六年级上册数学试题数学竞赛计算部分高斯求和

整数巧算问题2-高斯求和与分组求和授课时间：年月日一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。

和=（首项+尾项）项数项数=（尾项-首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。

（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。

二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题1】计算1+2+3+……+99练习1：1、1+2+3+……+198+1992、2+3+4+……+199+2003、2+3+4+……+997+998【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？【例题3】计算2+4+6+……+998+1000练习3：1、1+3+5+……+97+992、3+6+9+……+198+2013、7+14+21+……+994+1001【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101练习5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+2013、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？练习5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？5、1+8+15+……+2101+210186、2+4+6+……+20007、1+4+7+……+1008、10+11+12+……+20099、1+10+20+30+……+200+21010、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。

戴氏-高斯求和引入故事：德国著名数学家高斯上小学的时候，一天老师在黑板上写下了一个算式:1+2+3+4+5+6+···+99+100=？“这么多怎么算啊？”，孩子们都傻眼了。

不一会儿，小高斯拿着写有答案的石板走上讲台。

老师一看，顿时惊讶的说不出话来——小高斯的答案完全正确。

走进来：高斯是怎样求出这个和的呢？这就是我们要研究的这种求和的方法。

事实上，像1+2+3+4+5+6+···+99+100这样除第一个数外，每一个数与它前面那个数的差始终相等的一列数叫做等差数列。

这个不变的差叫公差，每一个数都叫做等差数列的项，其中第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。

利用高斯的巧算方法可以得到以下公式：总和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+（项数-1）×公差有了这些公式，很多问题解答起来就很方便了。

一起做：【例题1】1+2+3+4+5+···+50=？★即学即练1：计算：2+4+6+8+···+30计算：5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70【例题2】建筑工地上堆着一些钢管，这些钢管一共有多少根？★即学即练2：下面是一堆电线杆的侧面示意图，试计算下面有多少根电线杆？【例题3】求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。

★即学即练3：有一个等差数列首项为5，末项为97，公差为4，则这个等差数列的和是多少？【例题4】下面一列数是按一定规律排列的：3、12、21、30、39、48、57、66···。

（1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？★即学即练4：下面是一列数按照一定规律排列的：3、7、11、15···、95、99。

