控制工程基础 第三章时域瞬态响应(第七讲)

当系统输入为单位脉冲函数时， 当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称 为脉冲响应函数。由于δ(t)函数的拉氏变换等于 函数的拉氏变换等于1 为脉冲响应函数。由于 函数的拉氏变换等于1， 因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。 因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。
上述各函数之间的关系： 上述各函数之间的关系：
3.1.4 脉冲函数 脉冲函数(Impulse function)
t<0或t>0 0 r (t ) = a 0<t <ε lim ε ε →0 R( s) = a
r(t)
a
ε
0 ε t 时的脉冲函数， 单位脉冲函数, 当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数,记为 时的脉冲函数 称为单位脉冲函数 δ(t)。 。
典型输入信号的选择： 典型输入信号的选择： 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点： 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点： 数学处理简单，在给定典型信号作用下， （1）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易 确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。 确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。 在典型信号作用下的瞬态响应， （2）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作 为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。 为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。 便于进行系统辨识， （3）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和 传递函数。 传递函数。 常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、 常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。
3.1.3 加速度函数(Parabolic function) 加速度函数
0 r (t ) = 2 at 2a R(s) = 3 s t<0 t≥0

X o s k sm b1sm1 bm1s bm
X i s
sn a1sn1 an1s an

k sm b1sm1 bm1s bm
q
r
s pj
s2

2
kk
s


2 k
j 1
fi(t) D
图 3-26
图 3-27
解：根据牛顿第二定律
fi t kxo t Dxo t Mxo t
拉氏变换，并整理得
Ms2 Ds k X o s Fi s
X o s Fi s

1 Ms2 Ds k

1 k kM s2 D s

峰值点为极值点，令 dxo t 0 ，得
dt
nentp
1 2
sin
dtp



d
e

nt
p
1 2
cos dt p

0
因为 e nt p 0
所以
tan d t p
d n
tan
dtp



d
0
即输出响应为输入函数与脉冲响应函数的
卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。
求上升时间 tr 由式（3.5）知
xo (t) 1
e nt
1 2

sin d t

arctan
1
2


1t


将 xo (tr ) 1代入，得
11
tp

d

n
1 2

这是线性定常系统的一个特征。线性时变系 统和非线性系统不具备这种特性。
第三章 时域瞬态响应分析
二、二阶系统 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 它的典型形式是二阶振荡环节。 伺服系统
xi

e
K
J D
xo
第三章 时域瞬态响应分析
简化方块图：
Xi(s)

E(s)
K s ( Js D)
Xo(s)
示意图：
第三章 时域瞬态响应分析
脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面 积为 a。因此，通常脉冲强度是以其面积 a 衡量 当面积 a =1 时，称为单位脉冲函数，又称δ 函数。 δ函数有个很重要的性质，其拉氏变换等于1。
L[ (t )]=1
第三章 时域瞬态响应分析
当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响 应称为脉冲响应函数。 由于δ 函数的拉氏变换等于1，因此系统传 递函数即为脉冲响应函数的象函数。即系统传 递函数与脉冲响应函数是一对拉氏变换对。
2 -ζωn t 1 e 1 sin dt arctan 2 1
1 t
1. 以 d 为角频率衰减振荡； 2. 随着 的减小，振荡幅度加大。 极点的实部决定衰减速度 虚部决定振荡频率
一定， n 变化
n2
s n n 2 1 s n n 1

1 2 1 s 1

1 2( 2 2 1 1) 2( 2 2 1 1) s s n n 2 1 s n n 2 1
特点： 无超调。
第三章 时域瞬态响应分析
2. 过阻尼
1
二阶系统的极点是两个负实根。

(t ≥ 0)
1 斜率 − 2 T
1 0.368 T
1 − t /T xo (t ) = e T
T
一阶系统三种典型输入信号及响应关系： 一阶系统三种典型输入信号及响应关系：
xi (t ) = t
输 入
xt (t ) = t − T + Te x1 (t ) = 1 − e 1 1 −T t xδ (t ) = e T
x0(t) 1
1/T
xo(t)=1-e-t/T
86.5%
0
63.2%
95.0%
98.2%
T
2T
3T
4T
t
特点 一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 （1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 曲线上升到0.632的高度 。 反过来 ， 的高度。 （ 2 ） 经过时间 T ， 曲线上升到 的高度 反过来， 如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间 ， 的时间， 如果用实验的方法测出响应曲线达到 的时间 即是惯性环节的时间常数。 即是惯性环节的时间常数。 经过时间3 响应曲线达稳定值的95 95％ （3）经过时间 3T～ 4T，响应曲线达稳定值的95％～ 98％ 可以认为其调整过程已经完成， 98 ％ ， 可以认为其调整过程已经完成 ， 故一般取调 整时间( 整时间(3～4)T。 响应曲线的切线斜率为1/T。 （4）在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 。
注意： 该性质只适用于线性定常系统， 注意 ： 该性质只适用于线性定常系统 ， 不适用于 线性时变系统和非线性系统。 线性时变系统和非线性系统。
1 T T = 2− + s s s+ 1 T
单位斜坡响应为 x0 (t ) = t − T + Te