黑龙江省齐齐哈尔市2020年高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷

2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市校高二下学期期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，23122a aa a+=+，48a =，则3a =（）A ．16B ．4C ．2D ．1【正确答案】B 【分析】先通过2312a a q a a +=+求出等比数列的公比，然后利用等比数列的定义可得答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则212231122q a a a a q a a a qa ++===++，43842a a q ∴===.故选：B.2．有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（）A ．47B ．23C ．13D ．16【正确答案】B【分析】利用条件概率公式，结合古典概型计算即可.【详解】法一：设第一次取得次品为事件A ，第二次取得正品为事件B ，则()()111343111767C C C 23,C C 7C 7P AB P A ====，所以()()()272733P AB P BA P A ==⨯=∣.法二：在第一次拿出一件次品后还有6件，其中4件正品，2件次品，故第二次拿出正品的概率为4263P ==.故选：B.3．若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【正确答案】B【分析】利用赋值法可求024a a a ++的值.【详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=，令=1x -，则()443210381a a a a a -+-+=-=，故420181412a a a +++==，故选：B.4．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，成功将中国空间站建设完毕，中国空间站将于2023年正式进入运营阶段.现空间站要安排甲、乙等6名航天员到3个不同的实验舱开展实验，3舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方案共有（）A ．450种B ．720种C ．90种D ．360种【正确答案】A【分析】由题分为人数为1,2,3的三组以及人数为2,2,2的三组讨论即可.【详解】由题知,6名航天员安排三舱,三舱中每个舱至少一人至多三人,可分两种情况考虑:第一种,分人数为1,2,3的三组,共有12336533C C C A 360⋅=种；第二种,分人数为2,2,2的三组,共有2223642333C C C A 90A ⋅=种；所以不同的安排方法共有36090450+=种.故选：A.5．关于712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式,下列说法正确的是（）A ．二项式系数和为128B ．各项系数和为-7C ．第三项和第四项的二项式系数相等D ．1x -项的系数为-240【正确答案】A【分析】计算二项式系数和即可得选项A 的正误;将1x =代入二项式中即可得选项B 正误;分别写出第三项和第四项的二项式系数即可判断选项C 的正误;写出二项式的通项,使x 的次方为-1,解出项数,即可得1x -项的系数,即可判断选项D 的正误.【详解】解:由题知,712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中二项式系数和为72128=,故选项A 正确;将1x =代入二项式中可得各项系数和为()711-=-,故选项B 错误;在712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中,第三项的二项式系数为27C ,第四项的二项式系数为37C ,因为2377C C ≠,所以选项C 错误;在712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中,第1r +项()717C 12rrr r x x T -+⎛⎫=⋅ -⎪⎝⎭()2772=C rr r x --⋅⋅取271r -=-,即3r =,故()331147=C 0228xx T --⋅⋅-=-,故1x -项的系数为-280,故选项D 错误.故选:A6．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（）A ．464B ．465C ．466D ．495【正确答案】B【分析】记第n 层有n a 个球，则根据题意可得()12n n a a n n --=≥，再根据累加法求解即可.【详解】记第n 层有n a 个球，则11a =，23a =，36a =，410a =，结合高阶等差数列的概念知212a a -=，323a a -=，434a a -=，L ，()12n n a a n n --=≥，则第30层的小球个数()()()303029292821130292821465a a a a a a a a =-+-++-+=+++++= ．故选：B7．已知()B n p ξ~，，且(32)9.2,(32)12.96E D ξξ+=+=，则下列说法不正确的有（）A ．4,0.6n p ==B ．6,0.4n p ==C ．6(1)10.6P ξ≥=-D ．(2)(0)(1)P P P ξξξ<==+=【正确答案】A【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断A 、B ，利用根据二项分布概率公式即可计算判断C 、D.【详解】因为()()()()32329.2,32912.96E E D D ξξξξ+=+=+==，由()B n p ξ~，时，()()()1E np D np p ξξ==-，，所以329.29(1)12.96np np p +=⎧⎨-=⎩，所以60.4n p =⎧⎨=⎩，故选项A 错误，选项B 正确，又0666(0)0.60.6P C ξ===，6(1)1(0)10.6P P ξξ≥=-==-，(2)(0)(1)P P P ξξξ<==+=，故选项C 、D 正确.故选：A.8．已知函数()2ln ()xf x a x x x=--，若不等式()0f x <有且仅有1个整数解，则实数a 的取值范围为（）A ．ln 2ln 3,418⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．ln 31,184⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 2ln 2,182⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ln 3ln 2,184⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】将不等式()0f x <有且仅有1个整数解，转化为()2ln xy x x x=-的图像在直线y a =的上方仅有1个大于1的整数解，利用导数求得()2ln xy x x x=-的单调性，构造出关于实数a 的不等式，解之即可求得实数a 的取值范围【详解】由(1)0f =，可得不等式()0f x <有且仅有1个整数解，即不等式()0f x <有且仅有1个大于1的整数解，1x >时，2(1)0x x x x -=->，不等式()2ln 0x a x x x--<可化为()2ln x a x x x <-，即()2ln xy x x x=-的图像在直线y a =的上方仅有1个大于1的整数解，令()2ln ()xh x x x x=-(1)x >，则()()2222232ln ()x x x x xh x xxx---'=-(1)x >令()22()32ln k x x x x x x =---(1)x >，则()()()()2162ln 32162ln 0k x x x x x xx x '⎡⎤=---+-=---<⎣⎦则()k x 在(1,)+∞上单调递减，又(1)0k =，则()0k x <在(1,)+∞上恒成立，则()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，则()h x 在(1,)+∞上单调递减，又()2ln xy x x x=-的图像在直线y a =的上方仅有1个大于1的整数解，则这个整数解为2，则(3)(2)h a h ≤<又()()ln 3ln 3ln 2ln 2(3),(2)393182424h h ====--，则实数a 的取值范围为ln 3ln 2,184⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：D 二、多选题9．A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A ．若A ，B 不相邻，有72种排法B ．若A ，B 不相邻，有48种排法C ．若A ，B 相邻，有48种排法D ．若A ，B 相邻，有24种排法【正确答案】AC【分析】求得A ，B 不相邻时的排法总数判断选项AB ；求得A ，B 相邻时的排法总数判断选项CD.【详解】A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 不相邻，则先让C ，D ，E 自由排列，再让A ，B 去插空即可，则方法总数为3234A A 72=（种）.则选项A 判断正确；选项B 判断错误；A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 相邻，则将A ，B “捆绑”在一起，视为一个整体，与C ，D ，E 自由排列即可，则方法总数为2424A A 48=（种）.则选项C 判断正确；选项D 判断错误.故选：AC10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为012310⋯，，，，，，用X 表示小球落入格子的号码，则（）A ．()()519512P X P X ====B ．()()1191024P X P X ====C ．()10E X =D ．()52D X =【正确答案】AD【分析】分析得到110,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求期望和方差.【详解】设A =“向右下落”，A =“向左下落”，则()()12P A P A ==，因为小球最后落入格子的号码X 等于事件A 发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以110,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，于是9110115(1)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，同理可得：9910115(9)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，A 正确，B 错误；由二项分布求期望及方差公式得：1()1052E X =⨯=，115()101222D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，C 错误，D 正确.故选：AD11．已知数列{}n a 满足1112222n n n a a a n -++++=⋅ ，则（）A ．14a =B ．{}n a 的前10项和为150C ．(){}1nn a -的前11项和为-14D ．{}10n a -的前16项和为168【正确答案】ACD【分析】根据递推公式得22n a n =+，进而根据等差数列的求和公式即可判断AB ，根据并项求和可判断C ，根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.