平面的基本性质和推论

1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。

2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。

课题1.2.1平面的基本性质与推论课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。

2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

教学重点平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定教学难点自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。

教师准备教学过程时间分配集备修正（二）平面中的平行关系1. 平行直线（1）空间两条直线的位置关系①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；②平行：在同一平面内，没有公共点。

（2）初中几何中的平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。

【说明】此结论在空间中仍成立．（3）公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c。

【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。

2. 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”。

1’5x5’（1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等。

（2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。

此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。

3. 空间图形的平移如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移。

§1.2点、线、面之间的位置关系1．2.1平面的基本性质与推论【学习要求】1．理解平面的基本性质与推论．2．能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题．3．会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【学法指导】通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有个感性认识，进而抽象出平面的概念及平面的基本性质及推论，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．连接两点的线中，线段最短；过两点有一条，并且只有一条直线．2．平面基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线 .3．基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．4．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．5．基本性质的推论：推论1 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 ：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 ：经过两条平行直线，有且只有一个平面．6．异面直线：既不相交也不平行的直线叫做异面直线．与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？探究点一平面的基本性质问题1在初中我们学习的点与直线的基本性质有哪些？问题2生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？问题3实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？问题4直线和平面都可以看成点的集体，那么点、直线、平面的位置关系怎样用集合的符号表示？问题5如何用符号语言表示基本性质1？基本性质1有怎样的用途？问题6生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？问题7如何用符号语言表示基本性质2？基本性质2有怎样的用途？问题8基本性质2中“有且只有一个”的含义是什么？问题9如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？问题10如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？问题11如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？问题12回顾第1.1节的内容，我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？问题13在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应该怎样处理才有立体感？探究点二空间中两直线的位置关系问题1空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．如果两条直线共面，那么两条直线有怎样的位置关系？问题2如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？小结：我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．例1如图中的△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？小结：要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．跟踪训练1求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a、b、c和l共面．例2如图，正方体AC1中，对角线A1C和平面BDC1交于O，AC与BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．小结：证明点共线问题常用方法：(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3从而判定他们都在交线上；(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．跟踪训练2空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，已知EF和GH相交于点M，求证：点B、D、M共线．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β2．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点3．“a、b为异面直线”是指：①a∩b＝∅，且a b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．上述结论中，正确的是()A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确课堂小结：1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线。

