2018年沈阳市中考数学试卷第25题说题稿(东北育才)

2018年沈阳市中考数学试卷第25题说题稿(东北育才)

【荣获说题比赛第一名】

精讲·深剖·慎思——细说2018年沈阳市中考数学试卷第25题

辽宁省沈阳市东北育才教育集团徐秋慧、何颀、陈熙

嫄

【原题】（2018•沈阳）25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C

1

：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B

（﹣1，﹣1），抛物线C

2

：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛

物线C

1交于点N，与抛物线C

2

交于点M．

（1）求抛物线C

1

的表达式；

（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；

（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线C

1

与y轴交于点P，

点M在y轴右侧的抛物线C

2

上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

【答案】

：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）（1）∵抛物线C

1

和点B（﹣1，﹣1）

：

∴，解得：，∴抛物线C

1

解析式为y=x2+x﹣1

（2）∵动直线x=t与抛物线C

交于点N，与抛物线

1

交于点M

C

2

∴N（t，t2+t﹣1），M（t，2t2+t+1）

∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2 （3）共分两种情况：

①当∠ANM=90°，AN=MN时，t2+t﹣1=1且t2+2=t+2，∴t=1

②当∠AMN=90°，AN=MN时，2t2+t+1=1且t2+2=t+2，∴t=0

故t的值为1或0

（4）满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）

一、就题讲题——精讲题目解法

（一）整体分析抓脉络

该题分4小题，依次为3分、1分、4分、4分，共

计12分。其中，第（1）、（2）题考查基本知识和基本技能；第（3）题难度有所提升，但仍属于常见题型，只是学生容易考虑不周全而漏解，所以这道小题是一个易错点；第（4）题要先根据题意画出图形，分类讨论的情况多，综合性强，无疑是本题的难点。

（二）逐题破解究对策

第（1）小题——用待定系数法，通过解二元一次方程组得解，运用的是方程的思想。

第（2）小题——用点的坐标表示竖直方向上两点的距离，运用的是数形结合思想。

第（3）小题——尽管题中给出了直角边MN，仍要分两种情况讨论，再分别根据等腰直角三角形的性质和水平方向上两点的坐标关系列出t的方程，进而通过解一元二次方程得解。经常听到老师这样的困惑：“这类题我都讲了多少遍了，一考试时还是有学生丢解。”其实，我们只告诉学生解法是不够的，还要追溯一下，究竟是什么产生的多个解？是没给定这个直角三角形中谁是直角吗？其实，这不是根本原因！归根究底是因为这里的动直线！是它的不确定，带来的多种情况。所以，更应该告诉学生：“遇到动态问题，就要注意不同位置考虑全。”在教学中，培养学生运动变化的观点，才是避免漏解的关键。

第（4）小题——得进一步以运动变化的视角想出所有合理的情形，并尽量准确地画出图形，这不仅考查学生的思维严密性，对学生的空间想象能力、动手操作能力、逻辑思维能力和分类讨论能力的要求都很高；接着，还要结合所画图形，找到恰当的着手点，再结合适当的方法去得解，这对学生综合运用知识的能力、分析问题和解决问题的能力的要求都很高。所以，本小题充分体现了“压轴”的作用。

因为第（4）小题在本压轴题中的压轴题，所以我们单独设置一个环节进行详细阐述——

（三）合理猜想寻突破

对于压轴题的最后一题，大多数学生头疼不已，甚至直接放弃。作为老师，我们又该如何帮助学生突破这困境呢？我会告诉学生：“按惯例，沈阳市中考压轴题的后面小题都要求‘直接写出’结果，而多数问题的结果并不繁杂，所以，准确作图，大胆猜想，往往就有意外收获。”这道题也不例外。

如果有些学生根据题意画出了图形，但还是毫无头绪，那么请标上点的坐标看一看。如果实在目测不出，请画几条网格再看看（如图1）。没错，数感好、几何直观能力强的学生已经看出了四种情况中的两个。

卡尔·高斯说“若无某种大胆果敢的猜想，一般是

不可能有知识进展的。”“数学猜想是数学发展中最活跃、

最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造

性的部分。（来自百度百科）”所以，遇到综合题不放弃，

通过观察或测量去合理猜想，就是我要教给学生们解这

类问题的第一个策略。

图 1 图2 图3

当然，仅仅观察表面是不能解决全部问题的，另一

关键是挖掘图中特殊的数量关系和位置关系。比如，本

题中的Q

3、Q

4

与Q

1

、Q

2

就是俩俩对称的，只需求出其中一

对点，另一对用求对称点的方法即可得。这样，就利用转化的思想把问题进行了分解。

那么接下来先求Q

1、Q

2

还是先求Q

3

、Q

4

呢？其实，直

接求哪个点都能求出来，但位置不规则时不好求。所以在有限的考试时间内，在兼顾答整张试卷的前提下，能顺利解决这类代数几何综合题的唯一法宝一定是从特殊的数量关系和位置关系入手。所以，要么利用所发现的全等三角形（如图2），要么利用所看出的轴对称（如图3），就将这道综合题进一步破解为分散的、基本的知识点，接下来再进行或几何推理、或代数运算，虽方法多样，但也就没有必要详说了。

综上，学生基础知识要学牢，运算、作图等基本技能要过关，书写过程要规范，这样才能在压轴题上“保（1）争（2）破解（3）”；勤练习的同时要多思考，学会分析、形成方法最重要，准确作图、合理猜想找特殊，这样才能在错综复杂的第（4）小题里把思绪找。

二、就题辨题——深剖题目内涵

通过以上讲述，不难看出——

（一）科学性

本题考查的知识点：列代数式、解二元一次方程组、解数字系数的一元二次方程、求二次函数的解析式、坐标与图形位置、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质和图形的变换，还在不同解题方法中或用到一次函数解