【详解】由1112222n n n a a a n -++++=⋅ 得：当2n ≥时，()21212212n n n a a a n --+++=-⋅ ，两式相减得()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，故()222n a n ,n =+³，当1n =时，14a =也符合，故22n a n =+，对于A,14a =，故A 正确，对于B ，{}n a 的前10项和为()422101302+⨯=，故B 错误，对于C ，{}(1)nn a -的前11项和为()12341145214a a a a a -+-+--=-+´-=- ，故C 正确，对于D ，当10280n a n -=-≥，解得4n ≥，所以*10,1310,N 10,4n n n a n a n a n -≤≤⎧-=∈⎨-≥⎩，所以{}10n a -的前16项和为()()()()()()1234516101********* a a a aa a -+-+-+-+-+-()()()0241364202424=12+=1682+´=+++++++，故D 正确，故选：ACD12．定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数()()32503f x ax bx ab =++≠的对称中心为()1,1，则下列说法中正确的有（）A ．1,13a b ==-B ．函数()f x 既有极大值又有极小值C ．函数()f x 有三个零点D ．过1(1,3-可以作两条直线与()y f x =图像相切【正确答案】ABD【分析】求得()232f x ax bx '=+，()62f x ax b ''=+，根据题意列出方程组，求得,a b 的值，可判定A 正确；求得()22f x x x '=-，得出函数的单调性，结合极值定义，可判定B 正确；根据极大值和极小值都大于0，可判定以C 错误；设切点为00(,)T x y ，求得切线方程，代入点1(1,)3-，求得0x 的值，可判定D 正确.【详解】对A ，由题意，函数()3253f x ax bx =++，可得()232f x ax bx '=+，()62f x ax b ''=+，所以()()1011f f ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即620513a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得1,13a b ==-，所以A 正确；对B ，因为()321533f x x x =-+，可得()22f x x x '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以函数()f x 既有极大值又有极小值，所以B 正确；对C ，当0x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()503f =，当2x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为()123f =，因为()()00,20f f >>，即()f x 的极大值与极小值都大于0，所以函数至多有一个零点，所以C 错误；对D ，设切点为00(,)T x y ，可得()20002f x x x '=-，即切线的斜率2002k x x =-，所以切线方程为3220000015()(2)()33y x x x x x x --+=--，又由切线过点1(1,)3-，则32200000115()(2)(1)333x x x x x --+=---，整理得300320x x --=，即200(1)(2)0x x +-=，解得01x =-或02x =，即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的只有两条切线，所以D 正确.故选：ABD.三、填空题13．袋中有同样大小的球7个，其中4个红球，3个黄球，现从中随机地摸出4球，则红色球与黄色球的个数恰好相等的概率为______________.（结果用最简分数表示）【正确答案】1835【分析】根据超几何分布求概率.【详解】红色球与黄色球的个数恰好相等即红色球与黄色球的个数都为2，所以所求概率为224347C C 18C 35=.故答案为:1835.14．橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量ξ（单位：g ）近似服从正态分布()290,N σ，且(8690)0.2P ξ<≤=，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于94g 的橘果个数为___________.【正确答案】300【分析】先按照正态分布计算出不低于94g 的概率，再计算出个数即可.【详解】结合正态分布特征，(8690)(9094)0.2P P ξξ<≤=<≤=，120.2(94)0.32P ξ-⨯≥==，所以估计单个果品质量不低于94g 的橘果个数为0.31000300⨯=.故300.15．口袋中放有大小相等的2个白球和1个黑球，有放回地每次摸取1个球，定义数列{}n a ：若第n 次摸到白球，1n a =-；若第n 次摸到黑球，1n a =.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则73S =的概率为______.【正确答案】28729【分析】题意73S =说明共摸球七次，只有两次摸到白球，利用独立事件的概率公式求解即可【详解】由题意73S =说明共摸球七次，只有两次摸到白球，因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到白球的概率是23，摸到黑球的概率为13，所以只有两次摸到白球的概率为52271228C 33729⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故2872916．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛．其定义是：对于函数()f x ，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，若函数2()f x x =，2log n n a x =，且11a =，则9a =____．【正确答案】7-【分析】先利用题给条件求得数列{}n a 是首项为1公差为1-的等差数列，进而求得9a 的值.【详解】2()f x x =，则()2f x x '=；由2log n n a x =，可得=2nan x 则由()()1n n n n f x x x f x +=-'，可得+121==2222n n a a n n n n x x x x -=-则+11n n a a =-，又11a =，则数列{}n a 是首项为1公差为1-的等差数列，则1(1)2n a n n =--=-，则9297a =-=-故7-四、解答题17．设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值-1.(1)求a 、b 的值；(2)求()f x 的单调区间.【正确答案】(1)1,3a b ==-(2)()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调递减区间为()1,1-.【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出1,3a b ==-；（2）结合第一问得到单调区间.【详解】（1）2()3f x ax b '=+，由题意得：(1)30f a b '=+=，(1)11f a b =++=-，解得：1,3a b ==-，此时()()2()33311f x x x x '=-=+-，当11x -<<时，()0f x '<，当1x <-或1x >时，()0f x '>，故1x =为极值点，满足题意，所以1,3a b ==-.（2）由（1）可知：当11x -<<时，()0f x '<，当1x <-或1x >时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调递减区间为()1,1-18．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．(1)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【正确答案】(1)27(2)37【分析】（1）设事件=i A “第i 次取到的是小兔盲盒”，1,2i =，求出()1P A ，()21P A A ，再根据条件概率的概率公式计算可得；（2）设事件i B =“第i 次取到的是小狗盲盒”，1,2i =，求出()1P B ，()21P B B ，()21P B A ，再根据全概率的概率公式计算可得.【详解】（1）设事件=i A “第i 次取到的是小兔盲盒”，1,2i =．∵()14117C 4C 7P A ==，()132116C 1C 2P A A ==，∴()()()12121412727P A A P A P A A ==⨯=，即第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率为27．（2）设事件i B =“第i 次取到的是小狗盲盒”，1,2i =．∵()13117C 3C 7P B ==，()122116C 1C 3P B B ==，()132116C 1C 2P B A ==，∴由全概率公式，可知第2次取到的是小狗盲盒的概率为()()()()()2121121P B P B P B B P A P B A =⨯+⨯31417372=⨯+⨯37=．19．已知向量()2,cos a x x =- ，()cos ,6b x = ，设函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的最大值;（2）在锐角ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()0,f B b =，3sin 2sin 0A C -=，求ABC 的面积.【正确答案】（1）max ()3f x =；（2【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得2()233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可得()f x 的最大值；（2）由锐角ABC ，推出22333B πππ-<-<，再结合f （B ）0=，求得3B π=，由正弦定理知32a c =，再利用余弦定理求出2a =，3c =，最后由三角形面积公式得解．【详解】（1）因为()2,cos a x x =- ，()cos ,6b x = ，所以函数()f x a b=⋅2cos 6cos 23cos 23x x x x x =-+=++2233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴当2sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max ()3f x =（2）∵ABC 为锐角三角形，02B π∴<<.25233B πππ∴<+<又()0f B =2si n 232B π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭24233B ππ∴+=3B π∴=3sin 2sin 032A C a c-=∴= 2221cos 22a c b B ac +-==即222971432a a a +-=2,3a c ∴==1232ABC S ∴=⨯⨯⨯ 20．某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；(2)按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为X ，求X 的分布列及数学期望．【正确答案】(1)48125(2)分布列见解析；期望为65【分析】（1）利用二项分布即可求得从采购的产品中有放回地随机抽取3个，恰好有1个4等品的概率；（2）利用超几何分布求得1等品的数量X 的各个值对应的概率，进而得到X 的分布列及数学期望．