15 函数性质的综合应用(练习+详细答案)

函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f （0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。

函数及函数综合应用 一、函数的表示(分段函数)【典型例题】例1.1 设 f (x )={x +1，x ≤02x ， x >0 ，则满足f(x)+f (x －12)>1的x 的取值范围是 .【答案】(－14，+∞) 【解析】当x ≥12时：显然成立； 当12≥x >0时：f(x)+f (x －12)=2x +x －12+1>1，成立 当x <0时：f(x)+f (x －12)= x +1+x －12+1>1，解得x >－14【要点】分段函数处理方法一：分段解析例1.2 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-<<-2,8620,22x x x x x x，若两两不相等的正数a 、b 、c 满足f(a)=f(b)=f(c)，则:(1) a+b+c 的取值范围是 . (2) abc 的取值范围是 . 【答案】(1) (7，8) (2) (9，16)【解析】(1)作出y=f(x)的图像，不妨设a<b<c ，则显然0<a <2<b <3<c <4，由对称性b+c =6，由x =3的y max =1，此时x =1，a ∈(1，2)；，a+b+c ∈(7，8)(2)设y=t ，(0<t <1) 则，a =， b 、c 是方程－x 2+6x －8=t 的两根，由韦达定理bc =8+t ，abc ==∈(9，16) 【要点】(1)图像是研究分段函数重要的辅助工具(2)多变量目标函数求范围，要点是研究多个变量之间的关系，将目标函数化为一个变量的函数例1.3 已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，， 若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ．【答案】[－2，0]【解法一】由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax . ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .a 的下界为抛物线y= x 2－2x 在(0，0) 处的切线斜率故由y’=2x －2知k 切线=－2，∴ a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]．∴∴a t a =-212+t ∴1)8(2++t t 2114++t【解法二】x >0时，g(x)=|f (x )|－ax =ln(x +1)－ax ，当a >0时：x →+∞时g(x) →−∞，不符题意 当a ≤0时：g(x)为增函数，g(x)>g(0)=0，符合题意x ≤0时，g(x)=|f (x )|－ax =x 2－2x －ax =x (x －(a +2))≥0，即x －(a +2)≤0，故a ≥x －2，由x ≤0知a ≥－2例1.4 用min {a,b }表示a,b 两个数中的较小值，用max {a,b }表示a,b 两个数中的较大值，设f(x)=x 2－2(a +2)x +a 2，g(x)=－x 2+2(a －2)x －a 2+8. 令H 1(x )=max {f(x)，g(x)}，记H 1(x )的最小值为A ；令H 2(x )=min {f(x)，g(x)}，记H 2(x )的最大值为B ；则A －B=【答案】－16【解析】令f(x)=g(x)可解得x =a +2和x =a －2作出f(x)及g(x)的图像，由图像可知：A =(H 1(x ))min =f (a +2)；B =(H 2(x ))max =f (a －2) 所以A －B=－16【要点】分段函数处理方法二：图像法二、函数性质及应用【典型例题】例2.1 以下命题中，正确的有 (填出所有正确的命题的序号)① 函数f(x)=－|x －1|+1 的图象关于直线x =1对称，且当 x >1时为减函数 ② 函数f(x)=2x −12x +1为奇函数，且在R 上为增函数③ 函数f(x)=lg x －lg(2－x )+2的图象关于点(1，2)对称，且在(0，2)上为增函数 ④ 所有二次函数的图象都是轴对称图形；所有三次函数的图象都是中心对称图形⑤ 函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的图象关于点(0，1)对称 【答案】12345【解析】(1) 作图可知正确(2) 可验证f(x)+f(－x)=0，函数y =t−1t+1=1－2t+1(t >0) 和t =2x 都是增函数 (3) 可验证：f(x)+f(2－x)=4，函数y = lg x 和y =－lg(2－x )都是增函数 (4) 正确 (5) f(x)=1sin 212+++x xx (奇函数+1)【要点】对称性的验证和发现例2.2 