第十七讲 整数型计算综合提高一、多位数计算1． 凑整、凑9的思想；2． 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n ．二、等差数列1． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式：（1） ； （2） ． 3． 项数公式：．4． 第n 项：．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S ；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1． 平方差公式．2． 平方求和．3． 立方求和．五、整数裂项1． ；2． ．()()()()()123123234345124n n n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=L()()()1212233413n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=L()2333312312n n ++++=+++L L ()()22221211236n n n n ⨯+⨯+++++=L ()()22a b a b a b -=-+()1n +-⨯首项公差()1÷+末项-首项公差 ⨯中间项项数 ()2+⨯÷首项末项项数 99999n 个L 14243一、整数数列基本计算 1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项：（1）基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧 1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1）228888888811111111-的计算结果是多少？（2）30830388883333⨯个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少？「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和．练习1、999999999999999999⨯的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第8组中所有数的和是多少？经典题型例3．对自然数a 和n ，规定1-+=∇n n a a n a ，例如1233232=+=∇，那么： （1）计算：1222302∇+∇++∇L ； （2）计算：2122210∇+∇++∇L ．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习3、对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如32333336∇=+=，那么：算式：1323303∇+∇++∇L 的结果是多少？例4．计算：12+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)40⨯⨯⨯⨯⨯L L ． 「分析」试着计算几项，寻找一下规律．练习4、计算：3333333333112123123100112123123100++++++++++++++++++L L L ．例5．计算：12345699100⨯+⨯+⨯++⨯L ． 「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6．计算：1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-L 「分析」关于阶乘的计算一定牢记：()()!11!n n n ⨯+=+，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．作业1. 333333333333⨯的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算：（1）222221222340++++L ；（2）222224642++++L ；（3）222213523+++L ，的结果？4. 计算：139238337436391⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ．5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得： ()()()2288888888111111118888888811111111888888881111111199999999777777777777777710000000017777777700000000777777777777777622222223-=+⨯-=⨯=⨯-=-=（2）凑整可得：30830330830310296309929697038888333388883333332962962969999296296295703703704⨯=÷⨯⨯=⨯=L L L L 14243142431424314243L L L L 1442443142431424314243个个个个个个个个数字和是270．例8． 答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2详解：123642080++++=L ．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页和34页．123632016++++=L ．所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1页和2页．例9．答案：（1）9920；（2）3069 详解：（1）根据题目定义的新运算可得：()()()()()2222212302112230301301309920∇++∇=++++++=+++++=L L L L ； （2）()()()10211092122210222222∇+∇++∇=++++++L L()()1210019111022222222213069=+++++++=-+-=L L ．例10． 答案：46970详解：()()()()()()2222222233322212+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)401223342021=2464022221223342021111221331202011220122046970⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯++⨯++⨯+++⨯+=+++++++=L L L L L L L例11． 答案：169150详解：()()()()()()22222221234569910022446610010024100241001717002550169150⨯+⨯+⨯++⨯=-+-+-++-=+++-+++=-=L L L L例12． 答案：1详解：()()()()()()()()()1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!1!122!133!142010!120112011!120122012!1!2!2!3!3!4!2010!2011!2011!2012!2012!1⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-=⨯+-⨯++⨯+--⨯++⨯+-=+-+++--+++-=L L L练习：练习1、答案：81 简答：11111111199111111111=1234567999999999912345678987654321=÷⨯⨯⨯=原式结果数字和为81．练习2、 答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3，9，27，81，L L ，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561，即求218721896559+++L L ，等差数列求和得()21876559218729563751+⨯÷=．练习3、答案：225680简答：3232323213233031122333030∇+∇++∇=++++++++L L222233331233012330225680+++++++++=L L ．练习4、 答案：171700简答：需要借助这样一个公式：()23333123123n n ++++=++++L L L L ，因此，原式1(12)(123)(123100)(122334100101)2=+++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯÷L L L()()22211210021210021001012012505021717006=+++÷++++÷=⨯⨯⨯÷+÷=L L ．作业6. 答案：54简答：333333333333111110888889⨯=，数字和是54．7. 答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a 、b 个单词，所以甲第n 天背5(1)a n +-个单词，乙第n 天背12n b -个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33a b +=和5240a b ++=，可求得a 和b 分别为31和2，可知答案为6；8．8. 答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009. 答案：10660简答：2221(401)2(402)39(4039)40(1239)(1239)=⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-+++L L L 原式 10660=．10. 答案：1或5041简答：设已知关系式为22143a b +=，应用平方差公式有()()143b a b a +-=，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。

