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反比例函数的图象与性质和应用

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反比例函数的图象与性质和应用练习题
1.已知如图，A 是反比例函数k y x
=
的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，
且△ABO 的面积是3，则k 的值是 A 、3 B
、
﹣
3
C 、6
D 、﹣6
2.双曲线m y x
=
与直线y kx b =+交于点M 、N ，并且点M 的坐标为(1，3)，
点N 的纵坐标为－1．根据信息可得关于x 的方程
m kx b x
=+的解为
A ．－3，1
B ．－3，3
C ．－1，1
D ．－1，3 3. 如图，函数11-=x y 和函数x
y 22=的图像相交于点M （2，m ），N （－1，n ），若
21y y >，则x 的取值范围是
A. 1-<x 或20<<x
B. 1-<x 或2>x
C. 01<<-x 或20<<x
D. 01<<-x 或2>x
5.若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是反比例函数3y x
=图象上的点，且x 1
＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是 A 、y 3＞y 1＞y 2 B 、y 1＞y 2＞y 3 C 、y 2＞y 1＞y 3 D 、y 3＞y 2＞y 1
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7.已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数5y x
=
的图象上的
两点，若x 1＜0＜x 2，则有 A 、y 1＜0＜y 2
B 、y 2＜0＜y 1
C 、y 1＜y 2＜0
D 、y 2＜y 1＜0
、
8.已知点A （2，3）在反比例函数1k y x
+=的图象上，则k 的值是
A 、﹣7
B 、7
C 、﹣5
D 、5
9.某公司计划新建一个容积V(m 3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S(m 2)与其深度h （m ）之间的函数关系式为)0(≠=
h h
V S ，这个函数的图象大致是
10.关于反比例函数4y x
＝图象，下列说法正确的是
A ．必经过点（1，1）
B ．两个分支分布在第二、四象限
C 两个分支关于x 轴成轴对称
D 两个分支关于原点成中心对称 11.如图，直线l 和双曲线(0)k y k x
=
>交于A 、B 两点，P 是线段AB
上的点(不与A 、B 重 合)．过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ．设△AOC 的面积为1S ．△BOD 的面积为2S 。

△POE 的面积为3S ，则 A ．123S S S << B ．123S S S >> C ．
123
S S S =>
D ．123S S S =<
12.在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO=10，sin ∠AOB=
35
，反比例函数()0k y k >x
=
的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于
点D ，则点D 的坐标为 ．
D
A
B
C
13.双曲线y 1、y 2在第一象限的图象如图，14y x
=
，过y 1上的任意一点A ，
作x 轴的平行线交y 2于B ，交y 轴于C ，若S △AOB =1，则y 2
的解析式
是 ．
14.若一次函数的图象经过反比例函数4y x
=-图象上的两点（1，m ）和（n ，
2），则这个一次函数的解析式是 _. 15.若点A （m ，－2）在反比例函数4=y x
的图象上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的
取值范围是 ．
16.已知一次函数1y x b =+(b 为常数)的图象与反比例函数2k y x
=（k 为常数．且0k ≠）
的图象相交于点P(3．1)．
(I) 求这两个函数的解析式；(II) 当x >3时，试判断1y 与2y 的大小．井说明理由。

17.如图，在平面直角坐标系x O y 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数
()0m y m x
=
≠的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为
（6，n ）．线段OA=5，E 为x 轴上一点，且sin ∠AOE=45
．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC 的面积．
18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象
与反比例函数()0m y m x
=
≠的图象相交于A 、B 两点．求：
（1）根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．
19.如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数()
0k y k >x
=
的图象经过点A(2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为 .
（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数k y x
=
的图象
上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围；3）过原点O 的直线l 与反比例函数k y x
=
的图象交于P 、Q 两点，试根据图象直接写出线段PQ 长度的最小值.
20.平面直角坐标系中，直线1122
y x =+
与x 轴交于点A ，与双曲线x
k y =
在第一
象限内交于点B ，BC ⊥x 轴于点C ，OC=2AO ．求双曲线的解析式．
21.如图所示，反比例函数y ＝4
x 的图象与一次函数
y ＝kx －3的图象在第一象限内相交于点A (4，m)． （1）求m 的值及一次函数的解析式；
（2）若直线x ＝2与反比例和一次函数的图象分别交于点B 、C ，
求线段BC 的长．
22.某乡A ，B 两村盛产香梨，A 村有香梨200吨，B 村有香梨300
吨，现将这些香梨运到C ，D 两个冷藏仓库．已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨，从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨40元和45元；从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A 村运往C 仓库的香梨为x 吨，A ，B 两村运香梨往两仓库的运输费用分别为y A 元，y B 元．
（1）请填写下表，并求出y A ，y B 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 为何值时，A 村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。