【详解】（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为ξ，由已知取1个产品为4等品的概率为2011005=，依题意，1~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则21134148(1)C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即恰好有1个4等品的概率为48125；（2）分层抽样从这100个产品中抽取10个产品中，1等品的有40104100⨯=个，非1等品的有60106100⨯=个，依题意，X =0，1，2，3，0346310C C 1(0)C 6P X ⋅===，1246310C C 1(1)C 2P X ⋅===，2146310C C 3(2)C 10P X ⋅===，3046310C C 1(3)C 30P X ⋅===，则X 的分布列为：X 0123P 161231013011316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，从条件①：212a a =+，且12n n a a S =+、条件②：{}n a 为等比数列，且满足12n n S k +=+（*n ∈N ）这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2212231log log n n n b a a -+=⋅（*n ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有223n T λλ<+恒成立，求实数λ的取值范围．【正确答案】(1)2nn a =(2)1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由n a 与n S 的关系或等比数列的定义及通项公式求解即可；（2）由裂项相消法求出n T 后，再由223n T λλ<+恒成立进行求解即可.【详解】（1）若选择条件①：则由12n n a a S =+，当2n ≥时，有1112n n a a S --=+，两式相减，得1122n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=（2n ≥），∴数列{}n a 是公比2q =的等比数列，又∵212a a =+，∴211122a a q a a ===+，解得12a =，∴112n n n a a q -==；若选择条件②：∵{}n a 为等比数列，且满足12n n S k +=+，∴221(8)(4)4a S S k k =-=+-+=，332(16)(8)8a S S k k =-=+-+=，∴322a q a ==，212a a q==，∴112n n n a a q -==．（2）由第（1）问，2n n a =，∴212212log log 221n n a n --==-，232232log log 223n n a n ++==+，∴22122311111log log (21)(23)42123n n n b a a n n n n -+⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴1111111111145375923212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭1111342123n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，∵*n ∈N ，1102123n n ∴+>++，111113421233n T n n ⎛⎫∴=-+< ⎪++⎝⎭．由223n T λλ<+恒成立得，22133λλ+≥，解得1λ≤-或13λ≥．∴实数λ的取值范围为1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．22．已知函数2()ln 12af x x x x =-+．(1)若()f x 在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处的切线斜率是12，证明()f x 有两个极值点12x x ，，且213ln 2ln ln 3x x <-<．【正确答案】(1)1a ≥(2)证明见解析【分析】（1）由题意可知()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，分离参数，设1()lnx g x x+=，根据导数求得()g x 的最大值，进而可得a 的取值范围；（2）二次求导可得()f x 在1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()22,e 有2个极值点1x ，2x ，再根据导数值的正负情况可得111e 2x <<，224e x <<，再利用不等性质即可得证.【详解】（1）()1(0)f x lnx ax x '=+->，()f x 在(0,)+∞递减，()0f x ∴'≤在(0,)+∞上恒成立，1lnx a x+∴≥在(0,)+∞上恒成立，令1()lnx g x x +=，2()lnx g x x'=-，(0,1)x ∴∈时，()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，()max ()11g x g ∴==，1a ∴≥；（2）由题意得1(1)12f a '=-+=，12a ∴=，21()14f x xlnx x ∴=-+，1()12f x lnx x '=+-，11()(0)2f x x x ''=->，令()0f x ''>，解得：2x <，令()0f x ''<，解得：2x >，故()f x '在(0,2)递增，()f x '在(2,)+∞递减，又()2ln 20f '=> ，11'0e 2e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()221'e 3e 02f =-<，故()f x '分别在1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()22,e 有零点1x ，2x ，（不妨设12)x x <，10x x ∴<<时，()0f x '<，()f x 递减，12x x x <<时，()0f x '>，()f x 递增，2x x >时，()0f x '<，()f x 递减，故()f x 在1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()22,e 有2个极值点1x ，2x ，而13()ln 2024f '=->，1'0e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴111e 2x <<，()4410f ln '=->，()2'e 0f <，224e x ∴<<，11ln ln 2x ∴-<<-，22ln 2ln 2x <<，213ln 2ln ln 3x x ∴<-<，故原命题成立．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·朝阳期中) 已知集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A . {x|x＞1}B . {x|1＜x＜2}C . {x|x＞2}D . {x|x＞0}2. （2分）设α是第二象限角，且，则tan2α=（）A . -B . -C .D .3. （2分）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：cm2）为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·嘉兴期中) 下列说法中正确的个数是（）①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面．A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2015高三上·来宾期末) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 若，且，则的值为（）A . 2B . -1C . 1D . -27. （2分） (2017高二下·广安期末) 甲、乙两人从1，2，…，15这15个数中，依次任取一个数（不放回）．则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）将甲乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组，一组3人，令甲乙在同一组的分法有（）A . 80种B . 90种C . 25种D . 120种9. （2分）椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，弦AB过F1 ，若△ABF2的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x1 ， y1）和（x2 ， y2），则|y2﹣y1|的值为（）A .B .C .D .10. （2分）北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行．某公司有A、B、C、D、E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知：E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A、C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路．由此可知，下列推测一定正确的是（）A . 今天是周六B . 今天是周四C . A车周三限行D . C车周五限行11. （2分）函数由确定，则方程的实数解有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个12. （2分）函数存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·扬州期末) 等比数列{an}的前n项和Sn=3n+a，则a等于________．14. （1分）(2017·蚌埠模拟) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为1，且= ，则△ABC面积的最大值为________．15. （1分） (2015高三上·东莞期末) 已知a是第二象限角，P（t，4）为其终边上的一点，且cosa= ，则（x2+ ）（x+ ）6的展开式中常数项等于________．16. （1分）已知f（x）=x2f'（1）﹣3x，则f'（2）的值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高二上·新乡月考) 在中，.（1）求的值；（2）求18. （5分）(2018·南宁模拟) 对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型① ，②拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高60708090100110体重68101415180.410.01 1.210.410.070.12 1.69附：对于一组数据，，… ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为， .（Ⅰ）求表中内实数的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于的样本点被认为是异常数据，应剔除，求剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立的线性回归方程，并检验一数据点身高，体重是否为异常数据.（结果保留到小数点后两位）19. （10分） (2018高二下·中山月考) 设数列满足，（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式（不需证明）；（2）记为数列的前项和，用数学归纳法证明：当时，有成立.20. （10分） (2017高一下·定州期末) 如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．