六年级高斯数学分项练习一、组合数学1、甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，单循环．请问小强要赛几场？2.A、B、C、D、E五支队伍参加足球单循环比赛，请问A队参与了多少场比赛？3.编号为1、2、3、4、5的五位同学进行围棋单循环比赛，请问编号1的同学能参加多少场比赛？4.甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，只知道甲赛了4盘，小强赛了1盘．问：小强跟谁赛过？A.甲B.乙C.丙D.丁5.A、B、C、D、E五支队伍参加足球单循环比赛．到目前为止，只知道A队已经进行了4场比赛，E队只进行了1场比赛．请问：E队参加过的比赛，对手是谁？A.AB.BC.CD.D6.编号为1、2、3、4、5的五位同学进行围棋单循环比赛．到目前为止，只知道1号选手已经进行了4场比赛，5号选手进行了1场比赛．请问5号选手跟那位选手比赛过？A.1B.2C.3D.47.甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丁赛了1盘．问：乙这三盘分别是跟哪3位选手比的？8.A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队B、C、D、E赛过的场数依次为4、3、2、1．问：C队这3场比赛分别是跟哪3个队赛的？9.编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为4的同学，这4场分别是跟哪位同学赛的？∙ A. 1号、2号、3号、5号∙ B. 1号、2号、3号、6号∙ C. 1号、2号、5号、6号∙ D. 1号、3号、5号、6号∙ E. 2号、3号、5号、6号10.甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？11.A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队B、C、D、E赛过的场数依次为4、3、2、1．问：这时候A校的足球队已经赛了多少场？12.编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？13.甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问一共有多少场比赛？14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行围棋比赛，每两人都比赛一场，请问一共有多少场比赛？15.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问：一共有多少场比赛？16.甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问四个人最后得分的总和是多少分？17.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行围棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：5个人最后得分的总和是多少分？18.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：6个人最后得分的总和是多少分？19.6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各队总分之和最多是______分,最少是______ 分.20.8位同学进行围棋单循环对抗赛，即每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各位同学总分之和最多是______分,最少是______分.21. 某足球联赛20支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各队总分之和最多是分,最少是分.22.6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了6场平局，那么所有人总分之和是多少分？23.8位同学进行围棋单循环对抗赛，即每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了10场平局，那么各队总分之和是多少分？24. 某足球联赛20支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了42场平局，那么各队总分之和是多少分？25.四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知比赛全部结束后，各队总积分的和为18分，并不知道各队具体的得分．那么关于四支球队各自的得分，下面五个选项之中有一个是绝对不可能的，请问是哪一个？∙ A. 四支球队分别得9分、6分、3分、0分．∙ B. 四支球队分别得9分、3分、3分、3分．∙ C. 四支球队分别得6分、5分、3分、4分．∙ D. 四支球队分别得6分、6分、6分、0分．∙ E. 四支球队分别得6分、6分、3分、3分．26.五支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知比赛全部结束后，各队总积分的和为30分，并不知道各队具体的得分．那么关于四支球队各自的得分，下面五个选项之中有一个是绝对不可能的，请问是哪一个？∙ A. 五支球队分别得12分、9分、6分、3分、0分．∙ B. 五支球队分别得12分、6分、6分、3分、3分．∙ C. 五支球队分别得9分、8分、6分、4分、3分．∙ D. 五支球队分别得9分、9分、6分、3分、3分．∙ E. 五支球队分别得9分、6分、6分、6分、3分．27.六支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知比赛全部结束后，各队总积分的和为45分，并不知道各队具体的得分．那么关于四支球队各自的得分，下面五个选项之中有一个是绝对不可能的，请问是哪一个？∙ A. 五支球队分别得12分、9分、6分、3分、0分．∙ B. 五支球队分别得12分、6分、6分、3分、3分．∙ C. 五支球队分别得9分、8分、6分、4分、3分．∙ D. 五支球队分别得9分、9分、6分、3分、3分．∙ E. 五支球队分别得9分、6分、6分、6分、3分．28.