张喜林制1.2.1 平面的基本性质与推论教材知识检索考点知识清单1．点与直线的基本性质连接两点的线中， 最短；过两点有 ，并且只有 ． 2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 ，这时我们就说：直线在 或 ．公理2：经过 的三点，有且只有一个 即 的三点确定 ．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 条过 的公共直线． 3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和____，有且只有____推论 2：经过两条____，有且只有____ ． 推论3：经过两条____，有且只有____．要点核心解读1．平面的基本性质 (1)公理l①三种语言表述文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内， 图形语言：如图1-2 -1-1． 符号语言：⇒∈∈∈∈ααB A l B l A ,,,.α⊂l②公理1的条件是“线上有两点在平面内”，结论是“线上的所有点都在平面内”，这个结论阐述两个观点，一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． ③作用：判定直线是否在平面内，判定点是否在平面内． (2)公理2①三种语言表述文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．图形语言：如图1-2 -1-2．符号语言：A ，B ，C 三点不共线等有且仅有一个平面α，使.,,ααα∈∈∈C B A②公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且仅有一个平面”，要注意“不在同一条直线上”这一附加条件，舍之则结论不成立．结论中“有且仅有”即“存在且唯一”，又可称之为“确定”平面．③公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．④公理2及三个推论的作用：其一是确定平面，其二可用来证明点、线共面的问题，其三是用来作为计算平面个数的依据． (3)公理3①三种语言表述文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言：如图1-2 -1-3．符号语言：.l P l P ∈=⇒∈且βαβα②公理3的条件是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．③作用：其一是判定两个平面是否相交，其二是判定点在直线上，可用来证明多点共线或多线共点问题2．平面基本性质的理解及应用 平面基本性质的三条公理及推论，是我们学习和研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是解答立体几何问题的重要思想方法．(1)公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在某一平面内．(2)公理2以及推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．公理2及其三个推论是四个等价命题．(3)公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．(4)证明空间三点共线的问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内又在第二个平面内，当然必在两个平面的交线上．(5)证明空间三线共点的问题可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后存证另两条直线的交点在此直线上．(6)证明空间几点共面的问题，可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．(7)证明空间几条直线共面的问题，可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取任意两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．典例分类剖析考点1 判断命题的正误 命题规律判断对给出的公理及推论的理解或不同表述是否正确. [例1] (1)下列命题中不正确的是( ).A.若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面外B ．若,,,ABC B A ∈∈∈αα则α∈C C ．若,,,,B b l A a lb a ==⊂⊂ αα则α⊂lD ．若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上的所有点都在平面外(2)直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面b N a M ∈∈,,α且,l M ∈,l N ∈则( )．α⊂l A . α⊂/l B . M l C =α. N l D =α . [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] (1)根据公理l ，直线在平面内的条件是直线上有两个点在平面内即可，因此选D ．,,,,,,)2(ααα∈∴⊂⊂∈∈N M b a b N a M 而M ．N 确定直线L ．根据公理1可知,α⊂l 故选A ．[答案](1)D(2)A母题迁移 1．下列命题：(1)空间不同的3点确定一个平面； (2)有3个公共点的两个平面必重合；(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面； (4)三角形是平面图形；(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； (6)垂直于同一直线的两直线平行；(7)-条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； (8)两组对边相等的四边形是平行四边形， 其中正确的命题是 ． 考点2 平面个数的确定 命题规律由给定的条件，借助公理确定平面的个数． [例2] (1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ (3)共点的三条直线可以确定几个平面？ (4)空间三点可以确定几个平面？[答案] (1)不共面的四点可以确定四个平面．(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平面． (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．(4)若空间三点不共线，由公理2，则可以确定一个平面；若空间三点共线，则过三点的平面有无数多个，但这三点都不能确定其中的任何一个平面，此时有0个平面．故空间三点可以确定一个或0个平面． [点拨] (1)判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，做到不重不漏．平面的个数问题主要是根据已知条件和公理2及其三个推论来判定．(2)题中“确定”即“有且只有”．“有”是说平面存在，“只有”是说平面的唯一性．(3)解此类问题要注意理解“确定”的含义，否则(4)中就会错答为“可确定一个或无数个平面”． 母题迁移 2．四条直线两两平行，任意三条不共面，过其中的任意两条作一个平面，共可以作平面____个.考点3 线共点问题命题规律 证明满足某些条件的几条直线交于一点．[例3] 如图1-2 -1-5所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足===GD CG FB CF EB AE :,1:2::,1:3过E 、F 、G 的平面交AD 于H(1)求AH ：HD ；(2)求证：EH 、FC 、BD 三线共点．[答案] (1) ,//,2AC EF FBCFEB AE ∴== //EF ∴平面ACD ．而⊂EF 平面EFCR ，平面 EFGH平面,GH ACD =.3.//,//,//==∴∴∴GDCGHD AH GH AC AC nEF GH EF,//)2(GH EF 且,41,31==AC GH AC EF ∴=/∴,GH EF 四边形EFGH 为梯形．令,P FG EH= 则⊂∈∈EH FG P EH P 又,,平面ABD ，⊂FG 平面BCD ，平面 ABD 平面,BD BCD =BD FG EH BD P 、、∴∈∴⋅三线共点．[点拨] 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．母题迁移 3．三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．考点4 点共线问题命题规律 证明满足某些条件的几个点在一条直线上.[例4] 正方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点M O C 、、1共线．[解析] 要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可．[答案] 如图1-2-1-6所示，C C A A C C A A 1111//、⇒确定平面,1C A的交线上与平面在平面平面直线平面平面平面D BC C A O D BC D BC C A O C A 111111111⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈⇒=∈⇒⎭⎬⎫∈⊂O O C A O C A C A ,D BC C A 111111M C O M C C A D BC O ∈⇒⎭⎬⎫=平面平面的交线上与平面在平面即M C O 、、1三点共线．[点拨] 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点．这样就可根据公理3证明这些点都在这两个平面的公共直线上， 母题迁移 4．已知△ABC 在平面α外，直线,P AB =α 直线,R AC =α 直线,Q BC =α 如图1 -2-1 -7.求证：P 、Q 、R 三点共线． 考点5点、线共面问置命题规律证明满足某些条件的若干个点或直线在题同一平面内.[例5] 如图1-2 -1-8所示，M 、N 、P 、Q 分别是正方体////D C B A ABCD -中棱///CC D C BC AB 、、、的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 要证这四点共面，方法较多，但注意到本题中点P 、Q 、N 、M 的特殊性及对正方体的理解和认识，可证直线PQ 和MN 相交或M P// NQ.[答案] 证法一：如图l-2-1-8所示，连接MN 并延长交DC 的延长线于O ，则≅∆MBN ,OCN ∆.BM CO =∴连接PQ 并延长交DC 的延长线于,/O 则,//CQ O Q PC ∆≅∆/////,,.O O CO CO PC MB PC CO 、又∴=∴==∴ 重合，∴ PQ 、MN 相交且确定一个平面，故M 、N 、P 、Q 四点共面．证法二：∴,///PC MB 四边形P MBC /为平行四边形．⋅∴∴NQ MP BC NQ BC MP //,//.////∴ MP 与NQ 确定一个平面， 故M 、N 、P 、Q 四点共面．[点拨] 一般地，证明若干个点共面，可证明这些点所在的直线相交，或先证明其中的三点共面，再证明其他的点也在这个平面内，这往往就要用到有关的定理或推论， 母题迁移 5．求证：两两相交且不共点的四条直线共面．学业水平测试1．下列叙述中正确的是( )．A ．因为,,αα∈∈Q P 所以α∈PQB ．因为,,βα∈∈Q P 所以PQ =βαC ．因为,,,ABD AB C AB ∈∈⊂α所以α∈CD D ．因为,,βα⊂⊂AB AB 所以)()(βαβα∈-∈∏B A2．下列命题中是真命题的是( )． A ．空间不同的三点确定一个平面B ．有三个内角是直角的空间四边形是矩形C ．三条直线中任意两条均相交，则这三条直线确定一个平面D ．顺次连接空间四边形各边的中点所得的四边形其对角线必共面3．在空间，若四点中的任意三点不共线，则此四点不共面．此结论( )． A ．正确 B ．不正确 C ．无法判断 D ．缺少条件 4．已知点A ，直线a ，平面α;,αα∉⇒⊂/∈A a a A ①;,αα∈⇒∈∈A a a A ②⊂∉a a A ,③;αα∉⇒A .,αα⊂⇒⊂∈A a a A ④以上命题正确的个数为 ．5．下列命题：①空间3点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是 ． 6．有空间不同的五个点．(1)若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？(2)若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个平面？并证明你的结论，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（6分x 7 = 42分）1．空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中( )． A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线 D ．不可能有三点共线 2．如图1-2-1-11所示，平面,l =βα 点、A ,α∈B 点β∈C 且,,R l AB l C =∉ 设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则γβ是( )．A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上均不正确3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )． A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 4．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )．A ．两两相交的三条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点5．如图1-2 -1-12所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，P 、Q 、R 分别是11C B AD AB 、、的中点．那么，正方体过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面a 共有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个7．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3二、填空题（5分x4 =20分）8．如果一条直线与一个平面有一个公共点，则这条直线可能有 个点在这个平面内． 9．有下面几个命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A 在平面α外，点A 和平面a 内的任何一条直线都不共面． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 10.如图1-2 -1 -13所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，E 、F 分别为1CC 和1AA 的中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线的作法为11．如图1-2 -1-14所示，E 、F 分别是正方体的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的投影可能是 （要求：把图1-2 -1 -15中可能的图的序号都填上）三、解答题（共38分）12.（8分）如图1-2-1-16所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点．求证：DA F D CE 、、1A 三线交于一点．13.（10分）如图1-2-1 -17所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为AB 的中点，N 为1BB的中点，D 为平面11B BCC 的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q （只写作法，不必证明）；(2)求PQ 的长．14.（10分）如图1-2-1-18所示，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1111.B C C D 的中点。

