1专题14 反比例函数中线段、角的问题知识对接考点一、反比例函数中线段、角的问题 1、反比例函数xky =（k 为常数，0≠k ）的图像是双曲线，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.2、反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k 的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.专项训练一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,2，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连接AC ．点P 在线段AC 上，且AP PC =，函数()0k y x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（ ）A ．02k <≤B ．13k ≤≤C ．24k ≤≤D ．834k ≤≤【答案】C 【分析】设点C 的坐标为（c ,0），根据已知写出P 的坐标，再代入反比例函数解析式，根据ｃ的取值范围即可求解． 【详解】解：设点C 的坐标为（c ,0）∵点A 的坐标为()4,2，AB x ⊥轴于点B ，AP PC =∵P （4,12c +） ∵函数()0k y x x=>的图象经过点P ∵42c k +=∵c =2k -4 ∵0≤c ≤4 ∵0≤2k -4≤4 ∵24k ≤≤ 故选：C 【点睛】考核知识点：反比例函数．理解反比例函数的意义是关键．2．如图，菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC 、BD 交于原点O ，AE BC ⊥于E 点，交BD 于M 点，反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N ，若4BD =，则ME 的长为（ ）A ．53ME =B ．43=ME C ．1ME = D ．23ME =【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出D 点的坐标，利用反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N ，求出C 点的坐标，进而得出30ODC ∠=︒；根据菱形的性质可得260ABC ADC ODC ∠=∠=∠=︒，AB BC =，可判定ABC 是等边三角形；最后找到ME 、3AM 、AE 、OB 之间的数量关系求解． 【详解】∵菱形ABCD ，4BD = ∵2OD OB ==∵D 点的坐标为（0，2） 设C 点坐标为（c x ，0） ∵线段DC 的中点N ∵设N 点坐标为（2cx ，1） 又∵反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N132c =⋅，解得c x 即C，0），OC =在Rt ODC中，3tan 2OC ODC OD ∠===∵30ODC ∠=︒ ∵菱形ABCD∵260ABC ADC ODC ∠=∠=∠=︒，AB BC =，30OBC ODC ∠=∠=︒ ∵ABC 是等边三角形又∵AE BC ⊥于E 点，BO OC ⊥于O 点 ∵2AE OB ==，AO BE =∵AO BE =，90AOB AEB ∠=∠=︒，AMO BME ∠=∠ ∵()AOM BEM AAS ≅ ∵AM BM = 又∵在Rt BME 中，sin 30MEBM=︒ ∵1sin 30=2ME AM =︒ ∵1122333ME AE ==⨯= 故选：D ． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角30的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为60︒角的等腰三角形是等边三角形．特殊角30的三角函数，1sin 30=2︒，cos30︒tan 30︒．3．如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．33D ．3【答案】A 【分析】根据题意，得()1,3A ，()3,1B ，直线2l ：y x =；根据一次函数性质，得m n =；根据勾股定理，得PC =PA ，PB ，FB ，根据等腰三角形三线合一性质，得()2,2C ，OC AB ⊥；根据勾股定理逆定理，得90ABD ∠=︒；结合圆的性质，得点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得FC =；分PC PF FC =+或PC PF FC =-两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得3,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,3A ，()3,1B∵直线2l 过原点O 和点C ∵直线2l ：y x = ∵(,)P m n 在直线2l 上 ∵m n =5∵PC = 连接PA ，PB ，FB∵PA PB =，线段AB 的中点为点C ∵()2,2C ，OC AB ⊥过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ∵()2,0D ∵AD =AB ==BD ==∵222AD AB BD =+ ∵90ABD ∠=︒∵点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心∵cos BD ADB AD ∠=∵AC BC =，12FB FA AD ==∵12BFC AFB ∠=∠∵APB ADB ∠=∠，且12APB AFB ∠=∠∵APB ADB BFC ∠=∠=∠∵cos cos FC APB BFC FB ∠=∠==∵FC =∵PC PF FC =+或PC PF FC =-当PC PF FC =-时，APB ∠和ADB ∠位于直线AB 两侧，即180APB ADB ∠+∠=︒∵PC PF FC =-不符合题意∵PC PF FC =+=2m <∵)2PC m ==-，)2m -=∵32m =-∵23m n m +==故选：A ． 