21. （10分） (2019高二上·思明期中) 已知双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为 .（1）求此双曲线的方程；（2）设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求的面积.22. （5分） (2017高一下·卢龙期末) 在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1（I）求证数列{an+1}是等比数列；（II）设cn=n•（an+1），求数列{cn}的前n项和Tn ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题1．某班5名同学去参观4个红色教育基地，每名学生可自由选择其中的1个红色教育基地，则不同选法的种数是（ ）A ．54B ．45C ．20D ．92．在等比数列n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为（ ）A ．64-B ．64C ．48-D ．48 3．若()*12n x n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中二项式系数和为64，则n =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则P (B |A )=（ ）A ．112B ．29C ．13D ．235．已知直线l 与函数()e cos x f x x =-的图象在点()()0,0f 处的切线平行，则直线l 的斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．16．已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，且()()0341P X P X a ==-==，则a =（ ）A ．23B ．12C ．13D ．147．若点P 是曲线24ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线:25ln 20l x y +-=的距离的最小值为（ ）A B C D ．4ln 258．某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ） A ．72种 B ．114种 C ．120种 D ．144种二、多选题9．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则q 的值可能为（ ）A ．12B ．1C ．12-D ．－210．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）A ．组成的三位数的个数为60B ．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6C ．在组成的三位数中，比300大的个数为36D ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为2411．已知函数()()1ln f x x x R αα+=-∈，则（ ）A ．若0α=，则函数()f x 的最小值为1B ．若0α=，则()()20232024f f <C ．若1α=，则方程()1f x =仅有1个实数根D ．若方程()0f x =无实数根，则α的取值范围是1,e 1∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭三、填空题12．若()()5212x x +-的展开式中3x 的系数为．（用数字作答）13．已知{}n a 为等差数列，且121a a +=，895a a +=，则5a =.14．已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '<在R 上恒成立，则不等式()()33e 2e 120x f x f x --->的解集是．四、解答题15．某同学会做老师给出的6道题中的4道，现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：选出的3题中该同学会做的题目数的分布列．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2312a a +=，648S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17．已知函数()324123f x x ax x b =-++在3x =处取得极小值−2． (1)求实数,a b 的值； (2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且1132n n n n S a S a +++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1n n b n a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19．设函数(),02alnx f x x a =->. （1）求()f x 的单调区间;（2）求证:当1,a x e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aa f x e ≤-。

高二数学下学期期中试题 理（含解析）第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.考点：原命题与否命题.2. “1＜x ＜2”是“x＜2”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：因为“若12x <<，则2x <”是真命题，“若2x <，则12x <<”是假命题，所以“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．选A ． 考点：充分必要条件的判断．【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题． 对于命题“若A ,则B”是真命题,我们说A ⇒B ,并且说A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件，命题“若A ,则B ”是假命题,我们说A ≠>B ,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键．3.复数2256)(3)m m m m i -++-（是纯虚数，其中i 是虚数单位,则实数m 的值是( ) A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 0或2或3【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出复数()2256(3)m m m m i -++-是纯虚数，然后根据纯虚数的定义即可得出复数的实部与虚部的取值范围，最后通过计算即可得出结果。

黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设f0（x）=cosx，，，… ，n∈N，则f2011（x）等于（）A . sinxB . ﹣sinxC . cosxD . ﹣cosx2. （2分） (2019高三上·衡阳月考) 已知函数，，其中．若的图象在点处的切线与的图象在点处的切线重合，则a的取值范围为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·茂名模拟) 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A . 6种B . 24种C . 30种D . 36种4. （2分） (2017高二下·故城期中) 8把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A . 144B . 120C . 72D . 245. （2分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f （x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A . 6B . 7C . 8D . 96. （2分） (2019高二下·黑龙江期末) 若，则s1,s2,s3的大小关系为（）A . s1＜s2＜s3B . s2＜s1＜s3C . s2＜s3＜s1D . s3＜s2＜s17. （2分）(2019·湖北模拟) 已知，则（）A . 9B . 36C . 84D . 2438. （2分） (2015高二下·椒江期中) （2x+1）（1﹣）5的展开式中的常数项是（）A . ﹣11B . ﹣10C . 1D . ﹣99. （2分） (2017高二下·和平期末) 二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A . 24B . 18C . 6D . 1610. （2分） (2019高一上·长春月考) 已知函数，在上是减函数，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）对于函数f（x）=（x2﹣2x+2）ex﹣的下列描述，错误的是（）A . 无最大值B . 极大值为2C . 极小值为D . 函数g（x）=f（x）﹣2的图象与x轴只有两个交点12. （2分） (2016高二下·漯河期末) 定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）= ，f′（x2），则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f （x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A . （，）B . （0，1）C . （，1）D . （，1）二、填空 (共4题；共5分)13. （2分） (2020高三上·浙江月考) 在的展开式中，二项式系数和为64，则 ________；中间项的系数为________.14. （1分） (2017高二下·蚌埠期中) 函数y= 的导数是________．15. （1分） (2017高三下·武邑期中) 设的展开式中的常数项等于________．16. （1分） (2017高三上·南充期末) 5人排成一列，其中甲、乙二人相邻的不同排法的种数为________．（结果用数字表示）三、解答题 (共5题；共45分)17. （10分） (2019高二下·南宁月考) 现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品，从中抽取3件：（1）恰有1件次品的抽法有多少种；（2）求取到次品数X的分布列.18. （15分） (2020高二下·唐山期中) 若函数，当时，函数有极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x的方程有三个零点，求实数k的取值范围．19. （10分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0）．（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．20. （5分）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18，数列{bn}的前n项和为Sn ，且Sn+bn=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记cn=an•bn ，若cn+m≤0对任意的n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．21. （5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+ 在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、第11 页共11 页。

