)*[(
.690
)* exp ( -.500
t)]cos(
4.97
t +66.08 )
iL (t ) 0.69e0.5t cos(4.97t 66.08 )(t )A

第七章 二阶电路

第七章 二阶电路

-
由KVL，有
RiL
L d iL dt
uC
0

iL

ic

C
duc dt
，得微分方程：
LCd2Uc RCdUc Uc 0
dt2
dt
二阶齐次微分方程
3
2）根据微分方程经典法解方程
L
C
d2Uc d t2

R
C
dUc dt

U
c

0
设Uc通解：Uc AePt带入方程
得特征方程：LCP2 RCP1 0
(练习7-4）
21
例：图示电路，t< 0处于稳态，t=0时，S打开 1）建立S打开以后以iL （t）为变量的微分方程及所
需初始条件 2）为使Uc（t）不发生振荡，试确定R的取值范围
+ 10V -
S
5Ω R
LC 2H iL 3F
(1)微分方程：
+ Uc
c
dUc dt

IL

UL R
0
-
C
L
d
2i L
P1
,
2


R 2L


R 2L
2


1 LC
P1 2 6 8
P2 3 7 3 2
—过阻尼放电过程
16
U c A1eP1t A2eP2t A1e- 2 6 8 t A2e- 3 7 3 2 t
4 ） 由 初 始 条 件 求A1、 A2 条 件 1：U c ( 0) 1 0 V
条 件 2： iL( 0 )
0 又 iL

i c

电路分析第7章 二阶电路1

电路分析第7章 二阶电路1

根据 uC(0－) = uC(0＋) ＝10V
i(0－) = i(0＋) = 0
uC (0) K sin 10 i(0) duC K ( sin d cos ) 0 t=0 = dt C
arctan(
uC 10.33e 0.5t sin( .94t 75.5)V t 0 1
d 1.94 ) arctan( ) 75.5 K 10.33, 0.5
i 2.6e 0.5t [1.94cos( .94t 75.5) 0.5 sin( .94t 75.5)]A20 t 0 1 1
t1 t2 t3 iL uC
欠阻尼衰减振荡
电量
uC
t1时间段 减小 增大
uC ( K 1 K 2t )e s1t ( K 1 K 2t )e 2t
根据 uC(0－) = uC(0＋)＝ 10V i(0－) = i(0＋) = 0 duC dt i(0) t=0 = C
duC K 2e 2 t 2( K1 K 2 t )e 2 t dt
K1=10
s1.2 0.5 0.5 4 0.5 j1.94
L R 1 Rd 2 4 C
两个共轭复根 欠阻尼
19
解：（3）R = 1 s1, s2 0.5 j0.5 15 0.5 j1.94 uC(t) = e-t [K1cosd t + K2sind t] uC Ke t sin( d t ) Ke 0.5t sin( .94t ) 1 – 衰减因子 d – 衰减振荡角频率
uC uL uR 0
1 2 1 2 w( t ) Li ( t ) CuC ( t ) 2 2

二阶动态电路设计 实验报告(含数据处理)

二阶动态电路设计 实验报告(含数据处理)

实验二十一 二阶动态电路设计
一、实验内容
已知RLC 串联电路, 输入为单位阶跃信号, 设计元件参数, 要求电容负载输出电压的超调量约为20%, 调节时间0.003秒。

先进行理论设计和仿真分析, 连接好电路后, 再通过示波器观察实际输入和输出曲线。

二、实验原理图和理论分析
)()()()()(22t t u t u dt t du RC dt
t u d LC S C C C ε==++ 二阶电路的阶跃响应为)sin(1)(0βωωωδ++
=-t e t u t C 超调量为21%ζζπ
σ--==e
M P 调节时间为n s t ζω3=
(5%稳态范围)
,
, C
L n ⋅=21ω L R n ⋅⋅=ωζ2 选用电容C=4.7
F, 由以上推导得L=44.2mH, R=88.4
三、实验设备
函数信号发生器
KTDG-4可调式电感箱0~100mH
可调式电阻箱0~99999.9Ω
交流电压表, 交流电流表
双踪示波器
四、仿真实验
利用EWB 软件, 仿真模型图如下
运行结果如下
电容电阻电感在实验台上连接好电
路, 测量结果如下。

