专题06 考前必做难题30题 中考数学走出题海之黄金30题系列

中考数学走出题海之黄金30题系列专题五 考前必做基础30题一、选择题1．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）2．一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x,则列方程为（ ）A ．688（1+x ）2=1299B ．1299（1+x ）2=688C ．688（1-x ）2=1299D ．1299（1-x ）2=6883．三角形在正方形方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．不等式组的解在数轴上表示为（ ）5．如图，∠1与∠2是（ ）A ．对顶角B ．同位角C ．内错角D ．同旁内角6．如图是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）34433545532521x x +⎧⎨-≥⎩＞7．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能是（ ）（A ）AE=CF （B ）BE=FD （C ）BF=DE （D ）∠1=∠28．二元一次方程组的解是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 9．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9．2环，方差分别为，则成绩最稳定的是（ ）（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁10．如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知反比例函数y ＝的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是 A ．k ＞2 B ．k≥2 C ．k≤2 D ．k ＜212．将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 （ ）⎩⎨⎧-=-=+236y x y x ⎩⎨⎧==15y x ⎩⎨⎧-=-=15y x ⎩⎨⎧==24y x ⎩⎨⎧-=-=24y x 2222s s 0.60,0.56,s 0.50,s 0.45==== 甲乙丁丙18090120602k x-A ． BCD ． 二、填空题13．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是．．士、象、帅的概率是__________． 14．函数中自变量的取值范围是．15．计算：= ． 16．某种生物孢子的直径为0．00058米,把0．00058用科学记数法表示为______________．17．分式方程的解是 ． 18．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为 元．19．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是_______________．（只需写出一个）20．二次函数的最小值是 ．21．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD= ．22．如图，是用火柴棒拼成的图形，第1个图形需3根火柴棒，第2个图形需5根火柴棒，第3个图形需7根火柴棒，第4个图形需 根火柴棒，……，则第个图形需 根火柴棒。