若0<a <b <1，则以下命题中，正确的是 (填出所有正确的命题的序号) ① a b <a a ② a a <b a ③ ba a >ab a ④ a b <b a ⑤ a a <b b【答案】1234【解析】(1) 令f(x)=a x 为减函数，则f(a)>f(b)，即a b <a a (2) 令f(x)=x a 为增函数，则f(a)<f(b)，即a a <b a (3) 令f(x)=x a －1 为减函数，则f(a)>f(b)，化简得ba a >ab a(4) 令f(x)=lnx x，由f(x)导数可得f(x)在(0，e)为增函数，则f(a)<f(b)，即lna a<lnb b所以blna<alnb ，即a b <b a(5) 令f(x)=xlnx ， 由f(x)导数可得f(x)在(0，e －1)为减函数，(e －1，1)为增函数，故f(a)、f(b)的大小不定 即a a 、b b 大小不定【要点】构造函数，利用函数单调性比较大小例2.3设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=0,0,2)(22x bx ax x x x x f ，若f(x)是偶函数，则使得f (3x －2)>f (x 2)的x 的取值范围是【答案】(−3+√172，3)【解析】y=x 2－2x 在x <0时为减函数，而f(x)图像关于y 轴对称，故原不等式等价于： |3x －2|>|x 2|，解得答案【要点】单调性+对称性在不等式中的应用例2.4 设函数f(x)=|)|1ln(112x x +-+，则使得f(x)>f (2x －1)的x 的取值范围是 . 【答案】(－∞，13) ∪ (3，+∞)【解析】注意到f(x)为偶函数，当x >0时，f(x)=)ln(1112x x +-+为减函数， 故原不等式等价于： |x |<|2x －1|，解得答案 【要点】单调性+对称性在不等式中的应用例2.5设f(x)=x 2－2x +a (e x －1+e 1－x ) 恰有1个零点，则a = 【答案】12【解析】注意到f(x)=f (2－x )，即f(x)图像关于x =1对称，所以f (1)=0解得 【要点】主动发现f(x)的对称性注意函数g(x)=f(x －m)+f(m －x) 具有轴对称性 g(x)=f(x －m)－f(m －x )具有中心对称性 本题也有其他解法，但用对称性解决是最快捷的方法例2.6 已知函数f(x)满足f (－x )=2－f(x)，若函数xx y 1+=与y=f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)……(x m ，y m )，则=+∑=mi i iy x1)(A.0B. mC. 2mD. 4m 【答案】B【解析】f (－x )=2－f(x)表明f(x )图像关于(1，0)中心对称，而xx y 1+=图像也关于(1，0)中心对称， 所以两个函数的图像的公共点也关于(1，0)中心对称 【要点】对称性的应用例2.7 设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数，则( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a ＞bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a ＜bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a ＞bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】令f(x)= e x ＋2x 为增函数，则f(a)=f(b)+b>f(b)，所以a>b C 、D 可通过g (x)= e x －2x 的单调性判定 【要点】构造函数，通过单调性研究方程与不等式三、函数图像及图像变换【典型例题】例3.1将函数y=f(x)的图像左移1个单位、再将横坐标变成原来的2倍 (纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，已知函数y=g(x)的图像与函数y =ln(x +1)的图像关于y 轴对称，则函数y=f(x)的解析式为( ) A. ln(2x －1) B. ln(－2x +3) C. ln(x +) D.ln(－x －2) 【答案】B【解析】将y =ln(x +1)对称得到g(x)，再逆变换：横坐标变成原来的倍、右移1个单位得到f(x)： g(x)=ln(－x +1)，g(x)→g (2x )=ln(－2x +1)→ln(－2(x －1)+1)= ln(－2x +3)【要点】逆变换例3.2 设函数y=f(x)的图像与y =2log 2(x +a )－2的图像关于直线y =－x 对称，且f (2)+f (0)=3，则a = . 