6.2 点、线、面之间的位置关系 6.2.1 平面的基本性质与推论1．平面的基本性质及推论经过不在同一条直线上的三点，推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．2．异面直线(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)3．空间两条直线的位置关系思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？[提示]不对，是不同在任何一个平面内．1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQA[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.]2．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线D[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]3．根据图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.[答案]∈∉⊄AC画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.[解](1)点A在平面α内，点B不在平面α内．(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图①②③所示．①②③1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1.如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.【例2】面内．[思路探究]四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．[解]已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d 四线共面．证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A，B，C分别是d与a，b，c的交点，∴A，B，C三点在平面α内．由公理1知a，b，c都在平面α内，故a，b，c，d共面．(2)若a，b，c，d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a，b有且仅有一个平面α，∴B，C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．证明点线共面常用的方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．[解]已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a，l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．法二：由法一得a，b，l共面α，也就是说b在a，l确定的平面α内．同理可证c在a，l确定的平面α内．∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.【例1111①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．[思路探究]判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．①平行②异面③相交④异面[根据题目条件知直线A1B与直线D1C 在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．]1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面D[若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．][1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？[提示]如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．【例4】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．[解]因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.所以M，N∈平面ABCD，所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．点共线与线共点的证明方法(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.4．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．(1)B D(2)AC[(1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.]1．思考辨析(1)三点可以确定一个平面．()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．()(3)四边形是平面图形．()(4)两条相交直线可以确定一个平面．()[解析](1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．(3)错误．四边形不一定是平面图形．(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交B[如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.]3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]4．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点．[证明]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a，b，c三条直线相交于同一点．。