2021年中考数学走出题海之黄金30题系列一、单项选择题1．如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，以下结论：①假设C，O两点关于AB对称，那么OA=2√3；②C，O两点距离的最大值为4；③假设AB平分CO，那么AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为π.其中正确的选项是〔〕A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④【答案】D④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．详解：在Rt△ABC中,∵BC=2,∠BAC=30°，∴AB=4,AC=√42−22=2√3，①假设C.O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，那么OA=AC=2√3；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，AB=2,∴OE=CE=12当OC经过点E时，OC最大，那么C.O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2,当∠ABO=30°时, ∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3,斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心,以2为半径的圆周的14,那么：90π×2180=π,所以④正确；综上所述，此题正确的有：①②④；应选D.点睛：属于三角形的综合体，考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，轴对称的性质,弧长公式等，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.2．假设关于x的分式方程412ax x-=-的解为正整数，且关于x的不等式组1282{63xxa x-+-≤＞有解且最多有6个整数解，那么满足条件的所有整数a的值之和是〔〕学-科网A. 4B. 0C. -1D. -3【答案】C解不等式组1282{63xxa x--≤＋＞得，a≤x＜5.因为有解且最多有6个整数解，所以－2＜a≤－1.那么满足条件的所有整数a的值是－1，和是－1.应选C .点睛：由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．P 是BC 边上一动点，以PC 为直径作⊙O ，连结AP 交⊙O 于点Q ，连结BQ ，点P 从点B 出发，沿BC 方向运动，当点P 到达点C 时，点P 停止运动．在整个运动过程中，线段BQ 的大小变化情况是〔 〕A. 一直增大B. 一直减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大【答案】D【解析】分析：首先找出几个特殊的点，然后画出图形得出BQ 的长度，从而我们可以得出BQ 的变化过程． 详解： 当点P 和点B 重合时，BQ 的长度到达最大值；当点P 在BC 的中点时，BQ 的长度到达最小值，当点P 往点C 移动时，PQ 的长度又开始增大． 应选D ．点睛：此题主要考查的是动点问题，综合性比拟强，难度较大．对于这个问题的关键就是画出图形，从而得出变化过程．4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD =13，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，假设CF ＝2，AF ＝3．给出以下结论：①△ADF ∽△AED ；②FG ＝2；③tan ∠E ＝√52； ④S △DEF ＝4√5．其中正确的选项是结论的个数是〔 〕(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C【解析】分析：①由垂径定理证得∠ADF ＝∠AED ；②由垂径定理证得DG ＝CG ；③∠E ＝∠ADG ，在Rt △ADG 中，求tan ∠ADG ；④先S △ADF ，由△AFD ∽△ADE ，求得S △ADE ；③Rt △AFG 中，AF ＝3，FG ＝2，由勾股定理得AG ＝√5， Rt △ADG 中，tan ∠ADG ＝AG DG ＝√54.∵∠E ＝∠ADG ，所以tanE ＝√54. ④Rt △ADG 中，AG ＝√5，DG ＝4，由勾股定理得AD ＝√21，S △ADF ＝12DF ·AG ＝12×6×√5＝3√5.∵∠ADF ＝∠E ，∠DAF ＝∠EAD ，∴△AFD ∽△ADE ，∴S△AFDS△ADE ＝(AFAD)2，即3√5S△ADE＝(√21)2，那么S△ADE＝7√5.∵S△DEF＝S△ADE－S△AFD，∴S△DEF＝7√5－3√5＝4√5，所以正确的结论是①②④.应选C.点睛：当不能直接求一个三角形的面积时，可求另一个与它相似的三角形的面积，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.5．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数y=kx(k＞0)的图象分别与BC、CD交于点M、N．假设点A(－2，－2)，且△OMN的面积为32，那么k＝( )(A)2.5 (B)2 (C)1.5 (D)1【答案】B【解析】分析：过点M作MQ⊥x轴于点Q，由S四边形EOF＝S四边形CHOG，设C(a，4a)，分别用含a，k的式子表示点M，N的坐标，根据S△OMN＝S梯形MNGQ.列方程求k.详解：过点M作MQ⊥x轴于点Q，因为S四边形EOF＝S四边形CHOG，所以CG·CH＝4，设C(a，4a )，那么M(ak4，4a)，N(a，ka).S△OMH＝S△ONG＝S△OMQ＝k2，因为S五边形OMNG＝S△OMN＋S△ONG＝S△OMQ＋S梯形MNGQ.所以S△OMN＝S梯形MNGQ.那么32＝12(ka＋4a)(a－ak4)，解得k＝2.应选B.点睛：过反比例函数y＝kx(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足，原点，P点组成一个矩形，矩形的面积S＝|x|·|y|＝|xy|＝|k|．过反比例函数上一点，作垂线，三角形的面积为12|k|．6．在平面直角坐标系中，正方形A BCD的位置如下图，点A的坐标为〔2，0〕，点D的坐标为〔0，4〕．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为〔〕A. 20（32）2017B. 20（32）2018C. 20（32）4034D. 20（32）4036【答案】C【解析】分析: 先求出正方形ABCD 的边长和面积，再求出第一个正方形A 1B 1C 1C 的面积，得出规律，根据规律即可求出第2021个正方形的面积.详解: ∵点A 的坐标为〔2，0〕，点D 的坐标为〔0，4〕，∴OA=2，OD=4，∵∠AOD=90°，∴AB=AD=2√5，∠ODA+∠OAD=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，S 正方形ABCD =〔2√5〕2=20，∴∠ABA 1=90°，∠OAD+∠BAA 1=90°，∴∠ODA=∠BAA 1，∴△ABA 1∽△DOA，∴BA 1OA =AB OD ，即 BA 12=2√54， ∴BA 1=√5，∴CA 1=3√5，∴正方形A 1B 1C 1C 的面积=〔3√5〕2=20×94，…，故正方形A 2021B 2021C 2021C 2021的面积为：20×〔94〕2021=20·(32)4034.应选：C ．点睛: 此题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD 和正方形A 1B 1C 1C 的面积得出规律是解决问题的关键.7．如图〔1〕，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ，设P,Q 出发t 秒时， △BPQ 的面积为y 〔cm 2〕，y 与t 的函数关系的图象如图〔2〕〔曲线OM 为抛物线的一局部〕，那么以下结论：①AB＝6cm ；②直线NH 的解析式为y=-5t+90；③△QBP 可能与△ABE 相似；④当t ＝13秒时，∠PBQ＝30°.其中正确的结论个数是〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据图〔2〕可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C，从而得出BC、BE的长度，再根据MN的长度，可得ED的长度，从而可得AE的长度，求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可.【详解】①根据图〔2〕可得，当点P到达点E时点Q到过点C，∴BC=BE=10cm，S△BCE=12BC·AB=30，∴AB=6cm，故①正确；③当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，由AD=BC=10，ED=2，得AE=8，如下图，∵tan∠BPQ=tan∠ABE=86=BQPQ，∴BQPQ =43，∵BQ=10cm，∴PQ=7.5cm，∴PQ>CD(CD=6cm)，∴△ABE与△QBP不可能相似，故③错误；④t=13时，PQ=18-13=5，此时tan∠PBQ=PQBQ =510=12，∴∠PBQ≠30°，故④错误，综上，可知①②正确，应选B.【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，根据图〔2〕判断出点P到过点E时，点Q到达点C是解题的关键，难度较大.8．如图，点P为函数y=16x〔x＞0〕的图像上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P半径为2，A〔3，0〕，B〔6，0〕，点Q是⊙P上的动点，点C是QB的中点，那么AC的最小值是( ) A. 221- B. 221 C. 4 D. 2【答案】A【解析】∵点P为函数y=16x〔x＞0〕的图像上一点，且到两坐标轴距离相等，∴P〔4，4〕. 连接OQ，∵A 〔3，0〕，B 〔6，0〕，∴A 为OB 的中点，∵点C 是QB 的中点，∴AC=12OQ ， 即可得当OQ 的值最小时，AC 的值最小；连接OP 交⊙P 于点Q ，此时OQ 最小.根据勾股定理求得OP=42，可得OQ=42-2.∴AC 的最小值为：()1142222122OQ =⨯-=-. 应选A.点睛：此题考查了圆中的最短路径问题，利用的知识点主要是三角形的中位线定理，确定出AC 最小时点Q 的位置是解题的关键.9．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上，对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．假设△EFB∽△AF 1E ，那么B 1D=〔 〕A. 65B. 75C. 85D. 95 【答案】C【解析】设BD=4x ，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=4，∵DE ⊥AB ，∠C=90°，∴△BED ∽△BAC ，∴BDDE =BCAC =43， ∴DE=3x ，由题意得，DF=2x ，由勾股定理得，EF=√13x ，由翻转变换的性质可知，EF 1=EF=√13x ，DF 1=DF=2x ，∵△EFB ∽△AF 1E ，∴BF EF 1=EF AF 1 ，即√13x =√13x5−6x ， 解得，x=25，那么B 1D=BD=4x=85，应选C ．点睛：此题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．，平面直角坐标系中，直线y 1=x +3与抛物线y 2=−12x 2+2x 的图象如图，点P 是y 2上的一个动点，那么点P 到直线y 1的最短距离为〔 〕A. 3√22B. 5√24C. √2D. 3√24【答案】B【点睛】此题考查了点到直线的距离，比拟困难，熟知点到直线的距离公式是解题的关键.