直线和圆的方程复习讲义全

高中数学直线和圆知识点复习总结
1.直线方程⑴点斜式；⑵斜截式；⑶截距式；⑷两点式；⑸一般式(A，B不全为0)。

(直线的方向向量，法向量）
2.求解线性规划问题的步骤是：(1)列约束条件；(2)作可行域，写目标函数；(3)确定目标函数的最优解。

3.两条直线的位置关系：
4.直线系。

5.几个公式⑴设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，⊿ABC的重心G是：()；⑵点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离：；⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；
6.圆的方程：⑴标准方程：①；②。

⑵一般方程：(注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E2-4AF
7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。

8.圆系：⑴；注：当时表示两圆交线。

⑵。

9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)⑴点与圆的位置关系：(表示点到圆心的距离)①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：(表示圆心到直线的距离)①相切；②相交；③相离。

⑶圆与圆的位置关系：(表示圆心距，表示两圆半径，且)①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含。

4.两条直线所成的角的概念及夹角公式
两条直线相交所成的锐角或直角，叫做这两条直线所成的角，简称夹角，如果直线L1、L2的斜率分别是k1、k2，L1和L2所成的角是 ，且 则有夹角公式：tan=
5.点到直线的距离公式：点P（x0.y0）到直线Ax+By+C=0（A、B不同时为零）的距离d=
注意：（1）注意斜率和倾斜角的区别：每条直线都有倾斜角，倾斜角的范围是 ，但并不是每条直线都有斜角。
30.（2004.海淀）在平面直角坐标系内，将直线L向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线L，L及L间的距离为 ，则直线L的倾斜角为（ ）
A.arctan B. arctan C. D.
题型6. 对称问题
31. (2004.安徽) 已知直线L: x-y-1=0, L1: 2x-y-2=0, 若直线L2及直线L1关于L对称,则L2的方程是( )
３９．（２００４．东城）直线Ｌ及直线Ｙ＝１，Ｘ－Ｙ－７＝０，分别交于Ｐ，Ｑ两点，线段ＰＱ的中点为（１，－１），则直线Ｌ的斜率为（ ）
Ａ．３／２， Ｂ．２／３， Ｃ．－２／３， Ｄ．－３／２
４０．（２００４．天津）已知下列曲线：
y y y y
x x x x
(1) (2) (3) (4)
以及编号为①,②,③,④的四个方程:①. ② ③ ④. ,按曲线(1),(2),(3),(4)的顺序,依次及之对应的方程的编号是( )
（2）两个条件确定一条直线，通常利用直线的倾斜角、斜率或点等的条件来确定，倾斜角确定方向，点确定位置。
（3）使用直线方程时，要注意限制条件。如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式的使用条件为两截距都存在且不为零;两点式的使用条件为直线不及x轴垂直,也不及y轴垂直.

