高斯投影坐标正算公式
高斯投影坐标正反算公式
2.2.2. 1高斯投影坐标正算公式： B, x,y
高斯投影必须满足以下三个条件：
⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即
式中，x为的偶函数，y为的奇函数；，即，
如展开为的级数，收敛。
（2-10）
式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。
由第三个条件知：
分别对和q求偏导数并代入上式
(2-11)
上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即
(2-12)
(2-12)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(2-10)式第一式中，当时有：
(2-13)
顾及(对于中央子午线)
得：
(2-14,15)
(2-16)
依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式
(2-17)
2.2.2. 2高斯投影坐标反算公式
x,y B,
投影方程：
(2-18)
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
⑴由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与
的关系式，仿照式有，
由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数。
(2-19)
是待定系数，它们都是x的函数.
由第三条件知：
，
， (2-20)
(2-19)式分别对x和y求偏导数并代入上式
上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，
第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。
也就是在底点展开为y的幂级数。
由(2-19)1式
依次求得其它各系数
(2-21)
(2-21)1
…………
将代入(2-19)1式得
(2-22)1
(2-22)
将代入(2-19)2式得(2-23)2式。
(最后表达式) ⑵求与的关系。
由式知：
(2-23)
(2-24)
按台劳级数在展开
(2-25)
(2-25) 由式可求出各阶导数：
(2-26)
(2-27)1
(2-27)2
…………………
将式(2-22)1(2-22)(2-26)(2-27)入(2-25)并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(2-28)
(2-28)
归纳由求的基本思想：由点得到底点，将底点f作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求关系式，再将
关系式代入关系式得关系式，最后将坐标原点移回到o点,从而求得点。
2.2.2. 3高斯投影坐标正反算公式的几何解释：
（图4：高斯投影坐标正反算公式的几何解释示意图）
⑴当B=0时x=X=0，y则随的变化而变化，这就是说，赤道投影
为一直线且为y轴。
当=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。
两轴的交点为坐标原点。
⑵当=
常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。
又因，即当用-B代替B时，y 值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。
⑶当B=常数时(纬线)，随着的增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。
又当用-代替时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，
中央子午线是投影对称轴。
由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。
⑷距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。