电压有效值
电流有效值
利用示波器观测输入电压和输出电容上电压曲线:
六、数据处理和实验结论
略。

二阶动态电路分析

二阶动态电路分析

待定常数A1，A2由初始条件确定。
uC (0 ) uC (0 ) A1 U0
iL (0 )
iL (0 )
C
duC dt
t0
0
A1
A2
0
A1 U0 A2 U0
uC (t) U0et (1 t) t 0
电路中其它响应：
i(t) C duC dt
2CUOtet
uL (t)
L
di dt
R=0是欠阻尼的特例。此时
R 0
2L
d 0
1 LC
uC (t) U0 cosdt U0 cos0t
i(t) 0CU0 sindt 0CU0 sin0t uL (t) U0 cosdt U0 cos0t
R＝0时，i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
可见，当电路中R＝0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，
i(t) C
duC dt
02CU0 d
et sin dt
uL (t)
L
di dt
0 d
U 0e t cos( d t
)
i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
0
d
衰减uC，(t)、称ei为(t)响衰、t 应减uL有系(t衰)数减，振d荡是的振特荡性的，角其频振率荡。幅度按指数规律
第5章 二阶动态电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应 5-2 RLC串联电路的全响应 5-3 GCL并联电路的分析 5-4 一般二阶电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应
电路如图所示，设uC(0－)=U0，iL(0－)=0。t=0时，开关
K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL，可得：
uC

自动控制原理实验——二阶系统的动态过程分析

实验二二阶系统的动态过程分析一、 实验目的1. 掌握二阶控制系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术。

2. 定量分析二阶系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。

3. 加深理解“线性系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与外作用无关”的性质。

4. 了解和学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和Simulink 实现方法。

二、 实验内容1. 分析典型二阶系统()G s 的ξ和n ω变化时，对系统的阶跃响应的影响。

2. 用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图2.1所示，若要求系统具有性能：%20%,1,p p t s σσ===试确定系统参数K 和τ，并计算单位阶跃响应的特征量d t ，r t 和s t 。

图2.1 控制系统的结构图3. 用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图2.2所示。

图中，输入信号()r t t θ=，放大器增益AK 分别取13.5，200和1500。

试分别写出系统的误差响应表达式，并估算其性能指标。

图2.2 控制系统的结构图三、实验原理任何一个给定的线性控制系统，都可以分解为若干个典型环节的组合。

将每个典型环节的模拟电路按系统的方块图连接起来，就得到控制系统的模拟电路图。

通常，二阶控制系统222()2nn nG ssωξωω=++可以分解为一个比例环节、一个惯性环节和一个积分环节，其结构原理如图 2.3所示，对应的模拟电路图如图2.4所示。

图2.3 二阶系统的结构原理图图2.4 二阶系统的模拟电路原理图图2.4中：()(),()()r cu t r t u t c t==-。

比例常数（增益系数）21RKR=，惯性时间常数131T R C=，积分时间常数242T R C=。

其闭环传递函数为：12221112()1()(1)crKU s TTKKU s T s T s K s sT TT==++++(0.1) 又：二阶控制系统的特性由两个参数来描述，即系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω。

电路分析-二阶电路


i(t) C
t
t=0
=
i(0) =?
C
t
iR +
uS
-
L +
C uC
-
两个初始条件 uS = 0 ，uC(0) = ?
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
设 解为 uC(t) = Kest 代入微分方程
d2u LC Cdt2
+
RC
duC d
+
uC
=
0
LCs2Kest + RCsKtest + Kest = 0
=0
i +
uS
-
R
i=
C
duC dt
L +
C uC
-
LC
d2i dt2
+ RC
di d
+i=0
s1 = -2 s2 = -4
t
1 8
d2i dt2
+
3 4
d di
+i=0
d2i dt2
+6
di d
+ 8i = 0
t
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
例 解：(2) 若以iL(t)为求解变量 i R
( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0
特征方程 LCs2 + RCs + 1 =
特 征0方 程 的 根 （ 固 有 频 率 ）
ax2 + bx +c = 0
- RC (RC)2 s1、 2= ± 24LLC
= -
R 2L
±
(
R 2L
)2
-