直线系与圆系方程1 直线系方程(1)过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零)(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C0=0；(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)【例】写出与直线x−2y+1=0平行、垂直的直线系方程.解与直线x−2y+1=0平行的直线系方程分别为x−2y+m=0，与直线x−2y+1=0垂直的直线系方程分别为2x+y+m=0.2 圆系方程(1)以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x−a)2+(y−b)2=λ(λ>0)；(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0；(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x−2y+1=0，圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2:x2+y2+x+y= 0，写出过直线l与圆C1交点的圆系方程，过圆C1与圆C2交点的曲线方程，过圆C1与圆C2交点的公共弦方程.解过直线l与圆C1交点的圆系方程为x2+y2+2x−2y+1+λ(x−2y+1)=0，化简为x2+y2+(2+λ)x−(2+2λ)y+1+λ=0；过圆C1与圆C2交点的曲线方程x2+y2+2x−2y+1+λ(x2+y2+x+y)=0，化简为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2+λ)x+(λ−2)y+1=0，令λ=−1，得过圆C1与圆C2交点的公共弦方程x−3y+1=0.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 ,y0)作圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2的切线l方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.解 切线方程为(1+2)(x +2)+(−2+1)(y +1)=1，化简为3x −y +4=0.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．解析 直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点为(1,5)，方法一(1)当斜率为−12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y −5=−12(x −1)．直线方程为x +2y －11=0．(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y －5=3−52−1(x －1)即为y =−2x +7．直线方程为2x +y −7=0．(3)平行于直线3x +y =1时，得直线斜率为k =－3，直线方程为y −5=−3(x －1)， 即直线方程为3x +y −8=0．方法二 由直线系方程可设所求直线为2x +3−y +λ(3x −y +2)=0(1) 2x +3−y +λ(3x −y +2)=0⇒(2+3λ)x −(λ+1)y +2λ+3=0直线的斜率为−12时，2+3λλ+1=−12，解得λ=−57， 故所求直线方程为x +2y －11=0．(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5λ=0⇒ λ=−45，故所求直线方程为2x +y －7=0．(3) 平行于直线3x +y =1时，2+3λλ+1=−3，解得λ=−56,故所求直线方程为3x +y －8=0．点拨 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【巩固练习】1.求过两直线x −2y +4=0和x +y −2=0的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点(2 ,1)； (2)和直线3x −4y +5=0垂直．答案 (1) x +2y −4=0 (2) 4x +3y −6=0解析 由{x −2y +4=0x +y −2=0 解得{x =0y =2，∴P(0 ,2)．(1)设过点P 的直线方程为x −2y +4+λ(x +y −2)=0，∵过点(2 ,1)，∴2−2+4+λ=0⇒λ=−4，故所求直线方程为x −2y +4−4(x +y −2)=0⇒x +2y −4=0.(2) 设所求直线为4x +3y +λ=0,∵过点P(0 ,2)，∴0+6+λ=0⇒λ=−6，故所求直线方程为4x +3y −6=0.【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线l 的方程．解析 方法一 当直线l 斜率不存在时，方程为x =−1，显然不是切线，故可设切线方程为y =k (x +1)+4，∵直线l 与圆相切，∴圆心(2 ,3)到直线l 的距离等于半径1，故√1+k 2=1，解得k =0或−34，故所求直线l 的方程为y =4或3x +4y −13=0．方法二 如方法一，设切线方程为y =k (x +1)+4，由{y =k (x +1)+4(x −2)2+(y −3)2=1得(1+k 2)x 2+(2k 2+2k −4)x +k 2+2k −4=0其判别式∆=(2k 2+2k −4)2−4(1+k 2)(k 2+2k −4)=0 , 解得k =0或−34 ,故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法三因为切线过点P(−1 ,4)，故可设所求直线的方程为A(x+1)+B(y−4)=0(其中A ,B不全为零)，∵直线l与圆相切，=1∴圆心(2 ,3)到直线l的距离等于半径1，故√A2+B2,B≠0．整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．点拨本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+ B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x=1或5x+12y+31=0解析因为切线过点P(1 ,3)，故设所求直线的方程为A(x−1)+B(y−3)=0(其中A ,B不全为零)，=2，∵直线l与圆相切，∴圆心(−1 ,0)到直线l的距离等于半径2，故√A2+B2,≠0，整理得B(5B+12A)=0，即B=0(这时A≠0)或A=−512故所求直线l的方程为x=1或5x+12y+31=0．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x+√3y−3=0.解析易发现点P(0,√3)在圆(x+1)2+y2=4上，故直线l的方程为(0+1)(x+1)+√3y=4，化简得x+√3y−3=0，即所求直线l的方程为x+√3y−3=0.【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．解析方法一(面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)∵圆x2+y2+2x−4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y−2)2=4．∴圆心坐标为(−1 ,2)，半径为r=2；∴圆心到直线2x−y+3=0的距离为d=，√5设直线2x−y+3=0和圆x2+y2+2x−4y+1=0的交点为A ,B，则|AB|=2√r 2−d 2=2√4−15=√19√5，∴过点A ,B 的最小圆半径为√19√5，联立{2x −y +3=0x 2+y 2+2x −4y +1=0得5x 2+6x −2=0，故x 1+x 2=−65，则圆心的横坐标为：12(x 1+x 2)=−35，纵坐标为2×(−35)+3=95，∴最小圆的圆心为(−35 ,95)，∴最小圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195．方法二 依题意，可设过点A 、B 两点圆的方程为x 2+y 2+2x －4y +1+λ(2x −y +3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x +λ+1)2+(y −4+λ2)2=54λ2+λ+4 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即54λ2+λ+4取到最小值，而54λ2+λ+4=54(λ+25)2+195≥195，当λ=−25时取到最小值，此时圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195.点拨 本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0．(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程．解析 (1)证明：(圆心距C 1C 2∈(R −r ,R +r)⇔两圆相交)圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16∴C 2(−1 ,−1)，r =4∵圆C 1：x 2+y 2=10的圆心坐标为(0 ,0)，半径为R =√10∴|C 1C 2|=√2 ,∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10解得{x =3y =−1或{x =−1y =3，(这里还是有些计算量的)则交点为A (3 ,−1) ,B(−1 ,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P(6−n ,n)，则AP =BP ，解得n =3，故圆心P(3 ,3)，半径r =AP =4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．方法二 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x +2y −14+λ(x 2+y 2−10)=0(λ≠−1) 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+2x +2y −14−10λ=0 ∴圆心坐标为(−11+λ ,−11+λ)代入直线x +y −6=0可得：−11+λ−11+λ−6=0，∴λ=−43∴所求圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +2=0．点拨 此题是过圆与圆交点的圆系问题.① 两圆之间的位置关系看圆心距O 1O 2与两圆半径R 与r 之间的关系；② 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0和直线x －y +7=0的两个交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+5x －3y =0解析 (1)设圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21+λ(x －y +7)=0，代入(0,0)，可得21+7λ=0，∴λ=－3，∴圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21－3(x －y +5)=0，即x 2+y 2+5x －3y =0.2.求经过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0与直线x －y +5=0的交点且在y 轴上的弦长为2√33的圆的方程．答案 x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0解析 设所求的圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)+k(x −y +5)=0，且与y 轴的交点坐标为y 1、y 2，令x =0得(y 2−6y +21)+k(−y +5)=0，化简得y 2−(k +6)y +21+5k =0， ∴y 1+y 2=k +6，y 1⋅y 2=5k +21，由|y 1−y 2|=2√33两边平方得(y 1+y 2)2－4y 1⋅y 2=132，∴(k +6)2－4(5k +21)=132，化简得k 2－8k －180=0，解得k =－10或k =18，∴所求圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)－10(x −y +5)=0，或(x 2+y 2+8x −6y +21)+18(x −y +5)=0，∴所求圆的方程为x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0.3.求经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点，并且圆心在直线x −y −4=0上的圆的方程．答案 x 2+y 2−x +7y －32=0解析 设经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点的圆的方程，为(x 2+y 2+6x －4)+λ(x 2+y 2+6y －28)=0，即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy −4+28λ1+λ=0， 则它的圆心坐标为(−31+λ,−3λ1+λ)．再根据圆心在直线x −y −4=0上，可得−31+λ+3λ1+λ−4=0，解得λ=−7，故所求的圆的方程为x 2+y 2−x +7y －32=0．4.已知圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程． 答案 (1) x +y −3=0,√6 (2) (x −32)2+(y −32)2=32解析 (1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标是圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0，联立方程组的解，两方程相减得：x +y −3=0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x +y −3=0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x −1)2+(y −1)2=2，∴圆心C 2(1,1)，半径r =√2． 圆心C 2到直线AB 的距离d =√2=√2，|AB|=√6．即两圆的公共弦长为√6．(2)C 1(32,32),C 2(1,1)，直线C 1C 2方程：x −y =0．{x −y =0x +y −3=0，交点为(32,32)， 即为圆的圆心，半径r =√32， 所以圆的方程是：(x −32)2+(y −32)2=32．【A 组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l 1：x −2y +2=0，l 2：2x −y −2=0；答案 y =x解析 方法一 方程组{x −2y +2=02x −y −2=0得{x =2y =2所以，l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y =kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k =1，所以所求直线方程为y =x ．方法二 过直线l 1与l 2的交点的直线可设为x −2y +2+λ(2x −y −2)=0因为过原点，故2−2λ=0⇒λ=1，则所求直线方程为y =x .2.已知直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0的交点为A 、B ，(1)求弦长AB ；(2)求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案 (1) 45√5 (2) (x −45)2+(y +25)2=45解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0联立，消去x ，可得5y 2+4y =0，∴y 1=0,y 2=−45,∴{x1=0y 1=0,{x 2=85y 2=−45，∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=45√5.(2)所求圆的圆心为AB 中点C(45,−25)，所求面积最小的圆的方程是(x −45)2+(y +25)2=45.3.求圆心在直线3x +4y −1=0上，且过两圆x 2+y 2−x +y －2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+2x −2y −11=0解析设所求圆的方程为(x2+y2−x+y−2)+m(x2+y2−5)=0．整理得(1+m)x2+(1+m)y2−x+y−2−5m=0．圆心坐标为(12(1+m),−12(1+m))代入3x+4y−1=0得m=−32，∴所求圆的方程为x2+y2+2x−2y−11=0．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.答案x+y=4解析设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；∴x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；∴直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；∴x0+y0=4；∴点P的轨迹方程为x+y=4．故答案为：x+y=4．5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．答案(1)3x2+3y2−5x−14=0(2) 2x−2y=3.解析(1)设圆的方程为x2+y2+3x+λ(x2+y2−3)=0，因为点M(2,－2)在圆上，所以λ=−145，所求圆的方程是3x2+3y2−5x−14=0；(2)以MO为直径的圆C的方程为x2+y2−2x+2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB方程为是2x−2y=3．若切点弦的公式可直接得到2x−2y=3.6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．答案(1)(x−2)2+y2=4 (2)(−1 ,−3)和(2 ,0)解析(1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．由题意可得，d2+(√3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a =2或a =−12(舍)．∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)证明：∵P 是直线x +y +4=0上的点，∴P(m,−m −4)．∵PA 为圆的切线，∴PA ⊥AC,即过A,B,C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y +m +4)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m)(x −2)+y(y +m +4)=0，即x 2+y 2－2x +4y +m(－x +y +2)=0．故{x 2+y 2−2x +4y =0−x +y +2=0，解得{x =−1y =−3或{x =2y =0．因此经过A,P,C 三点的圆必过定点(－1,－3)和(2,0)．【B 组---提高题】1.已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 过定点( )A ．(−12,−12)B ．(−1,−1)C ．(−12,12)D ．(12,−12)答案 A解析 根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0),P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．2.已知圆C 的方程为(x +2)2+y 2=4，点M 在圆C 上运动，点N 的坐标是(2,0)．(1)若线段MN 的中点形成的轨迹为G ，求轨迹G 的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．答案(1)x2+y2=1(2) (18,0)解析(1)设线段MN的中点(x,y)，则M(2x−2,2y)∵NM在圆(x+2)2+y2=4上运动∴(2x−2+2)2+(2y)2=4,即x2+y2=1①；(2)连接OA,OB，∵PA,PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP，∴A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8,b),b∈R，则线段OP的中点坐标为(4,b2)∴以OP为直径的圆方程化简得：x2+y2－8x－by=0,b∈R，②∵AB为两圆的公共弦，∴①－②得：直线AB的方程为8x+by=1,b∈R，即8(x−18)+by=0，则直线AB恒过定点(18,0)．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．答案(1)x2+y2=2(2) ±√3(3)(12,−1)解析(1)设点Q(x ,y)，依题意知|QM||QN|=√(x+2)2+y2√(x+1)2+y2=√2 ，整理得x 2+y 2=2，∴曲线C 的方程为x 2+y 2=2；(2)∵点O 为圆心，∠AOB =π2，∴点O 到l 的距离d =√22r ，∴√k 2+1=√22⋅√2⇒k =±√3 ；(3)由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆)设P(t ,12t −2)，则圆心(t 2 ,t 4−1)，半径√t 24+(t4−1)2得(x −t 2)2+(y −t 4+1)2=t 24+(t 4−1)2即x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0 又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0即 (x +y2)t −2y −2=0(直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由{x +y 2=02y +2=0得 {x =12y =−1，∴直线CD 过定点(12 ,−1).。