平面的基本性质一、知识梳理 一）平面1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖面，不能定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如：平面α，平面AC 等.3．画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）.4.点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a βαB AβBAαβBAααβa图 2A（1aαa α⊂ 直线a 在平面α内. aα a α=∅ 直线a 与平面α无公共点. aAα a A α=直线a 与平面α交于点A .l αβ=平面α、β相交于直线l .点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，c αβ=.说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l .）例3、在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形.二）三条公理人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理． 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.BA α应用： ①判定直线在平面内；②判定点在平面内.模式：a A A a αα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上.指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.应用：①确定平面；②证明两个平面重合.实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚. 例4、判断下列命题是否正确。

一、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈L ，B ∈L=>L α A ∈α，B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理2作用：确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。

异面直线既不相交也不平行。

异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。

这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。

LA· αCB ·A· αP ·αLβ共面直线5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。

（2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；（3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；（4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2直线、平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理1、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

符号语言表述：X ■「二1 J匚二二］''■二人二匚厂r②内容剖析：公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。

这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。

③公理<1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。

<2）关于公理2①公理2的三种数学语言表述：文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

图形语言表述：如图2所示符号语言表述：A B C三点不共线；有且只有一个平面a，使②内容剖析：公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。

条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘.同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。

公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。

这里的“有”是说图形存在。

“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。

因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。

“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。

③公理2的作用：作用一是确定平面；作用二是可用其证明点、线共面问题。

<3）关于公理3①公理3的三种数学语言表述：文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言表述：如图3所示符号语言表述：［上■- - < r-i. -i-■:-②公理3的剖析：公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。