二、填空题11．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE =13BC ，连接AE ，作BF ⊥AE ，分别与AE 、CD 交于点K 、F ，G 、H 分别在AD 、AE 上，且四边形KFGH 是矩形，那么HG AB =________．【答案】7√1030【解析】分析：由BE =13BC ，设BE=x ，那么BC=3x ，易证△ABE≌△BCF，得CF=BE=x,由勾股定理求出BF=√10x ，再证明△BKE ∽△BCF ，求得BK=3√1010x ．故HG=FK=7√1010x ，从而可求出HG AB的值 详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠BCD=90°.∴∠BAE+∠AEB=90°∴∠BKE=90°，∴∠KBE+∠BEK=90°，∴∠BAE=∠KBE.在△ABE 和△BCF 中，{∠BAE =∠CBF AB =BC ∠ABC =∠BCF =90°∴△ABE ≌△BCF∴CF=BE.∵BE =13BC ，设BE=x ，那么BC=3x ，∴BC=3x ，CF=x ，∴BF=√(3x)2+x 2=√10x∵∠BKE=∠BCF=90°，∠KBE=∠CBF,∴△BKE ∽△BCF∴BEBF =BKBC ，即√10x =BK3x ∴BK=3√1010x ∴KF=7√1010x ∵四边形KFGH 是矩形，∴GH= KF=7√1010x ∴GHAB =7√1010x 3x =7√1030点睛：此题考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质.12．如图，点O 为ABC 的外接圆圆心，点E 为圆上一点， BC OE 、互相平分， CF AE ⊥于F ，链接DF ，假设23OE = 1DF =，那么ABC 的周长为 ．【答案】8+46【解析】分析：连接OB OC 、，延长CF 交AB 于点G ，根据垂径定理得到=90ODB ∠︒， =2,3OB OE OD OB ==进而求出3,3,OD BD CD ===3060OBD BOD COD ∠=︒∠=∠=︒，，易证GAF ≌CAF ，得到22BG DF ==，22226AC AG CF EC OC =====.详解：连接OB OC 、，延长CF 交AB 于点G ，∵=OB OC ， BC OE 、相互平分,∴OE BC ⊥，即=90ODB ∠︒,∵=2,OB OE OD OB ==∴在Rt BOD 中，3,30==60OD BD CD OBD BOD COD ===∠=︒∠∠︒，,∵BE CE =，∴30GAF CAF ∠=∠=︒，又∵CF AE ⊥∴易证GAF ≌CAF ，∴22BG DF ==∵易证EF CF =，∴2AC AG CF =====∴8C ABC =+.故答案为： 8+.点睛：属于圆的综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质等，综合性比拟强，难度较大.13．如图，⊙O 的直径AB 的长12，长度为4的弦DF 在半圆上滑动，DE⊥AB 于点E ，OC⊥DF 于点C ，连接CE ，AF ，那么sin∠AEC 的值是_____，当CE 的长取得最大值时AF 的长是_____．【答案】 2√23， 4√3 【解析】分析：详解：如图1，连接OD ，∴DO =12AB =6， ∵OC ⊥DF ，∴∠OCD =90°，CD =CF =12DF =2， 在Rt △OCD 中，根据勾股定理得， OC =√OC 2−CD 2=4√2，∴sin ∠ODC =OC OD =4√26=2√33， ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO =90°=∠OCD ，∴点O，C，D，E是以OD为直径的圆上，∴∠AEC=∠ODC，，∴sin∠AEC=sin∠ODC=2√33如图2，∵CD是以OD为直径的圆中的弦，CE要最大，即：CE是以OD为直径的圆的直径，∴CE=OD=6，∠COE=90°，∵∠OCD=∠OED=90°，∴四边形OCDE是矩形，∴DF∥AB，过点F作FG⊥AB于G，易知，四边形OCFG是矩形，∴OG=CF=2，FG=OC=4√2，∴AG=OA−OG=4,连接AF，在Rt△AFG中，根据勾股定理得，AF=√AG2+FG2=4√3,，4√3．故答案为:2√33点睛：题目难度较大，涉及解直角三角形，勾股定理，圆的相关知识，综合性比拟强，对学生能力要求较高.14．如图，正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D 按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，那么AF的最小值是_____．学-科网【答案】3√2﹣1．【解析】分析：先找出AF最大值时，点E的位置，再判断出AF最大时，点C在AF上，根据正方形的性质求出AC，从而得出AF的最大值．详解：如图1，连接FC，AF，∵ED⊥DF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠EDA=∠CDF，在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF，∴CF=AE=1，∴AF＞AC﹣CF，即AF＞AC﹣1，∴当F在AC上时，AF最小，如图2，∵正方形ABCD的边长为3，∴AC=3，∴AF的最小值是3﹣1；故答案为：3﹣1．点睛：此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解此题的关键是AF最大时，AF过点C．难点是找出AF最大时，点E的位置，是一道中等难度的试题．15．关于x的一次函数y=kx+b〔k≠0〕，我们称函数y[m]= {kx+b(x≤m)−kx−b(x>m)，为它的m分函数〔其中m为常数〕．例如，y=﹣x+1的4分函数为：当x≤4时，y[4]=﹣x+1；当x＞4时，y[4]=x﹣1，假设y=﹣3x+2的2分函数为y[2]=5时，x=_____．【答案】﹣1或73．【解析】分析：根据阅读材料，先由函数的2分函数，代入即可，注意，函数值时5时分两种情况代入. 详解：依题意得：﹣3x+2=5或3x﹣2=5．解得x=﹣1或x=73．故答案是：﹣1或73．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，函数图象的交点坐标的求法，点到直线的距离，解此题的关键是理解新定义的根底上借助已学知识解决问题．16．设x1，x2，x3，…，x n是n个互不相同的正整数，且x1+x2+x3+…+x n=2021，那么n的最大值是______.【答案】63【解析】【分析】根据题意可设x1<x2<x3<…<x n，那么1+2+3+…+n≤x1+x2+x3+…+x n，即n(n+1)2≤2017，解关于n的不等式即可.【点睛】此题考查了最值问题，解答此题时，理解题目条件“x1，x2，x3，…，x n是n个互不相同的正整数〞中“互不相同〞这一条件是关键.17．如图平面直角坐标系中，O〔0，0〕，A〔4，4√3〕，B〔8，0〕．将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，假设OE=3211，那么CE：DE的值是．【答案】56．【解析】如图，过A作AF⊥OB于F，∵A〔4，4√3〕，B〔8，0〕，∴AF=4√3，OF=4，OB=8，∴BF=8﹣4=4，∴OF=BF，∴AO=AB，∵tan∠AOB=AFOF=√3，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠ABO=60°，∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，∴∠CED=∠OAB=60°，∴∠OCE=∠DEB，∴△CEO∽△DBE，∴OEBD =CEED=CDEB，设CE=a，那么CA=a，CO=8﹣a，ED=b，那么AD=b，DB=8﹣b，∴32118−b=ab，∴32b=88a﹣11ab ①，8−a 56 11=ab，∴56a=88b﹣11ab ②，②﹣①得：56a﹣32b=88b﹣88a，∴ab =56，即CE：DE=56．故答案为：56．18．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，那么以下结论：(1)EF＝√2OE；(2)S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝√2OA；(4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；(5)OG·BD＝AE2＋CF2，其中正确的选项是__．【答案】(1)(2)(3)(5)〔5〕易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG•OB=OE2，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论．【解答】解：〔1〕∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，∴∠BOF+∠COF=90°，∵∠EOF=90°，∴∠BOF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE和△COF中，{∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF,∴△BOE≌△COF〔ASA〕，∴OE=OF，BE=CF，∴EF=√2OE；故正确；〔2〕∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=14S正方形ABCD，∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；〔3〕∴BE+BF=BF+CF=BC =√2OA ；故正确； 〔4〕过点O 作OH ⊥BC ， ∵BC=1， ∴OH =12BC =12，设AE=x ，那么BE=CF =1﹣x ，BF=x ，∴S △BEF +S △COF =12BE•BF +12CF•OH =12x 〔1﹣x 〕+12〔1﹣x 〕×12=﹣12〔x ﹣14〕2+932， ∵a =﹣12＜0，∴当x =12时，S △BEF +S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =14；故错误； 〔5〕∵∠EOG =∠BOE ，∠OEG =∠OBE =45°， ∴△OEG ∽△OBE ， ∴OE ：OB=OG ：OE ， ∴OG•OB=OE 2， ∵OB =12BD ，OE =√22EF ，∴OG•BD=EF 2，∵在△BEF 中，EF 2=BE 2+BF 2， ∴EF 2=AE 2+CF 2，∴OG•BD =AE 2+CF 2．故正确． 故答案为：〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔5〕． 点睛：(1)旋转前后的图象是全等的，综合几何问题经常作为一个隐含条件，解决问题的钥匙.(2)几何中的最值问题，很多题要通过设未知量，建立函数关系，转化成二次函数最值问题，通过研究二次函数的最值，得到几何最值.19．如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线1k y x =和2ky x=的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，以下结论： ①AM CN =12k k ；②阴影局部面积是()1212k k -；③当12k k =时， 那么∠AOC=90°；④假设四边形OABC 是菱形，那么两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是______．