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反比例函数的图像和性质的综合应用

反比例函数的图像和性质的综合应用

函数的解析式。
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。

本文将从图像和性质两个方面进行论述。

一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。

根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。

2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。

当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。

3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。

二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。

2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。

当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。

3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。

定义域一般为除零点的所有实数。

4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。

5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。

这决定了函数图像关于原点的对称性。

综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。

同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。

在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。

通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。

6.2反比例函数的图象与性质(教案)

6.2反比例函数的图象与性质(教案)

6.2反比例函数的图象与性质（教案）
一、教学内容
6.2反比例函数的图象与性质：本节课我们将学习反比例函数的图象特点及其性质。内容包括：
1.反比例函数的定义：y = k/x（k≠0）；
2.反比例质：
a.图象在第一、三象限；
b.图象关于原点对称；
c.当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限；
3.提高学生的参与度，通过设立奖项、小组竞赛等形式，激发学生的学习兴趣。
4.加强课堂提问和反馈，及时了解学生的学习情况，帮助他们巩固所学知识。
在今后的教学中，我会不断总结经验，努力提高教学质量，让每一位学生都能在学习反比例函数的过程中，感受到数学的魅力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图象的走势和性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示反比例函数图象的绘制及其性质。
2.教学难点
-反比例函数图象的理解：学生需要理解反比例函数图象为双曲线，且曲线与坐标轴无交点。
-反比例函数性质的掌握：如何记住并理解在不同象限内，函数值的变化规律。
-图形变换的应用：将反比例函数图象进行平移、缩放等变换时，如何快速判断变换后的图象。
举例：
a.难点一：通过动态图象演示或手绘图象，帮助学生直观地理解反比例函数图象为双曲线，并解释为何曲线与坐标轴无交点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数。它在描述现实生活中的反比关系方面具有重要意义。
《反比例函数的图象、性质和应用》 讲义

《反比例函数的图象、性质和应用》 讲义

《反比例函数的图象、性质和应用》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

比如，在路程一定的情况下，速度 v 和时间 t 之间的关系就可以表示为 v ＝ s/t（s 为路程，是一个定值），此时速度 v 就是时间 t 的反比例函数。

需要注意的是，反比例函数中 x 的取值范围是x≠0，因为分母不能为 0。

二、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

以函数 y ＝ 2/x 为例，我们可以通过列表、描点、连线的方法来画出它的图象。

选取一些 x 的值，比如－2、－1、－1/2、1/2、1、2 等，计算出对应的 y 值：当 x ＝－2 时，y ＝－1；当 x ＝－1 时，y ＝－2；当 x ＝－1/2 时，y ＝－4；当 x ＝ 1/2 时，y ＝ 4；当 x ＝ 1 时，y ＝ 2；当 x ＝ 2 时，y ＝ 1。

然后在平面直角坐标系中描出这些点，并用平滑的曲线将它们连接起来，就得到了反比例函数 y ＝ 2/x 的图象。

反比例函数的图象有以下两个特点：1、当 k＞0 时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

2、反比例函数的图象是以原点为对称中心的中心对称的两条曲线。

三、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

对称轴是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x，对称中心是原点。

2、增减性在反比例函数 y ＝ k/x 中，当 k＞0 时，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大。

但要注意的是，这里说的增减性一定是在每个象限内，不能笼统地说在整个定义域内的增减性。

3、渐近性反比例函数的图象无限接近于 x 轴和 y 轴，但永远不会与 x 轴和 y轴相交。