二、本章知识回顾
●2．2.2 直线的两点式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线
的两点式方程(重点). ●2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围．
二、本章知识回顾
●2．2.3 直线的一般式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一
般式方程(重点). ●2.会进行直线方程的五种形式间的转化．
三、本章考点分析
三、本章考点分析
考点 30 圆的弦长问题
规律总结
直线与圆相交时的弦长求法
几何法 代数法
利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l之间的关
系
r2
d2
l 2
2
解题
若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标后，直
接用两点间的距离公式计算弦长
弦长
设直线 l：y＝kx＋b 与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系
公式法
得弦长 l＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2]
三、本章考点分析
考点31直线与圆的方程的实际应用答题模板 应用直线与圆的方程解决实际问题 的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的 直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有 关知识求出结果；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
二、本章知识回顾
●2．1.2 两条直线平行和垂直的判定 ●1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直(重点). ●2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题(难点)．
二、本章知识回顾
●2．2 直线的方程 ●2．2.1 直线的点斜式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜

第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。

解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件,列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。

3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。

规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。

根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角）,t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负）。

5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。

1
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程
两直线的位置关系 线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．

3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
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7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线 方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）

第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。

直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

1.曲线与方程-1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；-2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，-2.求曲 方程-1建立适当的坐标系，用x,y表示曲线上任意一-点M的坐标；-2用坐标x,y表示关系式，即列出方程fx y=0;-3化简方程fx,y=0;-4验证x、y的取值范围。
方程注意点-1、特殊形式的方程都有一定的限制条件。-2、解题时应根据实际情况选用合适的形-式以利解题。-3 当我们决定选用某一特殊形式的方程-时，而又不知道其是否满足限制条件，-应加以讨论，或用特殊形式的变式。-返
点与直线-1、点与直线的位置关系-2、点关于直线对称的点坐标-3、直线关于点对称的直线方程-4、点到直线的 离-练习
高考题选-1、设k心1，fx=kx-1x∈R.在平面直角坐标系-xOy中，函数y=fx的图象与x轴交于A点 它的-反函数y=f-x的图象与y轴交于B点，并且这两-个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积-是3 则k等于-0-A3-D-2、已知点P到两定点M-1,0,N1,0距离的比为√2-点N到直线PM的距离为1， 直线PN的方程。-略解：直线PN的方程为：y=-x+1-分析：画图利用解三角形知识，先求∠PMN,再由正弦 理，-求出∠PNM,于是可得直线PN的斜率
两直线相交相关练习-1、光线自右上方沿直线y=2x-1射到x轴上一点M,-被x轴反射，则反射光线所在直线的 程是-y=-2x+1-2、已知△ABC的三边方程是AB:5x一y一12=0，-BC:x+3y+4=0,CA x一5y+12=0,则∠A-π-atctan-3、△ABC的三个顶点是A0,3,B3,3,C2,-0,直线 x=a将△ABC分割成面积相等的两部分，-则a的值是-返回
点与直线练习-1、已知直线☑十和☑-相交于点P2,3,则过点三的直线-方程为-2x+3y=1.-2、点P2 5关于直线x+y=1的对称点的坐标是A-A-4,-1B-5,-2C-6,-3D-4,-2）-3、已知△AB 的一个顶点为A3,-1,∠B被y轴平分，∠C-被直线y=x平分，则直线BC的方程是-A.2x-y+5=0B 2x-y+3=0C.3x-y+5=0D.x+2y-5=0-4、已知点a,2a>0到直线l:x一y+3=0的 离为1，则-a等于v2-1-返回