【答案】①②④【解析】分析：作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，那么有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM=12|k1|=12OM•AM，S△CON=12|k2|=12ON•CN，所以有AMCN=12kk；由S△AOM=12|k1|，S△CON=12|k2|，得到S 阴影局部=S△AOM+S△CON=12〔|k1|+|k2|〕=12〔k1﹣k2〕；当|k1|=|k2|时，得到k1=-k2，k1＞0，k2＜0，从而得到S△CON=S△AOM，不能得到△AOM∽△CNO，无法证明∠AOC是否等于90°；假设OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，那么AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．当|k1|=|k2|时，得到k1=-k2，k1＞0，k2＜0，从而得到S△CON=S△AOM，不能得到△AOM∽△CNO，无法证明∠AOC 是否等于90°，故③错误；假设OABC是菱形，那么OA=OC，而OM=ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO，∴AM=CN，∴|k1|=|k2|，∴k1=﹣k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．故答案为：①②④．点睛：此题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质和菱形的性质．20．如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD对角线BD交CM于点N现有以下结论：①∠AMD=150°；②MA2=MN⋅MC；③S△ADMS△BMC=2−√33；④DNBN=√33，其中正确的结论有____________〔填写序号〕【答案】①②④【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，△BCM是等边三角形，根据正方形的性质、等边三角形的性质可对①作出判断；证明△DMN∽△CMD，即可对②作出判断；设BC=CD=2a，过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得MH=√3a，从而得EM=2a-√3a，根据S△ADMS△BMC =12AD·EM12BC·MH，即可对③作出判断；过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，那么可得BG= √3a ，DF=a，DF//BG，可以得到△DFN∽△BGN，根据相似三角形的性质即可对④作出判断.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，∠ADB=45°，∵△BCM是等边三角形，∴BM=MC=BC，∠MBC=∠BMC=∠BCM=60°，∴∠ABM=∠DCM=30°，AB=BM=CM=CD，∴∠BAM=∠CMD=∠CDM=75°，∴∠DAM=∠ADM=15°，∴∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=150°，故①正确；∵∠DAM=∠ADM=15°，∴AM=MD，∵∠ADB=45°，∴∠MDN=30°=∠MCD，∵∠CMD是公共角，∴△DMN∽△CMD，∴DM：CM=MN：DM，∴DM2=MN•CM，∴AM2=MN•CM，故②正确；设BC=CD=2a，过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，∵△MBC是等边三角形，∴BH=a，MH=√3a，∴EM=2a-√3a，∵AD=BC，∴S△ADMS△BMC =12AD·EM12BC·MH=√3a√3a=2√3−33，故③错误；过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，那么有BG=MH=√3a ，DF=12CD=a，DF//BG，∴△DFN∽△BGN，∴DNBN =DFBG=√3a=√33，故④正确，所以正确的结论有①②④，故答案为：①②④.【点睛】此题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，题目较难，正确地添加辅助线是解题的关键. 三、解答题21．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6相交于A 〔12，52〕和B 〔4，m 〕，点P 是AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC⊥x 轴，交抛物线于点C ，与x 轴交于M 点． 〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？假设存在，求出这最大值，假设不存在，请说明理由；〔3〕点P 在直线AB 上自由移动，当三个点C ，P ，M 中恰有一点是其它两点所连线段的中点时，请直接写出m 的值．【答案】(1) y=2x 2﹣8x+6；(2)见解析;(3) n 的值为5±√212或17±√1298．详解：〔1〕∵B 〔4，m 〕在直线y=x+2上， ∴m=6，那么B 〔4，6〕，∵A 〔12，52〕、B 〔4，6〕在抛物线y=ax 2+bx+6上，∴{4a +12b +6＝5216a +4b +6＝6.解得{a ＝2b ＝−8，∴所求抛物线的表达式为y=2x 2﹣8x+6；〔2〕设P 的坐标为〔n ，n+2〕〔12＜n ＜4〕，那么点C 的坐标为〔n ，2n 2﹣8n+6〕，∴PC=〔n+2〕﹣〔2n 2﹣8n+6〕=﹣2n 2+9n ﹣4=﹣2〔n ﹣94〕2+498，∵a=﹣2＜0，∴当n=94时，线段PC 取得最大值498；〔3〕设P 的坐标为〔n ，n+2〕，那么点C 的坐标为〔n ，2n 2﹣8n+6〕，假设M 点为PC 的中点，那么PM=CM ，即n+2=﹣〔2n 2﹣8n+6〕，整理得2n 2﹣7n+8=0，此方程没有实数解； 假设P 点为CM 的中点，那么PM=PC ，即2n 2﹣8n+6=2〔x+2〕，整理得n 2﹣5n+5=0，解得n 1=5+√212，n 2=5−√212； 假设C 点为PM 的中点，那么PC=CM ，即n+2=2〔2n 2﹣8n+6〕，整理得4n 2﹣17n+10=0，解得n 1=17+√1298，n 2=17−√1298；综上所述，n 的值为5±√212或17±√1298． 点睛：考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的方法解决数学问题． 22．〔1〕问题发现如图1，四边形ABCD 为矩形，AB=a ，BC=b ，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，Rt△PEF 的两条直角边PE ，PF 分别交BC ，DC 于点M ，N ，当PM⊥BC，PN⊥CD 时，PMPN = 〔用含a ，b 的代数式表示〕． 〔2〕拓展探究在〔1〕中，固定点P ，使△PEF 绕点P 旋转，如图2，PM PN 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．〔3〕问题解决【答案】(1)ab ;(2)见解析;(3) a 2(n+1)2【解析】分析：〔1〕先判断出△PMC∽△ABC，得出CMPM =BCAB =ba ，再判断出四边形CNPM 是矩形，即可得出结论；〔2〕先过P 作PG⊥BC 于G ，作PH⊥CD 于H ，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；〔3〕先判定△PMC∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解，再计算其面积； 详解：〔1〕∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ⊥BC ，∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴CMPM =BCAB=ba∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，∴四边形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴PMPN =ab，故答案为ab；〔2〕如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，那么∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴PMPN =PGPH由PG∥AB，PH∥AD可得，PGAB =CPCA=PHAD,∵AB=a，BC=b∴PGa =PHb，即PGPH=ab,∴PMPN =ab，故答案为ab；〔3〕∵PM⊥BC，AB⊥BC ∴△PMC∽△ABC∴CPCA =PMAB当AP=nPC时〔n是正实数〕，PMAB =1n+1∴PM=1n+1a∴四边形PMCN的面积=(1n+1a)2=a2(n+1)2，故答案为：a 2(n+1)2．点睛：相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．23．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE，过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P．〔1〕求证：AC2=AE•AB；〔2〕试判断PB与PE是否相等，并说明理由；〔3〕设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】〔1〕〔2〕见解析；〔3〕线段PQ的最小值是4√213﹣4．【解析】分析：〔1〕证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；〔2〕如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；〔3〕如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，那么PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．详解：证明：(1)如图1,连接BC,∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CB̂=CÂ,∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴ACAB =AEAC，∴AC2=AE⋅AB；(2)PB=PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线,∴OB⊥PB，∴∠OBP=90∘，∴∠PBN+∠OBN=90∘，∵∠OBN+∠COB=90∘，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；(3)如图3，∵N为OC的中点，∴ON=12OC=12OB,Rt△OBN中, ∠OBN=30∘，∴∠COB=60∘，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，那么PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=12∠COB=30∘，∴∠PEB=2∠A=60∘，∠ABP=90∘−30∘=60∘，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中, BN=√42−22=2√3，∴AB=2BN=4√3，设AE=x,那么CE=x, EN=2√3−x，Rt△CNE中, x2=22+(2√3−x)2，x=4√3 3，∴BE=PB=4√3−4√33=8√33，Rt△OPB中, OP=√PB2+OB2=4√213，∴PQ=4√213−4.那么线段PQ的最小值是4√213−4.点睛：属于圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等，第3问有难度，确定PQ最小时，点Q的位置是解题的关键.24．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在原点。

