圆的方程 - 简单 - 讲义

讲义:圆与方程圆得标准方程与一般方程1、圆得标准方程:222()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 得圆得方程222x y r +=。

2、圆得一般方程:()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->(1)当2240D E F +->时,表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心为半径得圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形、特点:(1)①2x 与2y 得系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样得二次项(2)确定圆得一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了(3)与圆得标准方程比较,它就是一种特殊得二元二次方程,代数特征明显,圆得标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

3、过圆上一点得切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 得切线方程为200r y y x x =+当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 得圆得切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--典型例题例1、已知一个圆得直径得端点就是A(-1,2)、B(7,8),求该圆得方程。

例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上得圆得方程。

例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切得圆得方程、例4、已知圆得方程就是222r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 得切线方程。

例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)得圆得方程,并求这个圆得半径长与圆心坐标。

巩固练习:1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称得圆得方程为 ( )A.22(2)5x y -+=B.22(2)5x y +-=C.22(2)(2)5x y +++=D.22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处得切线方程为( ) A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --得圆得方程、4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点得圆得方程。

圆的方程讲义一、圆的标准方程：1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 特别的，圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为 注：特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点（2）圆心在x 轴上（3）圆心在y 轴上（4）圆过原点（5）与x 轴相切的圆（6）与y 轴相切的圆2.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，点M 到圆心C 的距离为d ，则（1）点M 在圆上⇔ ⇔（2）点M 在圆内⇔ ⇔（3）点M 在圆外⇔ ⇔3.典型例题例1.ABC ∆的三个顶点)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程例2.已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线 l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程例 3.已知两点),(),,(2211y x B y x A ，求证：以AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x二、圆的一般方程1.对于方程022=++++F Ey Dx y x（1）当0422>-+F E D 时，方程表示（2）当0422=-+F E D 时，方程表示（3）当0422<-+F E D 时，方程表示2.圆的一般方程：方程 叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为注圆的一般方程的系数特点：（1）22,y x 项的系数（2）无xy 的项（3）3.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）点M 在圆上⇔（2）点M 在圆内⇔（3）点M 在圆外⇔例1.若方程01222222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的取值范围变式：若原点在圆01222222=-+++++a a ay ax y x 外，求a 的取值范围例2.求过三点)2,4(),1,1(),0,,0(B A O 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.三、直线与圆的位置关系1.平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有 个公共点；（2）直线与圆相切，有 个公共点；（3）直线与圆相离，有 个公共点．2.直线与圆的位置关系的判定：已知直线l ：0=++C By Ax ，圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x（1）方法1：（几何法）设圆心C 到直线l 的距离（弦心距）为22b a C bB aA d +++=，则 ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离（2）方法2：（代数法）联立直线l 与圆C 的方程0)()(02222=++⇒⎩⎨⎧=-+-=++t qx px r b y a x C By Ax ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离例1.如图，已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系例2.直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限内有两个交点，求实数m 的取值范围3.弦长公式：设直线l ：b kx y +=与圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x 相交于B A ,两点，则弦长AB 的求法有：（1）几何法：由弦心距d ，半弦长2L ，圆的半径r 满足勾股定理222)2(r L d =+=⇒L （2）代数法：（弦长公式）=AB == =例3.已知直线l ：012=--y x 与圆C ：01222=--+y y x 交于B A ,，求弦长AB例4.过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程变式1：过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为8，求直线l 的方程变式2：过点)0,3(P 直线l 被圆C ：0122822=+--+y x y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程4.弦的中点（中点弦）问题：例5.过点)0,4(P 的直线l 与圆C ：422=+y x 交于B A ,两点，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程例6.直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 相交于B A ,，求弦AB 的中点P 的轨迹方程5.以弦为直径的圆过定点问题例7.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值四、圆的切线问题1.求过圆上一点的圆的切线方程例8.求过点)3,1(P 的圆O ：422=+y x 的切线l 的方程例9.证明：过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为：200r y y x x =+注：常见的与圆的切线有关的结论（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（4）过二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）022=++++F Ey Dx Cy Ax 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为2.求过圆外一点的圆的切线方程例10.求过点)3,4(-A 的圆1)1()3(22=-+-y x 的切线l 的方程练习：求过点)4,3(A 的圆1)1()2(22=-+-y x 的切线l 方程3.求切线长例11.过圆C ：1)2()2(22=-+-y x 外一点)2,0(P 作圆C 的切线PT ，T 为切点，求切线PT 的长注：圆的切线长公式：（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT例12.已知圆C ：1)1()2(22=-+-y x ，在直线l ：01243=--y x 上求一点P ，过点P 作圆C 的切线，使得切线段最短4.切点弦例13.设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为注：圆的切点弦所在直线方程（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为五、圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系：（1）圆和圆相离，有 个公共点（2）圆和圆外切，有 个公共点（3）圆和圆相交，有 个公共点（4）圆和圆内切，有 个公共点（5）圆和圆内含，有 个公共点2.圆和圆的五种位置关系的判定（1）几何法：设两圆21,C C 的半径分别为21,r r ，圆心距为d ，则①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔④圆和圆内切⇔⑤圆和圆内含⇔（2）代数法：联立两圆的方程①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔注：用代数法判断出两圆相切后，若要进一步区分是外切还是内切，则还要判断小圆圆心是在大圆内还是在大圆外，若在大圆内，则两圆 ，若在大圆外，则两圆 ， 类似可以区分外离与内含例14.已知圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系例15.设圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x 相交于B A ,两点，求（1）两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）求两圆的公共弦AB 的长3.两圆的公切线条数（1）当两圆外离时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（2）当两圆外切时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（3）当两圆相交时，有 条公切线（4）当两圆内切时，有 条公切线（5）当两圆内含时，有 条公切线例16.（1）圆1C ：122=+y x 与圆1C ：1)3(22=-+y x 有 条公切线（2）点)1,0(A 和)5,4(B 到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线l 有 条4.两圆公切线的求法例17.已知圆1O ：096222=++++y x y x ，2O ：012622=++-+y x y x ，求两圆的公切线方程。