直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。

在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。

2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。

一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。

3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。

对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。

4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。

5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。

截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。

二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。

在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。

2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。

3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。

4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。

5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。

圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。

第12讲 直线和圆的方程【考点梳理】一、直线与方程 1.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在. (2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ(θ≠π2)，则k ＝tan__θ.3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d 三、圆的方程 1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)|MC |＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内.四、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：【解题方法和技巧】1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2.已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.3.判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．4.求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝.5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．【考点剖析】【考点1】直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）“21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根基两直线平行求出a 的值，再根据小范围推大范围选出答案. 【详解】因为直线1x ay +=与1ax y +=平行， 所以0a ≠ 且两直线的斜率相等即1a a-=解得1a =±； 而当1a =时直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意；当1a =-时，1x y -=与1x y -+=平行，满足题意；故1a =-，根据小范围推大范围可得：21a =是1a =-的必要不充分条件. 故选：B【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． (3)两直线平行时要注意验证，排除掉两直线重合的情况.2．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值； ③221a b +>； ④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞. 正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由M 与N 的位置关系有3450a b -+<，数形结合法判断M 位置，结合11b a +-的几何意义判断a b +、11b a +-的范围，应用点线距离公式有222a b +>判断③. 【详解】将(0,1)N -代入有304(1)590⨯-⨯-+=>，而M 与N 在3450x y -+=的两侧，则3450a b -+<，①错误；由上知：3450a b -+<且0a >，则M 在直线上方与y 轴右侧部分， 所以54a b +>，故a b +无最值，②错误； 由上图知：M 在直线左上方，则22222(134a b +>=+，③正确； 由3450x y -+=过5(0,)4且0a >且1a ≠，即M 在直线上方与y 轴右侧部分，而11b a +-表示(1,1)-与M 连线的斜率，由图知：193(,)(,)144b a +∈-∞-⋃+∞-，④正确. 故选：B 二、填空题3．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）直线2380ax y -+=与直线10x y --=垂直，则=a ______． 【答案】32-【分析】根据两直线垂直得230a +=，即可求出答案.【详解】由直线2380ax y -+=与直线10x y --=垂直得，32302a a +=⇒=-.故答案为：32-.4．（2022·上海·高三专题练习）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________ 【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=， 所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12， 所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=， 故答案为：220x y --=.5．（2022·上海·高三专题练习）求直线2x =-与直线310x y -+=的夹角为________. 【答案】6π【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π， 直线310x y -+=的斜率为3，倾斜角为3π， 故直线2x =-与直线310x y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．6．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线22145x y Γ-=：的左右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与Γ的左、右支分别交于点P 、Q （P 、Q 均在x 轴上方）．若直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F 的面积为206，则k =___________． 【答案】2±【解析】斜率相等，两条线平行，然后用余弦定理求出1PF 和2QF ，根据四边形 21PQF F 的面积为206建立等式解出tan θ即可.【详解】按题意作出图如下：由双曲线方程可得：2a =，3c =，因为直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，所以直线1PF ∥2QF ，在三角形12QF F 中，设2QF x =，则124QF a x x =+=+， 设2QF 的倾斜角为θ，则由余弦定理得()()22364cos 26x x x πθ+-+-=⨯，解得2523cos QF x θ==-，同理可得：1523cos PF θ=+，所以四边形21PQF F 的面积()121221155sin 6sin 2223cos 23cos S PF QF F F θθθθ⎛⎫=+⨯⨯=+⨯⨯=⎪+-⎝⎭解得sin θ=sin θ=tan k θ==故答案为：【点睛】两直线平行转化为：斜率相等或者向量平行； 两直线垂直转化为：斜率之积为1-或者向量数量积为0； 三、解答题7．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()22x xf x -=-.（1）设()()()112212,,,A x y B x y x x ≠是()y f x =图象上的两点，直线AB 斜率k 存在，求证：0k >；（2）求函数()()()22224x xg x mf x m R -=+-∈在区间0,1上的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）当38m ≥时，max ()2g x =；当38m <时，max 17()64g x m =-. 【分析】（1）由解析式判断()f x 的单调性，进而判断k 的符号，即可证结论.（2）由题设整理()g x ，令322[0,]2x xt --∈=有2()()42g x h t t mt ==-+，根据二次函数的性质可求区间最大值.【详解】（1）∵2x y =单调递增，2x y -=单调递减，∴()22x xf x -=-在定义域上是单调增函数，而2121y y k x x -=-， ∴0k >恒成立，结论得证.（2）由题意，有()222224(22)(22)4(22)2x x x x x x x xg x m m ----=+-⋅-=--⋅-+且[]0,1x ∈，令322[0,]2x xt --∈=，则2()42h t t mt =-+，开口向上且对称轴为2t m =，∴当324m ≤，即38m ≤时，max 317()()624h t h m ==-，即max 17()64g x m =-；当324m >，即38m >时，max ()(0)2h t h ==，即max ()2g x =；【考点2】直线的方程一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）若点1(,)M a b和1(,)N b c 都在直线:1l x y +=上，又点1(.)P c a 和点1(,)Q b c ，则A ．点P 和Q 都不在直线l 上B ．点P 和Q 都在直线l 上C ．点P 在直线l 上且Q 不在直线l 上D ．点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上【答案】B【详解】由题意得：1111a bb c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，易得点1,Q b c ⎛⎫⎪⎝⎭满足1 1b c += 由方程组得1111b a b c b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，两式相加得11c a +=，即点1,P c a ⎛⎫⎪⎝⎭ 在直线:1l x y +=上，故选B.2．（2022·上海·高三专题练习）如下图，直线l 的方程是（ ）A 330x y -B 3230x y -C 3310x y --=D ．310x -=【答案】D【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°， 所以斜率3tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0， 所以直线的点斜式方程可得l ：)301y x -=-，即310x y --=． 故选：D3．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,1【答案】A【分析】画出函数图像，由图可知，直线0k ≠，当0x ≥时，由1kx b =+，解得其中一根， 当0x <时，联立直线和函数方程，由韦达定理及三根之和为0，即可求解. 【详解】解：当0x ≥，1()1,1x f x x +==+ 当()1220,()1,11x x f x x x --++<==---+-所以1,0()21,01x f x x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩，画出图像：设直线方程为：y kx b =+，当0k =时，直线l 与函数()f x 的图像的交点个数不可能是3个, 故0k ≠，依题意可知，关于x 的方程()f x kx b =+有三个不等实根， 当0x ≥时，由1kx b =+，可解得1b x k -=，不妨令31bx k-=， 当0x <时，由211kx b x --=+-可得， 2(1)10(*)kx b k x b ++-+-=，则关于x 的方程（*）有两个不等负实根12,x x ， 则由韦达定理可得，121211,k b bx x x x k k---+==， 依题意可知123110k b b x x x k k---++=+=， 则2k b =，直线方程为：()21y kx b b x =+=+，故直线恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A.4．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是公比为()1q q ≠，首项为a 的等比数列，n S 是其前n 项和，则点()1,n n S S +（ ）A ．一定在直线y qx a =-上B ．一定在直线y ax q =+上C ．一定在直线y ax q =-上D ．一定在直线y qx a =+上【答案】D【分析】由于()()111111n n n n a q a q S qS qa qq++---=-=--，即可得出.【详解】∵()()111111n n n n a q a q S qS qa qq++---=-=--，∴1n n S qS a +=+，∴点()1,n n S S +一定在直线y qx a =+上. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 二、填空题5．（2022·上海奉贤·二模）构造一个二元二次方程组()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，使得它的解恰好为1112x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩，要求(),0f x y =与(),0g x y =的每个方程均要出现x ，y 两个未知数．