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( )． A. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[－1,0] C ．(－∞，－2] D. 9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭2．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．15(,7)3C ．48(,)33D. ()7,23．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'(f x f x x f x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<4．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ）A 、11B 、10C 、9D 、86．已知数列a n ：12132143211121231234，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( ) A.3724 B.76 C.1115 D.7157．现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.PQ =∅8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ--+=--（x ＞2）的最小值（ ）A.42B.22C.142+D.142-+9．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是 （ ）A ．5[2,2] B ．510[,]23 C ．10[2,]3 D ．1[,4]410．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()A ．65π B ．32π C ．π D ．67π 11．已知A 、B 是椭圆2222x y a b +＝1(a ＞b ＞0)和双曲线2222x y a b-＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP ＋BP ＝λ(AM ＋BM )，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.12．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且2a 、5a 、14a 分别是等比数列{}n b 的2b 、3b 、4b . （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，求122014c c c +++的值.13．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a qN N **挝.14．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2.(1)求证：C 1E ∥平面ADF ；(2)设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF?16．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝1，D 为线段BC 的中点，E 、F 为线段AC 的三等分点(如图①)．将△ABD 沿着AD 折起到△AB′D 的位置，连结B′C(如图②)． (1)若平面AB′D ⊥平面ADC ，求三棱锥B′-ADC 的体积；(2)记线段B′C 的中点为H ，平面B′ED 与平面HFD 的交线为l ，求证：HF ∥l ； (3)求证：AD ⊥B′E.17．如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是2，D 棱AC 的中点，E 是1CC 棱的中点，AE 交1A D 于点H.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BA A --的余弦值； （3）求点1B 到平面1A BD 的距离.18．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点, 点2(1,)2P 在椭圆上C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.19．如图,已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M 、N 两点，其准线l 与x 轴交于K 点.（1）求证：KF 平分∠MKN ；（2）O 为坐标原点，直线MO 、NO 分别交准线于点P 、Q ，求PQ MN +的最小值.20．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(1,0)F -,且过点2(1,)2Q .(1)求椭圆E 的方程;(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，且满足(1)BP AP λλ=>. ①若3λ=,求113||||AF BF +的值;②若M 、N 分别为椭圆E 的左、右顶点，证明: 11.AF M BF N =∠∠21．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =．22．已知动点P 到点A (－2,0)与点B (2,0)的斜率之积为－14，点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D .求证，A ，D ，N 三点共线．23．已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的离心率与双曲线1222=-x y 的离心率互为倒数，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设第（2）问中的2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅RS QR ,求||QS 的取值范围.24．已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <； （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：111x e<<且122x x +>.（注：e 为自然对数的底数） 25．已知0x >，函数()ln 1axf x x x =-+. （1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有两个极值点（设为1x 和2x ）时，求证：()()()1211x f x f x f x x x++≥⋅-+⎡⎤⎣⎦. 26．已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.27．已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅．(1)求()f x 的单调区间；(2)当2t >-时，判断(2)f -和()f t 的大小，并说明理由；(3)求证：当14t <<时，关于x 的方程：2'()2(1)3xf x t e =-在区间[2,]t -上总有两个不同的解． 28．已知函数ln ()1xf x x=-. （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； （3）试证明：对任意*n N ∈，不等式11ln()e n nn n++<都成立（其中e 是自然对数的底数）． 29．已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈）（1）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由．30．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x ＞0，都有f ′(x)＞()f x x． （Ⅰ）判断函数F(x)＝()f x x在(0，＋∞)上的单调性； （Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．。