黑龙江省齐齐哈尔市2020版数学高二下学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 集合的真子集的个数为（）A . 9B . 8C . 7D . 62. （2分） (2019高一上·盘山期中) 已知函数，则函数零点所在的区间为（）A .B .C .D .3. （2分）已知y1=ax,y2=bx是指数函数，y3=xc,y4=xd是幂函数，它们的图象如右图所示，则a,b,c,d的大小关系为（）A . a<b<c<dB . b<a<c<dC . c<b<a<dD . c<a<b<d4. （2分） (2016高一上·密云期中) 设集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（）A . {2}B . {3，5}C . {1，4，6}D . {3，5，7，8}5. （2分） (2018高二下·中山月考) 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，若函数，且，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A . 若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B . 若x2+y2=0，则x，y都不为0C . 若x2+y2≠0，则x，y都不为0D . 若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为07. （2分） (2019高二下·日照月考) 已知，则等于（）A . 0B .C .D . 28. （2分）(2016·城中模拟) 已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（x+8）=f（x），且当x∈（0，4]时f（x）= ，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣2016，2016]上有且只有2016个整数解，则实数a的取值范围是（）A . （﹣ ln6，ln2]B . （﹣ln2，﹣ ln6）C . （﹣ln2，﹣ ln6]D . （﹣ ln6，ln2）9. （2分） (2015高一下·黑龙江开学考) 已知f（x）=ax﹣2 ， g（x）=loga|x|（a＞0且a≠1），若f（4）•g（﹣4）＜0，则y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A .B .C .D .10. （2分）下列命题是真命题的是（）A . 若，则x=2B . 若x=y，则C . 若，则x=yD . 若x>y，则|x|>|y|11. （2分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）A .B . 且C . ，D .12. （2分）(2017·成安模拟) 函数y= 的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知正数、满足，且，则 ________.14. （1分） (2019高一上·罗庄期中) 函数的定义域是________．15. （1分） (2019高二上·北京期中) 设，函数的值域为集合，若，则的取值范围是________.16. （1分） (2020高三上·天津月考) 已知函数的最小值为，则实数m 的值为________．三、解答题 (共7题；共80分)17. （10分） (2016高一上·抚州期中) 已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R（1）当a=2时，求A∪B和（∁RA）∩B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．18. （15分）已知函数f（x）= ．（1）求f（π）；（2）在坐标系中画出y=f（x）的图象；（3）若f（a）=3，求a的值．19. （5分）已知函数f（x）=﹣x2+ax（a∈R）．（1）当a=3时，求函数f（x）在[,2]上的最大值和最小值；（2）当函数f（x）在(,2)单调时，求a的取值范围．20. （15分） (2018高一上·江津月考) 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意，都有f( · )＝f（）＋f（），且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.（1）证明： (x)是偶函数；（2）证明： (x)在(0，＋∞)上是增函数；（3）解不等式 (2 －1)<2.21. （10分） (2019高二下·珠海期中) 已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）写出的极值点．22. （10分）在极坐标系中，曲线C的方程为，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的参数方程；（2）在直角坐标系中，点M（x，y）是曲线C上一动点，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标．23. （15分） (2020高二下·大庆期末) 已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若a､b∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.（1）判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.（2）解不等式 .（3）若对所有､，恒成立，求实数m的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共80分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、答案：23-3、考点：解析：。

黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 命题“∃x0∈R，使得”的否定是（）A . ∃x0∈R，使得B . ∀x0∈R，使得C . ∀x0∈R，使得D . ∃x0∈R，使得2. （2分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若m∥n ，m∥α ，则n∥αB . 若α⊥β ，m∥α ，则m⊥βC . 若α⊥β ，m⊥β ，则m∥αD . 若m⊥n ，m⊥α ，n⊥β ，则α⊥β3. （2分）抛物线的准线方程是（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·佛山模拟) 已知函数 ,则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2018高二上·黑龙江期末) 已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上任意一点,从任一焦点引的外角平分线的垂线,垂足为 ,则点的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线6. （2分） (2015高二上·永昌期末) 椭圆的焦距为8，则m的值等于（）A . 36或4B . 6C .D . 847. （2分）(2018·郑州模拟) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·永川期中) “a＞2”是“a（a﹣2）＞0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知在椭圆方程 + =1中，参数a，b都通过随机程序在区间（0，t）上随机选取，其中t＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）函数的值域是（）A .B .C .D .11. （2分）若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=±xB . y=±xC . y=±xD . y=±x12. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2+c2﹣bc=4，则△ABC的面积的取值范围是（）A . （， ]B . （0， ]C . （， ]D . （，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·集宁期中) 已知数列是等差数列，若，，则数列的公差=________．14. （1分）(2017·广西模拟) 椭圆的离心率为________．15. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 已知F1、F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2=∠F1PF2 ，那么椭圆的离心率为________．16. （1分） (2018高二上·无锡期末) 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2015高二上·福建期末) 已知命题P：方程表示双曲线；命题q：1﹣m＜t＜1+m（m＞0），若￢p是￢q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．18. （5分） (2015高二上·安阳期末) 如图，已知圆D：x2+y2﹣4x+4y+6=0，若P为圆D外一动点，过P向圆D作切线PM，M为切点，设|PM|=2，求动点P的轨迹方程．19. （10分） (2016高二下·孝感期末) 双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．20. （10分）(2020·海南模拟) 已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为 .（1）求抛物线的方程；（2）若过的直线与圆切于点，与抛物线交于点，证明： .21. （5分） (2016高二上·黑龙江期中) 设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，求椭圆的标准方程．22. （10分）(2017·衡阳模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（，1），以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得• 恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