【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．4．如图，已知(),0P m ，()0,Q n （0m >，0n >），反比例函数my x=的图象与线段PQ 交于C ，D 两点，若POC COD DOQ S S S ==△△△，则n =（ ）A ．92B ．4C ．3D ．32【答案】A 【分析】过点D 作DE x ⊥轴于点E ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，由POC COD DOQ S S S ∆∆∆==，可得出PC CD DQ ==，即OE EF FP ==，再根据P 点的坐标即可得出“13OE m =，23OF m =”，设直线PQ 的解析式为y kx n =+，由点(,0)P m 结合待定系数法求函数解析式即可得出直线PQ 的解析式，将反比例函数解析式代入直线解析式中，由根与系数的关系可表示出12x x ⋅，结合13OE m =、23OF m =，即可求出n 的值．7过点D 作DE x ⊥轴于点E ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ， 如图所示：∵POC COD DOQ S S S ∆∆∆==，∵PC CD DQ ==，即OE EF FP ==， ∵3OP OE m ==， ∵13OE m =，23OF m =，设直线PQ 的解析式为y kx n =+， ∵点(,0)P m 在直线PQ 上， ∵0km n =+，解得：nk m=-， 即直线PQ 的解析式为ny x n m=-+， 令n mx n m n-+=，即220nx mnx m -+=， 则2121233m x x OE OF m m n ⋅=⋅==⨯， 解得：92n =， 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，结合根与系数的关系找出关于n 的一元一次方程是解题的关键．5．下列图形：∵国旗上的五角星，∵有一个角为60°的等腰三角形，∵一个半径为π的圆，∵两条对角线互相垂直平分的四边形，∵函数y ＝1x的图象，其中既是轴对称又是中心对称的图形有（ ） A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．有4个【答案】C根据中心对称图形和轴对称图形的定义可得答案． 【详解】解：∵国旗上的五角星，是轴对称图形，不是中心对称图形； ∵有一个角为60°的等腰三角形，是轴对称图形，是中心对称图形； ∵一个半径为π的圆，是轴对称图形，是中心对称图形；∵两条对角线互相垂直平分的四边形，是轴对称图形，是中心对称图形； ∵函数y ＝1x的图象，不是轴对称图形，是中心对称图形；既是轴对称又是中心对称的图形有3个， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，以及反比例函数图象和线段垂直平分线，关键是掌握轴对称图形和中心对称图形定义．6．面积为2的直角三角形一直角边长为x ，另一直角边长为y ，则y 与x 的变化规律用图象大致表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】 解：∵12xy=2， ∵xy=4， ∵y=4x（x ＞0，y ＞0）， 当x=1时，y=4，当x=4时，y=1， 故选：C ． 考点：函数的图象.7．如图，在平面直角坐标系中，BCD △的边BC 在x 轴上，边BC 的中点与坐标原点O 重合，线段DC 与y 轴的交点记为F ，2CF DF =，反比例函数()0ky k x=<经过点D ，若4BDF S =△，则k 的值为（ ）9A ．-6B ．-3C ．-8D ．-4【答案】A 【分析】本题设出点D 的坐标为(,)ka a，利用同高不同底的三角形面积的比值为底边长的比值求出BDC 的面积， 利用CDH CFO △∽△将DH 和BC 的长用含有a 的代数式进行表示，最后得到BDC 的面积与a 的关系式，求解即可得出k 的值. 【详解】解：如图，过点D 作DH BC ⊥于点H ，连接OD . D 点在反比例函数上，设D 点坐标为(,)k a a；∵,k OH a DH a=-=； ∵O 为BC 中点； ∵CO BO =；∵12CFO BFC =△BFO △S =S S ；∵2CF DF =； ∵142BFC ==△BFD △S S ；∵312==△BDC △BDF S S ； ∵DH BC ⊥，FO OC ⊥； ∵FO DH ∥； ∵CDH CFO △∽△； ∵23FC CO FO DC CH DH ===； ∵23CO CO OH =+；即23CO CO a =-；∵2CO a =-； ∵O 为BC 边中点；∵24 BC CO a==-；∵11·=4=1222BCDkS BC OH aa⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭（）；∵6k=-.故选A．【点睛】本题主要考察反比例函数的性质与相似三角形的性质，利用相似三角形的性质将BDC的面积用含有点D的坐标的关系式进行表示，即可求出k的值.8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA∵x轴于点A，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过线段AB的中点C，点C关于直线y＝x的对称点C′的坐标为(1，n)，若∵OAB 的面积为3，则n的值为（）A．13B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n．