【答案】3【解析】－x =2log 2(－y +a )－2，解得y=a －222+-x ,即为f(x)的解析式f (2)+f (0)=2a －3=3，a =3 【要点】重要的对称变换例3.3 若实数m 、n 满足m +2m =5，n +log 2n =5，则一定有( )A. m+n >5B. m+n =5C.m+n <1D. m+n =1 【答案】B【解析】令f(x)=2x ，g(x)=log 2x ，则f(x)、g(x)图像关于y=x 对称m +2m =5化为2m =5－m ，即直线y =5－x 与f(x)的公共点为(m ，5－m ) 同理直线y =5－x 与g(x)的公共点为(n ，5－n )由于直线y =5－x 与y=x 垂直，所以两个公共点关于y=x 对称，即m =5－n 【要点】主动发现两个函数图像的对称性21212121例3.4 函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．【答案】D【解析】f’(x)=2cosx －xsinx ，f’(0)=2，f’(π)<0；【要点】导数、切线、极限、渐近线等在图像识别中的应用例3.5 函数y =x x xx ee e e ---+的图象大致为( )【答案】A【解析】方法很多，例如奇函数+单调性；也可考虑渐近线例3.6函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的所有可能的取值组成的集合为 ( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5} D．{2,3}【答案】B【解析】为图像上一点(x ，f(x))与原点连线的斜率，观察图像即可得到答案【要点】图像的几何意义xx f )(四、函数应用(不等式、方程)【典型例题】例4.1 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是 【答案】(22，1) 【解析】当a >1时：4x >1，log a x <log a12<0，不成立 当0<a <1时：g(x)= 4x －log a x 为增函数，g(x)<0恒成立等价于：g (12)<0，解得答案 【要点】分类讨论例4.2 设a >41，若不等式|x 2－2ax －3a 2|≤4a 对任意x ∈[1,4a ]恒成立，则a 的取值范围是 【答案】(41，]【解析】设f(x)= |x 2－2ax －3a 2|=|(x －3a )(x +a )|；由绝对值及二次函数性质知，f(x)在(－∞,－a )减，(－a ，a )增，(a ，3a )减，(3a ，+∞)增 由f (1)=|3a 2+2a －1|≤4a ，得a ≤1；故∴ f(x)max =max {f (1)，f (4a )}，于是f(x)max ≤4a 等价于 解得答案【要点】二次函数、绝对值函数；图像法例4.3 若x ∈[－2，1]，ax 3－x 2+4x +3≥0，则a 的取值范围是 . 【答案】[－6,－2]【解析】x =0时显然成立；－2≤x <0时原不等式等价于a ≤ 令g(t)=－3t 3－4t 2+t (t ≤－)，则g(t)min =g (－1)=－2，故a ≤－2 同理，0<x ≤1时a ≥g(t) (t ≥1)，g(t)max =g (1)=－6，故a ≥－6 【要点】不等式预处理—参数分离，但要合理使用 (不是万能手段)例4.4 若函数f(x)=3x －sin2x +3a sin x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是【答案】[－31，31]【解析】原命题等价于：f’(x)≥0在R 上恒成立；f’(x)= 3－2cos2x +3a cos x =－4cos 2x +3a cos x+5考虑g(t)=－4t 2+3at+5 (－1≤x ≤1)，则g(t)min =min{g (－1)，g (1)}故g(t)≥0恒成立等价于⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，可解得答案【要点】变量替换54⎪⎩⎪⎨⎧≤=≤-+=aa a f aa a f 45)4(4|123|)1(22xx x x x x 1)1(4)1(3342332+--=--21例4.5 f(x)=2x |log 0.5x |－1的零点个数是 . 【答案】2【解析】分别作出曲线y =|log 0.5x |和曲线y =2－x 的图像 【要点】研究零点的技巧：预处理例4.6 函数f(x)=e x (2x －a )+1有零点，则a 的取值范围是 . 