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陕西省2019年九年级上学期10月月考数学试题C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2016﹣a﹣b的值是（）A．2018B．2011C．2014D．20212 . 在下列方程中，一元二次方程的个数是（）①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣=0．A．1个B．2个C．3个D．4个3 . 如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5C．+1D．4 . 如图，正方形ABCD的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在B处，两边与CD及其延长线交于E、F，若CE=1，则BF的长为（）A．B．C．D．5 . 如图，菱形ABCD中，∠A=60°,AB=6,⊙A,⊙B的半径分别为4和2，P,E,F分别是线段CD，⊙A,⊙B上的动点，则PE+PF的最大值为（）A．B．C．D．66 . 下列说法正确的是（）A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径平分这条直径D．弦的垂直平分线经过圆心二、填空题7 . 关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有两个实根，则k的取值范围是_____．8 . 如图，把一个圆分成三个扇形，则圆心角∠AOB=______度．9 . 在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．10 . 若，是方程的两个实数根，则______.11 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ取最小值时，Q点的坐标为_____．12 . 当________时，方程是一元二次方程．13 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点A．则图中阴影部分的面积为__．14 . 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是________．15 . 如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD，若AD＝3，AC＝2，则cosB的值为________．16 . 如图，点A、B在半径为3的⊙O上，以OA、AB为邻边作平行四边形OCBA，作点B关于OA的对称点D，连接CD，则CD的最大值为________.三、解答题17 . 若是一元二次方程的根，，，试比较A、B的大小。
济南市稼轩中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，OB AC ⊥，OB 与AC 相交于点H ，21012BC AC CD ===，．（1）求⊙O 的半径； （2）求AD 的长；（3）若E 为弦CD 上的一个动点，过点E 作EF//AC ，EG//AD ． EF 与AD 相交于点F ，EG 与AC 相交于点G ．试问四边形AGEF 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ；M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+，以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值． （4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．4．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点F ，直线132y x =+与抛物线交于()()2266A B -，，，两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点E 是线段OC 上的一个动点(不与端点重合)，过点E 作//EG BC 交BF 于点C ，连接DE DG ，．（1）求抛物线的解析式及点F 的坐标； （2）当DEG ∆的面积最大时，求线段EF 的长；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点()4H n ，和点P ，使EHP ∆为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．5．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2115:L y x bx a a=+-的顶点D 在第四象限，且经过(1,)A m n +，(1,)(0,0)B m n m n ->>两点直线AB 与y 轴交于点C ，与抛物线的1L 对称轴交于点E ，8AC BC ⋅=，点E 的纵坐标为1． （1）求抛物线1L 所对应的函数表达式；（2）若将直线AB 绕着点E 旋转，直线AB 与抛物线1L 有一个交点Q 在第三象限，另一个交点记为P ，抛物线2L 与抛物线1L 关于点P 成中心对称，抛物线2L 的顶点记为1D ． ①若点Q 的横坐标为-1，抛物线1L 与抛物线2L 所对应的两个函数y 的值都随着x 的增大而增大，求相应的x 的取值范围；②若直线PQ 与抛物线2L 的另一个交点记为Q ，连接1PD ，11Q D ，试间：在旋转的过程中，1PDQ ∠的度数会不会发生变化？请说明理由． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-+与抛物线交于B ，D 两点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求m 的值和D 点坐标；（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫-⎪⎝⎭，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．7．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．8．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．点D 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点D 作DE x⊥轴于点E ．设点D 的横坐标为(04)m m <<．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标； （2）线段DE 的长用含m 的式子表示为 ；（3）以DE 为边作矩形DEFC ，使点F 在x 轴负半轴上、点G 在第三象限的抛物线上． ①如图2，当矩形DEFC 成为正方形时，求m 的值；②如图3，当点O 恰好是线段EF 的中点时，连接FD ，FC ．试探究坐标平面内是否存在一点P ，使以P ，C ，F 为顶点的三角形与FCD ∆全等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．9．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBS S=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； （4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．11．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是“和谐点”．（1）点M （1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P （a ，3）是第一象限内的一个“和谐点”，3x ay =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程y x b =-+的解，求a ，b 的值．（2）如图②，点E 是线段PB 上一点，连接OE 并延长交AP 的延长线于点Q ，若点P （2，3），2OBE EPQ S S ∆∆-=，求点Q 的坐标；（3）如图③，连接OP ，将线段OP 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段11O P ．若M 是直线11O P 上的一动点，连接PM 、OM ，请画出图形并写出OMP ∠与1MPP ∠，1MOO ∠的数量关系．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.13．在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE=2∠MAD．（一种方法即可）14．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BO于H．连接OG、CG．(1)求证：AH=BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由； (3)若OG ⊥CG ，BG=32，求△OGC 的面积．15．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(0)4，，直线CM x ∥轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；16．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，BC ＝9，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，CP ＝3x ，CQ ＝4x （0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上． （1）求证：PQ ∥AB ；（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；（3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且12≤T ≤16，求x 的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若60180MPN ︒︒≤∠<，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在123(1,0),(1,1),(0,2)P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以3,(0)3m m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝32-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=2，E 为AB 的中点，设点P 是∠DAB 平分线上的一个动点（不与点A 重合）． （1）证明：PD=PE ．（2）连接PC ，求PC 的最小值．（3）设点O 是矩形ABCD 的对称中心，是否存在点P ，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP 的长．20．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝13AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为934，求线段AC的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）⊙O的半径为10，（2）AD长为19.2，（3）存在，四边形AGEF的面积的最大值为34.56．