五支足球队进行单循环赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：①第一名的队没有平过；②第二名的队没有输过；问：是否可以确定各队的最终积分？∙ A. 只能确定第一名的得分．∙ B. 只能确定第一名和第二名的得分．∙ C. 能确定所有球队的得分．∙ D. 不能得到任何确定的结果．29.金、木、水、火、土五支足球队进行单循环赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：①金队得了第一名且没有平过；②木队得了第二名且没有输过；问：是否可以确定各队的最终积分？∙ A. 只能确定第一名的得分．∙ B. 只能确定第一名和第二名的得分．∙ C. 能确定所有球队的得分，但最后三名的球队并不知道排名的具体顺序．∙ D. 不能得到任何确定的结果．30.小朱、小东、小博、小杨、小山5位好朋友进行乒乓球单循环赛，即每两个人之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得1分．比赛结果各人得分互不相同．已知：①小朱得了第一名且没有平过；②小东得了第二名且没有输过；问：是否可以确定各人的最终积分？∙ A. 只能确定第一名的得分．∙ B. 只能确定第一名和第二名的得分．∙ C. 能确定所有人的得分，但最后三名并不知道排名的具体顺序．∙ D. 不能得到任何确定的结果．31.红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ ,32.某小学三个班级进行乒乓球对抗赛，每班派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是一班，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ ,33.某小学进行教师羽毛球对抗赛，数学组、语文组、英语组各派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是数学组，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ ,34.红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝队队员，相邻的名次的队员都不在同一个队．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16分；第二名是红队，第三名是蓝队．请问：红队队员分别得了多少分？（按从小到大的顺序填写） , ,35.某小学三个班级进行乒乓球对抗赛，每班派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：第一名来自一班，第二名来自三班，相邻的名次的队员都不在同一个班．团体评比的情况是：团体第一的是一班，总分16分；第二名是二班，第三名是三班．请问：二班队员分别得了多少分？（按从小到大的顺序填写．） , ,36.某小学进行教师羽毛球对抗赛，数学组、语文组、英语组各派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：第一名是一位数学老师，第二名是一位英语老师，相邻的名次的老师都不是同一个科目的．团体评比的情况是：团体第一的是数学组，总分16分；第二名是语文组，第三名是英语组．请问：语文组的老师分别得了多少分？（按从小到大的顺序填写．） , ,37.金、木、水、火、土5支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，金队和木队特别地强，这两队都取得很高的分数，排在前两名．那么请问，排在最后的水、火、土3队总共得到的分数，最少是多少？38.甲、乙、丙、丁、戊5支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，甲队和乙队特别地强，这两队都取得很高的分数，排在前两名．那么请问，排在最后的丙、丁、戊3队总共得到的分数，最少是多少？39.A、B、C、D、E 5支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，A队和B队特别地强，这两队都取得很高的分数，排在前两名．那么请问，排在最后的C、D、E 3队总共得到的分数，最少是多少？40.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的3名同学的分数之和最多是多少？41.7支足球队进行单循环赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的3支球队的分数之和最多是多少？42.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的2名同学的分数之和最多是多少？43.金、木、水、火、土5支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，金队和木队特别地强，这两队都取得很高的分数．现在有报道如下：“金队与木队所向披靡,两队总得分是水、火、土3队总得分的3倍“，你说这报道真实吗？∙ A. 真实.∙ B. 不真实.44.A、B、C、D、E、F 6支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，A队和B队特别地强，这两队都取得很高的分数．现在有报道如下：“A队与B队所向披靡,两队总得分是C、D、E、F 4队总得分的3倍“，你说这报道真实吗？∙ A. 真实.∙ B. 不真实.45.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，甲队和乙队特别地强，这两队都取得很高的分数．现在有报道如下：“甲队与乙队所向披靡,两队总得分是丙、丁、戊、己、庚5队总得分的3倍“，你说这报道真实吗？∙ A. 真实.∙ B. 不真实.46.10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：前两名的分数各为多少？,47.10名选手参加围棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，小张和小王实力超群，他们分别获得了第一名和第二名，并且都没输过，他们俩的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：小张和小王的分数各为多少？ ,48.10支球队进行单循环赛，每两支队伍间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：队伍之间所得分数各不相同，A队和B队实力超群，他们分别获得了第一名和第二名，并且都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：A队和B队的积分各为多少？ ,49.A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队2胜1负，B队2胜1平，C队1胜2负．那么D队的成绩是胜平负．50.甲、乙、丙、丁四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知甲、乙、丙三队的成绩分别是：甲队2胜1负，乙队2胜1平，丙队1胜2负．那么丁队的成绩是胜平负．51.甲、乙、丙、丁四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知甲、乙、丙三队的成绩分别是：甲队2胜1负，乙队1胜1平1负，丙队2胜1负．那么丁队的成绩是胜平负．52.5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．比赛全部结束后，其中有一支球队得了7分，请问这支球队的胜平负场次各为多少？胜平负．53.5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．比赛全部结束后，其中有一支球队得了8分，请问这支球队的胜平负场次各为多少？胜平负．54.6支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．比赛全部结束后，其中有一支球队得了10分，请问这支球队的胜平负场次各为多少？胜平负．55.四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？56.4位同学进行围棋对抗赛，每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各人的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第二名的同学的总分是多少？57.4位好朋友进行乒乓球单循环比赛，每两人之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各人的总得分恰好是4个连续的自然数．问：赢了第二名的人的总分是多少？58.5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．最后5支球队的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5支球队的得分，从高到低依次是多少？、、、、．59.甲、乙、丙、丁、戊5个人进行象棋单循环赛，每两人之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．最后5人的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5人的得分，从高到低依次是多少？、、、、．60.某小学5个班级进行足球单循环赛，每两班之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．最后5个班级的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5个班级的得分，从高到低依次是多少？、、、、．61.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知A队在所有比赛中总共进了6个球，B 队在所有比赛中总共进了5个球，A与C的比分为2:3，B与C的比分为3:4，请问A与B 的这场比赛结果是 :62.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知A队在所有比赛中总共失了6个球，B 队在所有比赛中总共失了5个球，A与C的比分为2:3，B与C的比分为3:4，请问A与B 的这场比赛结果是 :63.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知所有球队总共进了14个球，A与C的比分为2:3，B与C的比分为3:4，A与B是平局，请问A与B的这一场平局具体比分是:64.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进4球，失5球；C：有一场踢平，进2球，失8球．将已知条件填入下面这样的表格．请问4个选项中哪一个是正确的？∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.65.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进5球，失6球；C：有一场踢平，进3球，失9球．将已知条件填入下面这样的表格．请问4个选项中哪一个是正确的？∙ A.∙ B.∙ C.66.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进6球，失7球；C：有一场踢平，进4球，失10球．将已知条件填入下面这样的表格．请问4个选项中哪一个是正确的？∙ A.∙ B.∙ D.67.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知的比赛结果已被填入这样一个表格：请问①和②处该填入什么数字？①②68.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知的比赛结果已被填入这样一个表格：请问①和②处该填入什么数字？①②69.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知的比赛结果已被填入这样一个表格：请问①和②处该填入什么数字？①②70.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进4球，失5球；C：有一场踢平，进2球，失8球．则A与B两队间的比分是 :71.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进5球，失6球；C：有一场踢平，进3球，失9球．则A与B两队间的比分是 :72.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进6球，失7球；C：有一场踢平，进4球，失10球．则A与B两队间的比分是 :。