【答案】[2－2ln2，+∞)【解析】f’(x)= e x (2x －a +2)，故f(x)在(－∞，22-a )为减，(22-a ，+∞) 为增 x →+∞时 f(x)→+∞故f(x)有零点的充要条件为：f (22-a )≤0，解得答案 【另解】分别作出y =－e －x 和y =2x －a 的图像，当直线y =2x －a 与曲线y =－e －x 相切时， (－e －x )’=e －x =2，解得x =－ln2，y =－2，即为切点坐标带入直线可解得此时－a =2ln2－2由图像可知，当直线向下移动式满足条件，故－a ≤2ln2－2，即得 【要点】研究零点的方法：(1) 单调性+零点定理 (2) 图像法例4.7 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 【答案】C【解析】f’(x)=3x (ax －2)当a <0时：f(x)在(－∞，2a )减，( 2a ，0)增，(0，+∞)减依题意：f (2a)>0，解得a <－2当a =0时：f(x)有两个零点不符题意；当a >0时：f(x)在(－∞，0)增， (0，2a)减，(2a，+∞)增，而f (0)=1>0，不符题意【要点】三次函数的零点例4.8 设a >1，f(x)=a x ，若存在实数T ，使得对任意实数x 都有f (x +T )=Tf (x )，则a 的取值范围是 【答案】(1，e1e ]【解析】f(x+T)=a T a x =Ta x ，即存在T ，使得a T =T ；即T ln a =ln T ，ln a =TTln ， 考虑函数g(x)=x x ln ，g’(x)=2ln 1x x -=0得x =e ，故g(x)max =g (e)=e 1，所以ln a ≤e1，解得a ≤e 1e例4.9 设a >1，若有且仅有一个常数c 使得对任意的x ∈[a ,3a ]，都有y ∈[a , a 2]满足方程log a x+log a y=c ，这时a 的取值的集合为 . 【答案】{3}【解析】log a x+log a y=c 等价于y =，当x ∈[a ,3a ]时，y ∈[，]xa c 131-c a 1-c a依题意即2+log a 3≤c ≤3依题意，满足条件的c 只有1个，所以log a 3=1，a =3例4.10设函数π()x f x m=，若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是 ． 【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】∵x 0是f (x )的极值点，0ππcos 0x m m =，即012x mk m =+，k ∈Z. ∴x 02＋[f (x 0)]2＜m 2可转化为2221π122mk m mk m m m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，k ∈Z ， 即存在k ∈Z ，使221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭；而212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为14，∴23114m ->，解得m ＜－2或m ＞2.例4.11 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 【答案】[32e，1)【解析】注意到f (0)= a －1<0，所以原命题成立的一个必要条件为：f (－1)≥0，解得 a ≥ 32e当x ≥1时f’(x)=e x (2x +1)－a >3e －a >0，故f(x)在(1，+ ∞)为增函数，x ≥1时f(x)≥f (1)=e >0当x <－1时f’(x)=e x (2x +1)－a <－e x －a <0，f(x)为减函数，所以f(x)>f (－1)≥0 所以存在唯一的整数0满足题设 【要点】整数命题：探究—证明【思考】若去掉条件a <1，本题如何解答？【提示】考虑预处理：参数分离 注意到f (1)=e>0， 令g(x)= e x (2x−1)x−1 则当x <1时f(x)<0等价于a < g(x)；当x >1时f(x)<0等价于a > g(x)；g'(x)=e x x(2x−3)(x−1)2 g(x)在(－∞，0)增， (0，1)减，(1，32)减，(32，+∞)增g (0)=1，g (32)=4e32>1，存在唯一的整数x 0<1使得a < g(x 0)的充要条件为：g (－1)≥a >g (0)，解得32e≥a >1(此时对任意x >1都有g(x)> g (32)=4e32>a )存在唯一的整数x 0>1使得a > g(x 0)的充要条件为：g (3)≥a >g (2)，解得5e 32≥a >3e 2(此时对任意x<1都有g(x)< g (0)=1<a )例4.12 设f(x)=，g(x)=x 2－4x －4，若∃a 使得f(a)+g(b)=0，则b 的取值范围是 . ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥--21131a a a a c c ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥+-<+21),1ln(21,122x x x x x【答案】(－1，5)【解析】当x ∈(－∞,－)时f(x)=(+1)2－1∈(－1,0)；当x ∈[－，+∞)时f(x)=ln(x +1)∈[－ln2,+∞)，故f(x)∈(－1,+∞)∴g(b)=－f(a)<1，即b 2－4b －4<1 ⇒ b ∈(－1,5). 