【解析】【分析】（1）如图1利用垂径定理构造直角三角形解决问题．（2）如图2在（1）基础上利用圆周角和圆心角的关系证明△OCH∽△DCK，求出Dk，再据垂径定理求得AD．（3）如图3以平行四边形AGEF的面积为函数，以AG边上的高为自变量，列出一个二次函数，利用二次函数的最值求解．【详解】（1）如图1连接OC ，因为OB AC ⊥,根据垂径定理知 HC=1112622AC =⨯= 在RT △BCH 中 ∵210BC = ∴由勾股定理知：2222BH (210)62BC HC =-=-=∴OH=OB-BH=OB-2 又∵OB=OC所以在RT △OCH 中，由勾股定理可得方程：2222)6OC OC -+=（ 解得OC=10．（2）如图2，在⊙O 中：∵AC=CD ，∴OC ⊥AD （垂径定理） ∴AD=2KD ，∠HCK=∠DCK 又∵∠DKC=∠OHC=90° ∴△OCH ∽△DCK ∴KD DC HO OC= ∴DC 1248KD=8105HO OC =⨯==9.6 ∴AD=2KD=19.2．本题与⊙O 无关，但要运用前面数据．作FM ⊥AC 于M ，作DN ⊥AC 于N ，显然四边形AGEF 为平行四边形，设平行四边形AGEF 的面积为y 、EM=x 、DN=a （a 为常量）， 先运用(2)的△OCH ∽△DCK ，得CK=7.2． 易得△DFE ∽△DAC ， ∴DN-EM EFDN AC =（相似三角形对应高之比等于相似比） ∴DN EMAG=EF=AC DN- ∴AG=12()aa x - ∴平行四边形AGEF 的面积y=212()1212a x x x x a a -=-+(0＜x ＜a ） 由二次函数知识得，当x=12a1222a-=-⨯时，y 有最大值． 把x=2a 代入到中得，12EF AC = ∴此时EF 、EG 、FG 恰是△ADC 的中位线 ∴四边形AGEF 的面积y 最大=111S 34.56222ADC AD CK ∆=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查与圆有关线段的计算、与二次函数有关的几何最值问题．（1）的关键是利用垂径定理构造直角三角形，最后用勾股定理进行计算．（2）的关键是运用与圆有的角的性质证明相似，再进行计算．（3）难点是分清图形的变与不变，选择恰当的变量并列出函数关系式．2．（1）2134y x x =-++；（2）（32，0）；（3）①见解析；②CM =231或CM =123+【解析】（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =及旋转的性质，证明△EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长． 【详解】 （1）∵点()6,0C在抛物线上，∴103664b c =-⨯++，得到6=9b c +， 又∵对称轴2x =， ∴2122()4b b x a =-=-=⨯-， 解得1b =， ∴3c =，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++；（2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为2134y x x =-++，对称轴为2x =，()6,0C∴点A （2，0），顶点B （2，4）， ∴AB=AC=4，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1=45°；∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ， ∴FM=CM ，∠2=∠1=45°， 设点M 的坐标为（m ，0）， ∴点F （m ，6-m ）， 又∵∠2=45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°， ∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ， 直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，∵直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 整理得：213204x m +-=，∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32， 点M 的坐标为（32，0）． 当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点． 综上，点M 的坐标为（32，0）． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵2PC 2）知∠BCA=45°， ∴PG=GC=1， ∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ， ∴EM=PM ，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°， ∴∠HEM=∠GMP ， 在△EHM 和△MGP 中，EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ）， ∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1， ∴点H （m-1，0），∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；∴22(12)(50)m m --+--221634m m -+ 又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0）， ∴点D （4，2），∴22(14)(52)m m --+--221634m m -+ ∴EA= ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ． ②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时，把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0， 解得：m=523+m=523-， ∴CM =231或CM =123+． 【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键． 3．（1）1b =；（2）120,4m m ；（3）71m =-；（4）03m <<或4m >．【解析】 【分析】（1）将A 点坐标代入函数解析式即可求得b 的值；（2）分别表示出P 、Q 、M 的坐标，根据Q 、M 的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ 和MQ 的长度，根据矩形PQMN 是正方形时PQ MQ =，即可求得m 的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m 的值；（4）分1m ，13m <<，3m =，3m >四种情况讨论，结合图形分析即可． 【详解】解：（1）将点()3,0A 代入21322y x bx =-++ 得21303322b =-⨯++， 解得b=1,；（2）由（1）可得函数的解析式为21322y x x =-++， ∴213,22P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,∵PQ l ⊥于点Q ， ∴233,122m m Q ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭+, ∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+，∴3(3,)2m M -+， 若点Q 与点M 重合，则2133222m m m -++=-+， 解得120,4m m ；（3）由（2）可得|3|PQm ，223131)2222|(()||2|MQ m m mm m，当矩形PQMN 是正方形时，PQ MQ = 即212|2||3|m m m ， 即22123m m m 或22123mm m ，解22123m m m 得1271,71m m ， 解22123mm m 得3233,33m m ，又2131(1)2222y x x x =-++=--+， ∴抛物线的顶点为(1，2)， ∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P 点在抛物线对称轴左侧，即1m <，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即322m，解得12m <-，故m 的值为71；（4）①如下图当1m 时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，且P 点应该在x 轴上侧， 即2313222m m m 且213022m m -++>， 解2313222m m m得04m <<， 解213022m m -++>得13m -<<， ∴01m <≤，②如下图当13m <<时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标， 即2313222mm m，解得04m <<， ∴13m <<；③当3m =时，P 点和M 点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意； ④如下图当3m >时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该大于P 点纵坐标， 即2313222mm m，解得0m <或4m >， 故4m >，综上所述03m <<或4m >． 【点睛】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M 、P 、Q 的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论． 4．（1）抛物线的解析式为21142y x x =-，点F 的坐标为()20，；（2）4EF =；（3）点P 的坐标为()()()466121456---，，，，，或()22.-， 【解析】 【分析】（1）因为抛物线经过原点，A,B 点，利用待定系数法求得抛物物线的解析式，再令y=0，求得与x 轴的交点F 点的坐标。