答：________. 【答案】()()2235021100x y x y +-=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩【分析】不妨令(),0f x y =为过()1,2、()3,4-两点的直线，(),0g x y =为以()1,2、()3,4-两点为直径的圆，即可满足题意.【详解】过()1,2、()3,4-两点的直线为214231y x --=---，整理得350x y +-= ()1,2、()3,4-()1,2、()3,4-两点的中点坐标为()2,1-则以()1,2、()3,4-两点为直径的圆为()222(1)10x y -++=则可令(),0f x y =为350x y +-=，(),0g x y =为()222(1)10x y -++=故答案为：()()2235021100x y x y +-=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩6．（2022·上海·高三专题练习）在△ABC 中，3AC =，4AB =，5BC =，P 为角平分线AT 上一点，且在△ABC 内部，则P 到三边距离倒数之和的最小值为________ 【答案】1927012+ 【分析】先根据题意建立平面直角坐标系，求出BC 所在直线的方程为134x y+=和角A平分线AT 的方程为y x =，求出交点的坐标，令(,)P m m ，依题意知1207m <<，根据点到直线的距离表示出P 到三边的距离的倒数和，构造函数25()127f m m m =+-，1207m <<，利用导数求出函数的最小值． 【详解】由3AC =，4AB =，5BC =可知△ABC 为直角三角形，以A 为原点，以直角边AC 为x 轴，直角边AB 为y 轴建立平面直角坐标系，易知(0,4)B ，(3,0)C ，角A 平分线AT 的方程为y x =，由截距式知BC 所在直线的方程为134x y+=，即43120x y +-=，43120y x x y =⎧⎨+-=⎩ 解得1212(,)77T ，令(,)P m m 依题可知1207m <<， 由点到直线的距离公式知P 到BC 的距离为1275m-， 则P 到三边距离倒数之和为11525127127m m m m m++=+-- 令25()127f m m m =+-，1207m <<，则'22235()(127)f m m m =-+-，令'()0f m =，即有m =（该极值点在区间1207m <<上），当 0m <<'()0f m <，则()f m 递减；127m <<时，'()0f m >，则()f m 递增，min ()f m f ∴==【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、导数和函数的最值关系，培养了学生的计算能力、转化能力，属于中档题．7．（2022·上海·高三专题练习）已知直线l 过点(2,1)P -，直线l 的一个方向向量是()3,2d =-，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2132x y +-=- 【分析】利用直线的点方向式方程可得出结果.【详解】因为直线l 过点(2,1)P -，它的一个方向向量为()3,2d =-， 所以，直线l 的点方向式方程为2132x y +-=-. 故答案为：2132x y +-=-. 8．（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点1,0A 且法向量为()2,1n =的直线l 的一般式方程是______． 【答案】220x y +-=【分析】由法向量的定义求出直线方程法向式再化为一般式．【详解】设(,)P x y 是直线上任一点，则由0AP n ⋅=得直线方程为2(1)0x y -+=，即220x y +-=． 故答案为：220x y +-=．【考点3】两直线的位置关系一、单选题1．（2021·上海市七宝中学模拟预测）“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两直线垂直可求得m 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直，则220m m --=， 即220m m +-=，解得2m =-或1，因为{}2- {}2,1-，所以，“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的充分非必要条件. 故选：A. 二、填空题2．（2022·上海徐汇·二模）已知m ∈R ，若直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，则m =______________．【答案】3【分析】根据两条直线平行的充要条件列方程组求解即可得答案.【详解】解：因为直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，所以()29101231m m m ⎧-⨯=⎪⎨⨯+≠⨯⎪⎩，解得3m =，故答案为：3.3．（2022·上海市行知中学高二期中）若直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则=a ______. 【答案】2-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算即可.【详解】因为直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直， 所以()()1210a a ⨯+-⨯+=，解得2a =-， 故答案为：2-.4．（2022·上海宝山·二模）已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a =+<，令123||||||||n n S a a a a =++++，则m S 的值为__．【答案】52【分析】根据平行线的距离求出d 和m 的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可. 【详解】由题意知，0d ≠，因为两直线平行，所以121d =≠-2d =-，由两平行直线间距离公式得10m ==，由78a a ⋅=77(2)35a a ⋅-=，解得75a =-或77a =. 又410720a a a +=<，所以75a =-，即7165a a d =+=-， 解得17a =，所以1(1)29n a a n d n =+-=-+. 所以1012310S a a a a =++++|7||5||3||1||1||3||5||7||9|=++++-+-+-+-+-|11|52+-=．故答案为：52.5．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）若直线1:210l ax y a ++-=与直线2:230l x ay a ++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为______．【分析】利用直线平行可求得2a =-，代入距离公式即可得出结果.【详解】根据两直线平行，可得22(1)2(3)a a a a a ⋅=⨯⎧⎨-≠-⎩，解得2a =-，所以两直线的方程为：12:2230,:2250l x y l x y -+=-+=，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离2d =，【考点4】直线与圆的位置关系一、单选题1．（2022·上海·模拟预测）设集合(){}222Ω(,)()4,x y x k y kk k =-+-=∈Z ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上：（ ） A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立 D ．①不成立②不成立【答案】B【分析】根据圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系一一判断即可； 【详解】解：若①成立，则相邻两圆外离，不妨设相邻两圆方程为()222(4)k x k y k -+-=，圆心为()2,k k，半径1r =()()()2224111x k y k k -++=-+-，圆心为()()21,1k k ++，半径2r =2>当4k =时(222282360⎡⎤-=-->⎣⎦，2>成立，所以结论①成立；对于②，设直线l 的方程为y mx t =+，则圆心()2,k k到直线l 的距离d =，当k →∞时d r >，所以直线l 只能与有限个圆相交，所以结论②不成立； 故选：B2．（2022·上海·高三专题练习）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =.所以11222OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件. 二、填空题3．（2022·上海·模拟预测）设直线系:(1)cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ-+-=≤≤，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，使其所有边均在M 中的直线上； ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号） 【答案】②③【分析】令1cos 2sin x y θθ-=⎧⎨-=⎩，消去θ，即可得到直线系M 表示圆()()22121x y -+-=的切线的集合，即可判断①②③，再利用特殊值判断④；【详解】解：由直线系:(1)cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ-+-=≤≤，可令1cos 2sin x y θθ-=⎧⎨-=⎩，消去θ可得()()22121x y -+-=，故直线系M 表示圆()()22121x y -+-=的切线的集合，故①不正确； 因为对任意θ，存在定点()1,2不在直线系M 中的任意一条上，故②正确；由于圆()()22121x y -+-=的外切正n 边形，所有的边都在直线系M 中，故③正确；M 中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形ABC 和ADE 面积不相等，故④不正确．综上，正确的命题是②③． 故答案为：②③．4．（2022·上海·高三开学考试）已知点P 是直线3420x y +-=上的点，点Q 是圆22(1)(1)1x y +++=上的点，则PQ 的最小值是___________. 【答案】45【分析】由题意可得PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 【详解】圆22(1)(1)1x y +++=的圆心为(1,1)--，半径为1， 则圆心到直线3420x y +-=的距离为223429534d ---==+，所以PQ 的最小值为94155-=，故答案为：455．（2022·上海·高三专题练习）若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为________.【答案】16【分析】直接利用圆与直线的位置关系,建立一元二次方程根与系数的关系,进一步求出结果. 【详解】解：直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y , 则：22516x y x y +=⎧⎨+=⎩所以：221090x x -+=, 则125x x +=,1292x x , 则()()1112221255x x x y x y x x =-+-+121252x x x x25916故答案为：16【点睛】本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系的应用,一元二次方程根与系数的关系的应用. 6．（2022·上海·高三专题练习）过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【分析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y ,解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=.【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.7．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，过点(3,)P a -作圆2220x y x +-=的两条切线，切点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ．若21212121()()()(2)0x x x x y y y y -++-+-=，则实数a 的值等于____________． 【答案】4．【分析】取MN 中点Q ，设()1,0,(0,1)A B ，则利用斜率公式转化条件得1MN BQ k k ⋅=-，再结合圆的切线性质得1MN PA k k ⋅=-，即得BQ PA k k =，最后根据三点共线求结果．【详解】由2220x y x +-=得()2211x y -+=，圆心为1,0A ，设()0,1B ，取MN 中点Q ，由题意得1MN PA k k ⋅=-， 因为21212121()()()(2)0x x x x y y y y -++-+-= 所以21212121()(2)1()()y y y y x x x x -+-=--+，则1MN BQ k k ⋅=-因此BQ PA k k =，从而,,P A B 三点关系，即13110a -=---得4a = . 故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用斜率关系转化为三点共线问题求解．8．（2022·上海·y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．【分析】设直线AB的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +-=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +-=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b -=，解得1b =-或3b =，所以2AC =， 因为1BC =，故AB ==9．（2021·上海·高三专题练习）过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为,A B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为______．【答案】 【分析】设P （t ，2﹣t ），可得过O 、A 、P 、B 的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB 的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q 的坐标，由点Q 到直线的距离公式和不等式的性质可得． 