【详解】解：∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），∵C（n，1），∵OA=n，AC=1，∵AB=2AC=2，∵∵OAB的面积为3，11∵12n×2＝3， 解得，n=3， 故选：D ． 【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得C 点坐标及由三角形的面积列出方程． 9．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数ky x=的图像与线段AB 相交于点C ，且点C 是线段AB 的中点，若点C 坐标为()3n ,，OAB 的面积为3，则点C 的坐标是（ ）A ．()3,2B ．33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()3,1D ．13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】利用三角形面积公式得到S ∵AOC ＝12S ∵OAB ＝32，再根据反比例函数系数k 的几何意义得到12|k |＝32，然后利用反比例函数的性质确定k 的值，最后把C （3，n ）代入反比例函数的解析式，即可求得C 的坐标． 【详解】解：∵BA ∵x 轴于点A ，C 是线段AB 的中点， ∵S ∵AOC ＝12S ∵OAB ＝32， 而S ∵AOC ＝12|k |， ∵12|k |＝32， 而k ＞0， ∵k ＝3，∵y ＝3x，∵反比例函数y ＝kx的图象经过点C ，点C 为坐标（3，n ），∵3n ＝3， ∵n ＝1， ∵C （3，1）， 故选：C ． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y ＝kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．10．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()3,2，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2=AP PC ．函数()0k y x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（ ）A ．02k <≤B ．233k ≤≤C ．232k ≤≤D ．834k ≤≤【答案】C 【分析】设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ，由PCD ACB △∽△，用c 表示P 点坐标，再求得k 关于c 的解析式，最后由不等式的性质求得k 的取值范围． 【详解】解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ， 则3BC c =-，//PD AB ，OC c =，PCD ACB ∴△∽△，∴PD CD CPAB CB CA==，132AP PC =，∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-，213OD OC CD c ∴=+=+，2(13P c ∴+，2)3，把2(13P c +，2)3代入函数(0)k y x x=>中，得2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出k 关于c 的解析式． 二、填空题11边的夹角叫做幸运角．如图，ABC 是幸运三角形，BC 为幸运边，B 为幸运角，()3,0A ，点B ，C 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点C 在点B 的上方，且点B当ABC 是直角三角形且90B ∠=︒时，则k 的值为_______．【答案】3+【分析】作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，再利用对应边的关系把B 、C 的坐标表示出来，再代入ky x=计算即可． 【详解】解：过B 作BE x ⊥轴于E ，过C 作CF EB ⊥于F ，过C 作CG x ⊥轴于G ，如图，90AEB F ABC ∴∠=∠=∠=︒，90BCF CBF ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，BCF ABE ∴∠=∠， BCF ABE ∴∆∆∽，∴BF CF BCAE BE AB== 设AE a =，则BF ， (3,0)A ，3OE OA AE a ∴=+=+，B BE =3CF ∴=，CG EF BE BF ==+，(3B a +，33OG OE GE OE CF a a ∴=-=-=+-=，()C a ∴点B 、C 在在函数(0)k y x x=>的图象上，∴))a a k +==，解得：1a =（舍去），2a =3k ∴=+故答案为3+15本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，表示出B 、C 的坐标是解题的关键． 12．如图，定义：若双曲线()0ky k x=>与它的其中一条对称轴y ＝x 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线()0k y k x =>的对径．若双曲线()0ky k x=>的对径是8，则k =______．【答案】8 【分析】根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为8，即AB ＝8，OA ＝4，根据等腰直角三角形的性质得到点A坐标为（，把A 的坐标代入双曲线()0ky k x=>即可得到的k 值． 【详解】解：∵双曲线的对径是8，即AB ＝8，OA ＝4，∵OC ＝AC＝ ∵点A坐标为（， 把A（()0ky k x=>得k＝， 即k 的值为8， 故答案为：8．本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，双曲线的对径关于原点对称，得出交点坐标是解题的关键． 