2022-2023学年济南市历城区稼轩中学九年级（上）月考数学试卷一、选择题（每题4分）1．如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是（ ） A ．35B ．45C ．34D ．433．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A ．15个B ．20个C ．30个D ．35个4．若关于x 的一元二次方程2304kx -=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＝0B ．13k -≥且k ≠0C ．13k -≥D ．13k >-5．若()13,A y -，21,2B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()32,C y 在二次函数22y x x c =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．213y y y <<B ．132y y y <<C ．123y y y <<D ．321y y y <<6．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，若∠AOC ＝120°，则∠D 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．45°7．如图，点D （0，3），O （0，0），C （4，0）在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin OBD ∠=（ ）A ．12B ．34C ．45D ．358．如图，当ab ＞0时，函数2y ax =与函数y bx a =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在平面直角坐标系中，在△OAB 中，点A 在x 轴上，OA ＝OB ＝6，函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象经过点B 与AB 边的中点D ，则k 的值为（ ）A ．24B ．C ．36D ．10．已知函数245y x ax =-+（a 为常数），当x ≥4时，y 随x 的增大而增大，()11,P x y ，()22,Q x y 是该函数图象上的两点，对任意的1215a x -≤≤和2215a x -≤≤，1y ，2y 总满足21254y y a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－1≤a ≤2B ．2≤a ≤3C ．1≤a ≤2D ．2≤a ≤4二、填空题（每题4分）11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝3，AC ＝10，则AE 的长为 ．12．将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是 。
2 中学初三年级第一次月考数学试题一、选择题（3×8=24）1、下列函数中，y 是x 的反比例函数的有（ ） (1)y =-πχ (2)xy =2 (3)y =2x 2 (4)y = x1 (5)y =x 12+ (6)y =11+x (7)y =x 21- (8)y =21-x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、已知反比例函数y =xk 2-的图像位于第一、三象限，则k 的取值范围是（ ）A.k ＞2B.k ≥2C.k ≤2D.k ＜23、若点A （1，1y ）B （2,2y ）都是反从例函数y=xk （k ＞0）的图象上，则1y与2y 的大小关系是（ ）A.1y ＜2y B.1y ≤2y C.1y ＞2y D.1y ≥2y4、正比例函数y =x 6的图象与反比例函数y =x6的图像的交点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第二、四象限 D.第一、三象限 5、下列方程中，一元二次方程有（ ）① x x =5 ①(x -3)2-6＝0 ①x 2 =1 ①7x (x -2)=7x 2 ①ax 2+bx +c=0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、一元二次方程x 2-2x -4=0的根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根7、若一元二次方程2x (kx -4)-x 2-6=0有实数根，则k 的最小整数值是（ ）A.-1B.0C.1D.28、若关于x 的一元二次方程x 2+kx +4k 2-3=0的两个实数根分别是1x .2x ,且满足1x +2x =1x .2x ，则k 的值为（ ）A.-1或43B.-1C.43 D.不存在 二、填空题（3×6=18）9、如图，已知A 点是反比例函数y =xk （k ≠0）的图像上一点，AB①y 轴于B ，①ABO 的面积为5，则k 的值为 。
10、已知反比例函数y =x6在第一象限的图像，如图所示，点A 在其图象上，点B 在x 轴的正半轴上，连结A0、AB,且AO=AB,则①AOB 的面积= 11、若y =x 2与双曲线y =xk的一个交点是(36),则另一个交点是 12、若关于x 的一元二次方程kx 2+3x +1=0有两不相等的实数根，则k 的取值范围是13、关于x 的一元二次方程（m -2）x 2+2x +m 2+m -6=0有一个实数根为0，则m 的值是14、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，第三边长为acm ，且满足a 2-10a+21=0，则此三角形的周长为 。
2019-2020年九年级数学上学期第一次月考试题华东师大版一、选择题：（每题3分，共 30分） 1 、式子：①a ；②；③1 x ；④x 2 ；⑤x ；⑥5 x 2 1 ；⑦ a 2 2⑧ 3b 2 中是二次根式的代号为（）A 、①②④⑥ B、②④⑧C 、②③⑦⑧D、①②⑦⑧2 、计算：18 ÷3 × 4的结果是（）43A 、 0 B、 4 2C、 22 D、 323 、以下说法中，正确的选项是（）A、假如ab cd ，那么 acB、ababbdbdC、方程 x 2x 20的根是 x 1 1, x 2 2D 、 (x1)2 x 14、若分式方程6m 1 有增根， 则它的增根是（）（ x 1）(x1)x 1A 、 0B 、 1C、－ 1 D 、± 15 一元二次方程k2 x 23xk 2 4 0 有一个解为 0，则 k 的值( )A、±2B、2C、－ 2D、随意实 数6、已 知 210 ，21 0 ，且，的值为（）A 、2 B、 -2 C、-1 D、07 、若方程 x 24 xa 0 无实数根，则化简16 - 8a a 2 等于（）A 、 4-aB 、 a-4C 、 -a-4D 、没法确立8 、若正比率函数 y=(a-1)x的图像过第一、 三象限， 化简 (1 a)2 的结果是（）A 、 a-1B、1-aC、（ a-1) 2D 、- （ 1-a) 29、某工厂改良工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品 250元，降低到了每件 160元，设均匀每个月的降低率为 x , 则可列方程（ ）A 、250（ 1-x ） =160B 、250（ 1-x ） 2=160C 、250（ 1-x 2） =160D 、250（ 1-2x ）=160 10 、已知三个对于 y 的方程： y 2y a0 ， (a 1) y 22y1 0 和 (a2) y 22y 1 0 ，若 此中起码有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( )A 、 a 2B 、 a1或 1 x 2C 、 a 1 D、1a 144二、填空题：（ 每题3 分，共 18 分）11、若a 3 3 a 存心义，则 a ＝。
武汉市 2019 届 10 月九年级上月考数学试卷含答案解析一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30分）1．方程 4x2﹣ x+2=3 中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A． 4、﹣ 1、﹣ 1B． 4、﹣ 1、 2 C． 4、﹣ 1、3D． 4、﹣ 1、52．方程 x（ x﹣ 1） =2 的解是（）A． x=﹣ 1B． x=﹣ 2C． x1 =1， x2=﹣ 2D． x1=﹣1， x2=23．若 x ， x是一元二次方程 x2+4x+3=0 的两个根，则x +x的值是（）1212A． 4 B． 3 C．﹣ 4 D．﹣ 34．抛物线 y=2（ x+3）2﹣5 的顶点坐标是（）A．（﹣ 3，﹣ 5）B．（﹣ 3，5） C．（ 3，﹣ 5） D．（ 3， 5）5．如图，△ ABC中，∠ C=65°，将△ ABC绕点 A顺时针旋转后，可以得到△ AB′C′，且C′在边 BC上，则∠ B′C′B的度数为（）A．56°B．50°C．46°D．40°6．若关于x 的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠ 0）的解是x=1，则﹣ a﹣b 的值是（）A． 2019B．C．D．7．近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅年月退休金为1500 元，年达到2160元．设李师傅的月退休金从年到年年平均增长率为x，可列方程为（）A．（ 1﹣ x）2=1500B． 1500（ 1+x）2=2160C． 1500（ 1﹣ x）2=2160D． 1500+1500（ 1+x） +1500（1+x）2=21608．如图，已知△ABC中，∠ C=90°， AC=BC=，将△ ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则 C′B的长为（）A． 2B．C．1D． 19．已知α是一元二次方程2x 22x 3=0 的两个根中大的根，下面α 的估正确的是（）A． 0＜α＜B．＜α＜1C． 1＜α＜D．＜α＜210．如：在△ABC中，∠ ACB=90°，∠ B=30°，AC=1， AC在直 l 上，将△ ABC点 A旋到位置①，可得到点P1，此 AP1=2；将位置①的三角形点P1旋到位置②，可得到点P2，此 AP2=2+；将位置②的三角形点P2旋到位置③，可得到点P3，可得到点P3，此 AP3=3+；⋯，按此律旋，直到得到点P 止，AP=（）A． +672B． +671 C ． +672D． +671二、填空（共 6 小，每小 3 分，共 18 分）11．在平面直角坐系中，点P（ 2， 3）关于原点称点P′的坐是．12．如果二次函数y=（ 1 2k）x23x+1 的象开口向上，那么常数k 的取范是．13．关于 x 的一元二次方程（p 1） x2x+p21=0 一个根0，数p 的是．14．明德小学了美化校园，准在一32 米， 20 米的方形地上修筑两条度相同的道路，余下部分作草坪，在有一位学生了如所示的方案，求中道路的是米，草坪面540 平方米．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c 分别交坐标轴于A（﹣ 2， 0）、 B（ 6， 0）、 C（ 0， 4），则0≤ ax2 +bx+c＜ 4 的解集是．16．如图所示，在菱形ABCD中， AB=4，∠ BAD=120°，△ AEF为正三角形，点E、 F 分别在菱形的边BC、 CD上滑动，且 E、 F 不与 B、 C、 D重合．当点E、 F 在 BC、 CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是．三、解答题（共8 小题，共 72 分）17．解方程： x2+5x=﹣ 2．18．已知抛物线y=x2﹣ 4x+5．求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．19．为了应对市场竞争，某手生产厂计划用两年的时间把某种型号的手机的生产成本降低64%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数．20．已知一元二次方程x2﹣ 4x+k=0 有两个实数根．（1）求 k 的取值范围；（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣ 4x+k=0 与 x2+mx﹣ 1=0 有一个相同的根，求此时m的值．21．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣ 2， 3）， B（﹣ 6， 0）， C（﹣1， 0）．