圆的方程专题讲义一、知识梳理圆的定义与方程注意：1确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()题组二：教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝13．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______．题组三：易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±46．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1三、典型例题题型一：圆的方典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________． 思维升华：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．题型二：与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值． 2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．思维升华：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练：已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值与最小值．题型三：与圆有关的轨迹问题典例已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．思维升华：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．注意：利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．四、反馈练习1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝44．若a ∈}431,0,2{ ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C．1＋22D．2＋226．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________．。

X的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛一、圆的方程1. 圆的标准方程： ______________________ ,圆心： ________, 半径：________.2. 圆的一般方程：圆心： 二、位置关系的判断(1) 点与圆由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,则计算 _____________________ ,与0比较大小.(2) 直线与圆① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离.A = 0,直线与圆相切.△ >0,直线与圆相交(3)圆与圆利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.三、常见思考角度1. 直线与圆位置关系常见考査角度(1)过定点求圆的切线方程① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl（2）直线与圆相交求弦长结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂22. 圆与圆位置关系常见考査角度（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -（2） 两圆相交求公共弦长求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.四、轨迹方程在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.zn六、空间直角坐标系中点的坐标如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .-1 -- B»1 "Z C'A' BC>1 \ >1 0 X七、空间两点间的距离公式如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .A/ P 、 Pl精讲精练写出下列圆的标准方程：(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・2 . 下列方程：①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。

圆与方程1 圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2 圆的方程(1) 标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心(a ,b)，半径为r.(2) 一般方程x2+y2+D x+E y+F=0 (D2+E2−4 F>0)(3) 求圆方程的方法(i) 待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ,b ,r；若利用一般方程，需要求出D ,E ,F；(ii) 直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3 点与圆的位置关系(1) 设点到圆心的距离为d，圆半径为r，a.点在圆内⇔ d<r；b.点在圆上⇔ d=r ；c.点在圆外⇔ d>r .(2) 给定点M(x0 ,y0)及圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2.◆M在圆C内⇔(x0−a)2+(y0−b)2<r2；◆M在圆C上⇔(x0−a)2+(y0−b)2=r2；◆M在圆C外⇔(x0−a)2+(y0−b)2>r2.(3) 某点M到圆⊙O上点N的距离若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=OM+r；4 直线、圆的位置关系(1) 三种位置关系(2) 根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)◆相离⇔没有公共点⇔ d>r;◆相切⇔ 只有一个公共点⇔ d=r;◆相交⇔ 有两个公共点⇔ d<r.(3) 联立方程求判别式的方法联立直线方程与圆的方程{A x+B y+C=0x2+y2+D x+E y+F=0求解，通过解的个数来判断：◆当Δ>0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；◆当Δ=0 时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；◆当Δ<0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.(4) 圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.5 弦长弦长公式：AB=2 √r2−d2(r是圆的半径，d是圆心O到直线l的距离).利用垂径定理及勾股定理可以得到.【题型一】求圆的方程【例题1】若圆C过点(0 ,−1) ,(0 ,5)，且圆心到直线x−y−2=0的距离为2 √2 ，求圆C的标准方程.【例题2】已知A(−1 ,0)，B(3 ,2)，C(0 ,−2)，则过这三点的圆方程为.课堂练习1已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+ b＝.2圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为.3过点A(1 ,1)， B(−3 ,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是.【题型二】点与圆的位置关系【例题1】若点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，圆C的方程为x2+y2=25，则点P与圆C的位置关系是()A．点P在圆C内B．点P在圆C上C．点P在圆C内或圆C上D．点P在圆C上或圆C外【例题2】若实数x,y满足x2+y2+4x−2y−4=0，则√x2+y2的最大值是.课堂练习1若点M(m,m−1)在圆C：x2+y2−2x+4y+1=0内，则实数m的取值范围为．2在圆(x－2)2+(y+3)2=2上与点(0,－5)距离最大的点的坐标是．3在平面内，一只蚂蚁从点A(－2,－3)出发，爬到y轴后又爬到圆(x+3)2+(y−2)2=2上，则它爬到的最短路程是．4已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．5已知点P(3,a)，若圆O：x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是．6设点M(x0 ,1) , 若圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30∘，那x0的取值范围．7如果圆(x−a)2+(y−a)2=8上总存在到原点的距离为√2的点，那实数a的取值范围．8在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx−2y+m2−4m+1= 0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．【题型三】直线与圆的位置关系【例题1】若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0有公共点，则a的取值范围是．【例题2】求过点P(−1,4)，圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线l的方程．【例题3】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP 面积的最大值和最小值之和为．【例题4】已知圆C：(x−√3)2+(y−3)2=3，过直线√3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为．课堂练习1点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定2已知过点P(2,2)的直线l与圆(x−1)2+y2=5相切，则直线l的斜率为()A．1B．12C．2D．−123【多选题】已知点P在圆(x−5)2+(y−5)2=16上，点A(4,0),B(0,2)，则() A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|=3√2D．当∠PBA最大时，|PB|=3√24已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT(T 为切点)，则|PT|最小值是．5过直线x+y−2√2=0上的点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两切线的夹角为60°，则点P的坐标为．6直线x+y+a=0与半圆y=−√1−x2有两个交点,则a的值是．7若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为√2，则k的取值2范围．8已知P(x,y)是圆(x−1)2+(y−2)2=r2(r>0)上任意一点，若|3x−4y|+|3x−4y+ 16|是定值，则实数r的取值范围是．9已知⊙C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为．10若P为直线x−y+4=0上一个动点，从点P引圆C：x2+y2−4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N)，则|MN|的最小值是．【题型四】弦长问题【例题1】已知圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=9 ，P(2 ,2)是该圆内一点，过点P的最长弦与最短弦分别是AC和BD，求四边形ABCD的面积.【例题2】设O为原点，直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A,B两点，那△ABO面积最大值为．课堂练习1 直线x−y+3=0被圆(x+2)2+(y−2)2=2截得的弦长等于．2已知圆心在x轴上，半径为√5的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为．3已知直线l：y=m(x−2)+2与圆C：x2+y2=9交于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为．4已知圆C：x2+y2−4x−2y+1=0及直线l：y=kx−k+2(k∈R)，设直线l与圆C相交所得的最长弦长为MN，最短弦为PQ，则四边形PMQN的面积为．。

≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
由于r2=2b2知 于是,所求圆的方程是:
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
【例3】已知圆 ，求（1） 的最大值（2） 的最大值与最小值（3） 的最小值
变式1．已知 满足 ,则 的最小值为
提示：以上两题都用数形结合法来解。
【例4】在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限、半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 ．椭圆 与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ．
(1)求圆 的方程；
(2)试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的长．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.
重点:
1.圆的两种方程的基本形式以及圆方程的充要条件。
2.圆方程的常用求法。
3.有关于圆方程的综合应用。
4.待定系数法和数形结合法。
【课堂练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x+ 1)2+ (y－1)2=25
解:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为 ，故r2=2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.
又点P(a,b)到直线x2y=0的距离为

课程主题：圆的方程与位置【知识点】一、圆的方程形式（1）圆的标准方程：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，其中（,a b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ），圆心坐标为(,)22D E--，半径为2242D E Fr +-=．注:①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件，通常也用待定系数法；②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义，使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识；③圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，其中1122(,),(,)A x y B x y 是圆的一条直径的两端点．二、点、线、圆与圆的位置关系 （一）点与圆：点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点在圆内⇔222()()x a y b r -+-< (2)点在圆上⇔222()()x a y b r -+-= (3)点在圆外⇔222()()x a y b r -+-= （二）直线与圆:1．直线l ：0(,Ax By C A B ++=不全为0），圆C ：222()()x a y b r -+-=， 圆心到直线的距离为d ，直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：d r >⇔直线与圆相离；d r =⇔直线与圆相切；d r <⇔直线与圆相交．（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x （或关于y ）的一元二次方程，设其判别式为∆，则0∆<⇔直线与圆相离；0∆=⇔直线与圆相切；0∆>⇔直线与圆相交． 2．若点00(,)P x y 为圆上一点，则过点P 的切线方程为.0220000=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F y y E x x D y y x x 或200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程3．直线被圆截得弦长的求法：（1）几何法：运用弦心距d 、半径r 及弦的一半构成直角三角形，计算弦长AB =222r d - （2）代数法：用一般的弦长公式AB 212(1)k x +-． （三）圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下：①|O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； ②|O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切； ③| r 1-r 2|<|O 1O 2|< r 1+r 2⇔两圆相交； ④| O 1O 2 |=| r 1-r 2|⇔两圆内切； ⑤0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含．【课堂演练】题型一 圆的方程例1 圆222460x y x y ++--=的圆心和半径分别是（ ） A ．(1,2)-11 B ．(1,2)11C ．(1,2)--11 D ．(1,2)-11练1 圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-=B ．()2221x y ++=C ．()2231x y +-=D ．()2231x y ++=练2 下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是（ ） A ．22(2)(3)4x y -++= B ．22(2)(3)4x y ++-= C ．22(2)(3)9x y -++= D ．22(2)(3)9x y ++-=练3 已知一个圆的圆心坐标标为)3,2(-，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的标准方程是（ ） A ．13)3()2(22=-++y x B ．52)3()2(22=-++y xC ．52)3()2(22=++-y x D ．13)3()2(22=++-y x例2 圆心在y x =-上且过两点(2,0)，(0,4)-的圆的一般方程为 ．练4 已知圆经过点()2,3A -和()2,5--两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程．练5 已知圆经过点()1,1A 和()2,2B -两点，若圆心在直线10x y -+=上，求圆的方程．例3 求经过直线0=+y x 与圆084222=--++y x y x 的交点，且经过点)2,1(--P 的圆的方程．练6 求过点()()()1,03,00,1A B C -、、的圆的方程．练7 求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程． （1）过原点；（2）有最小的面积．题型二 点与圆的位置关系例4 点(1,2-a a )在圆22240x y y +--=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<<B ．01a <<C ．115a -<<D ．115a -<< 练8 点P 2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定练9 已知圆22222(1)0x y ax y a +--+-=(01a <<)，则原点O 与圆的位置关系为 ．例5 圆O 的方程为22(3)(4)25x y -+-=，点(2,3)到圆上的最大距离为 ．练10 已知某个点与圆的最近距离与最远距离分别为2，8，则此圆的半径为 ．练11 实数x ，y 满足()()14322=-+-y x ，则22y x +的最小值是 ．题型三 直线与圆的位置关系 ➢ 相离例6 直线3480x y +-=与圆()22(2)31x y -+-=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断练12 直线4y x =+与圆()22(5)38x y -+-=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法判断例7 圆2244100x y x y +---=上的点到直线80x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．18 B ．62C ．52D ．42练13 圆222210x y x y +--+=上的点到直线40x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ） A 2 B 21C ．2D 21➢ 相切例8 设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） A ．4±B ．22±C ．2±D ．2±练14 以点()1,1-为圆心且与直线0x y -=相切的圆的方程为（ ） A ．()()22112x y -++= B ．()()22114x y ++-=C ．()()22111x y -++= D ．()()22114x y -++=练15 以点（2，1-）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为（ ） A ．()()22213x y -++= B ．()()22213x y ++-= C ．()()22219x y -++= D ．()()22219x y ++-=例9 从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向这个圆引切线，则切线长为 ．练16 连过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 ． ➢ 相交例10 已知集合A ＝{(,)x y |,x y 为实数，且221x y +=}，B ＝{(,)x y |,x y 为实数，且1x y +=}，则A ∩B 的元素的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1练17 已知直线k x y +=2和圆422=+y x 有两个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．55k -<< B ．0k = C ．25k > D ．2525k -<<例11 已知圆C ：22230x y x ay +++-= (a 为实数)上任意一点关于直线l ：20x y -+=的对称点都在圆C 上，则a = ．练18 圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=（a 、b R ∈）对称，则a b 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例12 圆224460x y x y +-++=截直线05=--y x 所得弦长为（ ）A 6B ．225 C ．1 D ．5练19 圆()()221+14x y --=截直线2y x =-所得弦长为 ．例13 过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为 ．练20 过点()2,1-P 的直线l 将圆036422=-+-+y x y x 截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线l 的方程为 ．题型四 圆与圆的位置关系例14 圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．相离 D ．内切练21 圆221x y +=和圆()()221416x y +++=的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离练22 若224a b +=，则两圆22()1x a y -+=和22()1x y b +-=的位置关系是 ．练23 若圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．20x y --=D ．20x y -+=．【课后巩固1】1．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ） A ．()2,3 B ．()2,3- C ．()2,3-- D ．()2,3-2．已知圆C 的圆心坐标为()2,1-，半径长是方程()()140x x --=的解，则圆C 的标准方程为（ ） A ．()()22124x y ++-= B ．()()22214x y -+-= C ．()()222116x y -++= D ．()()222116x y ++-=3．过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则MN =（ ） A ．62 B ．8C ．64D ．104．点()1,1--在圆()()224x a y a ++-=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B ．01a << C ．11a a <->或 D ．1a =±5．直线420ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．无法判断6．已知圆221:4C x y +=，圆222:68160C x y x y ++-+=，则圆1C 和圆2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切7．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ） A ．2 B ．24C ．6D ．1028．已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－2B ．－4C ．－6D ．－89．过圆222440x y x y +-+-=内一点()3,0M 作圆的交线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（ ） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=10．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ．11．圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程 ．12．求经过点()6,4P -，且被圆2220x y +=x 2+y 2=20截得的弦长为26的直线方程．【课后巩固2】1．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．1)1()1(22=+++y x C ．2)1()1(22=+++y x D ．2)1()1(22=-+-y x2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-=B ．()2221x y ++=C ．()2231x y +-=D ．()2231x y ++=3．若()2,1P -为圆()22:125C x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是(A )A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．250x y --=4．若圆1:221=+y x C 与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则=m （ ）A ．21B ．19C ．9D ．﹣115．直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A ．)12,0(- B ．)12,12(+- C ．)12,12(+-- D ．)12,0(+6．直线230x y --=与圆C ：()222(3)9x y -++=交于E F 、两点，则ECF ∆的面积为（ ）A ．32B ．34C ．355D ．57．已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=，当直线l 被圆C 截得的弦长为23a 是（ ） A 2B ．22-C 21D 218．设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点)1,3(P ，则直线AB 的方程为 ．9．A B 、为直线y x =与圆221x y +=的两个交点，则AB 等于 ．10．圆()()22415x y -+-=内一点()30P ，，则过P 点的最短弦的弦长为 ；最短弦所在直线方程为 ．11．圆8)1(22=++y x 内有一点()2,1-P ,AB 过点P ，若弦长72=AB ，求直线AB 的倾斜角α；【课后巩固3】1．已知圆C 的方程为2224200x y x y +-+-=，则其圆C 和半径r 分别为（ ） A ．()1,2,5C r -= B ．()1,2,5C r --= C ．()1,2,25C r = D ．()1,2,25C r -=2．已知圆M 与直线340x y -=及34100x y -+=都相切，圆心在直线4y x =--上，则圆M 的方程为（ ） A ．()()22311x y ++-=B ．()()22311x y -++= C ．()()22311x y +++= D ．()()22311x y -+-=3．已知圆22:240C x y x y +--=，则下列点在圆C 内的是（ ） A ．()4,1 B ．()5,0 C ．()3,4 D ．()2,34．直线4y x =+与圆()()2238x a y -+-=相切，则a 的值为（ ） A ．3B ．22C ．35或-D ．35-或5．“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆的方程为2260x y x +-=，过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．47．如果圆()()228x a y a -+-=上存在一点P 到直线y x =-2，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．32D ．33-或8．若直线2x y -=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为22a 的值为（ ） A ．－13B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或49．圆221x y +=与圆()()221416x y +++=的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离10．过点()1,1-的圆2224200x y x y +---=的最大弦长与最小弦长的和为（ ） A ．17B ．18C ．19D ．2011．如果把直线20x y λ-+=向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值等于 ．12．一直线过点33,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且被圆2225x y +=所截得的弦长为8，则此直线方程为 ．13．已知直线L ：0382=---m y mx 和圆C ：02012622=++-+y x y x ，m 取何值时，L 被C 截得弦长最短，求此弦长．。