第十七讲 整数型计算综合提高一、多位数计算1． 凑整、凑9的思想；2． 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n ．二、等差数列1． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式：（1） ； （2） ． 3． 项数公式：．4． 第n 项：．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S ；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1． 平方差公式．2． 平方求和．3． 立方求和．五、整数裂项1． ；2． ．()()()()()123123234345124n n n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=L()()()1212233413n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=L()2333312312n n ++++=+++L L ()()22221211236n n n n ⨯+⨯+++++=L ()()22a b a b a b -=-+()1n +-⨯首项公差()1÷+末项-首项公差 ⨯中间项项数 ()2+⨯÷首项末项项数 99999n 个L 14243一、整数数列基本计算 1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项：（1）基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧 1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1）228888888811111111-的计算结果是多少？（2）30830388883333⨯个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少？「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和．练习1、999999999999999999⨯的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第8组中所有数的和是多少？经典题型例3．对自然数a 和n ，规定1-+=∇n n a a n a ，例如1233232=+=∇，那么： （1）计算：1222302∇+∇++∇L ； （2）计算：2122210∇+∇++∇L ．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习3、对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如32333336∇=+=，那么：算式：1323303∇+∇++∇L 的结果是多少？例4．计算：12+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)40⨯⨯⨯⨯⨯L L ． 「分析」试着计算几项，寻找一下规律．练习4、计算：3333333333112123123100112123123100++++++++++++++++++L L L ．例5．计算：12345699100⨯+⨯+⨯++⨯L ． 「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6．计算：1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-L 「分析」关于阶乘的计算一定牢记：()()!11!n n n ⨯+=+，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．作业1. 333333333333⨯的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算：（1）222221222340++++L ；（2）222224642++++L ；（3）222213523+++L ，的结果？4. 计算：139238337436391⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ．5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得： ()()()2288888888111111118888888811111111888888881111111199999999777777777777777710000000017777777700000000777777777777777622222223-=+⨯-=⨯=⨯-=-=（2）凑整可得：30830330830310296309929697038888333388883333332962962969999296296295703703704⨯=÷⨯⨯=⨯=L L L L 14243142431424314243L L L L 1442443142431424314243个个个个个个个个数字和是270．例8． 答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2详解：123642080++++=L ．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页和34页．123632016++++=L ．所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1页和2页．例9．答案：（1）9920；（2）3069 详解：（1）根据题目定义的新运算可得：()()()()()2222212302112230301301309920∇++∇=++++++=+++++=L L L L ； （2）()()()10211092122210222222∇+∇++∇=++++++L L()()1210019111022222222213069=+++++++=-+-=L L ．例10． 答案：46970详解：()()()()()()2222222233322212+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)401223342021=2464022221223342021111221331202011220122046970⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯++⨯++⨯+++⨯+=+++++++=L L L L L L L例11． 答案：169150详解：()()()()()()22222221234569910022446610010024100241001717002550169150⨯+⨯+⨯++⨯=-+-+-++-=+++-+++=-=L L L L例12． 答案：1详解：()()()()()()()()()1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!1!122!133!142010!120112011!120122012!1!2!2!3!3!4!2010!2011!2011!2012!2012!1⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-=⨯+-⨯++⨯+--⨯++⨯+-=+-+++--+++-=L L L练习：练习1、答案：81 简答：11111111199111111111=1234567999999999912345678987654321=÷⨯⨯⨯=原式结果数字和为81．练习2、 答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3，9，27，81，L L ，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561，即求218721896559+++L L ，等差数列求和得()21876559218729563751+⨯÷=．练习3、答案：225680简答：3232323213233031122333030∇+∇++∇=++++++++L L222233331233012330225680+++++++++=L L ．练习4、 答案：171700简答：需要借助这样一个公式：()23333123123n n ++++=++++L L L L ，因此，原式1(12)(123)(123100)(122334100101)2=+++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯÷L L L()()22211210021210021001012012505021717006=+++÷++++÷=⨯⨯⨯÷+÷=L L ．作业6. 答案：54简答：333333333333111110888889⨯=，数字和是54．7. 答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a 、b 个单词，所以甲第n 天背5(1)a n +-个单词，乙第n 天背12n b -个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33a b +=和5240a b ++=，可求得a 和b 分别为31和2，可知答案为6；8．8. 答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009. 答案：10660简答：2221(401)2(402)39(4039)40(1239)(1239)=⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-+++L L L 原式 10660=．10. 答案：1或5041简答：设已知关系式为22143a b +=，应用平方差公式有()()143b a b a +-=，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。