历年高考物理真题精选之黄金30题专题06 抛体运动一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。

若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。

下列说法正确的是（）A．相邻位置运动员重心的速度变化相同B．运动员在A、D位置时重心的速度相同C．运动员从A到B和从C到D的时间相同D．运动员重心位置的最高点位于B 和C中间【答案】A【解析】A．因每次曝光的时间间隔相等，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员重心的速度变化均为g∆t，选项A正确；B．运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，选项B错误；C．由图可知，运动员从A到B为4∆t，从C到D的时间5∆t，时间不相同，选项C错误；D．运动员重心位置的最高点位于C点，选项D错误。

故选A。

2．（2012·上海·高考真题）如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则（）A ．v 0< v <2v 0B ．v =2v 0C ．2v 0< v <3v 0D ．v >3v 0【答案】 A 【解析】小球从a 点正上方O 点抛出，做初速为v 0的平抛运动，恰落在b 点，改变初速度，落在c 点，知水平位移变为原来的2倍，若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于运动时间变长，则初速度小于2v 0，故A 正确，BCD 错误．3．（2013·安徽·高考真题）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m 3/min ，水离开喷口时的速度大小为，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g 取10m/s 2） A ．28.8m ； 1.12×10-2m 3 B ．28.8m ；0.672m 3 C ．38.4m ；1.29×10-2m 3 D ．38.4m ；0.776m 3【答案】 A 【解析】水在空中做斜抛运动，将水的速度分解到水平方向和竖直方向，在竖直方向上的分初速度0sin6024m/sy v v ==因此水柱的高度228.8m2yv h g==水从喷出到最高点的时间2.4sy v t g ==这样空中的水量230.282.4 1.1210m 60Q -=⨯=⨯故选A 。

专题06 考前必做难题30题一、选择题1．某CaCl2样品中，可能含有KNO3、CuCl2、MgCl2、NaCl和Na2CO3中的某些物质，取该样品11．1克溶于适量水中，得到澄清的无色溶液，然后向其中加入足量．AgNO3溶液，得到28．7克白色沉淀，则该样品组成的下列推断中正确的是（）A．只有MgCl2，没有NaCl B．肯定没有CuCl2和Na2CO3C．肯定有MgCl2和KNO3D．样品可能由CaCl2、NaCl、MgCl2组成【答案】BD【解析】取该样品11．1克溶于适量水中，得到澄清的无色溶液，说明一定不含蓝色的氯化铜和碳酸钠溶液；因为碳酸钠和氯化钙反应生成沉淀，故选项B正确；然后向其中加入足量．AgNO3溶液，得到28．7克白色沉淀，假设为纯净的氯化钙生成的氯化银的质量为X;都没有，含有不反应的硝酸钾；故答案选择BD2．为除去下列物质中的杂质（括号内为杂质），选用的试剂和操作方法都正确的是（）序号物质选用试剂操作方法A CO2气体（HCl）NaOH溶液洗气B FeSO4溶液（CuSO4）Al粉加过量Al粉、过滤C KNO3固体（KOH）H2O、CuSO4溶液溶解、过滤、蒸发结晶溶解、加过量NaOH溶液、过滤、加过D NaCl固体（MgCl2）H2O、NaOH溶液、盐酸量盐酸、蒸发结晶【答案】D【解析】：A、氢氧化钠溶液与稀盐酸和二氧化碳都能发生反应，错误；B、铝粉和硫酸铜和硫酸亚铁都能发生置换反应，错误；C、硫酸铜和氢氧化钾反应，生成氢氧化铜和硫酸钾，引来新的杂质，错误；D、氯化镁和氢氧化钠反应，生成氢氧化镁和氯化钠，过量的氢氧化钠与盐酸反应，生成氯化钠和水，正确。

故选D3．下列图像与对应的说法正确的是（）A．向NaOH溶液中加水稀释 B．等质量的Al、Zn与足量的稀硫酸反应C．向稀硫酸中加入Ba(OH)2溶液 D．在恒温的条件下，适量蒸发饱和NaCl溶液的水分【答案】C4．某白色固体甲，可能含有硫酸钠、氢氧化钠、碳酸钠、氯化钠中的一种或几种；某无色溶液乙是初中化学常见的一种可溶性钡盐溶液。

一、单选题1．如图，△ABC 内接于⊙O ，OC ⊥OB ，OD ⊥AB 于D 交AC 于E 点，已知⊙O 的半径为1，则22AE CE 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42．如图，一个半径为r （r ＜1）的圆形纸片在边长为10的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（ ）A ．πr 2B ．C ．r 2 D ．r 23．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数(k ＞0)的图象分别与BC 、CD 交于点M 、N ．若点A (－2，－2)，且△OMN 的面积为，则k ＝( )(A)2.5 (B)2 (C)1.5 (D)14．在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如右图所示，点A 的坐标为(1，0)，点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1,…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（）A. 5·B. 5·C. 5·D. 5·5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m （am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A. ①②③B. ①③④C. ③④⑤D. ②③⑤6．已知有9张卡片，分别写有1到9这就个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，若数a使关于x的不等式组()431{122x xxx a≥+--<有解，且使函数22y x ax=-在x≥7的范围内y随着x的增大而增大，则这9个数中满足条件的a的值的和是（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 137．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜-ba；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论个数是（）A. ①③④B. ①③C. ①④D. ②③④8．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点A′，D′处，且A′D′ 经过点B ，EF 为折痕，当D′F ⊥CD 时，CFFD的值为A.312- B.312- C. 313- D. 313- 9．如图，在等腰Rt △ABC 中，斜边AB=8，点P 在以AC 为直径的半圆上，M 为PB 的中点，当点P 沿半圆从点A 运动至点C 时，点M 运动的路径长是（ ）A. 22πB. 2πC. 2πD. 22二、填空题10．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .11．如图，在平面直角坐标系中，Q （3，4），P 是在以Q 为圆心，2为半径的⊙Q 上一动点，设P 点的横坐标为x ，A （1，0）、B （-1，0），连接P A 、PB ，则P A 2+PB 2的最大值是A. 64B. 98C. 100D. 12412．如图，边长为a 的等边△ACB 中，E 是对称轴AD 上一个动点，连EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到MC ，连DM ，则在点E 运动过程中，DM 的最小值是_____。