同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.1.圆的要素：在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.2.圆的定义：描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点()r b y a x =-+-⇒22)(根据点到点距离公式我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.3.圆的标准方程： ()().11)0,0(),()0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r rb a r r b y a x理解：所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.※圆与方程4.圆的一般方程：24-2204-0222222F E D r ED FE DF Ey Dx y x +=--+=++++），圆心（＞圆的判别式：一般方程：.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠图像不存在＜③表示点②表示圆＞①一般方程：配方⇒+--⇒=+⇒++=+++−−→−=++++04-)2,2(04-04-44-)2()2(022*********2F E D ED FE DF E D FE D E y D xF Ey Dx y x圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.5.圆的参数方程：（一般用于求最值）()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1)()()0(222222∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x rb y r a x rb y r a x r r b y a x r圆成立的条件很重要:0422＞F E D -+例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.[)()⎩⎨⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x2)1()2)(3(22=-++y x 31)33()4(22=++y x2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 052422=+-++ .例3：写出下列圆的方程.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x类型一：点与圆位置关系()()())(0)()3()(0)()2()(0)()1(),(002020********020********0202202000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:22=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？：例4若点),15(a a M +在圆26)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？1：图形表示与判断方法关系 相交 相切 相离图 像几 何 法r d ＜r d =r d ＞联立方程方程组两个解方程组一个解方程组无解直线与圆交点个数两个公共点一个公共点没有公共点判别式法0＞∆0=∆0＜∆：例1直线2+=kx y 与圆122=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是？：例3若圆4)1(22=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？关系 外离外切相交内切内含图 像几 何 法d 为圆心距21r r d +＞21r r d +=2121r r d r r +-＜＜21r r d -=210r r d -≤＜公切线 四条三条两条一条无位置 关系几个结论(1)经过圆()()222r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.(掌握)(2)已知圆222r y x =+的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y .（了解） (3)切点弦方程：过圆()()222r b y a x =-+-外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别为B A 、，则过B A 、的直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--(掌握)(4)圆与圆公共弦方程：()0)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆(5)弦长公式ak d r AB ∆⋅+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k（6）半圆、直线、射线、点29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()042222=-++y x x241y x -=- ()04122=-+-+y x y x 22x y --=类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1.已知圆1)1(22=+-y x O ：，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．2.两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