13．如图，双曲线(0)ky x x=<经过R t ∵ABC 的两个顶点A 、C ，∵ABC ＝90°，AB //x 轴，连接OA ，将R t ∵ABC 沿AC 翻折后得到∵AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，连接OC ，OC 恰好平分OA 与x 轴负半轴的夹角，若R t ∵ABC 的面积为3，则k 的值为______．【答案】﹣12 【分析】过点C 作CD ∵x 轴于点D ，根据折叠的性质可得CD ＝CB ′＝CB ，设B （x ，2y ）（x ＜0），则C （x ，y ），AB ＝a ，则A 点坐标为：（x +a ，2y ），带入到解析式中求解即可； 【详解】解：过点C 作CD ∵x 轴于点D ，∵将R t ∵ABC 沿AC 翻折后得到∵AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，连接OC ，OC 恰好平分OA 与x 轴负半轴的夹角， ∵∵CB ′A ＝90°，CB ＝CB ′， ∵CD ＝CB ′＝CB ，设B （x ，2y ）（x ＜0），则C （x ，y ），AB ＝a ，则A 点坐标为：（x +a ，2y ）， ∵2y （x +a ）＝xy ， 整理得出：a ＝﹣12x ， ∵x +a ＝12x ，∵AB ＝﹣12x ，BC ＝y ， ∵12×（﹣12xy ）＝3， ∵﹣xy ＝12， ∵k ＝﹣12． 故答案为：﹣12．17【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，结合折叠的性质求解是解题的关键．14．如图，已知点A 是反比例函数3y x=-(0x <)的图像上的一个动点，连接OA ，若将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，则点B 所在反比例图像的函数关系式是____．【答案】3y x= 【分析】如图，设A （m ，n ），过A 作AC ∵x 轴于C ，过B 作BD ∵x 轴于D ，得到AC =n ，OC =-m ，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得3=-mn ，根据平角的定义及角的和差关系可得∵OAC =∵BOD ，根据旋转的性质可得OB =OA ，利用AAS 可证明∵ACO ∵∵ODB ，根据全等三角形的性质得到AC =OD =n ，CO =BD =-m ，可得点B 坐标，利用待定系数法即可得答案． 【详解】如图，设A （m ，n ），过A 作AC ∵x 轴于C ，过B 作BD ∵x 轴于D ， ∵点A 是反比例函数3y x=-(0x <)的图像上的一个动点，∵3=-mn ，AC =n ，OC =-m ，∵将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ， ∵∵AOB =90°，OA =OB ，∵∵OAC +∵AOC =∵BOD +∵AOC =90°， ∵∵OAC =∵BOD ，在∵ACO 和∵ODB 中，ACO BDO OAC BOD OA OB ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ACO ∵∵ODB ，∵AC =OD =n ，CO =BD =-m ， ∵B （n ，-m ），设过点B 的反比例函数的解析式为k y x=， ∵3k mn =-=，∵点B 所在反比例图像的函数关系式为3y x=，故答案为：3y x= 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．如图，直线AB 与反比例函数ky x=()0k >的图象交于点A 、B ，与x 轴交于点F ，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，点E 是线段AB 的中点，连结CE 、DE ，已知AEC 的面积是AED 面积的2倍，且1DEF S k=△，则k 的值是______．【答案】【分析】设出直线AB 的解析式，联立反比例函数的解析式，确定一元二次方程，设出交点的坐标，则交点的横坐标就是方程的两个根，利用根与系数关系定理，点的横坐标分别表示三角形的面积，构造求解即可.19【详解】设直线AB 的解析式为y =mx +n ，则点F （-nm，0）， 根据题意，得mx +n =kx，整理，得m 2x +nx -k =0，设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），根据题意，得1x 、2x 是方程m 2x +nx -k =0的两个根， ∵1x +2x =-n m，1x 2x = -km ，∵点E 是线段AB 的中点， ∵点E 的横坐标为122x x +=-2n m， ∵点E 的纵坐标为m ×（-2n m）+n =2n ，∵2AECAEDS S=,∵AECABDS S=, ∵2AECBDESS=,过点C 作CM ∵AE ，垂足为M ，过点D 作DN ∵AE ，垂足为N ， 则MC =2DN ， ∵BD∥AC ∵∵DBN =∵CAM ， ∵∵DBN ∵∵CAM ， ∵AC ：BD = MC ：DN ，∵AC =2BD ， ∵1y = -22y ， ∵1kx = -2×2k x ， ∵2x = -21x ，∵1x =n m，2x = -2n m ，∵1DEF S k=△, ∵122n⨯（-n m +2n m ）=1k∵24n m =1k∵1x 2x = -k m， ∵222n m =k m ，∵22n m=k ， ∵2k =8，∵k =k =-故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，一次函数的解析式，联立方程求交点坐标，中点坐标公式，图形面积分割，三角形的相似，一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握反比例函数的性质，灵活求解方程，活用根与系数关系定理，三角形的相似是解题的关键． 