【要点】∃a 、b ，使得f(a)=g(b)的充要条件为：① f(a) 在函数g(x)的值域内 ② g(b) 在函数f(x)的值域内五、导数及导数的简单应用【典型例题】例5.1 设f(x)为偶函数，当x ≤0时f(x)= e －x －1－x ，则曲线y=f(x)在点(1，f (1))处的切线方程为【答案】y =2x【解析】x ≤0时f’(x)=－e－x －1－1，由f(x)为偶函数可得：f (1)=f (－1)=2，f’(1)=－f’(－1)=2 切线为：y －2=2(x －1)例5.2 若存在直线与曲线y =ln x 和曲线y =x 2+2x +a (x <0)都相切，则a 的取值范围是 . 【答案】(－ln2－1，+∞)【解析】f’(x)= 1x (x >0)，g’(x)=2x +2 (x <0)设切点分别为A(s ，f(s))、B(t ，g(t))，则AB 与两条曲线都相切的充要条件为：f’(s)= g’(t)= f (s )−g(t)s−t ，带入：lns−(t 2+2t+a)s−t=1s=2t +2消去s 并化简得：t 2－ln(2t +2)－1=a由s >0解得－1<t <0，令h(t)= t 2－ln(2t +2)－1，则h ’(t)= 2t (t+1)−1t+1<0，故h(t)为减函数所以h(t)的值域为(－ln2－1，+∞) 【要点】公切线的研究方法：f’(s)= g’(t)= f (s )−g(t)s−t例5.3 已知a >0，已知曲线C ：y= || (0<x <4)上存在两点，曲线C 在该两点处的切线相互垂直，则a 的取值范围是 .【答案】(0，)【解析】设曲线C 在点(x 1，f (x 1))和(x 2，f (x 2))处的切线相互垂直，不妨设x 1<x 2，则f’(x 1)f’(x 2)=－10<x <a 时，f(x)=－，f’(x)=<0；x>a 时，f(x)=，f’(x)=>0；∴ 0<a <4且0<x 1<a <x 2<4于是f’(x 1)=， f’(x)=；=－1化简得x 1+2a =， 又∵x 1+2a ∈(2a ，3a )，∈(，1)21x121ax ax 2+-21a x a x 2+-2)2(3a x a +-a x a x 2+-2)2(3a x a+21)2(3a x a +-22)2(3a x a +21)2(3a x a +-22)2(3a x a+a x a 232+ax a232+a a 243+∴(2a ，3a )∩(，1)≠Φ，即 解得 0<a <例5.4 设f(x)=x 2，g (x)=－(x －1)2，P 、Q 分别是曲线y=f(x)和y=g(x)上的动点，A(s,f(s))和B(t,g(t))分别是曲线上的定点，满足|AB |≤|PQ |对任意P 、Q 都成立. 下面四个数中，哪一个最接近s ？ A.B. C. D. 【答案】B【解析】设f(x)、g(x)在A 、B 处的切线分别为l 、m ，则当l ∥m 且l ⊥AB 时|AB |取得最小值f’(x)=2x ，g’(x)= 2－2x ，所以：2s =2－2t ，且2s ×s 2+(t−1)2s−t=－1消去t 整理得：4s 3+2s －1=0，设h(s)= 4s 3+2s －1，易得h(s)为增函数 则h (0)<0，h (1)>0，h (12)>0，h (14)<0，h (38)<0所以s ∈(38，12)，区间中点为716例5.5若x =－2是函数f(x)=(x 2+ax －1)e x －1的极值点，则f(x)的极小值为【答案】－1【解析】由f’(－2)=0可得a =－1，此时f ’(x)=(x +2)(x －1) e x －1 f(x)min =f (1)=－1例5.6 已知函数有两个极值点m 、n (m <n )，则 ( )A ．f(m)<0，f(n)<－B ．f(m)<0，f(n)>－C ．f(m)>0，f(n)<－D ．f(m)>0，f(n)>－ 【答案】D【解析】由题意知 f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根．令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝xax21-， 当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，因此111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故10<<2a 且121<2x x a <.又h (1)＝1－2a ＞0，∴1211<2x x a<<此时f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减． ∴f (x 1)＜f (1)＝－a ＜0，f (x 2)＞f (1)＝12a ->-. 故选D.例5.7设奇函数f(x)满足：f (－1)=0，当x >0时xf’(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的范围是 . 