2.3 圆及其方程2.3.1圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点) 3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点) 1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为() A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4C[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是．x2＋(y－2)2＝1[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]直接法求圆的标准方程【例1(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．[思路探究]只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．[解](1)所求圆的半径r＝|CA|＝(2＋2)2＋(－2－1)2＝5．又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.[跟进训练]1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程．[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25．待定系数法求圆的标准方程【例(1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)．[思路探究]由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数．[解](1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．∵圆心在y ＝0上，故b ＝0，∴圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2．又∵该圆过A (1,4)，B (3,2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2，(3－a )2＋4＝r 2， 解得a ＝－1，r 2＝20．∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x －a )2＋(y －b )2＝r 2)→列方程组(由已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组)→解方程组(解方程组，求出a 、b 、r )→得方程(将a 、b 、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)．[跟进训练]2．求经过点A (10,5)，B (－4,7)，半径为10的圆的方程．[解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝100，将A 、B 两点代入得⎩⎪⎨⎪⎧(10－a )2＋(5－b )2＝100 ①(－4－a )2＋(7－b )2＝100 ② ①－②得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15 ③将③代入得：a 2＋8－6a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100． 圆的标准方程的实际应用[思路探究] 桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x 轴，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，则O (0,0)，A (6，－2)．设圆的标准方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2(r ＞0)．将A (6，－2)的坐标代入方程得r ＝10，∴圆的标准方程为x 2＋(y ＋10)2＝100．当水面下降1米后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0＞0)．将A ′(x 0，－3)代入圆的标准方程，求得x 0＝51，∴水面下降1米，水面宽为2x 0＝251≈14．28(米)．解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面[跟进训练][解]以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x 轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2．7代入圆方程，得y＝16－2.72＝8.71＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．与圆有关的最值问题[1．若P(x，y)为圆C：(x＋1)2＋y2＝14上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．[提示]原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12．2．若P (x ，y )是圆C ：(x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2．【例4】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3．求y x 的最大值和最小值．[思路探究] y x 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3．故y x 的最大值为3，最小值为－3．1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值．[解] 设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．2．在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．[解]x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ab＋lb截距的最值问题.(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝m．当m＞0时，表示圆心为C(a，b)，半径为m的圆；当m＝0时，表示一个点C(a，b)；当m＜0时，不表示任何图形．2．确定圆的方程的方法及步骤(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径．直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．第二步：根据条件列方程组求待定系数a，b，r．第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．4．重点掌握的方法(1)求标准方程的方法．(2)求与圆相关的最值的方法．1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标()A．(2,1)B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)B[结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．]2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为()A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021A[由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212．]3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为．a＞1或a＜－15[因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－15．]4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是．(x＋2)2＋y2＝10[因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m．∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10．]5．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．[解]∵|MA|＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5，|MB|＝(1－3)2＋(0－4)2＝25，|MC|＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25．。

圆的方程知识讲解一、圆的标准方程⑴以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-=⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=二、圆的一般方程方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）① 说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零； ⑵没有xy 这样的二次项．⑶表示以(,)22D E -- a)当2240D E F +-=时，方程①只有实根2D x =-，2E y =-，方程①表示一个点(,)22D E -- b)当2240D EF +-<时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形三、圆的参数方程概念：cos ,(sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)叫做圆的参数方程．特别地，当0,a b ==即圆心在原点，圆的参数方程式为cos ,(sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数)．圆的参数方程，其实质是三角换元．当涉及有关最值或取值范围问题时，可设圆上的点参数，这样可把代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识来处理．四、圆心的三个重要的几何性质 1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2.圆心在模一条弦的中垂线上．3.两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．五、判断点与圆的位置关系的方法 1. 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，圆心(,)A a b ，半径r ，若点00(,)M x y 在圆上，则22200()()x a y b r -+-=；若点00(,)M x y 在圆外，则22200()()x a y b r -+->；若点00(,)M x y 在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．反之，也成立．2. 利用几何法来判断点与圆的位置关系．当点M 到圆心的距离大于圆的半径，则若点M 在圆外；当点M 到圆心的距离小于圆的半径，则若点M 在圆内；当点M 到圆心的距离等于圆的半径，则若点M 在圆上．即AM r >⇔点M 在圆外；AM r <⇔点M 在圆内；AM r =⇔点M 在圆上典型例题一．选择题（共6小题）1．（2011•大纲版）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4 B． C．8 D．2．（2016•平度市一模）圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=23．（2015•陕西校级二模）圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=54．（2017•腾冲县校级二模）已知圆x2+y2﹣2x+4y+1=0和两坐标轴的公共点分别为A，B，C，则△ABC的面积为（）A．4 B．2 C． D．5．（2017•河南二模）以（a，1）为圆心，且与两条直线2x﹣y+4=0与2x﹣y﹣6=0同时相切的圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 B．（x+1）2+（y+1）2=5 C．（x﹣1）2+y2=5 D．x2+（y﹣1）2=56．（2017•南开区模拟）圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（）A．x2+y2+10y=0 B．x2+y2﹣10y=0 C．x2+y2+10x=0 D．x2+y2﹣10x=0二．填空题（共5小题）7．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．8．（2016•浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．9．（2014•陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（2010•新课标）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为．11．（2016•安徽模拟）已知直线l过圆x2+y2﹣6y+5=0的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是．三．解答题（共4小题）12．（2015春•宜昌期末）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（2，0），线段AB的垂直平分线交该圆于C、D两点，且|CD|=10（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．13．（2010秋•徐州期末）已知过点A（﹣1，4）的圆的圆心为C（3，1）．（1）求圆C的方程；（2）若过点B（2，﹣1）的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．14．（2016秋•武清区期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2=0上，且与圆C外切，求圆D 的方程．15．（2016秋•濮阳期末）一圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且直线y=x 截圆所得弦长为，求此圆的方程．。