第14讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．典型问题兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？拓展篇1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。

高斯求和第一关已知首项、末项和项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n =a 1+a n 2×n 1.计算：1+3+5+7+⋯+192.计算：110+111+112+⋯+1263.计算：4+8+12+16+20+⋯+2012+20164.100以内的偶数和是多少？5.计算：1-2+3-4+⋯+97-98+996.计算：(2+4+6+⋯+200)-(1+3+5+⋯+199)7.计算：(1+3+5+⋯+2009+2011)-(2+4+6+⋯+2008+2010)8.计算：1930+1830+⋯+130-39150-38150-⋯-11509.计算(2003+2005+2007+2009+2011+2013+2015)÷710.下面算式中的★表示相同的数，求★1×★+2×★+3×★+4×★+⋯+11×★+12×★+13×★=200211.计算：(1+1.56)+(2+1.56×2)+(3+1.56×3)+⋯+(99+1.56×99)+(100+1.56×100)12.计算：(100+99×1)+(99+99×2)+(98+99×3)+⋯+(2+99×99)+(1+99×100)13.计算：1 2+23+13+34+24+14+45+35+25+15+⋯+1920+1820+⋯+12014.计算：1 2+13+⋯+12016+23+24+⋯+22016+34+35+⋯+32016+⋯+20142015+2014 2016+ 2015201615.如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是多少？16.加工一架梯子，扶杆长为4米，上下横档的长分别为0.35米、0.62米，中间还有7根横档，横档平行且间距均匀．制这架梯子共需多少米的毛竹？(损耗与接头均不计，结果保留一位小数)17.在通往城堡的笔直的道路上，将军这样安排了100个哨兵，他们从城堡门口开始，依次排在相邻两名哨兵之间的距离均为1米．请问，哨兵中任意两人的距离的总和为多少米？18.周长不超过100(包括100)，且边长为自然数的所有正方形的周长之和是多少？19.观鸟协会组织会员到湖边观鸟，会员们发现在一棵大树上：第1分钟飞来1只鸟，第2分钟飞来2只鸟，第3分钟飞走3只鸟，第4分钟飞来4只鸟，第5分钟飞来5只鸟，第6分钟又飞走6只鸟，⋯，照此规律请你算出第66分钟时树上共有多少只鸟？20.在1-100这100个自然数中，所有不能被6整除的数的和为多少？21.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？22.求：1~999这些连续自然数所有数字之和是多少？23.数1，2，3，4，⋯，10000按下列方式排列：任取其中一数，并划去该数所在的行与列．这样做了100次以后，求所取出的100个数的和？第二关已知首项、公差及项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和．2.计算：2+4+6+8+⋯前198项的和3.计算：17+22+27+32+⋯前100项的和4.计算：131+140+149+158+⋯前98项的和5.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完．这本书共有多少页？6.一个剧院，第一排有20个座位，以后每排总比前一排多2个座位，一共是25排．这个剧院共有多少个座位？7.同学们做广播操，一共排了8排，第一排有4人，以后每排比前一排多1人，一共有多少人做广播操？8.一堆木料，最上面一层有4根，最下面一层有20根，每相邻两层之间相差2根，这堆木料共有多少根？9.果果从小学三年级开始每年的植树节时都植树，三年级时植了2棵，以后每年都比前一年多植树2棵．那么，果果高中毕业时一共植树多少棵？10.有一串数：1,12,22,13,23,33,14,24,34,44,15,25,35,45,55，⋯它前2004个数的和是多少？11.1995003这个数，最多可以拆成多少个不同的非零自然数相加的和？第三关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.计算：1+2+⋯+8+9+10+9+8+⋯+2+12.一个时钟只有在整点时才敲出响声，凌晨1时敲1下，凌晨2时敲2下⋯中午12时敲12下，下午1时敲1下，下午2时敲2下⋯夜里12时敲12下，那么一昼夜该时钟共要敲多少下？3.1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+99+100+99+98+⋯+4+3+2+14.在一根绳子上串了价格不同的一些珠子共31个，其中正中间那一个最贵，从某一端算起，后一个珠子比前一个贵3元．直至到中间那个为止；若从另一端算起，后一个珠子比前一个贵4元，直至到中间那个为止．这串珠子总价值为2260元，那么中间的那一颗珠子价值多少元？5.张教授连续做实验若干小时．开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针与分针重合．已知这个挂钟只在整点报时(几点就报几下，如下午1点敲1下)，整个实验过程中挂钟共敲了39下．问：(1)张教授的实验一共做了多少小时？(2)他做完实验时，挂钟敲了多少下？第四关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上二位乘客，第三站上三位乘客，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？2.小明读一本书．第一天读了8页，第二天读了11页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天他读了32页，正好读完．这本书有多少页？3.一个堆放铅笔的V形架的最下层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支．这个V形架上共放了多少支铅笔？4.一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了1个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依此类推，后面的小猴都比他前面的小猴多摘了1个野果，最后，每只小猴分得8个野果，这群小猴一共有多少只？5.小明往一个大池里扔石子，第一次扔1个石子，第二次扔2个石子，第三次扔3个石子，第四次扔4个石子⋯，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔多少次？第五关【知识点】1.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某数时，结果是2014，后来发现中间有个数多加了一次，多加的那个数是多少？2.王涛将连续的自然数1，2，3，⋯逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是多少？3.小强练习加法计算，他从1加到某个数时，和是1993，但他发现计算时少加了一个数，小强少加了的那个数是多少？4.从15开始的若干个连续自然数，如果去掉其中一个，剩下的数的平均数是311217，则去掉的自然数是多少？第六关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.蜗牛每小时都比前1小时多爬0.1米，第10个小时蜗牛爬了1.9米，第1小时蜗牛爬了多少米？2.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是多少？。