二阶电路分析


(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电 源或阶跃信号作用下的电路响应。 三要素公式为
y (t ) y () [ y (0 ) y ()]e
求三要素的方法为

t

t>0
① 初始值y(0+)：利用换路定律和0+等效电路求得。 ② 稳态响应y(∞): 在直流电源或阶跃信号作用下，电路达 到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电 阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应y(∞)。 ③ 时常数τ：RC电路，τ=RC; RL电路，τ=L/R。式中R为断
s s arctgCR
uC (t ) Ae
t RC
UCm cos(t )
利用初始条件确定常数A， 即
uC (0) A U Cm cos U 0 A U 0 U Cm cos
uC (t ) (U 0 U Cm cos )e U Cm cos(t )
4.7 二阶电路分析
用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路， 需要给定两个独立的初始条件。与一阶电路不同，二阶电路的
响应可能出现振荡形式。本节以RLC串联电路为例，讨论二阶
电路的零输入响应和单位阶跃响应。 RLC串联电路如图4.7-1所示，以电容电压uC作为电路响应， 列写该电路方程。根据KVL, 有
p1 p2
微分方程的通解为
uC e ( A1 A2t )
由初始条件
at
uC (0) A1
duC dt
t 0
A1 A2 0
A1 uC (0) A2 auC (0)
uC uC (0)(1 at)e (t )

二阶电路


其中 :
p1


R 2L

( R )2 1 ， 2L LC
p2


R 2L

( R )2 1 2L LC
显然特征根p1、 p2仅与电路参数和结构有关
初始条件：uc(0+)= uc(0-)=U0 及 i(0+)= i(0-)=I0
并且：i C duC ，所以： duC I0
dt
dt t0

1 L
由于冲击电压的作用，使电感电流跃变，电感中储存了磁场能， 所以冲击响应就是由电感磁场能引起的变换过程。
21
t
≥0+时：
LC
d 2uC dt 2

RC
duC dt
uC

0
其解的形式： uC A1e p1t A2e p2t
其中 :
p1


R 2L

( R )2 1 ， 2L LC

p1e p2t
当t
)

tm

ln( p1 p1
p2 ) p2
电流达到最大值，且电
感电压过零
imax
t <tm, 电感吸收能量，
建立磁场； t >tm, 电感
释放能量，磁场衰减
i
U0
(e p1t e p2t )
L( p2 p1)
uL