黑龙江省 2020 年高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高二上·绵阳期中) 空间直角坐标系中，点 与 的距离为（ ）关于平面的对称点为 ，则A.B.C. D.92. （2 分） 若是所在的平面内的点，且.给出下列说法：①；② 的最小值一定是 ； ③点 、 在一条直线上；④向量 及 在向量 的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是（ ） A . 个.第1页共7页B . 个. C . 个. D . 个.3. （2 分） 已知双曲线 渐近线方程为（ ）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍，则其A.B.C.D.4. （2 分） (2016 高二上·山东开学考) 在△ABC 中，有命题①；②；③若，则△ABC 为等腰三角形；④若，则△ABC 为锐角三角形．上述命题正确的是（ ）A . ①②B . ①④C . ②③D . ②③④5. （2 分） 在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线 y2=2px 的通径为 4，则 P=（ ）A.1B.4第2页共7页C.2 D.8 6. （2 分） 已知 E、F 分别为四边形 ABCD 的边 CD、BC 边上的中点，设，，则 =（ ）A . （ + ），B . ﹣ （ + ），C . ﹣ （ ﹣ ），D.﹣ （ ﹣），7. （2 分） (2015 高二上·莆田期末) 已知椭圆 +y2=1 上一动点 P，F 为其右焦点，椭圆内一定点 A（0，），则|AP|+|AF|的最小值（ ）A. B.1C. D.28. （2 分） 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，， 侧棱， D，E 分别是 与 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是 的重心 G．则 与平面 ABD 所成角的余弦值 （ ）A. B. C. D.第3页共7页9.（2 分）(2019 高二上·伊春期末) 将正弦曲线 A.作如下变换:得到的曲线方程为（ ）B.C.D. 10. （2 分） (2017 高二下·陕西期中) 已知 A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O 为坐标原点，则向量 与 的夹角是（ ） A.0B. C.πD.11. （2 分） (2020 高二下·济南月考) 若方程 范围是（ ）．A. B. C. D. 12. （2 分） (2019 高二下·广东期中) 已知抛物线表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点，则的最小值为（ ）第4页共7页A.2 B.C.D.二、 填空题： (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高二下·北京期中) 抛物线的准线方程为________．14. （1 分） (2018 高一上·玉溪期末) 向量，，若________.，则15. （1 分） (2019 高二上·湖北期中) 已知向量，影为________．，则 在 方向上的投16. （1 分） 若双曲线 E 的标准方程是， 则双曲线 E 的渐进线的方程是________三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （5 分） (2019 高二上·青岛月考) 已知对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过，且长轴长与短轴长之比为 4:3.求该椭圆的标准方程.18. （10 分） (2018 高三上·邵东月考) 如图，已知多面体底面，，且．的底面是边长为 的菱形，（1） 证明：平面平面；第5页共7页（2） 若直线 与平面所成的角为 ，求二面角的余弦值19. （10 分） (2015 高三上·承德期末) 已知抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，直线 2x﹣y+2=0 交抛物 线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q．（1） D 是抛物线 C 上的动点，点 E（﹣1，3），若直线 AB 过焦点 F，求|DF|+|DE|的最小值；（2） 是否存在实数 p，使|2 + |=|2 ﹣ |？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由．20. （10 分） (2019 高三上·上海月考) 如图，四棱锥中，平面，，，，，.（1） 求异面直线 与 所成角的余弦值；（2） 求二面角的余弦值.21. （5 分） (2019·和平模拟) 如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直，，,点 在线段上.(Ⅰ) 若点 为的中点，求证：平面；(Ⅱ) 求证：平面平面；(Ⅲ) 当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求第6页共7页的长.22. （5 分） (2017·兰州模拟) 已知椭圆 C： （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；=1（a＞b＞0）经过点（ ，1），且离心率为 ．（Ⅱ）设 M、N 是椭圆 C 上的点，直线 OM 与 ON（O 为坐标原点）的斜率之积为﹣ ，若动点 P 满足 ，试探究，是否存在两个定点 F1 ， F2 ， 使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求 F1 ， F2 的坐标，若不存在，请说明理由．第7页共7页。

黑龙江省齐齐哈尔市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·龙岩模拟) 已知复数z满足，则z的虚部为（）A . -1B . 1C . iD . -i2. （2分）下列求导运算正确的是（）．A .B .C .D .3. （2分）“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理（）A . 缺少小前提，小前提是无理数都是无限不循环小数B . 缺少大前提，大前提是无理数都是无限不循环小数C . 缺少小前提，小前提是无限不循环小数都是无理数D . 缺少大前提，大前提是无限不循环小数都是无理数4. （2分）下列选项中，说法正确的是（）A . 若a＞b＞0，则B . 向量（m∈R）共线的充要条件是m=0C . 命题“∀n∈N* ， 3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N* ，3n≥（n+2）•2n﹣1”D . 已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题5. （2分）(2018·宣城模拟) 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围为（）A .B .C . 或D . 或6. （2分）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定7. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成的封闭图形的面积为（）A .B . 4﹣ln3C .D .8. （2分） (2017高二上·红桥期末) i为虚数单位，则在复平面上复数z=﹣1+3i对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. （2分）用数学归纳法证明不等式成立，其 n 的初始值至少应为（）A . 7B . 8C . 9D . 1010. （2分）已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意的实数x都满足f（x+2）=f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A . 10个B . 9个C . 8个D . 2个11. （2分） (2018高二下·石家庄期末) 如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是，第二行共有二项是，，第三行共有三项是，，，依此类推第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是，则（）A . 105B . 109C . 110D . 21512. （2分） (2016高三上·安徽期中) f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，记a= ，b= ，c= ，则（）A . a＜b＜cB . c＜a＜bC . b＜a＜cD . c＜b＜a二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知a，b∈R，i为虚数单位，若a﹣i=2+bi，则a+b=________14. （1分）已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为________．15. （1分） (2019高二下·东莞期中) 已知……根据以上等式，可猜想出的一般结论是________．16. （1分）(2018·海南模拟) 若是函数的极值点，则实数 ________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高二上·潮阳期中) 设Sn是数列[an}的前n项和，．（1）求{an}的通项；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （5分）含有参数形式的复数如：3m+9+（m2+5m+6）i，（m∈R）何时表示实数、虚数、纯虚数？19. （5分）(2017·红桥模拟) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．20. （15分）已知函数f（x）= x3﹣ x2+1，x∈R．（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）求函数图象经过点（，1）的切线的方程；（3）求函数f（x）= x3﹣ x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．21. （15分） (2017高二下·和平期末) 已知函数f（x）=x2+alnx（a为实常数）（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．22. （5分）(2019·晋城模拟) 已知函数 .（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，证明： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、。

2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市甘南二中等八校高二（下）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=|1+i|+2i(i为虚数单位)，则z−=()A. −1+2iB. 1−2iC. −√2+2iD. √2−2i2.用火柴棒按如图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为()A. 401B. 201C. 402D. 2023.“余弦函数是偶函数，f(x)=cos(3x+π3)是余弦函数，所以f(x)=cos(3x+π3)是偶函数”以上推理()A. 大前提不正确B. 结论正确C. 小前提不正确D. 全部正确4.用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应假设()A. x>0或y>0B. x>0且y>0C. xy>0D. x+y<05.已知i为虚数单位，若复数z=ai1+i(a∈R)的虚部为1，则a=()A. −2B. 2C. −2iD. 2i6.北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行.某公司有A、B、C、D、E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知：E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A、C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路.由此可知，下列推测一定正确的是()A. 今天是周六B. 今天是周四C. A车周三限行D. C车周五限行7.函数f(x)=e x sinx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为()A. 0B. π4C. 1 D. 328.已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列选项错误的是()A. a2+b2≥12B. 2a−b>12C. log2a+log2b≥−2D. √a+√b≤√29.