第四章传递函数
第一节传递函数
一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。
)
()
()]([)]([)()()()(s R s Y t r L t y L s G s G t y t r =
=，则为，系统传递函数
、系统输入、输出分别为
二、求法：
1、由微分方程求取。 若系统的微分方程为
)
()()()()()()()(01)
1(1)
(01)
1(1)(t x b t x b t x
b t x b t y a t y a t y
a t y a m m m m n n n n +'+++=+'+++----
对微分方程的两端求拉氏变换
11
1011
1011
1011
1011
1011
1)()
()()
()()
()()
()()()()()()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s G s X b s b s b s b s Y a s a s
a s a s X
b s sX b s X s b s X s b s Y a s sY a s Y s a s Y s a n n n n m m m
m m m m m n n n
n m m m
m n n n
n +++++++==+++=++++++++=++++------------
例1：系统微分方程为)()()
()(2
2t f t kx dt t dx c dt
t x d m =++，求系统的传递函数。 解：由给定的微分方程，
k
cs m s s F s X s G s F s X k cs m s s F s kX s csX s X m s t f t kx dt
t dx c dt t x d m ++=
==++=++=++2222
21
)()()()()()()()()()()()()
()(
例2：求R-C 电路的传递函数。 解：
1
1
)()()()1()()()(00000+=
=+=+=+Rcs s G s U s U Rcs s U s U s RcsU u u dt
du Rc i i i
三、性质
1、系统的传递函数取决于系统的本身，与系统的输入、输出及其它外界因素无关。
2、对于实际的物理系统，m
n ≥
四、概念 1、零点、极点：
零点：系统传递函数分子s 多项式为零的根。 极点：系统传递函数分母s 多项式为零的根。 2、传递系数：
值定义为传递系数)0(G 。
3、特征方程：传递函数分母s 多项式。
4、阶：系统特征方程s 的最高指数。 例3、以例1、例2的结果为例。
第二节典型环节及其传递函数
第三节传递函数的方块图
一、组成元素
1、方块单元：表示环节或系统的传递函数。
2、叠加点：表示信号的运算及其结果。
3、信号线：带箭头的直线或折线。箭头的方向表示信号的流向。
二、基本运算
1、串联
2、并联
3、反馈
1、引出点的移动：保证引出信号不变 （1）前移
结论：引出点前移必须在引出回路乘以其所跨跃环节的传递函数 （2）后移
结论：引出点后移必须在引出回路除以其所跨跃环节的传递函数
2、比较点的移动：保证输出信号不变 （1）前移
结论：比较点前移必须在反馈回路除以其所跨跃环节的传递函数 （2）后移
结论：比较点后移必须在反馈回路乘以其所跨跃环节的传递函数 3、相邻的比较点
结论：相邻的比较点的位置可互换 4、同一信号线上的引出点
结论：同一信号线上的引出点的位置可互换 5、相邻的比较点与引出点位置互换
A A
A
结论：相邻的比较点与引出点位置互换使系统方块图多了一个比较点而复杂化，应尽量避免其位置互换。 四、简化方块图求系统的传递函数
建立系统的方块图，利用基本运算和等效的移动原则，对方块图简化求传递函数是实际工作中常用的方法。下面以一例子来说明简化方块图求传递函数的方法。 例：系统方块图如图示，简化求传递函数。
4
3'G G G =
五、方块图的建立 1、步骤： ● 建立系统微分方程组。 ● 对微分方程求拉氏变换。 ●
建立局部方块图。
将局部方块图连接。 2、举例
例1：建立电路的方块图，并传递函数。 解：
[
)
()(1
)()()()()()(1
000
0000
s U s I cs
s csU s I R s U s U R s I s U dt
du c
i idt c u u iR u i i i =?=?+==?=+=?
例2
X
k X X cs X X cs X X k x k x x
c x x
c x x k i i 2000120001)()()()()()(=--=-??