（1）请直接写出点 B 关于点 A 对称的点的坐标；（2）将△ ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点 B 的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、 B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标．22．某商场在 1 月至 12 月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1（元 / 件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本 y2（元 / 件）与销售月份x（月）满足y2=，月销售量 y3（件）与销售月份x（月）满足y3 =10x+20．（1）根据图象求出销售价格y1（元 / 件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤ x ≤12 且 x 为整数）（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？（6≤ x≤ 12 且 x 为整数）23．如图，等边三角形ABC和等边三角形DEC，CE和 AC重合， CE=AB．（1）求证： AD=BE；（2）若 CE绕点 C 顺时针旋转 30 度，连 BD交 AC于点 G，取 AB的中点 F 连 FG．求证：BE=2FG；（3）在（ 2）的条件下AB=2，则 AG=．（直接写出结果）24．如图，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A（﹣ 1， 0）、 B（ 5， 0）两点，交y 轴于点 C（ 0， 5）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，求△ BCD的面积；（3）在（ 2）的条件下， P、Q为线段 BC上两点（ P 左 Q右，且 P、Q不与 B、 C 重合），PQ=2 ，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△ PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．- 学年九年级（上）月考数学试卷（ 10 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1．方程 4x2﹣ x+2=3 中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A． 4、﹣ 1、﹣ 1B． 4、﹣ 1、 2C． 4、﹣ 1、3 D． 4、﹣ 1、5【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．【解答】解：∵方程4x2﹣ x+2=3 化成一般形式是 4x2﹣ x﹣ 1=0，∴二次项系数为 4，一次项系数为﹣ 1，常数项为﹣ 1，故选： A．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（ a，b， c 是常数且 a≠0）特别要注意 a ≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项， bx 叫一次项， c 是常数项．其中a，b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．方程 x（ x﹣ 1） =2 的解是（）A． x=﹣ 1B． x=﹣ 2C． x1 =1， x2=﹣ 2D． x1=﹣1， x2=2【考点】解一元二次方程- 因式分解法．【分析】观察方程的特点：应用因式分解法解这个一元二次方程．【解答】解：整理得：x2﹣ x﹣ 2=0，（x+1）（ x﹣ 2） =0，∴x+1=0 或 x﹣ 2=0，即x1 =﹣ 1， x2=2故选 D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．若 x1， x2是一元二次方程x2+4x+3=0 的两个根，则x1+x2的值是（）A． 4B． 3C．﹣ 4 D．﹣ 3【考点】根与系数的关系．【分析】根据x1+x 2=﹣即可得．【解答】解：∵x1， x2是一元二次方程x2+4x+3=0 的两个根，∴x1+x 2=﹣ 4，故选： C．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，x1， x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠ 0）的两根时， x1 +x2=﹣，x1x2=．4．抛物线y=2（ x+3）2﹣5 的顶点坐标是（）A．（﹣ 3，﹣ 5）B．（﹣ 3，5） C．（ 3，﹣ 5） D．（ 3， 5）【考点】二次函数的性质．【分析】由于抛物线y=a（ x﹣ h）2 +k 的顶点坐标为（h， k），由此即可求解．2【解答】解：∵抛物线y=2（x+3）﹣ 5，故选 A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．5．如图，△ ABC中，∠ C=65°，将△ ABC绕点 A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边 BC上，则∠ B′C′B的度数为（）A．56°B．50°C．46°D．40°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质和∠C=65°，从而可以求得∠ AC′B′和∠ AC′C的度数，从而可以求得∠ B′C′B的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点 A 顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边 BC上，∴AC=AC′，∠ C=∠AC′B′，∴∠ C=∠AC′C，∵∠ C=65°，∴∠ AC′B′=65°，∠ AC′C=65°，∴∠ B′C′B=180°﹣∠ AC′B′﹣∠ AC′C=50°，故选 B．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．若关于x 的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠ 0）的解是x=1，则﹣ a﹣b 的值是（）A． 2019B．C．D．【考点】一元二次方程的解．【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出 b 的值．【解答】解：∵一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠ 0）的解是 x=1，∴a+b+5=0，即 a+b=﹣ 5，∴﹣ a﹣ b=﹣（ a+b）=﹣（﹣ 5） =2019，故选 A．【点评】此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．7．近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅年月退休金为1500 元，年达到2160元．设李师傅的月退休金从年到年年平均增长率为x，可列方程为（）A．（ 1﹣ x）2=1500B． 1500（ 1+x）2=2160C． 1500（ 1﹣ x）2=21602D． 1500+1500（ 1+x） +1500（1+x） =2160【专题】增长率问题．【分析】本题是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设李师傅的月退休金从年到年年平均增长率为x，那么根据题意可用x 表示今年退休金，然后根据已知可以得出方程．【解答】解：如果设李师傅的月退休金从年到年年平均增长率为x，那么根据题意得今年退休金为：1500 （ 1+x）2，列出方程为： 1500 （1+x）2=2160．故选： B．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（ 1+x）2=b， a 为起始时间的有关数量， b 为终止时间的有关数量．8．如图，已知△ABC中，∠ C=90°， AC=BC=，将△ ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则 C′B的长为（）A． 2﹣B．C．﹣1D． 1【考点】旋转的性质．【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△ B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交 AB′于 D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解．【解答】解：如图，连接BB′，∵△ ABC绕点 A 顺时针方向旋转60°得到△ AB′C′，∴AB=AB′，∠ BAB′=60°，∴△ ABB′是等边三角形，∴A B=BB′，在△ ABC′和△ B′BC′中，，∴△ ABC′≌△ B′BC′（SSS），∴∠ ABC′=∠B′BC′，延长 BC′交 AB′于 D，则 BD⊥AB′，∵∠ C=90°， AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=× 2=1，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故选： C．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出 BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．9．已知α是一元二次方程2x 2﹣ 2x﹣ 3=0 的两个根中较大的根，则下面对α 的估计正确的是（）A． 0＜α＜B．＜α＜1C． 1＜α＜D．＜α＜2【考点】解一元二次方程- 公式法；估算无理数的大小．【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：△=（﹣ 2）2﹣ 4× 2×（﹣ 3） =28，x==，由意得，α=，∵2＜＜ 3∴＜α＜ 2，故： D．【点】本考了解一元二次方程，估算无理数的大小的用，正确解出方程、掌握估算无理数的大小的方法是解的关．10．如：在△ABC中，∠ ACB=90°，∠ B=30°，AC=1， AC在直 l 上，将△ ABC点 A旋到位置①，可得到点P1，此 AP1=2；将位置①的三角形点P1旋到位置②，可得到点P2，此 AP2=2+；将位置②的三角形点P2旋到位置③，可得到点P3，可得到点P3，此 AP3=3+；⋯，按此律旋，直到得到点P 止，AP=（）A． +672B． +671 C ． +672D． +671【考点】旋的性；含30 度角的直角三角形；勾股定理．【】律型．【分析】先求出△ABC三的，再依次算AP 、 AP、 AP、⋯，每旋三次，A123到 P 的距离三角形的周，增加一次，度增加2，增加 2 次，度增加2+，增加3 ，度增加周3+；因此要算AP=的度，要先算除以3，商是多少，余数是多少，从而得出果．【解答】解：在Rt△ ABC中，∵∠ B=30°， AC=1，∴A B=2， BC= ，由旋得： AP1 =AB=2，AP =AP+P P =2+，2112AP =AP+P P +P P =3+，31 1 223⋯∵÷ 3=671⋯2，∴AP=671（3+）+2+=+672，故 A．【点】本是旋，也是形律；考了含30°角的直角三角形的性和勾股定理，此的解思路：①先表示出直角三角形各；②因要算AP的，所以从AP1、 AP2、 AP3、依次算，并律，如果看不出可以多算几个度．二、填空（共 6 小，每小 3 分，共 18 分）11．