【答案】(－1，0)∪(0，1) 【解析】f (0)=0不满足；令g(x)= f(x)x ，则g(x)为偶函数，且g’(x)=xf’(x)－f(x)x 2a 243+⎪⎩⎪⎨⎧<+>122433a a a a 211651671691611()(ln )f x x x ax =-21212121依题意x >0时g’(x)<0，故g(x)在(0，+∞)为减函数，在(－∞，0)为增函数 g (－1)=g (1)=0，所以－1<x <0或者0<x <1 【要点】构造函数，利用函数单调性解决不等式问题六、综合例题选讲(重要的代数方法及数学思想)【典型例题】例6.1 已知函数f(x)=x 2e 2x +m |x |e x +1有4个零点，则m 的取值范围是 【答案】(−e+1e 2，+∞) 【解析】令g(x)=|x |e x =|x e x |，令f 1(x )=x e x ，则f 1(x ) (－∞，－1)为为减函数，在(－1，+∞)为增函数 作出y=g(x)的图像，则直线y=t 与曲线y=g(x)的公共点的个数N ：当t <0时N =0；当t =0时N =1；当1e<t <0时N=3；当t=1e时N=2；当t >1e时N=1考虑二次函数h(t)=t 2+mt +1，t =0不是零点， 故f(x)=x 2e 2x +m |x |e x +1有4个零点，当且仅当g(t) 在区间(0，1e)和(1e，+∞)各有1个零点，所以h (0)>0，h (1e)<0，解得 【要点】变量替换例6.2 设函数f (x )＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，若总存在x 0∈[－1，1]，使得f (x 0)>23，则a 的取值范围 是【答案】(－，+∞)【解析】设t=1＋x ＋1－x ，t 2=2+2∈[2,4]，t ∈[,2]；此时f (x )=m(t)=t 2+t －a ，依题意：m(t)max >23 当a ≥0时， m(t)在[,2]上为增函数，m(t)max =m (2)=a +2 >23，符合题意 a <0时，m(t)的对称轴为t = 当<，即a <时，m(t)max =m ()=<23，不符题意当≤≤2，即≤a ≤－时，m(t)max ==m () =－a >23，无解当－<a <0时，m(t)max ==m (2)=a +2>23，符合题意，综上a >－【要点】变量替换例6.3 设f(x)=e x +e －x ，g(x)=f (2x )－2af(x)+4a －2，若g(x)恰有1个零点，则a 的取值范围是 【答案】[2，+∞) 【解析】由于(f(x))2= e 2x +e－2x+2，g(x)= e 2x +e－2x－2a (e x +e －x )+ 4a －2=(e x +e －x )2－2a (e x +e －x ) +4a －4=(f(x))2－2af(x)+ 4a －4=[f(x)－2][f(x)－(2a －2)]2121x -∴22a 2a1-a 1-222-222a 1-22-21a 1-a 21-2121由于f(x)－2=0恰有1个根x =0，所以f(x)－(2a －2)=0无根或只有1个0根 由于f(x)值域为[2，+∞)，所以(2a －2)≤2，解得答案 【要点】变量替换、因式分解例6.4 设a >0，函数f(x)=23x 2－2ax －a 2ln x －b ，若f(x)恰有1个零点，则b 的最大值为 【答案】12e 2【解析】f’(x)=(3x+a)(x−a)x(x >0)，f(x)在(0，a )减，(a ，+∞)增依题意：f(a)=0解得b =－a 2－a 2ln a (记为g(a)) g’(a)=－2a (1+ln a )，g(a)在(0，1e)为增，( 1e，+∞)为减，所以b max =g (1e)= 12e 2【要点】等价转化例6.5 已知函数f(x)=e x －ax 2+bx －1 满足f (1)=0，且f(x)在区间(0，1)内有零点，则a 的取值范围是 【答案】(e －1，1)【解析】注意到f (0)=f (1)=0，依题意f(x)在(0，1)内至少有2个极值点，即f’(x)在(0，1)内至少有2个零点 由f (1)=e －a +b －1=0，可得b =1－e +a f’(x)= e x －2ax +b ，(f’(x))’=e x －2a ，由e>e x >1若a ≤12，则(f’(x))’ >0，f’(x)为增函数，不会有2个零点，不符题意； 若a ≥e 2，同理不符题意当 12<a <e 2 时，f’(x)在(0，ln2a )为减函数，(ln2a ，1)为增函数f’(x)在(0，1)内有2个零点，充要条件为：{f ′(0)>0f ′(ln2a )<0f ′(1)>0解得：e －1<a <1 【要点】等价转化例6.6 若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 【答案】16【解法一】由f (1)=f (－1)=0，f(x)图像关于x ＝－2对称，所以f (－5)=f (－3)=0 故a =－(－3－5)=8，b =15此时f (x )＝－(x +1)(x －1)(x +3)(x +5)=－(x 2+4x +3)(x 2+4x －5) =－(t 2－2t －15)=－(t －1)2+16其中：t = x 2+4x ∈[－4，+∞），当t= 1时f(x)max =16【解法二】考虑g(x)=f (x －2)为偶函数，g (－1)=g (－3)=0，所以g (1)=g (3)=0 故g(x)=－(x +3)(x +1)(x －1)(x －3)=－(x 2－1) (x 2－9)=－(x 2－5)2+16 【要点】(1) 变量替换(2) 灵活处理对称条件21例6.7 设f(x)=e x －x －e +1，命题p ：f(x)≤0，命题q ：－1≤x ≤1，则p 是q 的： A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】注意到f (1)=0，f’(x)= e x －1，所以f(x)在(－∞，0)为减，(0，+∞)为增f (－1)=2+e －1－e<0，f (－2)=3+e －2－e>0，所以f(x)在(－∞，0)上有一个零点，设为x 0， f(x)≤0的充要条件为x 0≤x ≤1由于－2<x 0<－1，故为－1≤x ≤1的必要不充分条件 【要点】单调性与不等式例6.8 设f(x)=e x －ax －1，g(x)=ln x －ax+a ，若总存在x ∈(1，2)，使得f(x)g(x)<0，则a 的取值范围 是 【答案】[ln2，e 2−12]【解析】f’(x)= e x －a ，g’(x)= 1x－a ，注意到e x ∈(e ，e 2)，1x∈( 12，1)，故对a 分类讨论(1) 当a ≤12时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，故f(x)、g(x)都是(1，2)上的增函数，f(x)>f (1)= e －a －1>0，g(x)>g (1)=0，故不符题意；(2) 当12<a ≤1时，同理f(x)> 0，而g(x)在(1，1a)为增，( 1a ，2)为减依题意：g (2) ≤0，解得ln2≤a ≤1(3) 1<a ≤e 时：g(x)是(1，2)上的减函数，所以g(x)<g (1)=0f(x)是(1，2)上的增函数，故f(2)≥0，解得1<a ≤e(4) e<a ≤e 2时：同理g(x)<0，此时f(x)在(1，ln a )为减，(ln a ，2)为增，故f(1)≥0或者f(2)≥0解得e<a ≤e 2−12(5) a ≥e 2时：f(x)是(1，2)上的减函数，f(x)<f (1)= e －a －1<0，同理g(x)<0，不符题意【要点】分类讨论例6.9 设f(x)=2ax 2+(a －1)x －1 (a >0)，求函数y =|f(x)|在[－1，1]上的最大值【分析】结合|f(x)|的图像，判定f(x)的零点与定义域的位置关系，再比较极值与端点函数值的大小【解析】 由a >0，f (0)=－1<0， f (－1)=a >0，所以：f(x)有两个零点(设为x 1x 2)满足：x 1<－1<x 2 f(x)的对称轴为x 0=a a 41-，t 0－1=aa451- 情形①：当0<a ≤51时，1≤x 0，| f(x)|在(－1，x 1)减，(x 1, 1)增x 2x 0－1x 1而|f (1)|= 2－3a >|f (－1)|，所以：|f(x)|max =2－3a情形②：51<a <32时，x 0<x 2<1， |f(x)|在 (－1，x 1)减，(x 1， x 0)增，(x 1， x 2)减，(x 2，1)增|f(x)|max =max{|f(－1)|，|f(x 0)|，|f(1)|}|f (1)|－|f (－1)|=2(a －1)<0|f (x 0)|=a a a 8162++ |f (x 0)|－|f (－1)|=a a a 8)1)(17(-+->0所以：|f(x)|max =aa a 8162++情形③：a 32≥时， x 0<1≤x 2， |f(x)| 在(－1，x 1)减，(x 1，x 0)增，(x 0，1)减 |f(x)|max =max{|f(－1)|，|f(x 0)| } 故当 a <1时：|f(x)|max =aa a 8162++当a ≥1时：|f(x)|max =|g (1)|=3a －2综上，|f(x)|max ={2−3a ，0<a ≤15a 2+6a+18a， 15<a <13a −2， a ≥1．【要点】分类讨论。