圆的方程知识讲解一、圆的标准方程⑴以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-= ⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=二、圆的一般方程方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）① 说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零；⑵没有xy 这样的二次项． ⑶表示以(,)22D E --为圆心，22142D E F +-为半径的圆． a)当2240D E F +-=时，方程①只有实根2D x =-，2Ey =-，方程①表示一个点(,)22D E-- b)当2240D E F +-<时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形三、圆的参数方程概念：cos ,(sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)叫做圆的参数方程．特别地，当0,a b ==即圆心在原点，圆的参数方程式为cos ,(sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数)．圆的参数方程，其实质是三角换元．当涉及有关最值或取值范围问题时，可设圆上的点参数，这样可把代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识来处理．四、圆心的三个重要的几何性质1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2.圆心在模一条弦的中垂线上．3.两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．五、判断点与圆的位置关系的方法1. 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，圆心(,)A a b ，半径r ，若点00(,)M x y 在圆上，则22200()()x a y b r -+-=；若点00(,)M x y 在圆外，则22200()()x a y b r -+->；若点00(,)M x y 在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．反之，也成立．2. 利用几何法来判断点与圆的位置关系．当点M 到圆心的距离大于圆的半径，则若点M 在圆外；当点M 到圆心的距离小于圆的半径，则若点M 在圆内；当点M 到圆心的距离等于圆的半径，则若点M 在圆上．即AM r >⇔点M 在圆外；AM r <⇔点M 在圆内；AM r =⇔点M 在圆上典型例题一．选择题（共5小题）1．（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选：B．2．（2016•北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．3．（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．4．（2015•漳州二模）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1【解答】解：∵点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P'（y，x），∴（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），∴圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．5．（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．二．填空题（共4小题）6．（2015•浦东新区一模）若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是m＜5（或（﹣∞，5））．【解答】解：关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得m＜5，故答案为：（﹣∞，5）．7．（2005•上海）直角坐标平面xOy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是x+2y﹣4=0．【解答】解：设点P（x，y），则=（x，y）因为A（1，2）所以=（1，2）因为，所以（x，y）•（1，2）=4即x+2y=4，即x+2y﹣4=0故答案为：x+2y﹣4=08．（2016春•泉州校级期末）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．【解答】解：设圆心为C，由A（﹣3，﹣1）和B（5，5）得到C（，）即C（1，2），又圆的半径r=|AC|==5，所以圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=259．（2015•上海学业考试）以（2，6）为圆心，1为半径的圆的标准方程为（x ﹣2）2+（y﹣6）2=1．【解答】解：以（2，6）为圆心，1为半径的圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．三．解答题（共3小题）10．已知定点A（1，2）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0的外部，求k的取值范围．【解答】解：∵定点A（1，2）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0的外部，∴化简得，∴∴k的取值范围：＜k＜﹣3或2．11．求出下列圆的方程，并画出图形：（1）圆心在点C（﹣1，1），过直线x+3y+7=0与3x﹣2y﹣12=0的交点；（2）过点A（﹣1，1）和D（1，3），圆心在x轴上；（3）已知点A（﹣2，4），B（8，﹣2），且AB为圆的直径．【解答】解：（1）联立解得，交点P（2，﹣3）．∴r=|PC|==5．∴圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=25．（2）∵点A（﹣1，1）和D（1，3），∴中点M（0，2），k AD==1，∴其垂直平分线的斜率k=﹣1．∴线段AD的垂直平分线的方程为：y=﹣x+2．∴圆心为N（2，0），半径r=|AN|=．∴圆的标准方程为：（x﹣2）2+y2=10．（3）∵点A（﹣2，4），B（8，﹣2），∴中点Q（3，1）即为圆心，半径r=|AQ|==．∴圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=34．12．求过三点A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（1，0）的圆的方程．【解答】解：∵三点A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（1，0），∴BC⊥AC，BC=AC=2，∴△ABC为等腰直角三角形．取斜边AB的中点M（0，﹣1），则MC===AB，∴M它的外接圆的圆心，半径为，∴要求的圆的方程为x2+（y+1）2=2．。

一、 圆的方程22222222222()(),)+40040+40x a y b r a b r D E F x y Dx Ey F D E F D E F ⎧-+-=⎪⎧->⎪⎪⎨++++=+-=⎨⎪⎪⎪-<⎩⎩标准式：，（为圆心，为半径：圆圆的方程方程式：：点：无意义 例题1、方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是-----------------。

例题2、已知两点)3,6()9,4(21P P 和，求以21P P 为直径的圆的方程。

例题3、已知圆C 的半径为17，圆心在直线02=--y x 上，且过点（－2，1），求圆C 的方程。

二、直线与圆的关系222d r d r d r AB r d ⎧=⎧⎪⎪>⎨⎪⎪⎪<⎩⎪⎨=-⎪⎪⎪⎪⎩相切：直线与圆的位置关系相离：相交：直线与圆弦长公式：切线问题：利用圆心到直线的距离等于半径求解例1、 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则弦长AB 的长度为（ ）3、切线问题：当斜率存在的时候，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k ；当斜率不存在时，结合图形求出。

（1）若点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-的外面，则设切线方程为（2）若点),(00y x 位于圆上，若圆的方程是222R y x =+，则切线方程为 ；若圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则切线方程为 ；若圆的方程为022=++++F Ey Dx y x 。