【详解】∵点P 为直线:2l x y +=上的任意一点，∴可设(),2P t t -，则过O A P B 、、、的圆的方程为()2222212224t t x y t t -⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 化简可得()2220x tx y t y -+--=，与已知圆的方程相减可得AB 的方程为()21tx t y +-=， 由直线OP 的方程为()20t x ty --=， 联立两直线方程可解得2244tx t t =-+，22244t y t t -=-+，故线段AB 的中点222,244244t t Q t t t t -⎛⎫⎪-+-+⎝⎭，∴点Q 到直线l的距离2122d t t ==--+，∵()2222111t t t -+=-+≥，∴210122t t <≤-+， ∴211022t t -≤-<-+，∴2112222t t ≤-<-+，∴21222t t -<-+d ∈⎣故答案为⎣ 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．10．（2022·上海交大附中高三期中）圆C 的圆心C 在抛物线22y x =上，且圆C 与y 轴相切于点A ，与x 轴相交于P 、Q 两点，若9OC OA ⋅=（O 为坐标原点），则PQ =______．【答案】【分析】不妨设点C 在第一象限，设()2000,02y C y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()00,A y ，根据9OC OA ⋅=求出0y ，从而可求得圆C 的方程，求出,P Q 的坐标即可得解. 【详解】解：不妨设点C 在第一象限， 设()2000,02y C y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()00,A y ， 故()2200009,0,2y y OC y y OA ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⋅=，解得03y =， 故圆心9,32C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以圆C 的半径等于92，所以圆C 的方程为()22981324x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，当0y =时，3592x +=或3592-+， 所以3593593522PQ -++=-=. 故答案为：35.11．（2022·上海·高三专题练习）已知圆221:1x y ω+=，圆222:4x y ω+=，P 为1ω上的动点，M ､N 为2ω上的动点，满足23MN =PM PN ⋅的取值范围是___________. 【答案】[3,1]-【分析】先由勾股定理得出MN 的中点Q 的轨迹，再结合向量的运算得出23PM PN QP ⋅=-，最后由2[0,4]QP ∈得出PM PN ⋅的取值范围.【详解】设MN 的中点Q ，22||2(3)1OQ =-=，即MN 的中点Q 的轨迹是221x y +=，所以222()()3PM PN QM QP QN QP QP QM QP ⋅=-⋅-=-=-，又 220,2QP ⎡⎤∈⎣⎦，所以[3,1]PM PN ⋅∈-故答案为：[3,1]-12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________． 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，结合y 的范围，求出m 的范围即可． 【详解】解：曲线2:9C y x =--，是以原点为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分）， 并且[3P y ∈-，0]，对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的纵坐标2y =，21[,1]22py m +∴=∈-．故答案为：1[,1]2-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想． 三、解答题13．（2022·上海·模拟预测）如图，由半圆()22200，+=≤>x y r y r 和部分抛物线()()2100y a x y a =-≥>，合成的曲线C 称为“羽毛球开线”，曲线C 与x 轴有AB 、两个焦点，且经过点()23.，(1)求a r 、的值；(2)设()02N ，，M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点、、P A Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）11a r =⎧⎨=⎩；（2）min MN =3）存在，且1k =【分析】（1）将()23，代入()21=-y a x 求出1a =，再由21y x =-与x 轴交点坐标，代入圆的方程，即可求出1r =；（2）先设00(,)M x y ，得到=MN 00≤y ，和00≥y 两种情况，由抛物线与圆的方程，即可求出结果；（3）先由题意得到PQ 的方程，与抛物线联立，求出2(1,2)--Q k k k ；与圆联立，求出22212,11⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k P k k ，根据QBA PBA ∠=∠得到=-BP BQ k k ，化简得到关于k 的方程，求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意，将()23，代入()21=-y a x ，得到1a =；所以抛物线21y x =-； 又21y x =-与x 轴交于()1,0±，所以(1,0)(1,0)、-A B ，代入圆的方程，可得1r =； 所以1a =，1r =；（2）设00(,)M x y ，因为()02，N ，则MN当00≤y 时，22001=-x y ，所以=MN所以00y =时，min =MN当00≥y 时，2001=+x y ，=MN所以032=y 时，minMN<MN （3）由题意，可得：PQ 的方程为(1)y k x =-，由2(1)1y k x y x =-⎧⎨=-⎩，整理得：210x kx k -+-=， 解得1x =或1=-x k ，即2(1,2)--Q k k k ；由22(1)1y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得：2222(1)210+-+-=k x k x k 解得：1x =或2211-=+k x k ，则22212,11⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k P k k ，由QBA PBA ∠=∠，可得=-BP BQ k k ，即2222221111--+=--++kk k k k kk ，整理得2210--=k k，解得1=k因此，存在实数1k =QBA PBA ∠=∠.【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线与抛物线物位置关系即可，属于常考题型.14．（2022·上海·高三专题练习）某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=.（1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？ 【答案】（1）圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米；（2）1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈千元. 【分析】（1）直接利用锐角三角函数的定义可计算出两圆的半径； （2）设1M ADα，可得24M ADπα，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后得出总造价y （千元）关于α的函数表达式，并利用基本不等式可求出y 的最小值，利用等号成立求出对应的tan α的值，即可计算出两圆的半径长.【详解】（1）依题意，圆1M的半径1tan 306034.6M B AB =⋅==（米）， ()tan 60tan 4531tan15tan 604521tan 60tan 4513--=-===++圆2M 的半径(260tan1560216.1M C =⋅=≈（米） ，答：圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米； （2）设1M ADα，则24M ADπα，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故景观步道的总造价为260tan 0.8260tan 0.94y ππαπα⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭.1tan 2128tan 9128tan 911tan 1tan απαπααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()18181281tan 1712281tan 17841tan 1tan παπαπαα⎡⎤⎡⎤=++-≥⋅+⋅=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦（当且仅当()1tan 0,12α=∈时取等号）， 当()1tan 0,12α=∈时，1tan 1tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭， 答：设计圆1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈（千元）.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是建立函数模型的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【考点5】圆与圆的位置关系一、单选题1．（2020·上海·高三专题练习）已知,x y R ∈，且2220x y x ++<，则（ ）． A ．22680x y x +++< B ．22680x y x +++> C ．22430x y x +++< D ．22430x y x +++>【答案】B【分析】借助圆与圆关系确定选择. 【详解】222212(1)0x y x x y ++<∴++<,表示圆心为1(1,0)C -，半径为11r =的圆内部的点，范围记为P2222680(3)1x y x x y +++<∴++<表示圆心为2(3,0)C -，半径为21r =的圆内部的点，因为1212||2C C r r ==+，所以两圆外切，P 在A 中所表示的点的范围外，所以A 不成立； 2222680(3)1x y x x y +++>∴++>表示圆心为2(3,0)C -，半径为21r =的圆外部的点，因为1212||2C C r r ==+，所以两圆外切，P 在B 中所表示的点的范围内，所以B 成立； 2222430(2)1x y x x y +++<∴++<表示圆心为3(2,0)C -，半径为31r =的圆内部的点，因为121312||||1r r C C r r -<=<+，所以两圆相交，P 中有些点在C 中所表示的点的范围外，所以C 不恒成立； 2222430(2)1x y x x y +++>∴++>表示圆心为3(2,0)C -，半径为31r =的圆外部的点，因为121312||||1r r C C r r -<=<+，所以两圆相交，P 中有些点在D 中所表示的点的范围外，所以D 不恒成立； 故选：B【点睛】本题考查两圆位置关系，考查综合分析判断能力，属中档题.2．（2022·上海·高三专题练习）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞D ．(25,9)(11,)--+∞【答案】D【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解． 【详解】化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25+k ，则k ＞﹣25，圆心坐标为（3，4 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则|C 1C 2|1或|C 1C 2|1，即51或51， 解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11．∴实数k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）． 故选：D ．【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．3．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知圆C ：25cos 35sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），与圆C 关于直线0x y +=对称的圆的普通方程是（ ）. A ．22(3)(2)25x y ++-= B ．22(2)(3)25x y -++= C ．22(3)(2)5x y ++-= D ．22(3)(2)5x y ++-=【答案】A【分析】根据题意得圆C 的普通方程为22(2)(3)25x y ++-=，与圆C 对称的圆的圆心和圆C 的圆心关于直线0x y +=对称，半径和圆C 相同，求解计算即可.【详解】圆C ：25cos 35sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）转化为普通方程为22(2)(3)25x y ++-=，圆心为(2,3)-，半径为5，设圆C 关于直线0x y +=对称的圆的圆心为(,)a b ，半径为5， 所以点(2,3)-与点(,)a b 关于0x y +=对称，所以()230223112a b b a -+⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪+⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩， 所以对称的圆的圆心为(3,2)-，半径为5， 故对称的圆的普通方程是22(3)(2)25x y ++-=. 故选：A. 二、填空题4．（2020·上海·高三专题练习）若圆2225x y +=与圆22680x y x y m +-++=的公共弦长为8，则m =________.【答案】55-或5【分析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到d ＝|25|10m +＝3．从而解得m ＝﹣55或5． 【详解】解：x 2+y 2＝25① x 2+y 2﹣6x +8y +m ＝0② 两式相减得6x ﹣8y ﹣25﹣m ＝0．圆x 2+y 2＝25的圆心为（0，0），半径r ＝5．。