?=--=-
例3、建立直流电动机的方块图，求传递函数。 解：在第三章中，建立直流电动机的微分方程为
l t e i T f dt
d J
T i
k T k e e
dt
di
L iR u ++===++=ωω
ω
l
t e i T f Js T I
k T k E E LsI IR U +Ω+Ω==Ω=++=
第三章 习题及答案 传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少? 解： 41min, =0.25min T T = 1111()=1-e 0.1, =ln 0.9t h t t T -=-T 21T 22()=0.9=1-e ln 0.1t h t t T -=-， 210.9 ln 2.20.55min 0.1 r t t t T T =-=== 2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件2)0( , 1)0(='=--y y ，试求： ⑴系统的零输入响应y x (t )； ⑵激励f (t ) (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )； ⑶激励f (t ) e 3t (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。 解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++ ) ()e 2 5e 223()()()( ) ()e 2 1e 223()()()( )()e e 2()(2 112233)( )2(; 0 ,e 3e 4)( 34 221e e )( 2x 2222x 212 121221x t t y t y t y t t t h t y t t h p p p p p p H t t y A A A A A A A A t y t t t t t t f f t t t t εεεε------------+=+=+-==-=?+-+= +++= -=??? ?-==????--=+=?+=∴* ) ()e 4e 5()()()( )()e e ()(e )()( )3(2x 23t t y t y t y t t t h t y t t t t t f f εεε------=+=-==* 3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e 4t t ε-时，系统
题型：选择题 题目：关于系统稳定的说法错误的是【】 A．线性系统稳定性与输入无关 B．线性系统稳定性与系统初始状态无关 C．非线性系统稳定性与系统初始状态无关 D．非线性系统稳定性与系统初始状态有关 分析与提示：线性系统稳定性与输入无关；非线性系统稳定性与系统初始状态有关。 答案：C 习题二 题型：填空题 题目：判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为或为具有负实部的复数，即系统的特征根必须全部在是系统稳定的充要条件。 分析与提示：判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为负实数或为具有负实部的复数，即系统的特征根必须全部在复平面的左半平面是系统稳定的充要条件。 答案：负实数、复平面的左半平面 习题三 题型：选择题 题目：一个线性系统稳定与否取决于【】 A．系统的结构和参数 B．系统的输入 C．系统的干扰 D．系统的初始状态 分析与提示：线性系统稳定与否取决于系统本身的结构和参数。 答案：A 习题四 题型：填空题 题目：若系统在的影响下，响应随着时间的推移，逐渐衰减并回到平衡位置，则称该系统是稳定的 分析与提示：若系统在初始状态的影响下（零输入），响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(回到平衡位置)，则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系统是不稳定的。 答案：初始状态 习题五 题型：填空题 题目：系统的稳定决定于的解。 分析与提示：系统的稳定决定于特征方程的解。 答案：特征方程
题型：填空题 题目：胡尔维兹（Hurwitz ）判据、劳斯（Routh ）判据又称为 判据。 分析与提示：胡尔维兹（Hurwitz ）判据、劳斯（Routh ）判据，又称为代数稳定性判据。 答案：代数稳定性 习题二 题型：填空题 题目：利用胡尔维兹判据，则系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为 ；各阶子行列式都 。 分析与提示：胡尔维兹判据系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为正；各阶子行列式都大于零。 答案：正、大于零 习题三 题型：计算题 题目：系统的特征方程为 010532234=++++s s s s 用胡尔维兹判据判别系统的稳定性。 分析与提示：利用胡尔维兹判据，其各阶系数均大于零，计算子行列式。 答案：（1）特征方程的各项系数为 10,5,3,1,201234=====a a a a a 均为正值。 （2） 0131>==?a 0714232 4 132<-=-== ?a a a a a a a a 不满足胡尔维兹行列式全部为正的条件，所以系统不稳定 习题四 题型：计算题 题目：单位反馈系统的开环传递函数为 ()()() 125.011.0++= s s s K s G 利用胡尔维兹判据求使系统稳定的K 值范围。 分析与提示：利用胡尔维兹判据，其各阶系数均大于零，计算子行列式，反求出K 的范围。 答案：系统的闭环特征方程为 ()()0125.011.0=+++K s s s
第三章 习题及答案 传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值， 试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少? 解： 41min, =0.25min T T = 2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件2)0( , 1)0(='=--y y ，试求： ⑴系统的零输入响应y x (t )； ⑵激励f (t ) (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )； ⑶激励f (t ) e 3t (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。 