25、（1）平面上7个点，任意三点不共线，那么可以连出个三角形；（2）两条平行线上各有4个点，从这些点中任取3个点作为顶点，可以连出个三角形。

26、8块相同的奥运纪念徽章分给小高、小丽、小明、小萱四人，每人至少分一块，有种不同的分法。

28、各位数字之和为4的四位数有个，其中能被11整除的有个。

29、箱子里有7个红球、8个白球和9个篮球，从中取出多少个球，才能保证每种颜色的球都至少有一个。

30、由1、4、7、10、13组成甲组数，由2、5、8、11、14组成乙组数，由3、6、9、12、15 组成丙组数。

现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到个不同的和。

31、欣欣超市举办促销活动，允许用5个空瓶换一瓶啤酒。

胡大伯就去年花钱先后买了89瓶啤酒，期间还不断用啤酒瓶换啤酒，胡大伯家去年共能喝到瓶啤酒。

33、从1、2、3、……、2010中最多可以取出个数，使取出的数中任意两个数的差都不是4。

34、全家十人准备外出旅游，旅行社有以下优惠活动：若购买1张全票，其他人可享受9折优惠；若购买3张全票，其他人可享受8折优惠；若购买5张全票，其他人可享受7折优惠；若购买7张全票，其他人可享受6折优惠；若购买9张全票，其他人可享受5折优惠；35、一套玩具售价是120元，打八折出售，仍能获利60%，则每套玩具的进价是元。

36、一个分数，分子与分母的和是23，如果分子、分母都减去4，得到的分数约分后是1，那么原来的分数是。

437、两张纸条，原来长度比为3：2，都撕去15厘米后，长度比变为7：3。

现在短纸条的长度是厘米。

38、有浓度为20%的糖水80克，另有浓度为48%的糖水60克，将它们混合之后的浓度是39、小雅买了一本漫画书，第一天看了这本书的1，第二天看了余下的1，第三65天看了余下的1。

这时剩下的比第一天看的多36页，那么这本漫画书一共有页。

440、六位数2010 □□ 是63的倍数，该六位数的最后两位41、42、萱萱早上6点多起床时，发现手表的时针和分针正好成60 ，洗漱完毕后，她惊奇地发现，时间仍为6点多，手表的时针和分针仍成60度。

第1讲 分数数列计算内容概述建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．典型问题兴趣篇1．计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1091981871761651541431321211 2．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯99972752532312 3．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯100981861641421 4．计算：.90172156142130120112161+++++++ 5．计算：⋅+++++97001130170128141 6．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+1091099898878776766565 7．计算：⋅+-+-+-+-901972175615421330112091276523 8．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10099982543243223212 9．计算：⋅++++++240239210209201912116521 10．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(拓展篇1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200820071651541431321211 2．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523 3．计算：⋅⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯1311241192097167512538314 4．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++ ⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2( 5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+ 6．计算：⋅++++++83975939231137.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算：⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯109811543643253214 11.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(222 12.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(超越篇1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++==B A ，请比较A 和B 的大小。