∫[2√1−(x−1)2−x]dx=()A. π4−1B. π4−2C. π2−1D. π2−210. 若函数f(x)=12x 2−9lnx 在区间[a −1,a]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. 1<a ≤3B. a ≥4C. a ≤3D. 1<a ≤411. 若点P 是曲线y =x 2−lnx 上任一点，则点P 到直线x −y −4=0的最小距离是( )A. √2B. 3C. 2√2D. 2√312. 设f(x)=|ln(x −1)|，f(x)−ax +a =0在(1,6]上有3个根，则实数a 的取值范围是( )A. [ln55,1e )B. (ln55,e)C. (0,ln55]D. (1e ,e)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1ℎ2=1a 2+1b 2.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P −ABC ，PO 为该棱锥的高，则有______．14. 用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n 2=n 4+n 22，则当n =k +1时，左端应在n =k 的基础上加上______．15. 下列命题中，真命题的序号有______．①∃x ∈R ，sinx +cosx =√3； ②若p ：xx−1<0，则￢p ：xx−1≥0； ③lgx >lgy 是√x >√y 的充分不必要条件． ④△ABC 中，边a >b 是sinA >sinB 的充要条件．16. 已知函数f(x)={e 2x (x >0)x 2+4(x ≤0)，若∀x ∈R ，f(x)≥mx ，则实数m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为F(x)万元，且满足函数关系：F(x)=11.1−x 230．(1)写出年利润G(万元)关于该新型玩具年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？18.数列{a n}满足a n+1=a n2a n+1，a1=1．(1)证明：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{1a n }的前n项和S n，并证明1S1+1S2+⋯+1S n>nn+1．19.已知函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=a+bx−12x2+13x3，函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤g(x)20.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21.已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+√2=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于E、F两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．22.已知函数f(x)=xe x+1．(1)求函数f(x)的极值；(2)若直线y=m与函数f(x)的图象有两个不同交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求证：x1+x2<−2．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z=|1+i|+2i=√12+12+2i=√2+2i，∴z−=√2−2i．故选：D．先求|1+i|，再由复数的基本概念得答案．本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，则第n个使用火柴为2n+1，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1=201．故选：B．根据题意观察火柴的个数，可看出为等差数列，首项为3，公差为2，求出通项，可求．本题考查归纳推理，注意观察规律，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：f(x)=cos(3x+π3)是余弦函数是小前提，因为f(x)=cos(3x+π3)不是余弦函数，故小前提不正确，故选：C．根据题意，分析该演绎推理的三段论形式，据此分析可得到答案．本题考查演绎推理的应用，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．熟记反证法的步骤，直接填空即可．反面有多种情况，需一一否定．【解答】解：用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应先假设x>0且y>0．故选B．5.【答案】B【解析】解：复数z=ai1+i =ai(1−i)12−i2=a2+a2i，由z的虚部为1，所以a2=1，解得a=2．故选：B．化简复数z，由z的虚部为1列方程求出a的值．本题考查了复数的定义与计算问题，是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是逻辑思维，属于中档题．根据已知中E车限行情况可得今天不是周三，根据B车限行情况可得今天不是周一，不是周日，根据AC车的限行情况可知今天不是周五，周二和周六，由此推出今天是周四．【解答】解：∵保证每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路且E车周四限行，可知：今天不是周三，B车昨天限行，今天不是周一，不是周日，A、C两车连续四天都能上路行驶，今天不是周五，周二和周六，由此推出今天是周四，故选：B．7.【答案】B【解析】解：由题意得，f′(x)=e x sinx +e x cosx =e x (sinx +cosx)， ∴在点(0,f(0))处的切线的斜率为k =f′(0)=1， 则所求的倾斜角为π4， 故选：B ．根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出f′(0)的值，即为所求的倾斜角正切值． 本题考查了求导公式和法则的应用，以及导数的几何意义，难度不大．8.【答案】C【解析】解：对于A ，因为a >0，b >0，且a +b =1， 所以ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b =12时等号成立， 所以a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12，当且仅当a =b =12时等号成立，故A 正确；对于B ，由a >0，b >0，且a +b =1，得a =1−b >0，则0<b <1，则−1<1−2b <1 所以2a−b =21−2b ∈(12,2)，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 214=−2，当且仅当a =b =12时等号成立，故C 错误；对于D ，因为a +b =1≥2√ab ，当且仅当a =b 时等号成立，所以a +b +2√ab =(√a +√b)2≤2，所以√a +√b ≤√2，故D 正确． 故选：C ．利用基本不等式即可判断选项A ，C ，D ，利用指数函数的性质即可判断选项B ，从而得解．本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：因为(x −1)2+y 2=1表示圆心在(1,0)，半径为1的圆，所以∫√1−(x −1)22dx 表示半圆的面积，即∫√1−(x −1)220dx =12⋅π⋅12=π2． 又∫x 20dx =12x 2|20=2，所以∫[20√1−(x −1)2−x]dx =∫√1−(x −1)220dx −∫x 20dx =π2−2． 故选：D ．利用定积分的几何意义计算∫√1−(x −1)220dx ，利用微积分基本定理计算∫x 20dx ，在由定积分的运算法则求出答案．本题考查定积分的几何意义，微积分基本定理，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=12x 2−9lnx 在区间[a −1,a]上单调递减， 所以任意x ∈[a −1,a]，f′(x)≤0， 即任意x ∈[a −1,a]，x 2−9x≤0，且a −1>0，所以{a −1>0a ≤3，即1<a ≤3．故选：A ．根据题意可得任意x ∈[a −1,a]，f′(x)≤0，所以{a −1>0a ≤3，进而解出a 的取值范围．本题考查利用导数分析函数单调性，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：设与直线x −y −4=0平行的直线与曲线y =x 2−lnx 切于P(x 0,y 0)， 由y =x 2−lnx ，得y′=2x −1x (x >0)，则y′|x=x 0=2x 0−1x 0，由2x 0−1x 0=1，解得x 0=1(舍去负值)．∴P(1,1)，则点P 到直线x −y −4=0的最小距离是√2=2√2．故选：C ．利用导数求出与直线x −y −4=0平行的直线与曲线y =x 2−lnx 的切点，再由点到直线的距离公式求解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．12.【答案】A【解析】解：作出f(x)=|ln(x −1)|的图象和y =ax −a 的图象，设切点为(x 0,y 0)，当直线与曲线的相切时，可得{y 0=ax 0−a y 0=ln(x 0−1)a =1x 0−1， 解得a =1e ；当直线过曲线的端点(6,ln5)时，可得ln5=6a −a ，解得a =ln55；根据图象，f(x)−ax +a =0在(1,6]上有3个根， 则实数a 的取值范围是ln55≤a <1e ；故选：A ．由f(x)−ax +a =0在(1,6]上有3个根，转化为y =f(x)与y =ax −a 有3个交点问题．设切点，求解直线与曲线的相切时的斜率a 的值，结合图象分析，直线过端点时a 的值，可得实数a 的取值范围．本题考查了对数函数即翻折的零点的应用问题，切线问题和切点的求法，是综合性题目．13.【答案】1PO 2=1PA 2+1PB 2+1PC 2【解析】解：由题意类比可得，1PO 2=1PA 2+1PB 2+1PC 2.证明如下：由点P 向边BC 作垂线，交BC 于点D ，连接AD ，在Rt △PBC 中，PD ×√PB 2+PC 2=PB ×PC ，故PD =PB⋅PC√PB 2+PC 2， 在Rt △PAD 中，AD =√PA 2+PD 2=√PA 2PB 2+PA 2PC 2+PB 2PC 2PB 2+PC 2，由等体积法知，13×12×√PA 2PB 2+PA 2PC 2+PB 2PC 2PB 2+PC 2×√PB 2+PC 2×PO =13×12×PA ×PB ×PC ，即PO 2(PA 2PB 2+PA 2PC 2+PB 2PC 2)=PA 2PB 2PC 2， 故1PO 2=1PA 2+1PB 2+1PC 2．由平面图形的性质向空间图形的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由平面图形中高的性质类比推理出空间中体高的性质；从而推断出空间几何中一个关于体高的性质．本题考查类比推理及三棱锥的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力；是中档题．14.【答案】(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+⋯+(k+1)2【解析】解：当n=k时，等式左端=1+2+⋯+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+⋯+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+⋯+ (k+1)2，增加了2k+1项．