U0 p2 p1
( p1e p1t

p2e p2t )
C
3
uC A1e p1t A2e p2t
将uc(0+)= U0 ，i(0+)= I0 及
duC I0
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第 7章 二阶动态电路分析
主要内容
1. 分析二阶电路过渡过程的经典法； 2. 二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应； 3. 二阶动态电路的阶跃响应、冲激响应；
1
§7-1 二阶电路的零输入响应
二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路 在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件 的初始值决定。 RLC 串联电路和 GCL 并联电路为最简单的二阶电路。
当 R2
L C
时，固有频率 p1 和 p2 是两个不相等的负实根
p1
R 2L
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC ( R )2 1 2L LC
p1
p2
1 LC
uC A1e p1t A2e p2t
5
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e
p2t
)
(
p2
I0 p1)C
(e p1t
e p2t )
iL
p1 p2CU0 p2 p1
(e p1t
e p2t )
I0 p2
p1
(
p1e p1t
p2e p2t )
1．设 uC(0) = U0, i (0) = 0
uC (t)
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
iL (t)
p1 p2CU 0 p2 p1
(e p1t
mA
9
2．设 uC(0) = 0, i (0) = I0
uC (t)
( p1
I0 p2 )C
(e p1t
e p2t )
iL (t)
I0 p2
p1 ( p1e p1t
p2e p2t )
uL
(t )
L
diL dt
LI0 p1 p2
( p12e p1t
p22e p2t )
例7-2：前述电路中, C = 1 F, L = 1 H , R = 3 , uC(0) = 0, i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t)。
积分常数A1 和 A2 决定于uC
的初始条件
uC
(0
)
和
duC dt
0
给定初始条件: uC(0) = U0, i(0) = I0
A1 A2 U 0
p1 A1
p2 A2
1 C
I0
4
A1
p2U 0
I0 C
p2 p1
A2
p1U 0Βιβλιοθήκη I0 Cp1 p2
一,
R2
L C
,非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）
解：利用前述结果
a,
p1,2
R 2L
( R )2 1 1.5 （1.5）2 1 2L LC
p1 0.382 , p2 2.618
10
b,
uuCC
(0) A1 A2 ' (0) A1 p1
0 A2 p2
1
A1 A2
0.447 0.447
c, uC (t) 0.447 e0.382 t 0.447 e2.618 t V
e p2t )
U0
(e p1t
L( p2 p1)
e p2t )
uL
(t)
L
diL dt
U0 p2
p1
(
p1e p1t
p2e p2t )
由于 p1 p2 ,
e p2t
衰减得快，e p1t
衰减得慢，故 e p1t e p2t 0 6
① uC , iL 始终不改变方向， uC iL < 0, 电容放电； ② uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ； ③ t < tm ，电感吸收能量（ uLiL > 0 ），建立磁场； t > tm 电 感释放能量（ uL iL < 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失；
A1 A2
6 4
t 0
t0
13
二. R 2 L ，衰减振荡放电过程（欠阻尼情况）
2
VAR :
i C duC , dt
uR
Ri
RC
duC dt
,
uL
L
di dt
LC
d 2uC dt 2
KVL : uL uC uR uOC (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uOC (t)
初始条件
uC
(0),u'C
(0)
duC dt
0
1 C
i(t)
0
1 C
i(0)
零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应
uR R i 11.56(e268 t e3732 t ) V
uL
L
di dt
(10.77
e3732 t
0.773
e268 t )
V
(2) imax
tm
1 p1
p2
ln
p2 p1
7.6104 S
760
S
imax
i t tm
2.89(e268 t e3732 t ) t tm
2.19
④ 整个过程完毕， uC = 0 ,iL = 0 ,uL = 0 。
7
例 7-1：电路如下图所示,US = 10 V, C = 1F, R = 4 k, L = 1 H ，开关 S 原来闭合在触点 1 处，t = 0 时，开关 S 由触点 1 接至触点 2 处，求：
(1) uC , uR , i 和 uL (2) imax .
t0
iL (t) 0.171 e0.382 t 1.17 e2.618t
A t0
11
3. 设 uC(0) = U0, i L(0) = I0 例7-3：前述电路中, C = 0.25 F, L = 0.5 H , R = 3 , uC(0)
=2 V , i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t) 。
解：根据前述结果
a,
p1,2
R 2L
( R )2 1 31 2L LC
p1 2, p2 4
12
b,
uC (0) A1 A2 2
uC'
(0)
A1 p1
A2
p2
iL (0) C
4
c, uC (t) 6 e2 t 4 e4 t V
iL
(t)
C
duC dt
4 e4t
3 e2t
A
解： (1) uC , uR , i 和 uL
特征根
p1
R 2L
( R )2 1 268 2L LC
p2
R 2L
( R )2 1 -3732 2L LC
8
又 uC (0 ) U0 US 10 V
uC (10.77 e268 t 0.773 e3732 t ) V
i 2.89 (e268 t e3732 t ) mA
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
或
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
0
3
特征方程
p2 R p 1 0 L LC
特征根
p1,2
R 2L
(
R 2L
)2
1 LC
称为固有频率
解 为 ： uC (t) A1e p1t A2e p2t
这里：p1 和 p2 是特征根，仅与电路结构及参数有关；