的斜率
k

y2
y1
x2 x1
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截
距是直线与 y 轴交点的纵坐标.
2.直线方程的五种形式.
(1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线 l 的方程为y-y0＝k(x-x0) (2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直 线l 的方程为y＝kx+b (3)两点式：设直线 l 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) x1≠ x2，y1≠y2则直线 l 的方程为(y-y1)/(y2-y1)＝(xx1)/(x2-x1) (4)截距式：设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0) 则直线l的方程为x/a+y/b＝1. (5)一般式：直线l的一般式方程为Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)
(
)
(A
(C)2x+y-7=0
(D)2y-x-4=0
6 曲线y=2x-x3在点(-1，-1)处的切线方程是( A )
A x+y+2=0 B x+y+3=0 C x+y+4=0 D x+y+5=0
能力·思维·方法
1.过点P(2，1)作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点， 当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求 直线l的方程.
3.经过点(2，1)，且方向向量为v=(-2,2)的直线l的方程 是__x_+_y_-_3_=_0_____.
4.过点(-1，1)在x轴与y轴上截距的绝对值相等的直线 有___2_条____.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|,
若 直 线 PA 的 方 程 为 x-y+1=0 ， 则 直 线 PB 的B方 程 为

圆幂定理
相交两圆的连心线段垂直平分 两圆交点连线，并且等于两圆 幂之差。
圆的几何性质的应用
在几何证明、作图和计算中经 常使用。
03
直线与圆的交点
直线与圆的位置关系
相交
直线与圆有两个交点，即 直线与圆相交。
相切
直线与圆有一个交点，即 直线与圆相切。
相离
直线与圆没有交点，即直 线与圆相离。
直线与圆交点的求解方法
通过直线与圆方程，研究几何图形的性质，如对称性、中心、顶点 等。
直线与圆在实际问题中的应用
交通路线规划
利用直线与圆方程，规划交通路线，确保路线最短、时间最省。
地理信息系统
在地理信息系统中，利用直线与圆方程，进行地图绘制和地理信 息分析。
机器视觉
在机器视觉中，利用直线与圆方程，进行图像处理和识别。
直线与圆在数学竞赛中的应用
数学竞赛中的几何证明
01
利用直线与圆方程，证明几何定理和性质。
数学竞赛中的最值问题
02
利用直线与圆方程，求解最值问题，如最大面积、最小周长等。
数学竞赛中的组合问题
03
利用直线与圆方程，解决组合问题，如排列、组合、概率等。
THANKS
感谢观看
（常数）。
斜率为零的直线，方程 为$y = b$（常数）。
方程为$y = x + b$（常 数）。
圆心在原点、半径为1的 圆，方程为$x^2 + y^2
= 1$。
02
圆的方程复习
圆的标准方程
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$是圆心，$r$是半径。

圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2．圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得0222rr by ax ，其中圆心坐标为b a,，半径为r ；当0,0b a时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r yx；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3．圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022F Ey Dx y x0422FED ；②圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项③二元二次方程022FEy Dx CyBxy Ax表示圆的必要条件是0C A 且0B ；二元二次方程022FEy Dx CyBxy Ax表示圆的充要条件是C A 且0B且0422AFED4．圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量将变量y x,联系起来的一个方程.①圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：(sincos r yr x 为参数）；②圆心在b a,，半径为r 的圆的参数方程是：(sincos r b yr a x 为参数）；5．圆方程之间的互化022F Ey Dx yx422FED配方44222222FE D E xD x即圆心22E ，D ，半径F EDr 42122利用222sincosr r r 得(sincos r byr a x 为参数）6．确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。