一、选择题1．的相反数是（）A. B.﹣ C.2 D.﹣22．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD∥BCB.OA=OC，OB=ODC.AD=BC，AB∥CDD.AB=CD，AD=BC4．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9．这5个数据的中位数是（）A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8 6．由几个大小不同的正方形组成的几何图形如图，则它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．7．不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A ．1x 3-＞B ．1x 3-＜C ．x 1-＞D ．x 1-＜8．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位9．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球的个数为（）A ．18B ．20C ．24D ．2810． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是（）A.x y 523x 2y 20+=⎧⎨+=⎩B.x y 522x 3y 20+=⎧⎨+=⎩C.x y 202x 3y 52+=⎧⎨+=⎩D.x y 203x 2y 52+=⎧⎨+=⎩11．如图，三棱柱的体积为10，其侧棱AB 上有一个点P 从点A 开始运动到点B 停止，过P 点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分，它们的体积分别为x 、y ，则下列能表示y 与x 之间函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．则下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=CG ；③AG ∥CF ；④S △EGC=S △AFE ；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．分解因式：2a a - =．14．计算：50°﹣15°30′=．15．在函数y=中，自变量x的取值范围是．16．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是cm．17．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数k（k≠0）在第一象限的图象经过OA的yx中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．18．某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为元．19．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．20．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC 绕点D 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ′，B ′C ′与AB 交于点E ，则S 四边形ACDE=．21．分式方程x x 1x 2x -=+的解为x=．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．三、解答题23．（1）计算：(1014sin451282-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭．（2）先化简，再求值：()()()2a a 3b a b a a b -++--，其中1a 1b 2==-，．24．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．25．海南有丰富的旅游产品．某校九年级（1）班的同学就部分旅游产品的喜爱情况对游客随机调查，要求游客在列举的旅游产品中选出喜爱的产品，且只能选一项，以下是同学们整理的不完整的统计图：根据以上信息完成下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）随机调查的游客有人；在扇形统计图中，A部分所占的圆心角是度；（3）请根据调查结果估计在1500名游客中喜爱黎锦的约有人．26．已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取元，若某企业2014年3月份水费外，超过80吨部分每吨另加收x20的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．28．如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线21=上的一个动点，y x2且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．（1）当m2=时，求S的值．（2）求S关于()≠的函数解析式．m m2（3）①若S＝3时，求AF的值；BF②当m＞2时，设AF k=，猜想k与m的数量关系并证明．BF29．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．30．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？31．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．不久，第二列快车也从甲地发往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分后，第二列快车与慢车相遇．设慢车行驶的时间为x（单位：时），慢车与第一、第二列快车之间的距离y（单位：千米）与x（单位：时）之间的函数关系如图1、图2，根据图象信息解答下列问题：（1）甲、乙两地之间的距离为千米．（2）求图1中线段CD所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）请直接在图2中的（）内填上正确的数．32．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．。

