(广东卷A)2015年高考试题-数学文(Word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 。

绝密★启用前试卷类型：B 2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M=-，{}2,1,0N=-，则M N =（）A．{}0,1-B．{}0C．{}1 D．{}1,1-2、已知i是虚数单位，则复数()21i+=（）A．2-B．2C．2i-D．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．2siny x x=+B．2cosy x x=-C．122xxy=+ D．sin2y x x=+4、若变量x，y满足约束条件224x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为（）A．10B．8C．5D．2 5、设C∆A B的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2a=，c=cos A=且b c<，则b=（）AB．2C．D．36、若直线1l和2l是异面直线，1l在平面α内，2l在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l至少与1l，2l中的一条相交B．l与1l，2l都相交C．l至多与1l，2l中的一条相交D．l与1l，2l都不相交7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．1 8、已知椭圆222125x ym+=（0m>）的左焦点为()1F4,0-，则m=（）A．9B．4C．3D．2 9、在平面直角坐标系x yO中，已知四边形CDAB是平行四边形，()1,2AB=-，()D2,1A =，则D CA⋅A =（）A．2B．3C．4 D．510、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r sE=≤<≤≤<≤≤<≤∈N且，(){}F,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w=≤<≤≤<≤∈N且，用()card X表示集合X中的元素个数，则()()card card FE+=（）A．50B．100C．150 D．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11、不等式2340x x--+>的解集为．（用区间表示）12、已知样本数据1x，2x，⋅⋅⋅，nx的均值5x=，则样本数据121x+，221x+，⋅⋅⋅，21nx+的均值为．13、若三个正数a，b，c成等比数列，其中5a=+5c=-b=．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x yO中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C的极坐标方程为()cos sin2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C与2C交点的直角坐标为．15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线CE的垂线，垂足为D．若4A B=，C E=DA=．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan2α=．()1求tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；()2求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值．17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DCP所在的平面与长方形CDAB所在的平面垂直，D C4P=P=，6AB=，C3B=．()1证明：C//B平面DP A；()2证明：C DB⊥P；()3求点C到平面D P A的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a的前n项和为n S，n*∈N．已知11a=，232a=，354a=，且当2n≥时，211458n n n nS S S S++-+=+．()1求4a的值；()2证明：112n na a+⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；()3求数列{}na的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆1C:22650x y x+-+=相交于不同的两点A，B．()1求圆1C的圆心坐标；()2求线段AB的中点M的轨迹C的方程；()3是否存在实数k，使得直线L:()4y k x=-与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a为实数，函数()()()21f x x a x a a a=-+---．()1若()01f≤，求a的取值范围；()2讨论()f x的单调性；()3当2a≥时，讨论()4f xx+在区间()0,+∞内的零点个数．2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题1.C2.D3.A4.C5.B6.A7.B8.C9.D 10.D二、填空题11. 【答案】()4,1-12. 【答案】1113. 【答案】114. 【答案】()2,4-15. 【答案】316. 【答案】（1）3-；（2）1．17. 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．（1）因为四边形CDAB是长方形，所以C//DB A，因为CB⊄平面DP A，DA⊂平面DP A，所以C//B平面DP A（2）因为四边形CDAB是长方形，所以C CDB⊥，因为平面DCP⊥平面CDAB，平面DCP平面CD CDAB=，CB⊂平面CDAB，所以CB⊥平面DCP，因为DP⊂平面DCP，所以C DB⊥P（3）取CD的中点E，连结AE和PE，因为D CP=P，所以CDPE⊥，在Rt D∆PE中，PE===，因为平面DCP⊥平面CDAB，平面DCP平面CD CDAB=，PE⊂平面DCP，所以PE⊥平面CDAB，由（2）知：CB⊥平面DCP，由（1）知：C//DB A，所以DA⊥平面DCP，因为DP⊂平面DCP，所以D DA⊥P，设点C到平面DP A的距离为h，因为C D CDV V-P A P-A=三棱锥三棱锥，所以D C D1133S h S∆P A∆A⋅=⋅PE，即CDD13621342ShS∆A∆P A⨯⨯⋅PE===⨯⨯，所以点C到平面DP A的距离是19. 【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212nna n-⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．(1)当n=2时，4423143533558,15181124224S S S S a⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=++++++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭即4解得：478a=（2）因为()() n2n1121114582,44442,n n n n n n n n S S S S n S S S S S S n ++-++-++=+≥-+-=-≥所以即()2131442,44n n na a a n a a+++=≥+=因为×()212112211111422512164,44,14422222n nn n n nn n nn n n nn na a a a a aa a a aa a a aa a++++++++++---+==+====---所以因为，所以数列1211111222n n a a a a +⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭是以为首项，公比为的等比数列（3）由()2知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n nn n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212n na n n =+-⨯=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭20. 【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ．（1） 圆()()222211:65034,3,0C x y x x y +-+=-+=化为所以圆C 的圆心坐标为（2） 设线段AB 的中点M(),,o o x y 由圆的性质可得1C M 垂直于直线l设直线l 的方程为00(l k 1,,cm y mx m y mx ==-=已知直线的斜率存在），所以所以00001,3y y x x =--所以222200000393024x x y x y ⎧⎫-+=-+=⎨⎬⎩⎭即因为动直线l 与圆1C ，所以2m <45；所以22200y m x =<220004,5x x -所以3x <2004,x 5x 解得>53或0x <0,又因为0<03,x ≤所以 53<03x ≤.所以()00,M x y 满足22003953.243x y x ⎧⎫⎧⎫-+=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭即 223953.243x y x ⎧⎫⎧⎫-+=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭（3） 由题意知直线l 表示过定点T()4,0,斜率为k 的直线结合图形，220003955324333x y x x ⎧⎪⎧⎫⎧⎫-+=<≤-⎨⎬⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭表示的是一段关于轴对称，起点为，按逆时针方向运动到53⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的圆弧，根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =IA ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x x y 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．〔1〕[2015年XX ，理1，5分]若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，}{|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =〔〕〔A 〕{}1,4〔B 〕{}1,4--〔C 〕{}0〔D 〕∅[答案]D[解析]{}{}(4)(1)04,1M x x x =++==--，{}{}(4)(1)01,4N x x x =--==，M N ∴⋂=∅故选D ． 〔2〕[2015年XX ，理2，5分]若复数i(32i)z =-〔i 是虚数单位〕，则z =〔〕〔A 〕23i -〔B 〕23i +〔C 〕32i +〔D 〕32i - [答案]A[解析]i(32i)3i 2z =-=+，23i z ∴=-，故选A ．〔3〕[2015年XX ，理3，5分]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是〔〕〔A 〕21y x =+〔B 〕1y x x=+〔C 〕122x x y =+〔D 〕x y x e =+[答案]D[解析]A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数，故选B ．〔4〕[2015年XX ，理4，5分]袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为〔〕 〔A 〕521〔B 〕1021〔C 〕1121〔D 〕1 [答案]B[解析]111052151021C C P C ==，故选B ． 〔5〕[2015年XX ，理5，5分]平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是〔〕〔A 〕250250x y x y ++=+-=或〔B 〕250250x y x y ++=+-=或 〔C 〕250250x y x y -+=--=或〔D 〕250250x y x y -+=--=或[答案]A[解析]设所求直线为02=++c y x ，因为圆心坐标为()0,0，则由直线与圆相切可得25521c cd ===+，解得5c =±，所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，故选A ．〔6〕[2015年XX ，理6，5分]若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为〔〕〔A 〕4〔B 〕235〔C 〕6〔D 〕315[答案]B[解析]如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32z x y =+，则当目标函数过点81,5⎛⎫⎪⎝⎭，32z x y =+取最小值为235，故选B ．〔7〕[2015年XX ，理7，5分]已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为〔〕〔A 〕22143x y -=〔B 〕221916x y -=〔C 〕221169x y -=〔D 〕22134x y -= [答案]C[解析]由双曲线右焦点为2(5,0)F ，则5c =，544c e a a ==∴=．2229b c a ∴=-=，所以双曲线方程为221169x y -=，故选C ．〔8〕[2015年XX ，理8，5分]若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值〔〕〔A 〕至多等于3〔B 〕至多等于4〔C 〕等于5〔D 〕大于5 [答案]B[解析]当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A ，C ，D 四个选项，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 〔一〕必做题〔9~13〕〔9〕[2015年XX ，理9，5分]在4x （-1）的展开式中，x 的系数为． [答案]6[解析]()()()4424411r rr rr r Cx C x ---=-，则当2r =时，x 的系数为()22416C -=． 〔10〕[2015年XX ，理10，5分]在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=． [答案]10[解析]由等差数列性质得，345675525a a a a a a ++++==，解得55a =，所以285210a a a +==．〔11〕[2015年XX ，理11，5分]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b =．[答案]1[解析]15sin ,266B B ππ=∴=或，又6C π=，故6B π=，所以，23A π=由正弦定理得，sin sin a bA B =，所以1b =． 〔12〕[2015年XX ，理12，5分]某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言〔用数字作答〕． [答案]1560[解析]40391560⨯=．〔13〕[2015年XX ，理13，5分]已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，则p =．[答案]13[解析]()30E X np ==，()(1)20D X np p =-=，解得13p =．〔二〕选做题〔14-15题，考生只能从中选做一题〕〔14〕[2015年XX ，理14，5分]〔坐标系与参数方程选做题〕已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4A π，则点A 到直线l 的距离为．[答案]522[解析]222sin()2(sin cos )2422πρθρθθ-=-=sin cos 1ρθρθ∴-=．即直线l 的直角坐标方程为110y x x y -=-+=，即，点A 的直角坐标为()2,2-，A 到直线的距离为2215222d ++==． 〔15〕[2015年XX ，理15，5分]〔几何证明选讲选做题〕如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =． [答案]8[解析]如图所示，连结O ，C 两点，则OC CD ⊥，OD AC ⊥90CDO ACD ∴∠+∠=︒90ACD CBA CBA CAB ∠=∠∠+∠=︒，，CDO CAB ∴∠=∠，所以OD OCAB BC=， 所以8OD =．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔16〕[2015年XX ，理16，12分]在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 〔1〕若m n ⊥，求tan x 的值； 〔2〕若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 解：〔1〕()2222,sin ,cos sin cos sin 22224m n x x x x x π⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，m n ⊥，0m n ∴⋅=，即sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，444x πππ∴-<-<，04x π∴-=．