三、解答题16．如图1，点P 为MON ∠的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，如果APB ∠绕点P 旋转时始终满足2OA OB OP ⋅=，我们就把APB ∠叫做MON ∠的智慧角．（1）如图2，已知90MON ∠=︒，点P 为MON ∠的平分线上一点，以点P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，且135APB ∠=︒．求证：APB ∠是MON ∠的智慧角；（2）如图1，已知MON α∠=，若APB ∠是MON ∠的智慧角，求APB ∠的度数（用含α的式子表示）；（3）如图3，C 是反比例函数4y x=()0x >图象上的一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于点A ，B 两点，且满足2BC CA =，请求出AOB ∠的智慧角APB ∠的顶点P 的坐标．21【答案】（1）见解析；（2）11802APB α∠=︒-；（3）点P 的坐标为：()3,3或()1,1-【分析】（1）由角平分线求出∵AOP =∵BOP =12∵MON =45°，再证出∵OAP =∵OPB ，证明∵AOP ∵∵POB ，得出对应边成比例OA OPOP OB=，得出OP 2=OA •OB ，即可得出结论； （2）由∵APB 是∵MON 的智慧角，得出OA OPOP OB=，证出∵AOP ∵∵POB ，得出对应角相等∵OAP =∵OPB ，即可得出∵APB =180°-12α；（3）设点C （a ，b ），则ab =3，过点C 作CH ∵OA 于H ；分两种情况：∵当点B 在y 轴正半轴上时；当点A 在x 轴的负半轴上时，BC =2CA 不可能；当A 在x 轴的正半轴上时；先求出13CA AB =，由平行线得出∵ACH ∵∵ABO ，得出比例式：13CH AH AC OB OA AB ===，得出OB =3b ，OA =32a，求出OA •OB =18，根据∵APB 是∵AOB 的智慧角，得出OP ，即可得出点P 的坐标；∵当点B 在y 轴的负半轴上时；由题意得出：AB =CA ，由AAS 证明∵ACH ∵∵ABO ，得出OB =CH =b ，OA =AH =12a ，得出OA •OB =2，求出OP ，即可得出点P 的坐标． 【详解】（1）证明：∵90MON ∠=︒，P 为MON ∠的平分线上一点， ∵1452AOP BOP MON ∠=∠=∠=︒．∵180AOP OAP APO ∠+∠+∠=︒， ∵135OAP APO ∠+∠=︒． ∵135APB ∠=︒， ∵135APO OPB ∠+∠=︒． ∵OAP OPB ∠=∠． ∵AOP POB △△∽． ∵OA OPOP OB=．∵2OP OA OB =⋅．∵APB ∠是MON ∠的智慧角．（2）解：∵APB ∠是MON ∠的智慧角， ∵2OA OB OP ⋅=． ∵OA OPOP OB=． ∵P 为MON ∠的平分线上一点， ∵12AOP BOP α∠=∠=．∵AOP POB △△∽． ∵OAP OPB ∠=∠．∵11802APB OPB OPA OAP OPA α∠=∠+∠=∠+∠=︒-．即11802APB α∠=︒-．（3）解：设点(),C a b ，则4ab =． 过点C 作CH OA ⊥于H ，分两种情况：∵当点B 在y 轴正半轴上时；当点A 在x 轴的负半轴上时，如图1所示：2BC CA =不可能；当点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的半轴上时，如图2所示：∵2BC CA =，23∵13CA AB =． ∵//CH OB ， ∵ACH ABO ∽． ∵13CH AH AC OB OA AB ===． ∵3OB b =，32a OA =． ∵3931822a ab OA OB b ⋅=⋅==． ∵APB ∠是AOB ∠的智慧角，∵OP == ∵90AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠， ∵点P 的坐标为：()3,3．∵当点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的负半轴上时，如图3所示：∵2BC CA =， ∵AB CA =．在ACH 和ABO 中，AHC AOB ∠=∠，BAO CAH ∠=∠，CA AB =， ∵ACH ABO ≌△△()AAS ． ∵OB CH b ==，12OA AH a ==． ∵122OA OB a b ⋅=⋅=． ∵APB ∠是AOB ∠的智慧角，∵OP ==∵90AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠， ∵点P 的坐标为：()1,1-．综上所述：点P 的坐标为：()3,3或()1,1-．【点睛】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，证明三角形相似和三角形全等才能得出结果．17边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt ABC 为智慧三角形，且Rt ABC 的一边长为，则该智慧三角形的面积为_________；（2）如图∵，在ABC 中，105C ∠=︒，30B ∠=︒，求证：ABC 是智慧三角形；（3）如图∵，ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，B 为智慧角，30A （，），点B C 、在函数ky x=（0x >）的图象上，点C 在点B 的上方，且点B ABC 是直角三角形时，求k 的值．