解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++ 3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e 4t t ε-时，系统的全响应)()e 6 1e 27e 314()(42t t y t t t ε-----=。试求零输入响应y x (t )与零状态响应y f (t )、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。 解： 4. 设系统特征方程为：0310126234=++++s s s s 。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的 稳定性。 解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有 所以，此系统是稳定的。 5. 试确定下图所示系统的稳定性. 解：210 110(1)(1)(). ()210(21) 1(1) s s s s a G s s s s s s s +++=?=?+++ 系统稳定。 满足必要条件，故系统稳定。 6.已知单位反馈系统的开环传递函数为) 12.001.0()(2++= s s s K s G ξ，试求系统稳定时，参数K 和ξ的取值关系。 解：2()(0.010.21)0D s s s s k ξ=+++=
若系统输入为不同频率ω的正弦函数t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(?ω+t B ，求该系统的频率特性 解：由频率特性的定义有：? ωj e A B j G =)(（P119） ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试求下列系统的幅频特性)(ωA 、相频特性)(ω?、实频特性)(ωu 、虚频特性)(ωv （P120， 121） 1 305 )(+= s s G 解：1 305 1305)(+= += ωωωj s j G j )(ωA = 1 90051 3052 += +ωωj )(ω?=1 30arctan )130()5(1 305 ω ωω-=+∠-∠=+∠ j j )(ωj G 可以展开为实部与虚部的形式，即：1 90015051305 )(2+-= += ωω ωωj j j G 所以，实频特性)(ωu = 1 90052 +ω 虚频特性)(ωv =1 9001502+-ωω ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设系统的闭环传递函数为：1 ) 1()(12++=s T s T K s G B ，当输入信号为t R t x i ωsin )(=，试求该系 统的稳态输出。 解：系统的频率特性函数为： ()()) () arctan (arctan 21221212)() 1()1(1 )1(1 )1()(12ωωωω ωωωωωωj G j B T T j j B B e j G e T T K j T j T K s T s T K j G ∠-?=?++= ++= ++= 系统的对于特定频率的输入信号，其稳态输出为：（P118） )](sin[)()(ωωωj G t j G X t x B B i oss ∠+??= 因此，对于该系统，有： ()())]arctan (arctan sin[) 1()1()(122 122ωωωωωT T t T T K R t x oss -+?++?=
2007机械工程控制基础第四章习题答案 第4章 频率特性分析 4.1什么是系统的频率特性？ 答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。 4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(?ω+t B 。求该系统的频率特性。 解：由系统频率特性的定义知：?ωj e A B j G = )( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅频特性与 相频特性。 解：由已知条件得：s s X i 1)(=，9 8 .048.11)(+++-=s s s s X o 得系统传函为：) 9)(4(36)()()(++== s s s X s X s G i o 得系统频率特性：) 9)(4(36 )(ωωωj j j G ++= ，其中 幅频特性为：2 2 811636 )()(ω ωωω+?+= =j G A 相频特性为：9 arctan 4 arctan )(ω ω ω?--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)2 2sin(π -=t x oss 。试确定k 和c 。 解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为： k cs s s G ++= 2 1 )(，得系统频率特性为： ω ωωjc k j G +-= 21 )(。 图（题4.6）
题目：时间响应由和两部分组成。 分析与提示：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。 答案：瞬态响应、稳态响应 题目：系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程，称为。 分析与提示：瞬态响应，指系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。 答案：瞬态响应 题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为与。 分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应。 答案：自由响应、强迫响应 题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动来源可分为与。 分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应；按振动来源可分为零输入响应(即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应)与零状态响应(即仅由输入引起的响应)。 答案：零输入响应、零状态响应 题目：系统微分方程的特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为。 分析与提示：初始条件及输入信号产生的时间响应就是微分方程的全解。包含通解和特解两个部分。通解完全由初始条件引起的，它是一个瞬态过程，工程上称为自然响应 (如机械振动中的自由振动)。特解只由输入决定，特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为强迫响应 (如机械振动中的强迫振动)。 