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ( )． A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[－1,0]C ．(－∞，－2] D.9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭【答案】A2．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．15(,7)3C ．48(,)33D.()7,2【答案】B3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A4．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B.当0a <时，12120,0x x y y +>+<C.当0a >时，12120,0x x y y +<+<D.当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】：B【解析】：令)()(x g x f =可得b ax x +=21zxxk 学科网设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <，结合图形可知，5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（） A 、11B 、10C 、9D 、8 【答案】B 【解析】零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．【考点定位】1、导数的应用,2、根的存在性定理.6．已知数列a n ：12132143211121231234，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为()A.3724B.76C.1115D.715【答案】A7．现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（） A ．PQ B.Q P C.P Q = D.P Q =∅【答案】C 【解析】对()1xf x x =-求导得：21()(1)f x x '=--.由21()2(1)f x x '=-=--得212x =+.由此得切点为2(1,12)2++.代入()2g x x t =-+得223t =+.由图可知223t <+时，函数()1xf x x =-，8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ--+=--（x ＞2）的最小值（）A.42B.22C.142+D.142-+ 【答案】A 【解析】9．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是（）A ．5[2,2]B ．510[,]23C ．10[2,]3D ．1[,4]4【答案】C【考点定位】线性规划.10．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小 【答案】Ｂ 【解析】考点：直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到面的距离11．已知点A 在抛物线24y x =上，且点A 到直线10x y --=的距离为2，则点A 的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】考点：点到直线的距离，直线与圆锥曲线的公共点问题.12．已知函数2()(2),[2,)xf x x x e x =-∈-+∞,()f x '是函数()f x 的导函数，且()f x '有两个零点1x 和2x (12x x <),则()f x 的最小值为()A ．1()f xB ．2()f xC ．(2)f -D ．以上都不对 【答案】B 【解析】试题分析：22'()(22)(2)[(22)2]x x xf x x a e x ax e x a x a e =-+-=+--，由题意12'()'()0f x f x ==，当1x x <或2x x >时，'()0f x >，当12x x x <<时，'()0f x <，因此()f x 的最小值是2()f x ，选B ．考点：函数的极值与最值．13.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为()（A ）2（B ）22（C ）3（D ）433【答案】C 【解析】14．已知1a >，且函数xy a =与函数log a y x =的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为 .【答案】(,)e e【考点】导数与切线．15.如图，在ABC ∆中，1,2,120===∠AC AB BAC，D 是边BC 上一点，BD DC 2=，则BC AD ⋅=_________．【答案】38- 【解析】试题分析：()AC AB AB AC AB BC AB BD AB AD 31323131+=-+=+=+=, AB AC BC -=()38323131313222-=-+⋅=-⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅∴AB AC AC AB AB AC AC AB BC AD .考点：向量的数量积16．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n ，证明：120122()13q <<.（Ⅲ）证明：nn S T （1,2,3,n ）的充分必要条件为1,a q N N .【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.【解析】zxxk 学科网即,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥（Ⅱ）证明：因为201421()n T n n =+≤，所以113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤.因为[]n n b a ，所以1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤.（必要性）因为对于任意的n N ，n n S T ，当1n =时，由1111,a S b T ，得11a b ；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.zxxk 学科网 所以对一切正整数n 都有n n a b =. 由nb Z ，0n a ，得对一切正整数n 都有na N ，所以公比21a q a =为正有理数. 假设q N ，令pqr，其中,,1p r r N ，且p 与r 的最大公约数为1.因此1a N ，q *∈N .【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、充要条件.17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PA 的中点．⑴求证：PC平面BDE ；⑵求证：平面PAC ⊥平面BDE ； ⑶若PA a =，求三棱锥C BDE -的体积．【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=． 【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面的平行的证明以及面面垂直的郑敏而后三棱锥体积的运算的因为ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点，又因为E 为PA 的中点，所以ME 为PAC ∆的中位线， 所以MEPC ，……………3分又因为ME ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，zxxk 学科网 所以PC平面BDE ．……5分⑵因为ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又ACPA A =，所以BD ⊥平面PAC ．………………………………………………………………8分 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ．…………………………10分 ⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=．…………………………14分 【考点定位】空间直线与平面的位置关系；2、几何体的体积.zxxk 学科网18．如图①，已知∆ABC 是边长为l 的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将∆ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF ，其中BC=22．(1)证明：DE//平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD=23时，求三棱锥F-DEG 的体积F DEG V - 【答案】(1)详见解析，(2)详见解析，3zxxk 学科网 【解析】在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ (2)DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF (4)（2）在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥,12BF CF ==……..5 在三棱锥A BCF -中,22BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥.......7 BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面zxxk 学科网.. (9)（Ⅲ）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面．1111113133232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭………….13 【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理,几何体的体积.19．菱形ABCD 的边长为3，AC 与BD 交于O ，且 60=∠BAD ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥B ADC -（如图），点M 是棱BC 的中点，32DM =．（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ；（2）求三棱锥ABD M -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）9316. 【解析】zxxk 学科网试题解析：(1）由题意，32OM OD ==, 因为32DM =,所以90DOM ∠=，OD OM ⊥．3分【考点定位】面面垂直，几何体的体积.20．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点2(1,2P 在椭圆上C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）1222=+y x ；（2）满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0) 【解析】试题解析：(1)法一：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分222211211a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩2分 2,1a b ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分法二：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分222212222||||(11)(0)(11)(0)2222a PF PF =+=-+-++-=分 ∴2,1ab ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分21．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =．【答案】(1)2212y x -=；(2)29；(3)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在12Rt MF F ∆中，︒=∠3021F MF ，212221F F c b ==+21F M b =，通过直角三角形的关系就可求得b ；(2)由(1)知双曲线的渐近线为2y x =，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点P 作该双曲线两条渐近线的垂线12,PP PP ，12PPP ∠为锐角，这样这题我们只要认真计算，设P 点坐标为00(,)x y ，由点到直线距离公式求出距离12,PP PP ，利用两条直线夹角公式求出12cos PPP ∠，从而得到向量的数量积21PP PP ⋅；(3)首先2AB OM =等价于OA OB ⊥，因此设1122(,),(,)A x y B x y ，我们只要则点Q 到两条渐近线的距离分别为00001222|||33x y x y PP PP -+==分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -= 又1cos 3θ=，所以220000002221233933x y x y x y θ-+-==⋅=10分（3）由题意，即证：OA OB ⊥zxxk 学科网设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=11分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：【考点定位】(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．22．已知动点P 到点A (－2,0)与点B (2,0)的斜率之积为－14，点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D .求证，A ，D ，N 三点共线．【答案】（1）24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．（2）见解析【解析】(1)解 设P 点坐标(x ，y )，则k AP ＝2y x +(x ≠－2)，k BP ＝2y x -(x ≠2)，由已知2y x +·2y x -＝－14，化简，得24x ＋y 2＝1，所求曲线C 的方程为24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．＝2414kk＋，所以Q 222284(,)1414k k k k -＋＋. 当x ＝4，得y M ＝6k ，即M (4,6k )．zxxk 学科网 又直线BQ 的斜率为－14k ，方程为y ＝－14k (x －2)，当x ＝4时，得y N ＝－12k ，即N 1(4,)2k-.直线BM 的斜率为3k ，方程为y ＝3k (x －2)．因为k AD ＝－112k ，k AN ＝－112k，所以k AD ＝k AN .zxxk 学科网 所以A ，D ，N 三点共线．【考点定位】1、轨迹方程；2、直线与椭圆的关系.23．已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的离心率与双曲线1222=-x y 的离心率互为倒数，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设第（2）问中的2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅RS QR ,求||QS 的取值范围.【答案】（1）12322=+y x ；（2）x y 42=（3）[)+∞,58 【解析】试题分析：（1）双曲线的离心率为3，所以椭圆的离心率为3。

1．读下图，下列诗句与之无关联的是A。

丝绸茶叶陶瓷萃，商贾僧人行旅偕.B. 朝野交流穿朔漠，中西融合越重洋。

C。

羌笛魂断阳关路，南海船沉水晶宫。

D. 辟航路欲往东土，至新陆不知何处。

【答案】D2．两次工业革命时期英国各类产品产量的增长，其中各经济部门的产出指数（1750年或1800年为1）。

由下表可以推知，1750年到1900年年份棉织品煤生铁汽船毛织品人口175011。

01。

0—1。

0 1.0180024 2.16。

71。

01。

41。

5185026710。

683。

356。

02。

23。

1190078853。

2337。

224027.25。

6—-摘自杰克·戈德斯通《为什么是欧洲？》A。

新的生产组织形式作用明显 B. 新兴工业是人均产出增加的主因C. 科技转化为生产力的速度明显加快D。

工业超过农业成为国民经济主导【答案】B【解析】本题主要考查两次工业革命.根据材料信息，结合所学知识可知表格强调的是纺织、钢铁、煤炭等新兴的工业导致人均产出的增加，选B是符合题意的，正确；材料强调新兴工业的作用而非新的生产组织形式的作用,选项A不符合题意，排除；科技转化为生产力的速度明显加快是第三次工业革命的特点，而本题考查的是前两次工业革命，选项C不符合题意，排除；选项D在材料中无从体现，不符合题意，排除；故本题选B。

学科网3．1787年美国制宪会议代表们经过激烈讨论，最终放弃立法权为最高权力的早期实践，加强行政、司法权力，行政、立法、司法三权分立制衡。

这一变化说明美国A. 政权建设注重制度创新B。

三权分立学说深得民心C。

两党之间斗争异常激烈D。

深受英国政治体制影响【答案】A4．下图是近代某国某时期的政体示意图:示意图所示制度特点是A. 行政权由总统和内阁共同执掌B. 内阁独立对议会负责C. 元首是选民直选产生D. 元首拥有任命内阁、主宰议会等大权【答案】A【解析】从材料中元首是选举产生的可以看出元首不是君主而是总统。