【答案】（1，1，12；（2）见解析；（3）k =18+【分析】（13边是否为智慧边，故又需要分类讨论；（2）过C 作AB 边的垂线CD ，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用CD 把各边关系表示出来，易得BC 是AC （3）由题意可知2BCAB ，因此当∵ABC 为直角三角形时，AB 不可能为斜边，即只分90ABC ∠=︒或90BAC ∠=︒，两种情况讨论，做辅助线构造三垂直模型，证得相似或全等三角形，再利用对应边的关系把B 、C 的坐标表示出来，再代入ky x=计算． 【详解】解：（1）如图2，设190,,2ABC A AC AB S AC AB =︒≤=△∠ ∵若AC =1）2AB ==2511222ABC S ACAB ==⨯=△2)2BC ==,则AB= 11122ABC S ACAB ==⨯=△ ∵若AB =1）AB =，即1AC == 11122ABC SAC AB ==⨯=△2）2BC =，则AC11122ABC S ACAB ==⨯=△∵若BC =1AB AC === 11111222ABC S ACAB ==⨯⨯=△ ，1，12 （2）如图2，过点C 作CD AB ⊥于点D ． 在Rt ACD △中，45A ∠=︒， ∵AC =．在Rt BCD 中，30B ∠=︒， ∵2BC DC =． ∵BCAC=． ∵ABC 是智慧三角形．（3）由题意可知90ABC ∠=︒或90BAC ∠=︒． ∵当90ABC ∠=︒时，如图3，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，过点C 作CF EB ⊥交EB 延长线于点F ，过点C 作CG x ⊥轴于点G ，则90AEB F ABC ∠=∠=∠=︒．∵90BCF CBF ABE CBF ∠+∠=∠+∠=︒． ∵BCF ABE ∠=∠．∵BCF ABE ∽． ∵AE BE AB BF CF BC ===设AE a =，则BF =． ∵BE ∵2CF ＝．∵321OG OA AE GE a a +-+-+＝＝＝，CG EF ＝，∵(3B a +，()1C a +． ∵点B C ，在函数0ky x x=（＞）的图象上，)())31a a k +=+=．解得：11a =，22a =﹣（舍去）．∵k =∵当90BAC ∠=︒时，如图4，过点C 作CM x ⊥轴于点M ，过点B 作BN x ⊥轴于点N ． 则90CMA CAB ANB ∠=∠=∠=︒．∵90MCA CAM BAN CAM ∠+∠=∠+∠=︒． ∵MCA BAN ∠=∠． 由（1）知45B ∠=︒． ∵ABC 是等腰直角三角形． ∵AC AB =．由∵知MAC NBA ∽． ∵()MAC NBA AAS ≌．∵AM BN ==设CM AN b ==，则3ON b =+．∵(3B b +，()3C b ． ∵点B C ，在函数ky x=（0x ＞）的图象上， )(33b b k +==．解得：12b =． ∵18k =+综上所述，k =18+27【点睛】本题考查了智慧三角形的问题，掌握三角形面积公式、智慧三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形和全等三角形的性质是解题的关键． 18．如图，正比例函数y kx =与反比例函数6y x=的图象有一个交点(2,),A m AB x ⊥轴于点B ，平移直线y kx =，使其经过点B ，得到直线l ．（1）求直线l 的函数表达式； （2）如果直线l 与反比例函数6y x=相交于点C ，作CD x ⊥轴于点D ．求证：点B 是线段OD 的黄金分割点． 【答案】（1）332y x =-；（2）见解析． 【分析】（1）根据反比例函数解析式求出m ，确定点A 的坐标，求出正比例函数的解析式，设直线l 的函数表达式为y mx n =+，根据已知条件计算即可；（2）根据已知条件求出点C 的横坐标，求出BD ，再根据黄金分割的定义计算即可； 【详解】（1）∵反比例函数6y x=的图象经过点(2,)A m ∵3m =， ∵()2,3A ，∵正比例函数y kx =的图象经过点(2,3)A ， ∵32k， 设直线l 的函数表达式为y mx n =+， ∵直线l 平行于直线y kx =，32m k ∴==∴直线 l 的函数表达式为32y x n =+，∵AB x ⊥轴于点B ，∴点B 坐标为（2，0），∵直线l 经过点B ，30n ∴+=， 3n ∴=-，∴直线l 的函数表达式为332y x =-； （2）∵直线l 与反比例函数6y x=相交于点C ， 3632x x∴-=，解得：1x =，∴点C 的横坐标为11BD ∴=，BD OB ∴=， ∴点B 是线段OD 的黄金分割点．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、黄金分割率的知识点，准确计算是解题的关键．19．如图，已知反比例函数1ky x=与一次函数2y ax b =+交于点()4,1A -和点(),4B m -．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求线段AB 的长；（3）直接写出当12y y >时x 的取值范围．【答案】（1）14y x=-，23y x =--；（2）（3）40x -<<或1x >．【分析】（1）先把点A 的坐标代入反比例函数解析式求解k ，然后再得出点B 的坐标，最后根据待定系数法求解一次函数解析式即可；29（2）根据两点距离公式：设点()()1122,,,A x y B x y ，则AB =求解；（3）由12y y >可知反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，进而根据函数图象可进行求解． 【详解】解：（1）把()4,1A -代入1ky x =，得414k =-⨯=-， ∴反比例函数的表达式为14y x=-， 把(),4B m -代入14y x=-，得44m -=-，解得1m =，则()1,4B -，把()4,1A -，()1,4B -代入2y ax b =+，得414a b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：13a b =-⎧⎨=-⎩，∴一次函数的表达式为23y x =--；（2）由（1）可得：()4,1A -，()1,4B -， ∵由两点距离公式可得：AB =（3）由12y y >可知反比例函数的图象在一次函数的图象的上方， ∵由图象可得当40x -<<或1x >时，12y y >， ∵x 的取值范围是：-4＜x ＜0或x ＞1． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．20．如图∵，直线(0)y xx =>上有一点)M m ，反比例函数ky x=（k 为常数0k ≠，0x >）的图象经过点M ，作90AMB ∠=︒，且角两边分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B两点．（1）求反比例函数的表达式； （2）求四边形AOBM 的面积；（3）如图∵，点(3,)P n 是反比例函数(0)ky x x=>图象上的一点，点F 在直线(y x x =>上，点E 在x 轴上，且90,EPF PE PF ∠=︒=．请求出点E 的坐标． 【答案】（1）6y x=；（2）6；（3）(6,0)． 【分析】（1）先根据直线y x =可得点M 的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理可得ACM BDM ≅，从而可得ACMBDMSS=，再根据BDMCODMAOBM AODM S SS S=+=四边形四边形即可得；（3）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得,,90PC DN PD CN CPD ==∠=︒，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,PC PD CE DF ==，从而可得PC PD DN CN ===，然后根据反比例函数的解析式求出点P 的坐标，从而可得3,2,5OC PC ON ===，最后根据直线的解析式可得点F 的坐标和FN 的长，从而可得DF 的长，据此根据OE OC CE OC DF =+=+即可得．【详解】解：（1）对于直线y x =，当x =y =M ，将点M 代入ky x =得：6k ==， 则反比例函数的表达式6y x=； （2）如图，过点M 作MC x ⊥轴于点C ，作MD y ⊥轴于点D ，则CM DM ==CODM 是正方形， 90CMD ∴∠=︒，即90CMA DMA ∠+∠=︒，90AMB =︒∠，90DMB DMA ∴∠+∠=︒， CMA DMB ∴∠=∠，31在ACM △和BDM 中，90ACM BDM CM DM CMA DMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ACM BDM ASA ∴≅，ACMBDMSS∴=，BDMAOBM AODM S S S ∴=+四边形四边形，ACMAODM SS =+四边形，CODMS=，26CM ==，即四边形AOBM 的面积为6；（3）如图，过点F 作FN x ⊥轴于点N ，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，作PD FN ⊥于点D ，则四边形CNDP 是矩形，,,90PC DN PD CN CPD ∴==∠=︒，90CPE DPE ∴∠+∠=︒， 90EPF ∠=︒， 90DPF DPE ∴∠+∠=︒，CPE DPF ∴∠=∠，在CPE △和DPF 中，90CPE DPFPCE PDF PE PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()CPE DPF AAS ∴≅， ,PC PD CE DF ∴==，PC PD DN CN ∴===，对于6y x=， 当3x =时，623y ==，即(3,2)P ， 3,2OC PC ∴==，5ON OC CN OC PC ∴=+=+=，对于直线y x =，当5x =时，5y =，即()5,5F ，5FN =，523DF FN DN FN PC ∴=-=-=-=， 336OE OC CE OC DF ∴=+=+=+=，∴点E 的坐标为(6,0)．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、三角形全等的判定定理与性质、正方形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．21边的 夹角叫做智慧角．（1）在 Rt∵ABC 中，∵ACB ＝90°，若∵A 为智慧角，则∵B 的度数为 ； （2）如图∵，在∵ABC 中，∵A ＝45°，∵B ＝30°，求证：∵ABC 是智慧三角形；（3）如图∵，∵ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，∵B 为智慧角，A （3，0），点 B ，C 在函数 y ＝kx（x ＞0）的图像上，点 C 在点 B 的上方，且点 B ∵ABC是直角三角形时，求 k 的值．【答案】（1）45°．（2）见解析；（3）k ＝或18＋ 【详解】试题分析：（1）由智慧角的定义得到AB AC ，解直角三角形即可得到结论．（2）过点C 作CD ∵AB 于点D ．在Rt∵ACD 中，由∵A ＝45°，得到AC DC ． 在Rt∵BCD 中，由∵B ＝30°，得到BC ＝2DC ，即可得到结论． （3）分两种情况讨论：∵∵ABC ＝90°；∵∵BAC ＝90°．试题解析：解：（1）∵∵ACB ＝90°，若∵A 为智慧角，∵AB AC ，∵cos A =AC AB =∵∵A =45°，∵∵B =45°．（2）如图1，过点C 作CD ∵AB 于点D ．在Rt∵ACD中，∵A＝45°，∵AC．在Rt∵BCD中，∵B＝30°，∵BC＝2DC，∵BCAC，∵∵ABC是智慧三角形．（3）由题意可知：∵ABC＝90°或∵BAC＝90°．∵当∵ABC＝90°时，如图2，过点B作BE∵x轴于点E，过点C作CF∵EB交EB延长线于点F，过点C作CG∵x轴于点G，则∵AEB＝∵F＝∵ABC＝90°，∵∵BCF＋∵CBF＝∵ABE＋∵CBF＝90°，∵∵BCF＝∵ABE，∵∵BCF∵∵ABE，∵AEBF＝BECF＝ABBC设AE＝a，则BFa．