答案：强迫响应 题目：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加的形式有关。 分析与提示：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。 答案：输入信号 题目：单位阶跃信号???<>=000t t t u 1)(的拉氏变换为【 】 A 、 s 1 B 、21 s C 、1 D 、s 分析与提示：熟练掌握典型信号的拉氏变换。B 为单位斜坡信号的拉氏变换，C 为单位冲击信号的拉是变换。 答案：A 题目：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有，能够反映系统工作的大部分实际情况。 分析与提示：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。 答案：典型性 题目：选取输入信号时，输入信号的形式应当尽可能。 分析与提示：选取输入信号时，输入信号的形式应当尽可能简单。 答案：简单 题目：是使用得最为广泛的常用输入信号。 分析与提示：单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数 都为常用输入信号时，单位脉冲函数是使用得最为广泛的常用输入信号。 答案：单位脉冲函数 题目：设一阶系统的传递函数为 5 23 +s ，则其时间常数和增益分别是【】 A ． 2，3 B ．2，3/2 C ． 2/5，3/5 D ． 5/2，3/2
习题一 题型:选择题 题目:关于系统稳定的说法错误的就是【】 A.线性系统稳定性与输入无关 B.线性系统稳定性与系统初始状态无关 C.非线性系统稳定性与系统初始状态无关 D.非线性系统稳定性与系统初始状态有关 分析与提示:线性系统稳定性与输入无关;非线性系统稳定性与系统初始状态有关。 答案:C 习题二 题型:填空题 题目:判别系统稳定性的出发点就是系统特征方程的根必须为或为具有负实部的复数,即系统的特征根必须全部在就是系统稳定的充要条件。 分析与提示:判别系统稳定性的出发点就是系统特征方程的根必须为负实数或为具有负实部的复数,即系统的特征根必须全部在复平面的左半平面就是系统稳定的充要条件。 答案:负实数、复平面的左半平面 习题三 题型:选择题 题目:一个线性系统稳定与否取决于【】 A.系统的结构与参数 B.系统的输入 C.系统的干扰 D.系统的初始状态 分析与提示:线性系统稳定与否取决于系统本身的结构与参数。 答案:A 习题四 题型:填空题 题目:若系统在的影响下,响应随着时间的推移,逐渐衰减并回到平衡位置,则称该系统就是稳定的 分析与提示:若系统在初始状态的影响下(零输入),响应随着时间的推移,逐渐衰减并趋向于零(回到平衡位置),则称该系统就是稳定的;反之,若系统的零输入响应发散,则系统就是不稳定的。 答案:初始状态 习题五 题型:填空题 题目:系统的稳定决定于的解。 分析与提示:系统的稳定决定于特征方程的解。 答案:特征方程 习题一 题型:填空题 题目:胡尔维兹(Hurwitz)判据、劳斯(Routh)判据又称为判据。 分析与提示:胡尔维兹(Hurwitz)判据、劳斯(Routh)判据,又称为代数稳定性判据。 答案:代数稳定性 习题二
第 四 章 4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) )15.0)(12.0()(++= s s s K s G （2）)12()1()(++=s s s K s G 解：(1))5)(2()15.0)(12.0()(* ++=++=s s s K s s s K s G ，K K 10*= ① n ＝3，根轨迹有3条分支； ② 起点：p1＝0，p2＝-2，p3＝-5；没有零点，终点：3条根轨迹趋向于无穷远处。 ③ 实轴上的根轨迹：[-2,0],(5,-∞-]; ④ 渐进线： 373520-=--= a σ，πππ?,33)12(±=+=K a ； ⑤ 分离点：051211=++++d d d 求解得：79.31-=d （舍去），88.02-=d ； 作出根轨迹如图所示： (2) *(1)(1)()(21)(0.5)K s K s G s s s s s ++= =++，*0.5K K = ① n ＝2，根轨迹有2条分支； ② 起点：p1＝0，p2＝-0.5，；终点： 11z =-，1n m -=条根轨迹趋向于无穷远处。 ③ 实轴上的根轨迹：[-0.5,0],(,1-∞-]; ④ 分离点：1110.51d d d +=++ 求解得：1 0.29d =-，2 1.707d =-； 作出根轨迹如图所示：
4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求： 确定 )20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为±ｊ1的ｚ值和*K 值。 解： 020030)()20)(10()(**234*2=++++=++++=z K s K s s s z s K s s s s D 令j s =代入0)(=s D ，并令其实部、虚部分别为零，即： 02001)]1(Re[*=+-=z K j D ，030)]1(Im[*=+-=K j D 解得：63.6,30*==z K 画出根轨迹如图所示： 4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )102.0)(101.0()(++= s s s K s G 要求： (1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)； (2) 确定系统的临界稳定开环增益K ｃ； (3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。 分析：利用解析法，采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。然后将s j ω=代入特征方程中，求解纯虚根的开环增益，或是利用劳斯判据求解临界稳定的开环增益。对于临界阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。
控制工程基础考卷带答案复习资料