直线和圆--知识总结一、直线的方程 1、倾斜角：,X 围0≤α＜π,若x l //轴或与x 轴重合时,α=00. 2、斜率： k=tan αα=0⇔κ=0已知L 上两点P 1〔x 1,y 1〕 0＜α＜02>⇔k πP 2〔x 2,y 2〕 α=κπ⇔2不存在⇒k=1212x x y y --022<⇔<<κππ当1x =2x 时,α=900,κ不存在.当0≥κ时,α=arctank,κ＜0时,α=π+arctank 3、截距〔略〕曲线过原点⇔横纵截距都为0. 几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0③平行于x 轴：y=b④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程.②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线.5、直线系：〔1〕共点直线系方程：p 0〔x 0,y 0〕为定值,k 为参数y-y 0=k 〔x-x 0〕 特别：y=kx+b,表示过〔0、b 〕的直线系〔不含y 轴〕 〔2〕平行直线系：①y=kx+b,k 为定值,b 为参数.②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系〔3〕过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入〔A 2X+B 2Y+C 2〕=0〔不含L2〕 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+,②K AB =K BC ,③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上.二、两直线的位置关系2、L 1到L 2的角为0,则12121tan k k k k •+-=θ〔121-≠k k 〕3、夹角：12121tan k k k k +-=θ4、点到直线距离：2200BA c By Ax d +++=〔已知点〔p 0<x 0,y 0>,L ：AX+BY+C=0〕①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2221B A c c d +-=②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B Ad③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是5、对称：〔1〕点关于点对称：p<x 1,y 1>关于M 〔x 0,y 0〕的对称)2,2(1010Y Y X X P --' 〔2〕点关于线的对称：设p<a 、b>一般方法：如图：<思路1>设P 点关于L 的对称点为P 0<x 0,y 0> 则 Kpp 0﹡K L =－1P, P 0中点满足L 方程解出P 0<x 0,y 0>〔思路2〕写出过P ⊥L 的垂线方程,先求垂足,然后用中点坐标公式求出P 0<x 0,y 0>的坐标.P yL P 0x〔3〕直线关于点对称L ：AX+BY+C=0关于点P 〔X 0、Y 0〕的对称直线l '：A 〔2X 0-X 〕+B 〔2Y 0-Y 〕+C=0 〔4〕直线关于直线对称①几种特殊位置的对称：已知曲线f<x 、y>=0关于x 轴对称曲线是f<x 、-y>=0 关于y=x 对称曲线是f<y 、x>=0 关于y 轴对称曲线是f<-x 、y>=0 关于y= -x 对称曲线是f<-y 、-x>=0 关于原点对称曲线是f<-x 、-y>=0 关于x=a 对称曲线是f<2a-x 、y>=0关于y=b 对称曲线是f<x 、2b-y>=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征,逐步求解. 三、简单的线性规划不等式表示的区域约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划,可行解,最优解. 要点：①作图必须准确〔建议稍画大一点〕.②线性约束条件必须考虑完整.③先找可行域再找最优解. 四、园的方程1、园的方程：①标准方程 ()22)(r b y a x =-+-,c 〔a 、b 〕为园心,r 为半径.②一般方程：022=++++F EY DX y x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,2422FE D r -+=当0422=-+F E D 时,表示一个点. 当0422<-+F E D 时,不表示任何图形. ③参数方程： θcos r a x +=θsin r b y +=θ为参数以A 〔X 1,Y 1〕,B 〔X 2,Y 2〕为直径的两端点的园的方程是 〔X-X 1〕〔X-X 2〕+〔Y-Y 1〕〔Y-Y 2〕=02、点与园的位置关系：考察点到园心距离d,然后与r 比较大小.3、直线和园的位置关系：相交、相切、相离判定：①联立方程组,消去一个未知量,得到一个一元二次方程：△＞0⇔相交、△＝0⇔相切、△＜0⇔相离②利用园心c<a 、b>到直线AX+BY+C=0的距离d 来确定： d ＜r ⇔相交、d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离〔直线与园相交,注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt △〕 4、园的切线：〔1〕过园上一点的切线方程与园222r y x =+相切于点〔x 1、y 1〕的切线方程是211r y y x x =+与园222)()(r b y a x =-+-相切于点〔x 1、y 1〕的切成方程 为：211))(())((r b y b y a x a x =--+--与园022=++++F EY DX y x 相切于点〔x 1、y 1〕的切线是〔2〕过园外一点切线方程的求法：已知：p 0<x 0,y 0>是园 222)()(r b y a x =-+- 外一点①设切点是p 1<x 1、y 1>解方程组 先求出p 1的坐标,再写切线的方程②设切线是)(00x x k y y -=-即000=+--y kx y kx 再由r k y kx b ka =++--120,求出k,再写出方程.〔当k 值唯一时,应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线〕③已知斜率的切线方程：设b kx y +=〔b 待定〕,利用园心到L 距离为r,确定b. 5、园与园的位置关系由园心距进行判断、相交、相离〔外离、内含〕、相切〔外切、内切〕 6、园系①同心园系：222)()(r b y a x =-+-,〔a 、b 为常数,r 为参数〕 或：022=++++F EY DX y x 〔D 、E 为常数,F 为参数〕 ②园心在x 轴：222)(r y a x =+- ③园心在y 轴：222)(r b y x =-+④过原点的园系方程2222)()(b a b y a x +=-+- ⑤过两园0:111221=++++F Y E X D y x C 和0:222222=++++F Y E X D y x C 的交点的园系方程为0(2222211122=+++++++++F Y E X D y x F Y E X D y x 入〔不含C 2〕,其中入为参数若C 1与C 2相交,则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程.。

直线与圆的方程 复习重点一、重点知识结构一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、两条直线平行和垂直的充要条件、直线直线l 1到l 2的角以及两直线的夹角、的角以及两直线的夹角、点点到直线的距离公式也是重点内容；到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系； 3、会用二元一次不等式表示平面区域；、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

程的概念。

三、热点分析三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

但难度不会大。

四、复习建议四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的C| = 292929292134-n n 666633 OCOD12甲乙丙维生素A（单位/千克）600 700 400 维生素B（单位/千克）800 400 500 成本（元/千克）千克） 11 9 4 yp 13131+-kk ,xy3x-y=1304x+6y=320Mïmkbm m k 1)1()12(2+++-+的坐标为（a ，yxMABCO23+-a b OMMA OM322222232131313或221313且与2PBA On n+1 2)322(1)2||(||2222--523||||2222--55或5555,即4)2(222=+×-+(161)4=-}{++=21,23p1=\2121)()(++=-+-\两边平方，化简得1214)(++=-, 即212214)(++=-. 01>>+， \112++=-, 1112()++Þ-=Î．∴ 数列þýüîíì1是等差数列．是等差数列． (2) 由题设，11=，∴1212)1(111-=Þ×-+=, 4422)12(-====pppp, +×××++=21úûùêëé-++++=222)12(151311p £úûùêëé-×-++×+×+)12()32(15313111p＝þýüîíìúûùêëé---++-+-+)121321()5131()311(211p ＝úûùêëé--+)1211(211p23)12(223p pp <--=．。

B(3,0)为端点的线段有公共点，则直线b的值范围。 (3)两直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，
则实数a的取值范围是（ D ）
A.－1＜a＜2 B.a＞－1 C.a＜2 D.a＜－1或a＞2
(4)下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0， l3：2x－3my－4＝0不能构成三角形，求m的取 值集合．
反射光线所在的直线方程是A( )
A．x-2y-1=0 BB．x-2y+1=0 C．3x-2y+1=0 D．x+2y+3=0 x
A,
总结：四类对称关系。
10
例5： (1)已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2,－3),B(3,0)
为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的值范围。 (2)已知直线l的方程为y= -2x+b，且与以A(－2,3),
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
二、圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
Hale Waihona Puke yE 23
判断两条直线的位置关系
平行 重合
L1:y=k1x+b1 L2:Y=K2x+b2 （K1,k2均存在）
K1=K2且b1≠b2
K1=K2且b1=b2
L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0
（A1、B1 , A2 、 B2 均不同时为0）
A1B2 A2B1 0
相交 垂直
K1≠K2 K1k2=-1
8、点 A(0,1)和B(2, 0)关于直线l对称，则l的方程为 （B ）
A、2x 4y 3 0 B、4x 2y 3 0 C、2x 4y 3 0 D 4x 2y 3 0