函数的性质练习题及答案知识点1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .相关试题1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 1.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =5.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .8.（2012年高考（浙江文））设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,()f x =+1x ,则3()2f =_______.【答案】32【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=. 9.（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上, 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a 2-a+1)与的大小.解：又f(x) 2.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ） A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --= D ．31y x =+在(0，+∞)上是减函数，则.1．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)||f x x -<的解集为_____．11.（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =. 则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=A ．335B ．338C ．1678D ．20126.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ）A ．17 B ．1- C ．1 D ．7【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以1610,7a a a -+==所以； 又()f x 为偶函数，所以223()535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+，得0b =，所以a b +=17，选A. 614．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)设函数)(x f y =是定义在R +上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫⎝⎛f ，（1）求)1(f 的值， （2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围。

函数性质综合练习（含详解答案）一、选择题1.若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a 的值是( )A. 2B. 2-C. 2或2-D. 02.若函数()()2212f x x a x =+-+在区间[)4,+∞上单调递增.则a 的取值范围是( ) A. [3,)-+∞B. (,3]-∞-C. (,5]-∞D. [)3,+∞3.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时, ()21f x x x =+-,那么当0x <时, ()f x 的解析式为( )A. ()21f x x x =++ B. ()21f x x x =--+C. ()21f x x x =-+- D. ()21f x x x =-++ 4.函数282y x x =-+的增区间是( )A.(],4-∞-B.[)4,-+∞C.(],4-∞D.[)4,+∞5.函数11y x =-在区间[]2,3上的最小值为( ) A.2 B.12 C.13D.12- 6.设()f x 为定义在(),-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则()()()2,π,3f f f --的大小顺序是( )A.()()()π32f f f ->>-B.()()()π23f f f ->->C.()()()π32f f f -<<-D.()()()π23f f f -<-<7.函数()1f x x x =-的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y x =-对称C.原点对称D.直线y x =对称二、填空题 8.已知22()1x f x x=+,那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=__________。

9.已知函数()132f x x +=+,则函数()f x 的解析式为__________.10.若函数()[)22,2,4f x x x x =-∈则f x 的值域是__________.11.若函数()211f x x +=-,则()2f =12.已知函数()y f x =为奇函数,若()()321f f -=,则()()23f f ---=__________.13.若函数()()22121f x mx m x =++-是偶函数,则m =__________.14若函数,,则的最小值是 。