一、填空题：（每空1分，共20分） 1．对控制系统的基本要求一般可归结为_________稳定性，准确性，快速性____、____________、___________。 2．自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是瞬态响应分量，另一个是____________响应分量。 3．在闭环控制系统中，通过检测元件将输出量转变成与给定信号进行比较的信号，这个信号称为_________________。 4．若前向通道的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则闭环传递函数为__________________ 。 5 函数f(t)=的拉氏变换式是 _________________ 。 6 开环对数频率特性的低频段﹑ 中频段﹑ 高频段分别表征了系统的 稳定性，动态特性，抗干扰能力 ﹑ ﹑ 。 7．Bode 图中对数相频特性图上的－180°线对应于奈奎斯特图中的___________。 8．已知单位反馈系统的开环传递函数为： 20 ()(0.51)(0.041) G s s s = ++求出系统在单位阶跃输入时的稳 态误差为 。 9．闭环系统稳定的充要条件是所有的闭环极点 t e 63-
均位于s 平面的______半平面。 10．设单位反馈控制系统的开环传递函数为 10()1 G s s = +，当系统作用有x i (t ) = 2cos(2t - 45?)输入 信号时，求系统的稳态输出为_____________________。 11．已知传递函数为2 ()k G s s =，则其对数幅频特性 L （ω）在零分贝点处的频率数值为_________ 。 12 在系统开环对数频率特性曲线上，低频段部分主要由 环节和 决定。 13．惯性环节的传递函数11+Ts ，它的幅频特性的数学式是__________,它的相频特性的数学式是____________________。 14．已知系统的单位阶跃响应为()1t t o x t te e --=+-，则 系统的脉冲脉冲响应为__________。 一、填空题 （每空1分，共20分）： 1 稳定性，准确性，快速性；2 稳态；3 反馈； 4 ) ()(1) (s H s G s G ±；5 3 ()6 F s s = + 6 稳定性，动态特性，抗干扰能力； 7 负实轴； 8 1 21 9 右半平面； 10
题目：线性定常系统对正弦信号(谐波输入)的 称为频率响应。 答案：稳态响应 题目：频率响应是系统对_____________的稳态响应；频率特性G(jω)与传递函数G(s)的关系为____________。 答案：正弦输入、s=ωj 题目：以下关于频率特性、传递函数和单位脉冲响应函数的说法错误的是【 】 A ． ω ωj s s G j G ==)()( B ． [])()(t F s G ω= C ． [])()(t L s G ω= D ． [])()(t F j G ωω= 分析与提示：令传递函数中ωj s =即得频率特性；单位脉冲响应函数的拉氏变换即得 传递函数；单位脉冲响应函数的傅立叶变换即为频率特性。 答案：B 题目：以下说法正确的有 【 】 A ．时间响应只能分析系统瞬态特性 B ．系统的频率特性包括幅频特性和相频特性，它们都是频率ω的函数 C ．时间响应和频率特性都能揭示系统动态特性 D ．频率特性没有量纲 E ．频率特性反映系统或环节对不同频率正弦输入信号的放大倍数和相移 分析与提示：时间响应可分析系统瞬态特性和稳态性能；频率特性有量纲也可以没有量纲，其量纲为输出信号和输入信号量纲之比。 答案：B 、C 、E 题目：通常将 和 统称为频率特性。 答案：幅频特性、相频特性 题目：系统的频率特性是系统 响应函数的 变换。 答案：脉冲、傅氏 题目：频率响应是系统对_____________的稳态响应；频率特性G(jω)与传递函数G(s)的关系为____________。 答案：正弦输入、s=ωj 题目：已知系统的单位阶跃响应为()()0,8.08.1194≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅 频特性和相频特性。 分析与提示：首先由系统的输入输出得到系统传递函数；令s=ωj 即可得到频率特性，进而得到幅频特性和相频特性。 答案：由已知条件有 ()()9 18.0418.11, 1 +++-= =s s s s X s s X o i 传递函数为 ()()()()() 9436++== s s s X s X s G i o 则系统的频率特性为 ()()() 9436 ++= ωωωj j j G
传递函数transfer function零初始条件F线性系统响应(即输出)量的拉普拉斯变换(或z变换)与激励(即输入)量的拉普拉斯变换之比。记作G (s) =Y (s) /U (s),其中Y (s)、U (s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法频率响应法和根轨迹法都是建立在传递函数的基础Z上。 简介 系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对应的。可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出整体系统的传递函数，并用它分析系统的动态特性、稳定性，或根据给定要求综合控制系统，设计满意的控制器。以传递函数为工具分析和综合控制系统的方法称为频域法。它不但是经典控制理论的基础，而且在以时域方法为基础的现代控制理论发展过程小，也不断发展形成了多变量频域控制理论，成为研究多变量控制系统的有力工具。传递函数小的复变量s在实部为零、虚部为角频率时就是频率响应。传递函数是《积分变换》里的概念。对复参数S, 函数f(t)*e A(-st)在［0,+8)的积分，称为函数f(t)的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记作F(s),这是个复变函数。设一个系统的输入函数为x(t), 输出函数为y(t),贝9 y⑴的拉氏变换Y(s)与x(t)的拉氏变换X(s)的商： W(s)=Y(s)/X(s)称为这个系统的传递函数。传递函数是由系统的本质 特性确定的，与输入量无关。知道传递函数以后，就可以由输入量求输岀量，或 者根据需要的输出量确定输入量了。传递函数的概念在自动控 制理论里有重要应用。 传递函数的常识 传递函数概念的适用范围限于线性常微分方程系统?当然，在这类系统的分析和设计屮，传递函数方法的应用是很广泛的.下面是有关传递函数的一些重耍说明(下列各项说明中涉及的均为线性常微分方程描述的系统). 1.系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法. 2.传递函数是系统本身的一种属性，它与输入量或驱动函数的大小和性质无关? 3.传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息(许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数，称之为相似系统). 4.如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质. 5.如果不知道系统的传递函数，则可通过引入已知输入量并研究系统输岀量的实验方法,确定系统的传递函数?系统的传递函数一旦被确定,就能对系统的动态特性进行充分描述，它不同于对系统的物理描述.