在平面直角坐系中，点P（ 2， 3）关于原点称点P′的坐是（2，3）．【考点】关于原点称的点的坐．【】常型．【分析】平面直角坐系中任意一点P（x， y），关于原点的称点是（x， y）．【解答】解：根据中心称的性，得点P（ 2， 3）关于原点的称点P′的坐是（2， 3）．故答案：（2， 3）．【点】关于原点称的点坐的关系，是需要的基本．方法是合平面直角坐系的形．12．如果二次函数y=（ 1 2k）x23x+1 的象开口向上，那么常数k 的取范是k＜．【考点】二次函数的性．【分析】由抛物开口向上，可得到关于k 的不等式，可求得k 的取范．【解答】解：∵二次函数y=（ 1 2k） x23x+1 的象开口向上，∴1 2k＞ 0，解得 k＜，故答案： k＜．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向由二次项系数的正负决定是解题的关键．13．关于 x 的一元二次方程（p﹣ 1） x2﹣ x+p2﹣ 1=0 一个根为0，则实数p 的值是﹣1．【考点】一元二次方程的解．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0 代入原方程，然后解关于p 的一元二次方程．另外注意关于x 的一元二次方程（p﹣ 1） x2﹣ x+p2﹣ 1=0 的二次项系数不为零．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（p﹣ 1） x2﹣ x+p2﹣ 1=0 一个根为0，∴x=0 满足方程（ p﹣ 1） x2﹣ x+p2﹣ 1=0，∴p2﹣ 1=0，解得， p=1 或 p=﹣ 1；又∵ p﹣ 1≠0，即 p≠ 1；∴实数 p 的值是﹣ 1．故答案是：﹣ 1．【点评】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，将原方程的解代入原方程，建立关于 p 的方程，然后解方程求未知数 p．14．明德小学为了美化校园，准备在一块长32 米，宽 20 米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪，现在有一位学生设计了如图所示的方案，求图中道路的宽是 2 米时，草坪面积为 540 平方米．【考点】一元二次方程的应用．【专题】计算题；应用题．【分析】如果设路宽为xm，耕地的长应该为32﹣ x，宽应该为20﹣x；那么根据耕地的面积为 540m2，即可得出方程，求解即可．【解答】解：设道路的宽为x 米．依题意得：（32﹣ x）（ 20﹣ x）=540，解之得 x1=2， x2=50（不合题意舍去）．答：道路宽为2m．故答案为2．【点评】本题考查一元二次方程的应用，难度中等．可将耕地面积看作一整块的矩形的面积，根据矩形面积 =长×宽求解．215．如图，抛物线y=ax +bx+c 分别交坐标轴于A（﹣ 2， 0）、 B（ 6， 0）、 C（ 0， 4），则【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】根据点A、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C的对称点的坐标，然后写出即可．【解答】解：∵A（﹣ 2， 0）、 B（ 6，0），∴对称轴为直线x==2，∴点 C 的对称点的坐标为（4， 4），∴0≤ ax2+bx+c ＜4 的解集为﹣ 2≤ x＜0 或 4＜ x≤ 6．故答案为：﹣ 2≤ x＜0 或 4＜x≤ 6．【点评】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到 C 点的对称点的坐标．16．如图所示，在菱形ABCD中， AB=4，∠ BAD=120°，△ AEF为正三角形，点E、 F 分别在菱形的边BC、 CD上滑动，且 E、 F 不与 B、 C、 D重合．当点E、 F 在 BC、 CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是．【考点】菱形的性质；等边三角形的性质．【分析】先求证AB=AC，进而求证△ ABC、△ ACD为等边三角形，得∠ 4=60°，AC=AB进而求证△ ABE≌△ ACF，可得 S△=S△，故根据S 四边形=S△+S△=S△+S△=S△即可解ABE ACF AECF AEC ACF AEC ABE ABC题；当正三角形AEF的边 AE与 BC垂直时，边AE最短．△ AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△=S 四边形﹣S△，则△CEF AECF AEFCEF的面积就会最大．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠ BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠ 1=∠ 3，∵∠ BAD=120°，∴∠ ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠ 4=60°， AC=AB，∴在△ ABE和△ ACF中，，∴△ ABE≌△ ACF（ ASA），∴S△=S△，ABE ACF∴S 四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥ BC于 H 点，则 BH=2，∴S=S = BC?AH= BC?=4 ，四边形 AECF △ ABC由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边 AE与 BC垂直时，边 AE最短，∴△ AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又∵ S△CEF=S四边形AECF﹣ S△AEF，则此时△ CEF的面积就会最大，∴S△=S 四边形﹣S△=4﹣× 2×=．CEF AECF AEF故答案为：【点评】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键．三、解答题（共8 小题，共 72 分）2【考点】解一元二次方程- 配方法．【分析】利用配方法即可求出方程的解．【解答】解： x2+5x+=，（x+ ）2= ，x=【点评】本题考查一元二次方程的解法，本题采用配方法求解，属于基础题型．18．已知抛物线y=x2﹣ 4x+5．求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出开口方向，顶点坐标和对称轴．【解答】解：∵y=x 2﹣ 4x+5，∴y= （ x﹣ 2）2 +1，∵a=1＞ 0，∴该抛物线的开口方向上，∴对称轴和顶点坐标分别为：x=2，（ 2，1）．【点评】本题考查了抛物线解析式与二次函数性质的联系．顶点式y=a（ x﹣h）2 +k，当 a ＞0 时，抛物线开口向上，当a＜ 0 时，抛物线开口向下；顶点坐标为（h， k），对称轴为x=h．19．为了应对市场竞争，某手生产厂计划用两年的时间把某种型号的手机的生产成本降低64%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】可设原来的成本为1．等量关系为：原来的成本×（1﹣每年下降的百分数）2=原来的成本×（ 1﹣ 64%），把相关数值代入求合适解即可．【解答】解：设每年下降的百分数为x．1×（ 1﹣ x）2=1×（ 1﹣ 64%），∵1﹣ x＞ 0，∴1﹣ x=0.6 ，∴x=40%．答：每年下降的百分数为 40%．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（ 1± x）2=b．20．已知一元二次方程x2﹣ 4x+k=0 有两个实数根．（1）求 k 的取值范围；（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣ 4x+k=0 与 x2+mx﹣ 1=0 有一个相同的根，求此时m的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】（ 1）方程 x2﹣ 4x+k=0 有两个实数根，即知△≥0，解可求k 的取值范围；（2）结合（ 1）中 k≤ 4，且 k 是符合条件的最大整数，可知k=4，把 k=4 代入 x2﹣4x+k=0中，易解x=2，再把 x=2 代入 x2+mx﹣ 1=0 中，易求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣ 4x+k=0 有两个实数根，∴△≥ 0，即16﹣ 4k≥ 0，解得 k≤ 4；（2）∵ k≤4，且 k 是符合条件的最大整数，∴k=4，解方程 x2﹣ 4x+4=0 得 x=2，把 x=2 代入 x2+mx﹣ 1=0 中，可得4+2m﹣ 1=0，解得 m=﹣．【点评】本题考查了根的判别式、解不等式，解题的关键是知道△≥0? 方程有两个实数根．21．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣ 2， 3）， B（﹣ 6， 0）， C（﹣1， 0）．（1）请直接写出点 B 关于点 A 对称的点的坐标；（2）将△ ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点 B 的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、 B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标．【考点】作图 - 旋转变换．【分析】（ 1）点 B 关于点 A 对称的点的坐标为（2， 6）；（2）分别作出点 A、 B、 C 绕坐标原点 O逆时针旋转 90°后的点，然后顺次连接，并写出点B 的对应点的坐标；（3）分别以 AB、 BC、 AC为对角线，写出第四个顶点D 的坐标．【解答】解：（1）点 B 关于点 A 对称的点的坐标为（2， 6）；（2）所作图形如图所示：，点 B' 的坐标为：（0，﹣ 6）；（3）当以 AB为对角线时，点 D坐标为（﹣ 7， 3）；当以 AC为对角线时，点 D 坐标为（ 3，3）；当以 BC为对角线时，点 D 坐标为（﹣ 5，﹣ 3）．【点评】本题考查了根据旋转变换作图，轴对称的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．22．某商场在 1 月至 12 月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1（元 / 件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本 y2（元 / 件）与销售月份x（月）满足y2=，月销售量 y3（件）与销售月份x（月）满足y3 =10x+20．（1）根据图象求出销售价格y1（元 / 件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤ x ≤12 且 x 为整数）（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？（6≤ x≤ 12 且 x 为整数）【考点】二次函数的应用．【分析】（ 1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据销售额减去销售成本，可得销售利润，根据函数的性质，可得最大利润．【解答】解：（ 1）设销售价格 y1（元 / 件）与销售月份 x（月）之间的函数关系式为y1=kx+b（6≤ x≤ 12），函数图象过（ 6， 60）、（ 12， 100），则，解得．故销售价格y1（元 / 件）与销售月份x（月）之间的函数关系式y1 =x+20（6≤ x≤12且x为整数）；（2）由题意得 w=y1?y3﹣ y2?y3即w=（x+20 ） ?（10x+20 ）﹣x?