公理2的条件简言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线惟一”。

第3课时 直线、平面的平行关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 ⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 4．直线与平面平行的判定定理和性质定理5．平面与平面平行的判定定理和性质定理(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(4)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．(×)(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(7)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.(×)(8)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)(9)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)(10)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)考点一平面的基本性质[例1](1)有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：对于①，三点可能在一直线上，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，没有强调三点不共线，则两平面也可能相交，故④错误．答案：C(2)过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这四条直线确定平面的个数为________．解析：由题意知这4条直线中的每两条都确定一个平面，因此，共可确定6个平面．答案：6[方法引航]空间平面的构成，可由点，可由线，也可由点和线；面与面的公共点在面的交线上.1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是( )解析：选D.A ，B ，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．2．(2017·江西七校联考)已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.考点二 直线与平面的平行关系[例2] (1)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( ) A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形解析：如图，由题意得， EF ∥BD ，且EF ＝15BD . HG ∥BD ，且HG ＝12BD .∴EF ∥HG ，且EF ≠HG ，又HG ⊂面BCD ， ∴EF ∥平面BCD 且四边形EFGH 是梯形． 答案：B(2)(2016·高考全国丙卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．①证明MN ∥平面P AB ； ②求四面体N -BCM 的体积．解：①证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .②因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A . 取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM＝13·S △BCM ·P A 2＝453. [方法引航] 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．1．过三棱柱ABC -A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线有________条．解析：如图，E 、F 、G 、H 分别是A 1C 1、B 1C 1、BC 、AC 的中点，则与平面ABB 1A 1平行的直线有EF ，GH ，FG ，EH ，EG ，FH 共6条．答案：62．如图，四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .证明：(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝12AD，∴BC綊AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面P AD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面P AD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面P AD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面P AD.考点三平面与平面平行的判定与性质[例3](1)(2017·山东济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是() A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.答案：D(2)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：①B，C，H，G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG.证明：①∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．②∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[方法引航] 1.面面平行的判定方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．2．面面平行的性质由面面平行，可得出线面平行，也可得出线线平行，但必须是这两个平行平面与第三个平面的交线．1．将本例(2)中条件改为已知H为A1C1的中点，过BC和H点的平面与A1B1交于点G，求证G为A1B1的中点．证明：因为在三棱柱中，面A1B1C1∥面ABC.面A1B1C1∩面BCHG＝HG，面ABC∩面BCHG＝BC，∴GH∥BC(面面平行性质)BC ∥B1C1.∴GH∥B1C1，H为A1C1的中点，∴G为A1B1的中点．2．在本例(2)条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：(1)平面A1BD1∥平面AC1D.(2)若点N∈AD，求证：C1N始终平行面A1BD1.证明：(1)如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.(2)由(1)可知，平面A1BD1∥平面AC1D.∵N∈AD，∴C1N⊂面AC1D.∴C1N∥面A1BD1.[方法探究]空间平行的转化与探索[典例](2017·河北石家庄模拟)如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)证明：平面AB1C∥平面DA1C1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．[解](1)证明：由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质，知AB1∥DC1，A1D∥B1C，AB1∩B1C ＝B1，A1D∩DC1＝D，∴平面AB1C∥平面DA1C1.(2)存在这样的点P满足题意．如图，在C1C的延长线上取一点P，使C1C＝CP，连接BP，∵B1B綊CC1∴BB1綊CP，∴四边形BB1CP为平行四边形，∴BP∥B1C，∵A1D∥B1C，∴BP∥A1D.又∵A1D⊂平面DA1C1，BP⊄平面DA1C1，∴BP∥平面DA1C1.[思维程序](1)线∥线⇒面∥面；棱柱性质⇒面的对角线平行⇒面∥面．(2)先找点P，再证明平行；平行四边形性质⇒BP∥B1C∥A1D.[高考真题体验]1．(2016·高考山东卷)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC .求二面角F -BC -A 的余弦值． 解：(1)证明：设FC 中点为I ，连接GI ，HI在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF . 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC . 又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC . (2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)， 所以BC→＝(－23，－23，0)， 过点F 作FM 垂直OB 于点M . 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．故BF→＝(0，－3，3)．设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量． 由⎩⎨⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33.因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝77. 所以二面角F -BC -A 的余弦值为77.2．(2016·高考山东卷)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明：(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.如图①所示连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.图①(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.图②3．(2014·高考陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体A-BCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．证明：(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝CD ＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体的体积V＝13×12×2×2×1＝23.(2)∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．课时规范训练A组基础演练1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件答案：D2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角解析：选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．3．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．a⊥α，b∥α，则a⊥bD．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b解析：选C.A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面．4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②不正确；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．5．已知直线a与平面α、β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：选D.设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．6．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点， AP ＝a 3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 答案：223a7．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24. 答案：24或2458．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO . 解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO ，故Q 满足Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO . 答案：Q 为CC 1的中点9．如图E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．解：法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.证明如下：在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.，∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1又AF∥A1C1且AF＝3，4A1C1∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.法二：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.证明如下：在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1，∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB，又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.B组能力突破1．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：选C.如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是()A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F解析：选D.由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG ∥A 1C 1∥AC ，故A 、E 、G 、C 四点共面，所以AE 与CG 是异面直线错误；在四边形AEC 1F 中，AE ＝EC 1＝C 1F ＝AF ，但AF 与AE 不垂直，故四边形AEC 1F 是正方形错误；由于AE ∥C 1F ，由线面平行的判定定理，可得AE ∥平面BC 1F .3．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ；④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m .其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.易知①正确；②错误，l 与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明，④正确，可以以三棱柱为例证明．4．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．解析：设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EH BD ＝1－k ，∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k .又∵0＜k ＜1，∴周长的取值范围为(8,10)．答案：(8,10)5．如图，几何体E -ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.(3)在(2)的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以∠BDN＝∠CBD，所以DN∥BC. 又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝∠ABD＝60°，所以∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.(3)存在点N为AD的中点取AD的中点N，连接BN，O为BD的中点由(2)可知∠DCO＝60°，∴∠BDC＝30°，又∵DBN＝30°，∴BN∥DC.DC⊂面DEC，∴BN∥面DEC.。