第5章 系统的稳定性 一、填空题 1.稳定系统其自由运动模态随时间增加而逐渐（消失） 2.对于二阶系统，加大增益将使系统的（稳定性）变差。 ３.若闭环系统的特征式与开环传递函数)()(s H s G 的关系为)()(1)(s H s G s F +=，则 )(s F 的零点就是（系统闭环极点） 。 ４.Ⅰ型系统跟踪阶跃信号的稳态误差为（0）。 5.线性定常系统的偏差信号就是误差信号的条件为（反馈传递函数H(s)＝1）。 6.控制系统含有的积分个数多，开环放大倍数大，则系统的（稳态性能）愈好。 7.降低系统的增益将使系统的稳态精度（变差）。 8.闭环系统稳定的充分必要条件是其开环极坐标曲线逆时针围绕点（－1，j0）的圈数等于落在S 平面右半平面的（开环极点）数。 9.统在前向通路中含有积分环节将使系统的稳定性严重（变差）。 10.系统开环频率特性的相位裕量愈大，则系统的（稳定性）愈好。 11.控制系统的误差是期望输出与（实际输出）之差。 12.降低系统的增益将使系统的（快速性或稳态性）变差。 三、名词解释题 1.穿越：是开环极坐标曲线穿过实轴上（－∞，－1）的区间。 2.相位裕度：在系统的开环幅频特性等于1时，其相应的相频特性距离-180°的相位差。或：极坐标曲线在幅值穿越频率处的相頻特性距离-180°的相位差。 3.幅值裕度：相頻穿越频率处开环幅频特性的倒数。 4.劳斯判据：利用系统闭环特征方程的系数建立劳斯系数表，根据劳斯表中第1列系数的符号变化判断系统稳定性即：劳斯表中第1列系数无符号变化则系统处于稳定状态，否则系统处于临界稳定或不稳定状态。 5.奈奎斯特稳定判据：闭环系统稳定的充分必要条件是其开环极坐标频率特性曲线逆时针围绕点（－1，j0）的圈数等于落在S 平面右半平面的开环极点数。 四、简答题 1.简述闭环特征函数的特点。 答：1）特征函数的零点就是系统的闭环极点；2）特征函数的极点就是系统的开环极点； 3）特征函数的分子和分母的阶次相同；4）特征函数与系统开环传递函数只差常数1。 2.简述积分、微分及惯性环节对最小相位系统稳定性的影响。
2-6 传递函数 求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。 目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。所以传递函数是一个极其重要的基本概念。 一、传递函数的概念及定义 在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。 其微分方程（2-44）为 )()(t u t u dt du RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有 )()()1(s U s U RCs r c =+ 网络输出的拉氏变换式为 )(11)(s U RCs s U r c += （2-48） 这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是 1 1+RCs ，完全由网络的结构参数确定。将上式（2-48）改写成如下形式 1 1)()(+=RCs s U s U r c 令1 1)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =
5.7 系统的传递函数方框图如图所示，已知25.0,1.021==T T ， 试求： （1）系统稳定时K 值的取值范围； 解： 由题意可以写出系统的闭环传递函数为： ()()()()K s s T T s T T K s T s T s K s T s T s K s G B ++++=+++++=2213212121)(11111)( 系统的特征方程为：0)(221321=++++K s s T T s T T 即：04040141)(232 121221213=+++=++++K s s s T T K s T T s T T T T s 由特征方程写出 根据Routh 判据，系统闭环稳定的充要条件为： ? ??>>-040040560K K 即： 014>>K 5.9试根据下面开环频率特性，使用Nyquist 判据分析相应的闭环系统的稳定性 ()()1 10110)(++=ωωωωj j j j G K 解：使用Nyquist 判据要求画出开环频率特性)(ωj G K 的Nyquist 轨迹 )(ωj G K 的幅频特性函数与虚频特性函数分别为：
)1100()1(10 )(22++=ωωωωj G K 1 10arctan 1arctan 20)(ωωπω--- =∠j G K 将)(ωj G K 表示成下式： )1100)(1() 10100(110)1100)(1(10 )101)(1()(22222++-+-=++?--?-=ωωωωωωωωωωωj j j j j G K 可得其实频特性函数与虚频特性函数分别为： )1100)(1(110)}(Re{22++-=ωωωω ωj G K )1100)(1() 10100()}(Im{222++-=ωωωωωj G K 考虑ω的几个特殊值 当0=ω： ∞=)(ωj G 2 )(πω-=∠j G 当∞=ω： 0)(=ωj G πω2 3)(-=∠j G 由于当ω从0变化至∞，)(ωj G ∠从2π-变化至2 3π-，因此该系统的Nyquist 轨迹必然从复平面的第三象限移动至第二象限，也即轨迹必然与负实轴相交。 令0)1100)(1()10100()}(Im{222=++-= ωωωωωj G K ，即101=ω 此时： 9) 110)(11.0(110)1100)(1(110)}(Re{22-≈++-=++-=ωωωω ωj G K 即Nyquist 轨迹与负实轴相交点为（-9，j0） 由此可以做出)(ωj G K 的Nyquist 轨迹图，如下：