（ 10x+20）化简，得w=20x2 +240x+400，∵a=20， x=﹣=﹣=﹣ 6 是对称轴，当 x＞﹣ 6 时， w 随 x 的增大而增大，∴当 x=12 时，销售量最大，W最大 =20× 122+240× 12+400=6160，答： 12 月份利润最大，最大利润是6160 元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用了函数的减区间求函数的最大值．23．如图，等边三角形ABC和等边三角形DEC，CE和 AC重合， CE=AB．（1）求证： AD=BE；（2）若 CE绕点 C 顺时针旋转 30 度，连 BD交 AC于点 G，取 AB的中点 F 连 FG．求证：BE=2FG；（3）在（ 2）的条件下AB=2，则 AG=．（直接写出结果）【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（ 1）由三角形 ABC和等三角形 DEC都是等边三角形，得到∠ BCE=∠ACD=60°，CE=CD， CB=CA，则△ CBE≌△ CAD，从而得到 BE=AD．（2）过 B作 BT⊥ AC于 T，连 AD，则∠ ACE=30°，得∠ GCD=90°，而C E=AB，BT=AB，得 BT=CD，可证得Rt △ BTG≌ Rt △ DCG，有BG=DG，而 F 为 AB的中点，所以 FG∥ AD， FG= AD，易证 Rt△ BCE≌ Rt △ ACD，得到BE=AD=2FG；（3）由（ 2） Rt △ BTG≌ Rt △DCG，得到 AT=TC，GT=CT，即可得到 AG= ．【解答】解：（1）证明：∵三角形ABC和等三角形DEC都是等边三角形，∴∠ BCE=∠ACD=60°， CE=CD， CB=CA，∴△ CBE≌△ CAD，∴B E=AD．（2）证明：过 B 作 BT⊥ AC于 T，连 AD，如图：∵CE绕点 C 顺时针旋转30 度，∴∠ ACE=30°，∴∠ GCD=90°，又∵ CE=AB，而 BT=AB，∴B T=CD，∴R t △ BTG≌ Rt △ DCG，∴ BG=DG．∵F 为 AB的中点，∴FG∥ AD，FG=AD，∵∠ BCE=∠ACD=90°，CB=CA， CE=CD，∴R t △ BCE≌ Rt △ ACD．∴ BE=AD，∴B E=2FG；（3）∵ AB=2，由（ 2） Rt△ BTG≌ Rt△ DCG，∴A T=TC， GT=CG，∴G T= ，∴AG= ．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及三角形中位线的性质．24．如图，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A（﹣ 1， 0）、 B（ 5， 0）两点，交y 轴于点 C（ 0， 5）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，求△ BCD的面积；（3）在（ 2）的条件下， P、Q为线段 BC上两点（ P 左 Q右，且 P、Q不与 B、 C 重合），PQ=2 ，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△ PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（ 1）直接把点 A（﹣ 1， 0）、 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）代入抛物线 y=ax2+bx+c ，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；（2）作 DE⊥ AB于 E，交对称轴于F，根据（ 1）求得的解析式得出顶点坐标，然后根据S△BCD=S△ CDF+S△ BDF即可求得；（3）分三种情况：①以点 P 为直角顶点；②以点 R 为直角顶点；③以点 Q为直角顶点；进行讨论可得使△ PQR为等腰直角三角形时点 R 的坐标．【解答】解：（ 1）∵抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴交于两点 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（0， 5）∴，解得．∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5；（2）由 y=﹣ x2 +4x+5=﹣（ x﹣ 2）2+9 可知顶点D的坐标为（ 2， 9），作DE⊥ AB于 E，交对称轴于 F，如图，∴E（ 2， 0），∵B（ 5， 0）， C（ 0， 5）∴直线 BC的解析式为y= ﹣ x+5，把x=2 代入得， y=3，∴F（2，3），∴DF=9﹣ 3=6，S△=S△+S△=×6× 2﹣× 6×（5﹣2）=× 6× 5=15；BCD CDF BDF（3）分三种情况：①以点 P 为直角顶点，∵P Q=2 ，∴RQ= PQ=4∵C（ 0， 5）， B（ 5， 0），∴OC=OB=5，∴∠ OCB=∠OBC=45°，∵∠ RQP=45°∴RQ∥ OC可求得直线BC的解析式为设R（ m，﹣ m2+4m+5），则2则 RQ=（﹣ m+4m+5）﹣（﹣解得 m=4， m=1，12∵点 Q在点 P 右侧，∴m=4，y=﹣ x+5，Q（ m，﹣ m+5）m+5） =4∴R（ 4， 5）；②以点 R 为直角顶点，∵P Q=2 ，∴RQ=PQ=222设 R（ m，﹣ m+4m+5）则 Q（ m，﹣ m+5），则 RQ=（﹣ m+4m+5）﹣（﹣ m+5） =2，解得 m=，m=，12∵点 Q在点 P 右侧，∴m=，∴R（，）；③以点 Q为直角顶点，∵P Q=2 ∴ PR= PQ=4∵C（ 0， 5）， B（ 5， 0）∴OC=OB=5∴∠ OCB=∠OBC=45°∵∠ RPQ=45°，∴PR∥ OB设R（ m，﹣ m2+4m+5），则 P（ m﹣ 4，﹣ m2+4m+5），把P（ m﹣ 4，﹣ m2+4m+5）代入 y=﹣ x+5，得﹣（ m﹣ 4） +5=﹣ m2+4m+5解得 m=4， m=1，12此时点 P（0， 5）因为点 P 在线段 BC上运动，且不与B、C 重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．综上所述：当R （ 4， 5）或（（，）时，△ PQR为等腰直角三角形．【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，顶点坐标，面积计算，等腰直角三角形的判定与性质，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．。
2019届山东省九年级上学期10月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2﹣7=3y+1B．5x2﹣6y﹣2=0C．x﹣=+xD．ax2+（b﹣3）x+c+5=02. 三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定3. 下列命题正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形4. 正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线平分一组对角 B．对角线相等C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等5. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．20 B．16 C．12 D．106. 关于x的方程3x2﹣2x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定7. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0 C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=08. 两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1，2，3，4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（）A． B． C． D．9. 2012年张掖市政府投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计2014年投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（）A．2（1+x）2=9.5 B．2（1+x）+2（1+x）2=9.5C．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 D．2（1+x）=9.5二、填空题10. 一元二次方程2x2+4x=1的二次项系数、一次项系数及常数之和为．11. ▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围为．12. 顺次连接一个对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是形．13. 从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是．14. 在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比为1：2：3，AB边上的中线长为4cm，则△ABC面积等于 cm2．15. 若关于x的方程3x2+mx+m﹣6=0有一根是0，则m= ．16. 如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为度．17. 如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在E处，折痕为MN，则线段CN的长是．18. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠B AD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD，若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，PD的长，四边形ABEF的面积．三、解答题19. 解方程（1）2x2+4x﹣3=0（配方法解）（2）5x2﹣8x+2=0（公式法解）（3）3（x﹣5）2=2（5﹣x）（4）（3x+2）（x+3）=x+14．20. 小明和小芳做配紫色游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，（1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；（2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由．21. 已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）∠AEF=∠AFE．22. 某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出1辆．该4S店要想平均每周的销售利润为90万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？23. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？24. D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？（3）当OA与BC满足时，四边形DGEF是一个矩形（直接填答案，不需证明．）25. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。