∵BE，∵CF＝2．∵OG＝OA＋AE－GE＝3＋a－2＝1＋a，CG＝EF，∵B（3＋a，C（1＋a，）．∵点B，C在函数y＝kx（x＞0）的图像上，＋a)＝(1＋a)＝k．解得：a1＝1，a2＝－2（舍去），∵k＝∵当∵BAC＝90°时，如图3，过点C作CM∵x轴于点M，过点B作BN∵x轴于点N，则∵CMA＝∵CAB＝∵ANB＝90°，∵∵MCA＋∵CAM＝∵BAN＋∵CAM＝90°，∵∵MCA＝∵BAN．由（1）知∵B＝45°，∵∵ABC是等腰直角三角形，∵AC＝AB．由∵知∵MAC∵∵NBA，∵∵MAC∵∵NBA（AAS），∵AM＝BN设CM＝AN＝b，则ON＝3＋b，∵B（3＋b），C（3b）．∵点B，C在函数y＝kx（x＞0）的图像上，＋b)＝(3b＝k，解得：b＝12，∵k＝18＋综上所述：k＝18＋22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝kx（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．（1）求k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝kx（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．∵当n＝2时，求线段CD的长；33∵若CD ≥OB ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）4；（2）∵3；∵0＜n ≤2或n 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m 的值得到A 点坐标，然后把A 点坐标代入ky x=得到k 的值；（2）∵利用C 、D 的纵坐标都为2得到C 点和D 点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD 的长；∵先确定(3,0)-，由于C 、D 的纵坐标都为n ，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出4(C n，)n ，(3,)D n n -，讨论：当点C 在点D 的右侧时，先利用CD OB =得到4(3)3n n--=，解得12n =，22n =-（舍去），再结合图象可判断当02n <时，CD OB ；当点C 在点D 的左侧时，先利用CD OB =得到433n n--=，解得13n =23n =去），再结合图象可判断当313n +时，CD OB ． 【详解】 解：（1）直线3y x 经过点(1,)A m ，134m ∴=+=，反比例函数ky x=的图象经过点(1,4)A ， 144k ∴=⨯=；（2）∵当2n =时，点P 的坐标为(0,2)， 当2y =时，42x=，解得2x =， ∴点C 的坐标为(2,2)，当2y =时，32x +=，解得1x =-，∴点D 的坐标为(1,2)-，352(1)3CD ∴=--=；∵当0y =时，30x +=，解得3x =-，则(3,0)B - 当y n =时，4n x =，解得4x n=， ∴点C 的坐标为4(n，)n ，当y n =时，3x n +=，解得3x n =-，∴点D 的坐标为(3,)n n -，当点C 在点D 的右侧时，若CD OB =，即4(3)3n n--=，解得12n =，22n =-（舍去），∴当02n <时，CD OB ；当点C 在点D 的左侧时， 若CD OB =，即433n n--=，解得13n =23n =， ∴当313n +时，CD OB ，综上所述，n 的取值范围为02n <或313n +．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．23．如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点()3,4E ．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线12y x b =-+过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；（3）连,OF OE ，探究AOF ∠与EOC ∠的数量关系并证明（提示：OE ． 【答案】（1）12y x=；（2）()2,4；（3）12AOF EOC ∠=∠，证明见解析【分析】（1）设反比例函数的解析式为ky x=，把点E （3，4）代入即可求出k 的值，进而得出结论；（2）由正方形AOCB 的边长为4，故可知点D 的横坐标为4，点F 的纵坐标为4．由于点D 在反比例函数的图象上，所以点D 的纵坐标为3，即D （4，3），由点D 在直线y =12-x +b上可得出b 的值，进而得出该直线的解析式，再把y =4代入直线的解析式即可求出点F 的坐标；（3）在CD 上取CG =AF =2，连接OG ，连接EG 并延长交x 轴于点H ，由全等三角形的判定定理可知∥OAF ∵∥OCG ，∥EGB ∵∥HGC （ASA ），故可得出EG =HG ，BE =CH =1，故可得出H 点的坐标，在Rt∥AOF 中，AO =4，AE =3，根据勾股定理得OE =5，可知OH =OE ，即OG 是等腰三角形底边EF 上的中线．所以OG 是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论． 【详解】（1）设反比例函数的解析式ky x=， ∵反比例函数的图象过点E （3，4）， ∵43k=，即k=12． ∵反比例函数的解析式为12y x=； （2）∵正方形AOCB 的边长为4， ∵点D 的横坐标为4，点F 的纵坐标为4． ∵点D 在反比例函数的图象上， ∵点D 的纵坐标为3，即()4,3D ， ∵点D 在直线12y x b =-+上，∵1342b =-⨯+，解得5b =，。