第四章传递函数 第一节传递函数 一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。 ) () ()]([)]([)()()()(s R s Y t r L t y L s G s G t y t r = =，则为，系统传递函数 、系统输入、输出分别为 二、求法： 1、由微分方程求取。 若系统的微分方程为 ) ()()()()()()()(01) 1(1) (01) 1(1)(t x b t x b t x b t x b t y a t y a t y a t y a m m m m n n n n +'+++=+'+++---- 对微分方程的两端求拉氏变换 11 1011 1011 1011 1011 1011 1)() ()() ()() ()() ()()()()()()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s G s X b s b s b s b s Y a s a s a s a s X b s sX b s X s b s X s b s Y a s sY a s Y s a s Y s a n n n n m m m m m m m m n n n n m m m m n n n n +++++++==+++=++++++++=++++------------
例1：系统微分方程为)()() ()(2 2t f t kx dt t dx c dt t x d m =++，求系统的传递函数。 解：由给定的微分方程， k cs m s s F s X s G s F s X k cs m s s F s kX s csX s X m s t f t kx dt t dx c dt t x d m ++= ==++=++=++2222 21 )()()()()()()()()()()()() ()( 例2：求R-C 电路的传递函数。 解： 1 1 )()()()1()()()(00000+= =+=+=+Rcs s G s U s U Rcs s U s U s RcsU u u dt du Rc i i i 三、性质 1、系统的传递函数取决于系统的本身，与系统的输入、输出及其它外界因素无关。 2、对于实际的物理系统，m n ≥ 四、概念 1、零点、极点： 零点：系统传递函数分子s 多项式为零的根。 极点：系统传递函数分母s 多项式为零的根。 2、传递系数： 值定义为传递系数)0(G 。 3、特征方程：传递函数分母s 多项式。 4、阶：系统特征方程s 的最高指数。 例3、以例1、例2的结果为例。 第二节典型环节及其传递函数
3-1 已知某单位反馈系统的开环传递函数为1 )(+=Ts K s G k ，试求其单位阶跃响应。 解法一，采用拉氏反变换： 系统闭环传递函数为：()()()()1()1k k G s C s K s R s G s Ts K Φ=== +++ 输入为单位阶跃，即：1()R s s = 故：1()()()1 1K A B C s s R s K Ts K s s s T =Φ= ?=+ ++++ 可由待定系数法求得：,11 K K A B K K ==-++ 所以，1111 ()()111K K K K K C s K K s K s s s T T ++=-=-+++++ 对上式求拉氏反变换： 1 ()(1)1 k t T K c t e K +-=-+ 解法二，套用典型一阶系统结论： 由式(3-15)，已知典型一阶系统为：()1 ()()1 C s s R s Ts Φ= =+ 由式(3-16)，其单位阶跃响应为：1()1t T c t e -=- 若一阶系统为()()()1 C s K s R s Ts Φ==+，则其单位阶跃响应为：1()(1)t T c t K e -=- 现本系统闭环传递函数为：()()(1)()()1()1(1)11 k k G s C s K K K K s R s G s Ts K Ts K T s ' +Φ===== '++++++ 其中，,11 T K T K K K ''= =++ 所以，1 1()(1)(1)1 k t t T T K c t K e e K +--' '=-=-+ 采用解法二，概念明确且解题效率高，计算快捷且不易出错，应予提倡。 3-2 设某温度计可用一阶系统表示其特性，现在用温度计测量容器中的水温，当它插入恒温水中一分钟时，显示了该温度的98%，试求其时间常数。又若给容器加热，水温由0℃按10℃/min 规律上升，求该温度计的测量误差。 解： （1）由题意知，误差为2%，因此调节时间：41min s t T ==，即时间常数T ： 1 0.25min 15sec 4 s T t ===
4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10 ()1 G s s =+。当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r t t =+?，试求系统的稳态输出。 解： 系统的闭环传递函数为：10 ()() 11()()1()1 11 C s G s s s R s G s Φ===++ 这是一个一阶系统。系统增益为：1011K =，时间常数为：1 11 T = 其幅频特性为：()A ω=其相频特性为：()arctan T ?ωω=- 当输入为()sin(30)r t t =+?，即信号幅值为：1A =，信号频率为：1ω=，初始相角为：030?=?。代入幅频特性和相频特性，有： 1 (1)A == = = 11 (1)arctan arctan 5.1911 T ω?ω==-=-=-? 