济南稼轩中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等； ②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =，DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=， ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．【答案】（1）k＞34；（215【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，22m n+，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】解：（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，∴k＞34；(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，设方程的两个根为m，n，∴m＋n＝5，mn＝5，()222215m n m n mn+=+-=.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，5．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案② 【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x ，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x ，依题意得，4000（1-x ）2=3240 解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元 方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠 考点：一元二次方程的应用二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．已知函数2266()22()x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ）（1）当a ＝1时，①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围【答案】（1）①2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩，②(1,1),(31),(31)--+--；（2）0a <或2635a <<；（3）1a -<，1153a <<，113a <<-【解析】 【分析】（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；（3）先求出266y x ax a =-+的对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()221ax a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a aa +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可． 【详解】（1）①1a =时，2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩②当1x >时，2661x x -+=-2670x x -+=1233x x ==当1x ≤时，2221x x -++=-2230x x --=121,3x x =-=（舍）∴坐标为(1,1),(31),(31)---- （2）当0a <时266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点顶点坐标为()23,96a a a -+当x a =时，256y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点将①的两边同时除以a ，解得65a <； 将②的两边同时除以a ，解得23a > ∴2635a << 即当2635a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点，综上，0a <或2635a <<（3）266y x ax a =-+的对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a + ①当a ＜0时，()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +由()210a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-当2221561a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：1a-<；当2221561a aa a⎧+>⎨-+>-⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点解得：315a+-+<<，与前提条件a＜0不符，故舍去；②当a≥0时，()222y x ax a x a=-++≤中，当x=a时，y的最大值为22a a+，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1而()266y x ax a x a=-+>，此时当x=3a时，y的最小值为296a a-+，由()2310a--≤可得2961a a-+≤，即此图象必有一个点到x轴的距离为1当222221561961961a aa aa aa a⎧+<⎪-+>⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点解得：115a<<-+且13a≠；当222221561961961a aa aa aa a⎧+<⎪-+<⎪⎨-+<-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点此不等式无解，故舍去；当222221561961961a aa aa aa a⎧+>⎪-+<⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点此不等式无解，故舍去；综上：315a--<或1153a<<或113a<<-【点睛】此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．7．如图1，抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，23126y x x =-；（3）①()2212123n n y x x n -=-≥⨯，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（12b ，12b ），D 1（12b ，12b-）， ∵B 1在抛物线c 上，则12b =(12b )2， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1， 故答案为1，2；（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，222,22bb D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 解得24b =或20b =（不合舍去），()22,2D ∴-2D 在抛物线2C 上，()22224a ∴-=-.解得212a =. 2C ∴的解析式是()2142y x x =-，即22122y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.()33,0A b ∴.由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，333,22b b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 3B 在抛物线2C 上，2333122222b b b ⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =（不合舍去）， ()36,6D ∴-3D 在抛物线3C 上，()366612a ∴-=-.解得316a =. 3C ∴的解析式是()31126y x x =-，即23126y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()2212123n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =-⨯，2201920171223y x x =-⨯. 当0x ≠时，220182019201620171110233y y x ＞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 20182019y y ∴＞.【点睛】本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．8．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.(3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点.【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得 396a =+13a ∴=- ∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBA S n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=()21336233t t t ⎛⎫∴-=--++ ⎪⎝⎭化简得()1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ 13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+,-3)3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD =+=+=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径 则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m += ∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.9．如图，已知抛物2(0)y ax bx c a=++≠经过点,A B，与y轴负半轴交于点C，且OC OB=，其中B点坐标为(3,0)，对称轴l为直线12x=．(1)求抛物线的解析式；(2) 在x轴上方有一点P，连接PA后满足PAB CAB∠=∠，记PBC∆的面积为S ，求当10.5S=时点P的坐标(3)在(2)的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线BC上下平移，平移后的10.5S=时点P的坐标；直线y x t=+与抛物线交于,C B''两点(C'在B'的左侧)，若以点,,C B P''为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．