则切线方程为 ；（3）若切线斜率为k ，则圆222r y x =+的切线方程为 。

例5、已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆的方程讲义圆C 的方程为 。

例6、设直线l 过点（－2，0），且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率为 。

例7、设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值 。

第3节圆的方程考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆. 2.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3 B.(－2，3)， 3 C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，13 答案 D解析 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13.3.(2021·合肥模拟)已知A (1，0)，B (0，3)两点，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝104 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝104 答案 A 解析 |AB |＝12＋32＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，半径r ＝102，∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104.4.(2022·银川模拟)若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.{－4，4}答案 A解析因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，即（1－a）2＋[1－（－a）]2<2，两边平方得：(1－a)2＋(a＋1)2<4，化简得a2<1，解得－1<a<1.5.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案 A解析由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.6.(易错题)若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则k的取值范围为________________.答案(－∞，1)∪(4，＋∞)解析根据题意，若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则λ＝0，方程为x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，∴(2k)2＋42－4×5k>0，即k2－5k＋4>0，解得k<1或k>4，故k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞).考点一圆的方程1.已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254 答案 C解析 法一 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.法二 (几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.则圆E 的半径为 |EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋（0－0）2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.2.在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A.x 2＋(y －1)2＝4 B.x 2＋(y －1)2＝2 C.x 2＋(y －1)2＝8 D.x 2＋(y －1)2＝16答案 B解析 由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心(0，1)为点B ，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝（－1－0）2＋（2－1）2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.3.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，则圆C 的方程为________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 法一 ∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴可设所求圆的圆心为(a ，－a ). ∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |. 又所求圆截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝（a －b －3）22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① ∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴|a －b |12＋（－1）2＝r .②又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 考点二 与圆有关的最值问题 角度1 利用几何意义求最值例1 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆. (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 感悟提升把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2利用对称性求最值例2 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－2 2D.17答案 A解析 P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3).所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.感悟提升 求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.角度3 建立函数关系求最值例3 (2022·衡水模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________. 答案 12解析 由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 感悟提升 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.训练1 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值.解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2. 又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，∴y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 考点三与圆有关的轨迹问题例4 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2). (2)设PQ 的中点为N (x ，y ). 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为 x 2＋y 2－x －y －1＝0.感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.训练2 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程. 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆.直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1.圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(3，4)，5 B.(－3，4)，5 C.(－3，－4)，5 D.(3，－4)，5答案 D解析 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25，所以圆心坐标是(3，－4)，半径r ＝5.2.过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B.(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C.(x －1)2＋(y －1)2＝4 D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . 因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上， 所以b ＝2－a . 又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， 所以a ＝1，b ＝1，所以r ＝2， 所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.3.如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，0) D.(0，－1)答案 D 解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大，此时圆心坐标为(0，－1). 4.(2022·太原期末)若k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0， 即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15.又知该方程不表示圆，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1.又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45. 5.(2022·昆明调研)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长为6，则圆C 的方程为( )A.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0B.x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0C.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0D.x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，D 2＋E 2－4F >0， 将P ，Q 两点的坐标代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36， ④ 由①②④得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0，故所求的圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.6.已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( ) A.2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5 D.12(5＋2)，12(5－2) 答案 B 解析 如图，圆心(1，0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.7.(2021·郑州模拟)圆(x ＋2)2＋(y －12)2＝4关于直线x －y ＋8＝0对称的圆的方程为________________. 答案 (x －4)2＋(y －6)2＝4 解析 设对称圆的圆心为(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －12m ＋2＝－1，m －22－n ＋122＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6，所以所求圆的圆心为(4，6)， 故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －6)2＝4.8.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________. 答案2＋1解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1.9.(2022·贵阳调研)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________. 答案 2 5解析 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，所以圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆.设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，此时，|P A |＋|PQ |取得最小值，由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.10.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)， 所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 11.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.解(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x2＋y2＋2x－4y＋5＝（x＋1）2＋（y－2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值34－1.12.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255C.355D.455答案 B解析 设圆心为P (x 0，y 0)，半径为r ，∵圆与x 轴，y 轴都相切， ∴|x 0|＝|y 0|＝r .又圆经过点(2，1)，∴x 0＝y 0＝r 且(2－x 0)2＋(1－y 0)2＝r 2， ∴(r －2)2＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝1或r ＝5.当r ＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离 d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255；当r ＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离 d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255.综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.13.(2022·郑州模拟)大约在2 000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有动点P 满足|OP |＝2，其中O 为坐标原点，若M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|PM |的最小值为________.答案 1解析 由题意可得点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上， 因为|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1<2， 所以点M 在圆内，所以|PM |min ＝r －|OM |＝2－1＝1.14.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为 y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， 所以|AB |＝|AF |＋|BF | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1， 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.故圆的半径为x 0＋p2＝4或12，因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。