所以，系统的稳态输出为： [ ]()(1)sin 30(1)24.81)c t A A t t ?=??+?+= +? 4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)t t c t e e t --=-+≥。试求系统的幅频特性和相频特性。 解： 对输出表达式两边拉氏变换： 1 1.80.8361 ()49(4)(9)(1)(1)49 C s s s s s s s s s s =-+== ++++++ 由于()()()C s s R s =Φ，且有1 ()R s s = （单位阶跃）。所以系统的闭环传递函数为： 1()(1)(1)49 s s s Φ= ++ 可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为： 1211 ,49 T T == 系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：
机械控制工程基础第五章练习习题及解答 习题一题型：选择题题目：关于系统稳定的说法错误的是【】A．线性系统稳定性与输入无关B．线性系统稳定性与系统初始状态无关C．非线性系统稳定性与系统初始状态无关D．非线性系统稳定性与系统初始状态有关 分析与提示：线性系统稳定性与输入无关；非线性系统稳定性与系统初始状态有关。答案：C 习题二 题型：填空题 题目：判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为 或为具有负实部的复数，即系统的特征根必须全部在 是系统稳定的充要条件。 分析与提示：判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为负实数或为具有负实部的复数，即系统的特征根必须全部在复平面的左半平面是系统稳定的充要条件。 答案：负实数、复平面的左半平面 习题三 题型：选择题 题目：一个线性系统稳定与否取决于【】 A．系统的结构和参数 B．系统的输入
C．系统的干扰 D．系统的初始状态 分析与提示：线性系统稳定与否取决于系统本身的结构和参数。 答案：A 习题四 题型：填空题 题目：若系统在的影响下，响应随着时间的推移，逐渐衰减并回到平衡位置，则称该系统是稳定的 分析与提示：若系统在初始状态的影响下（零输入），响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(回到平衡位置)，则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系统是不稳定的。 答案：初始状态 习题五 题型：填空题 题目：系统的稳定决定于的解。 分析与提示：系统的稳定决定于特征方程的解。 答案：特征方程 习题一 题型：填空题 题目：胡尔维兹（Hurwitz）判据、劳斯（Routh）判据又称为 判据。 分析与提示：胡尔维兹（Hurwitz）判据、劳斯（Routh）判据，
一、填空题：（每空1分，共20分） 1．对控制系统的基本要求一般可归结为_________稳定性，准确性，快速性____、____________、___________。 2．自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是瞬态响应分量，另一个是____________响应分量。 3．在闭环控制系统中，通过检测元件将输出量转变成与给定信号进行比较的信号，这个信号称为_________________。 4．若前向通道的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则闭环传递函数为__________________ 。 5 函数f(t)=t e 63-的拉氏变换式是_________________ 。 6 开环对数频率特性的低频段﹑ 中频段﹑ 高频段分别表征了系统的 稳定性，动态特性，抗干扰能力 ﹑ ﹑ 。 7．Bode 图中对数相频特性图上的－180°线对应于奈奎斯特图中的___________。 8．已知单位反馈系统的开环传递函数为：20 ()(0.51)(0.041) G s s s =++求出系统在单位阶跃输 入时的稳态误差为 。 9．闭环系统稳定的充要条件是所有的闭环极点均位于s 平面的______半平面。 10．设单位反馈控制系统的开环传递函数为10 ()1 G s s = +，当系统作用有x i (t ) = 2cos(2t - 45?)输入信号时，求系统的稳态输出为_____________________。
11．已知传递函数为2()k G s s =，则其对数幅频特性L （?）在零分贝点处的频率数值为_________ 。 12 在系统开环对数频率特性曲线上，低频段部分主要由 环节和 决定。 13．惯性环节的传递函数 1 1 +Ts ，它的幅频特性的数学式是__________,它的相频特性的数学式是____________________。 14．已知系统的单位阶跃响应为()1t t o x t te e --=+-，则系统的脉冲脉冲响应为__________。 一、填空题（每空1分，共20分）： 1 稳定性，准确性，快速性； 2 稳态； 3 反馈； 4 )()(1)(s H s G s G ±；5 3 ()6 F s s =+ 6 稳定性，动态特性，抗干扰能力； 7 负实轴； 8 1 21 9 右半平面； 55.3)t -o 11 ω=;12 积分，比例；13 () ωωT T arctan ,112 -+ 14 0,22≥+---t e e t t 二、判断题：（每小题1分，共10分） 1. 在对数相频特性图中，L （ω）≥0范围内开环对数相频特性曲线由下而上穿过-180°线时为正穿越。（ ）