【答案】（1）211322y x x=--（2）(2,6)（3）19或32【解析】【分析】（1）确定点A的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；（2）确定直线AP的解析式，用m表示点P的坐标，由面积关系求S和m的函数关系式即可求解；（3）先确定点P的坐标，当'''90B PC∠=，利用根与系数的关系确定'''B C的中点E的坐标，利用''2B C PE=建立方程求解，当''''90PC B∠=时，确定点G的坐标，进而求出直线''C G的解析式，得出点''C的坐标即可得出结论．【详解】（1）∵OC OB=，且B点坐标为(3,0)，∴C点坐标为(0,3)-．设抛物线解析式为21()2y a x k=-+．将B、C两点坐标代入得254134a ka k⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得12258ak⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴抛物线解析式为22112511()-322822y x x x =-=--． （2）如图1，设AP 与y 轴交于点'C ．∵PAB CAB ∠=∠，OA OA =，90AOC AOC ∠'=∠=︒，∴AOC ∆≌AOC ∆'，∴3OC OC ='=，∴(0,3)C '．∵对称轴l 为直线12x =， ∴(2,0)A -，∴直线AP 解析式为332y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ，∴直线BC 解析式为-3y x =，∴313(3)622PF x x x =+--=+， ∴13924PBC S OB PF x ∆=⨯⨯=+， ∵10.5S =，∴3910.54x +=， ∴2x =． 此时P 点的坐标为(2,6)．（3）如图2，由211-322332y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得6,12P （）， 当90C PB ∠=''︒时，取''B C 的中点E ，连接PE ．则2B C PE ''=,即224B C PE =''．设1122(,),(,)B x y C x y ''． 由211-322y x x y x t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t --+=， ∴12123,(26)x x x x t +==-+， ∴点33(,)22E t +， 222221212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t ⎡⎤=-+-=-+-=+⎣=⎦''，222233261(6)(1221222PE t t t =-+-=-+）， ∴226116664(21)2t t t +=-+， 解得：19t =或6（舍去），当90PC B ''''∠=︒时，延长C P ''交BC 于H ，交x 轴于G ．则90,45BHG PGO ∠=︒∠=︒，过点P 作PG x ⊥轴于点Q ，则12GQ PQ ==，∴(18,0)G ，∴直线C G ''的解析式为18y x =-+， 由211-322-18y x x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得725x y =-⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩（舍去）， ∴(7,25)C '-'，将(7,25)C '-'代入y x t =+中得32t =．综上所述，t 的值为19或32．【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．10．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大． 故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点， ②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.（1）连接OP ，求线段OP 的长；（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，【答案】（1）37OP =；（2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）． 【解析】【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =，再利用勾股定理，即可求出OP 的长度；（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN ，作∠CJN 的角平分线，与直线OP 相交与点D ，然后由所学的性质，求出点D 的坐标即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，连接OP ，∵AP∥OB，∴∠PAC=60θ=︒，∵PC⊥OA，∴∠PCA=90°，∵点P的斜坐标是()3,6，∴OA=3，AP=6，∴1 cos602ACAP︒==，∴3AC=，∴226333PC=-=，336OC=+=，在Rt△OCP中，由勾股定理，得226(33)37OP=+=；（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，∴∠COP=∠BOQ，∵OB=OC=6，∴△COP≌△BOQ（SAS）；∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，∴∠EBQ=60°，∵EQ∥OC，∴∠BEQ=60°，∴△BEQ是等边三角形，∴BE=EQ=BQ=3，∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，∵点Q在第四象限，∴点Q的斜坐标为（9，3-）；（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，∴点D为OP的中点，∵点P的坐标为（3，6），∴点D的坐标为（32，3）；②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，∵∠COJ=60°，∴△OCJ是等边三角形，∴∠CJN=120°，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，∴△CJD≌△NJD（SAS），∴∠JCD=∠JND=90°，则由角平分线的性质定理，得CD=ND；过点D作DI∥x轴，连接DJ，∵∠DJN=∠COJ=60°，∴OI∥JD，∴四边形OJDI是平行四边形，∴ID=OJ=JN=OC=6，在Rt△JDN中，∠JDN=30°，∴JD=2JN=12；∴点D的斜坐标为（6，12）；综合上述，点D的斜坐标为：（32，3）或（6，12）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．12．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．13．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12 m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12 m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE ，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ，∴BD=EC ．（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE．∵DB=DE ，∠BDC=60°，∴△BDE 是等边三角形，∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE ，∵AB=BC ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD=EC ，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ．∴AD+CD=BD ．（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．14．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B （0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S≤30334+．【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD22AD AC-，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-34）=30334-，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（3430334+综上所述，303344-≤S ≤303344+． 【点睛】 本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．15．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22）【解析】【分析】。
2019-2020 年九年级数学上学期第一次月考试题华东师大版学校班级姓名得分（总分： 120 分考试时间：120 分钟）一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1 、以下各式中，必定是二次根式的是（）A、－43C 、 x2+1D、 x-1 B 、 2a2、以下二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）。
A、18B、30C、48D、543、以下方程中，是对于x 的一元二次方程的是：（）A 、 2x2+2x=x(2x+2)B 、 3x2+y=0C、 5x2+5+3=0D、 (a 2+2)x 2-3x+2=0x4、方程 x2-4x-3=0 根的状况是（）A、有两个不相等的实数根; B 、有两个相等的实数根;C、有一个实数根 ;D、没有实数根5、以下计算中，正确的选项是（）A、23 42 65B、27 3 3C、3332 66D、( 3)236 、某型号的手机连续两次降阶，每个售价由本来的1185 元降到 580 元，设每次降价的百分率为x ，则列出方程正确的选项是()A、 580(1+x) 2 =1185B、 1185(1+x) 2 =580C、580(1-x)2=1185D、 1185(1-x) 2 =5807、对于 x 的方程 ax2+bx+c=0, 若知足 a-b+c=0 ，。
则方程（） .A、必有一根为 1B、必有两相等实根C、必有一根为－ 1D、没有实数根。
8、已知（ x－ 1）2＋=0，则（ x＋y）2的算术平方根是（）y2A、±1B、 1C、－ 1D、 09 、若方程 (m-1)x 2+m x-2=0是对于 x 的一元二次方程，则 m的取值范围是（）。
A、 m = 0B、 m ≠ 1C、 m ≥ 0 且 m ≠ 1D、 m 为任意实数10、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（）。
A、 (x+4) 2=9B、 (x-4)2=9C、 (x+8) 2=23D、 (x-8)2=9二、填空（每 3 分，共 18分）11、化：12______ ,32 =________。