2.4 圆的方程1、圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：),(22ED--半径r＝12D2＋E2－4F2、点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：（1）|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；（2）|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；（3）|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.3、特殊的圆的方程（1）圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.（2）以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.题型一圆的方程例1方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )A．a<－2或a>23B．－23<a<2C．－2<a<0D．－2<a<2 3知识梳理知识典例【答案】D 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a 的范围. 【详解】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化标准方程为22224()()224D E D E Fx y +-+++=（其中2240D E F +->），圆心为(,)22D E--，半径2242D E Fr +-=．1、“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项. 【详解】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ， 所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件， 故选：A.2、若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 【答案】(0，－1) 【解析】方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准方程为(x ＋2k )2＋(y ＋1)2＝1－234k ，巩固练习∵r 2＝1－234k ≤1，∴k ＝0时r 最大．此时圆心为(0，－1)．题型二 圆的方程求解例 2 过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-= D ．()()22114x y +++=【答案】C1、圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是 【答案】()2221x y +-=2、求圆心在直线230x y --=上，且过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的标准方程． 【答案】22(1)(2)10x y +++= 【解析】试题分析：根据圆中的弦的垂直平分线过圆心求出弦AB 的垂直平分线的方程，与直线l 联立可求出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆的半径，即可写出圆的标准方程． 试题解析： ∵()351222AB K -+==--，AB 中点()2235,0,422---⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴AB 中垂线为()420y x +=--， 整理得240y x ++=，巩固练习联立240230y x x y ++=⎧⎨--=⎩， 解出1x =-，2y =-， ∴圆心为()1,2--，半径为()()22213210⎡⎤--+-+=⎣⎦，圆为()()221210x y +++=．题型三 点与圆的位置关系例 3 已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．无法判断【答案】B 【解析】因为22345AM r =+== ,所以点M 在圆上，选B.1、若点（1，1）在圆()()224x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B ．01a << C ．1a <-或1a > D ．1a =±【答案】A 【解析】因为点（1，1）在圆内部，所以22(1)(1)4a a -++<,解之得11a -<<.2、点2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（ ）． A ．点在圆外 B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【答案】A 【解析】巩固练习将点2(,5)m 代入圆方程，得42524m +>．故点在圆外， 选A ．1、以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A ．22(2)(1)4x y ++-= B ．22(2)(1)4x y +++= C ．22(2)(1)16x y -++= D ．22(2)(1)16x y ++-=【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【详解】以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为：22(2)(1)16x y -++=．故选C ．2、方程1x -= ） A ．一个圆 B ．两个半圆 C ．两个圆 D ．半圆【答案】A 【解析】试题分析：由方程1x -=221x -=，即22(1)(1)1x y -++=，所以方程表示的轨迹为一个圆，故选A ．3、若方程2220x y a ++=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0a <B ．0a =C ．0a ≤D ．0a >【答案】A4、若原点在圆22(3)(4)x y m -++=的外部，则实数m 的取值范围是（ ）巩固提升A ．(,25)-∞B ．(,5)-∞C ．(0,25)D ．(0,5)【答案】C 【解析】 【分析】根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案. 【详解】根据题意，圆22(3)(4)x y m -++=的圆心为(3,4)-，必有0m >. 若原点在圆22(3)(4)x y m -++=的外部，则22(03)(04)m -++>，则有25m <. 综合可得:025m <<. 故选：C.5、点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 【答案】 A【解析】 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x－4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.6、已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为 【答案】(x －3)2＋(y －4)2＝25. 【解析】 圆C 的圆心的坐标C (6，8)， 则OC 的中点坐标为E (3，4)， 则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.7、在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.【答案】x 2＋y 2－2x ＝0.【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.8、已知曲线()()22:11480C a x a y x ay +++-+=,a R ∈.(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点. (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值.【答案】(1)1a ≠-时，方程表示圆；(2)证明见解析；(3)14a = 【解析】 【分析】（1）当1a =-时，可知方程表示直线；当1a ≠-，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为()2222480x y x a x y y +-+++=，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；（3）根据（2）的结论，可知以AB 为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果. 【详解】(1)当1a =-时，方程为20x y +=表示一条直线当1a ≠-时， ()222224416111a a x y a a a +⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+()2241601a a +>+ 1a ∴≠-时方程表示圆(2)方程可变形为：()2222480x y x a x y y +-+++=a 取任何值，上式都成立 22224080x y x x y y ⎧+-=∴⎨++=⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩或16585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴曲线C 过定点()0,0A ，168,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭即无论a 为何值，曲线C 必过两定点(3)由(2)曲线C 过定点,A B ，在这些圆中，以AB 为直径的圆的面积最小∵以AB 为直径的圆的方程为：228416555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22281544154161651a a a a a ⎧⎪=+⎪⎪⎪∴=⎨+⎪⎪+=⎪+⎪⎩，解得：14a =。

《圆的标准方程》讲义一、引入在我们的日常生活中，圆是一种非常常见的几何图形，比如车轮、盘子、月亮等等。

那么如何用数学的语言来精确地描述一个圆呢？这就需要用到圆的方程。

今天，我们就来学习圆的标准方程。

二、圆的定义在平面直角坐标系中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

定点称为圆心，定长称为半径。

设圆心的坐标为$（a,b)＄，半径为$r$，圆上任意一点的坐标为$（x,y)＄，那么根据两点间的距离公式，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径$r$，我们可以得到：＼＼begin{align}＼sqrt{（x a)＾2 ＋（y b)＾2}＆＝r\＼（x a)＾2 ＋（y b)＾2&＝r^2＼end{align}＼这就是圆的标准方程。

三、圆的标准方程的形式圆的标准方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a,b)＄是圆心的坐标，＄r$是圆的半径。

当圆心在原点$（0,0)＄时，圆的标准方程就变成了$x^2 ＋ y^2 ＝r^2$。

四、圆的标准方程的特点1、方程中有三个参数$a$、＄b$、＄r$，分别表示圆心的横纵坐标和圆的半径。

2、圆的标准方程明确地给出了圆心的位置和半径的大小，使我们能够直观地了解圆的特征。

3、对于给定的圆心和半径，可以很容易地写出圆的标准方程；反之，对于给定的圆的标准方程，也能快速确定圆心和半径。

五、用圆的标准方程解决问题例 1：已知圆的圆心为$（2,－3)＄，半径为 5，求圆的标准方程。

解：因为圆心为$（2,－3)＄，半径为 5，所以圆的标准方程为$（x 2)＾2 ＋（y ＋ 3)＾2 ＝ 25$。

例 2：求以点$（－1, 4)＄为圆心，且过点$（3, 0)＄的圆的标准方程。

首先，计算圆心到已知点的距离，即半径$r$：＼＼begin{align}r&＝＼sqrt{（－1 3)＾2 ＋（4 0)＾2}＼＼＆＝＼sqrt{（－4)＾2 ＋ 4^2}＼＼＆＝＼sqrt{16 ＋ 16}＼＼＆＝＼sqrt{32}＼＼＆＝4\sqrt{2}＼end{align}＼所以圆的标准方程为$（x ＋ 1)＾2 ＋（y 4)＾2 ＝ 32$。