即(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+⋯+(k+1)2故答案为：(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+⋯+(k+1)2首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4+n22时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n= k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目．15.【答案】③④【解析】解：①∵sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2，∴①∃x∈R，sinx+cosx=√3错误；②若p：xx−1<0，则￢p：xx−1≥0或x=1，∴②错误；③由lgx>lgy⇒x>y>0⇒√x>√y，反之不成立，如√1>√0，∴lgx>lgy是√x>√y的充分不必要条件，故③正确；④在△ABC中，由正弦定理asinA =bsinB，可得a>b⇔sinA>sinB，∴△ABC中，边a>b是sinA>sinB的充要条件，故④正确；故答案为：③④．①利用辅助角公式化积，求得sinx+cosx≤√2判断①；②直接写出命题p的否定判断②；③举例说明③不正确；④利用正弦定理结合充分必要条件的判定判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于中档题．16.【答案】[−4,2e]【解析】解：如图，当直线y =mx 与f(x)=x 2+4相切时，由{ y =mx y =x 2+4，可得x 2−mx +4=0， 由△=m 2−16=0，解得m =−2，(正值舍去)， 即直线l 2的斜率为−4，当直线y =mx 与f(x)=e 2x 相切时，设切点为B(x 0,y 0)，则切线斜率为k =f′(x 0)=2e 2x 0， 则切线方程为y −e 2x 0=2e 2x 0(x −x 0). 代入点(0,0)，可得x 0=12，∴k =2e ． 即直线l 1的斜率为2e ，故实数m 的取值范围是[−4,2e]． 故答案为：[−4,2e]．求出直线y =mx 与f(x)=x 2+4(x ≤0))相切时m 的值和直线y =mx 与f(x)=e 2x (x>0)相切时m 的值，结合图象，即可得实数m 的取值范围．本题考查了分段函数的图象问题，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．17.【答案】解(1)依题意，G(x)=xF(x)−(10+3x)=8.1x −130x 3−10(2)由(1)得G′(x)=8.1−x 210=(9+x)(9−x)10，令G′(x)=0，得x =9．且当x ∈(0.9)时，G′(x)>0，G(x)单调递增；当x ∈(9,+∞)时，G′(x)<0，G(x)单调递减．∴当x =9时，G(x)取极大值也是最大值，G(x)max =8.1×9−130×93−10=38.6.即当年产量为9千件时，该厂在该商品生产中获得的年利润最大且最大值为38.6万元．【解析】(1)根据利润=收入−成本可列出表达式； (2)利用导数求出最值．本题考查用函数解决实际问题，涉及导数求最值，难度不大，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵a n+1=a n2a n+1，a1=1，∴两边同时取倒数得1a n+1=2a n+1a n=2+1a n，则1a n+1−1a n=2，故数列{1an}是等差数列，公差d=2．(2)∵数列{1a n }是等差数列，公差d=2，首项为1a1=1，则数列{1an }的前n项和S n=n+n(n−1)2×2=n+n(n−1)=n2，则1S n =1n2，∵1S n =1n2>1n(n+1)=1n−1n+1，∴1S1+1S2+⋯+1S n>11−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1，故1S1+1S2+⋯+1S n>nn+1成立．【解析】(1)将等式两边同时取倒数，构造等差数列，即可证明数列{1an}是等差数列；(2)根据等差数列的通项公式求出数列{1a n}的前n项和S n，利用放缩法即可证明不等式．本题主要考查数列递推公式的应用，以及等差数列的证明，利用取倒数法是解决本题的关键．利用放缩法是证明不等式的常用方法．19.【答案】(1)解：由题意得，点(0,0)在g(x)=a+bx−12x2+13x3的图象上，将点(0,0)代入g(x)的解析式，解得a=0．f(x)=ln(x+1)的导数为f′(x)=1x+1，∴函数函数f(x)=ln(x+1)在点(0,0)处的切线斜率为f′(0)=1．又g(x)的导数为g′(x)=x2−x+b，g(x)=a+bx−12x2+13x3在点(0,0)处的切线斜率也为1，∴g′(0)=1，解得b=1．综上，a=0，b=1．(2)证明：令ℎ(x)=f(x)−g(x)=ln(x+1)−13x3+12x2−x(x>−1)，则ℎ′(x)=1x+1−x2+x−1=−x3x+1．由ℎ′(x)>0⇒−1<x<0．∴ℎ(x)在(−1,0)上为增函数，在(0,+∞)上为减函数．∴ℎmax(x)=ℎ(0)=0⇒ℎ(x)≤ℎ(0)=0，即f(x)≤g(x)．【解析】(1)(0,0)代入g(x)的解析式，可得a=0；求得f(x)的导数，可得切线的斜率，再求g(x)的导数，可得切线的斜率，进而得到b的值；(2)设出ℎ(x)=f(x)−g(x)，求得ℎ(x)的导数，单调区间，可得最值，进而得证．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用转化思想和函数的导数，求得最值是解题的关键，属于中档题．20.【答案】(1)证明：连接BO，∵AB=BC=2√2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=4，∴PO⊥AC，PO=2√3，则PB2=PO2+BO2，则PO⊥OB，∵OB∩AC=O，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC；(2)解：建立以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系如图：A(0,−2,0)，P(0,0，2√3)，C(0,2，0)，B(2,0，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,0) 设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,2λ,0)，0≤λ<1， 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,2λ,0)−(−2,−2,0)=(2−2λ,2λ+2,0)， 则平面PAC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设平面MPA 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,−2√3)， 则{n ⃗ ·PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y −2√3z =0n ⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ)x +(2λ+2)y =0, 令z =1，则y =−√3，x =√3(λ+1)1−λ，即n ⃗ =(√3(λ+1)1−λ,−√3,1)，∵二面角M −PA −C 为30°， ∴cos30°=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√32， 即|√3(λ+1)1−λ|1·√(√3·1−λ)2+3+1=√32， 解得λ=13或λ=3(舍)，则平面MPA 的法向量n ⃗ =(2√3,−√3,1)， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2√3)， PC 与平面PAM 所成角的正弦值sinθ=|cos <PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|√3−2√3√16⋅√16|=4√316=√34．【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键，属于较难题． (1)由已知条件可证明PO ⊥AC ，PO ⊥OB ，再利用线面垂直的判定定理即可； (2)根据(1)可建立空间直角坐标系，标出点的坐标，根据二面角的大小求出平面PAM 的法向量，利用向量法求线面角即可．21.【答案】解：(1)由题意知：e =c a =√32∴e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=34，∴a 2=4b 2.…(2分)又∵圆x 2+y 2=b 2与直线x −y +√2=0相切，∴b =1，∴a 2=4，…(3分) 故所求椭圆C 的方程为x 2+y 24=1…(4分)(2)设E(x 1,kx 1)，F(x 2,kx 2)，其中x 1<x 2， 将y =kx 代入椭圆的方程x 2+y 24=1整理得：(k 2+4)x 2=4，故x2=−x1=2√k2+4.①…(5分)又点E，F到直线AB的距离分别为ℎ1=|2x1+kx1−2|√5=2(2+k+√k2+4)√5(k2+4)，ℎ2=|2x2+kx2−2|√5=2(2+k−√k2+4)√5(k2+4)．|AB|=√22+1=√5…(7分)所以四边形AEBF的面积为S=12|AB|(ℎ1+ℎ2)=12⋅√5⋅4(2+k)√5(k2+4)=2(2+k)√k2+4…(9分)=2√4+k2+4kk2+4=2√1+4kk2+4=2√1+4k+4k≤2√2，…(11分)当k2=4(k>0)，即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2.…(12分)【解析】(1)通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．(2)设E(x1,kx1)，F(x2,kx2)，其中x1<x2，将y=kx代入椭圆的方程x2+y24=1，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及计算能力．22.【答案】解：(1)∵f(x)=xe x+1∴f′(x)=(x+1)e x+1.x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下x(−∞,−1)−1(−1,+∞)f′(x)−0+f(x)单调递减极小值单调递增∴当x=−1时，f(x)有极小值为f(−1)=−1，∴f(x)极小值为−1，无极大值．(2)证明：设：x1<x2，由(1)知，x1<−1，−1<x2<0，欲证：x1+x2<−2，需证：x1<−2−x2．由x1<−1，−2−x2<−1，且f(x)在(−∞,−1)是单调递减函数，即证：f(x1)>f(−2−x2)∵f(x1)=f(x2)即证：f(x2)>f(−2−x2)令F(x)=f(x)−f(−2−x)，(−1<x<0)，F′(x)=(x+1)(e x+1−e−x−1)当−1<x<0时，F′(x)>0，∴F(x)单调递增，∴F(x)>F(−1)=0，∴−1<x<0时，f(x)>f(−2−x)．由−1<x2<0时，∴f(x2)>f(−2−x0)，∴x1+x2<−2得证．【解析】(1)f(x)=xe x+1，f′(x)=(x+1)e x+1.x变化时，f′(x)与f(x)变化情况列表即可得出结论．(2)设：x1<x2，由(1)知，x1<−1，−1<x2<0，欲证：x1+x2<−2，需证：x1<−2−x2.根据f(x)在(−∞,−1)是单调递减函数，即证：f(x1)>f(−2−x2)，即证：f(x2)>f(−2−x2)，令F(x)=f(x)−f(−2−x)，(−1<x<0)，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了了推理能力与计算能力，属于难题．。