即4x π=，tan tan 14x π∴==．〔2〕依题意2222sin 4cossin 3422sin cos 22x m n m nx xπππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭⋅⎛⎫⎛⎫+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，46x ππ∴-=，即56412x πππ=+=． 〔17〕[2015年XX ，理17，12分]某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39〔1〕用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；〔2〕计算〔1〕中样本的均值x 和方差2s ；〔3〕36名工人中年龄在x s 与x s 之间有着多少人？所占的百分比是多少〔精确到0．01%〕？ 解：〔1〕由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本．则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．〔2〕由〔1〕中的样本年龄数据可得，()1444036433637444337409x =++++++++=，则()()()()()()()()1222222222444040403640434036403740444043409s ⎡=-+-+-+-+-+-+-+-⎢⎣()23740⎤+-⎥⎦= 9100．〔3〕由题意知年龄在100100404099⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，之间，即年龄在[]3743，之间， 由〔1〕中容量为9的样本中年龄、在[]3743，之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]3743，之间的有536209⨯=〔人〕，则所占百分比为20100%55.56%36⨯≈．〔18〕[2015年XX ，理18，14分]如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =，点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB ==，2CG GB =． 〔1〕证明：PE FG ⊥；〔2〕求二面角P AD C --的正切值；〔3〕求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值． 解：〔1〕PD PC =PDC ∴∆为等腰三角形，E 为CD 边的中点，所以PE DC ⊥， PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且PE PDC ⊂平面，∴PE ABCD ⊥平面FG ABCD ⊂平面，PE FG ∴⊥．〔2〕由长方形ABCD 知，AD DC ⊥，PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且AD ABCD ⊂平面AD PDC ∴⊥平面PD PDC ⊂平面，PD AD ∴⊥DC AD PD AD PC PDA DC CAD ⊥⊥⊂⊂由，，且平面，平面．PDC P AD C ∴∠--即为二面角，由长方形ABCD 得6DC AB ==，E 为CD 边的中点，则132DE DC ==，2243437PD DE PE DC PE ==⊥∴=-=，，，7tan 3PE PDC DE ∴∠==即二面角P AD C --的正切值为73．〔3〕如图，连结A ，C ，22AF FB CG GB ==，BF BGAB BC∴=，//FG AC ，PAC ∴∠为直线PA 与直线FG 所成角． 由长方形ABCD 中63AB BC ==，得：226335AC =+= 由〔2〕知AD PD ⊥，34AD BC PD ===，22345AP ∴=+=，由题意知4PC =，22295cos 225AP AC PC PAC AP AC +-∴∠==⋅⋅，所以，直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525． 〔19〕[2015年XX ，理19，14分]设1a ，函数2()(1)x f x x e a ．〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕证明：()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点； 〔3〕若曲线()y f x 在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行〔O 是坐标原点〕，证明：321m a e≤--． 解：〔1〕2()(1)x f x x e a =+-，22()=2(1)(1)x x x f x xe x e x e '∴++=+，x R ∈时，()0f x '≥恒成立．()f x ∴的单调递增区间为R ．〔2〕由〔1〕可知()f x 在R 上为单调递增函数，当x a =，()=(+)(1)aaaf a a e a ea e-=+-1，1a >，()0f a ∴>，()f x ∴在(,)-∞+∞仅有一个零点．〔3〕令点P 为00(,)x y ，曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，0200()=(1)0x f x x e '∴+=，0=1x ∴-，2(1,)P a e--，∴直线OP 斜率为221op ae k a e -==--， 在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行，22()(1)m f m m e a e'∴=+=-．要证明321m a e ≤--，即证32(1)m a e+≤-．要证明32(1)(1)m m +≤+，需证明1m m e +≤，设()1m g m e m =--，()1m g m e '∴=-，令()0,0g m m '==，()g m ∴在∞(-,0)上单调递减，在+∞(0，)上单调递增，()(0)0g m g ∴≥=， 10m e m ∴--≥，1m e m ∴≥-，命题得证．〔20〕[2015年XX ，理20，14分]已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B ．〔1〕求圆1C 的圆心坐标；〔2〕求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；〔3〕是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．解：〔1〕由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． 〔2〕由图可知，令()11,M x y，1|||OM C M =22211||||||OC OM C M =+，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24x y ∴-+=，∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，1533x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为：22395()(,3]243x y x -+=∈．〔3〕∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点，联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5(,3]3有且仅有1个解．当2222=(83)64+1=k k k ∆+-（）0时，43k =±，此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意．当0∆≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5()(3)0g g ≤解得：[k ∈，∴k 的取值X 围为：[k ∈或43k =±．〔21〕[2015年XX ，理21，14分]数列n a 满足：*121224,2n n n a a na n N ． 〔1〕求3a 的值；〔2〕设求数列{}n a 的前n 项和n T ； 〔3〕令111111,(1)(2)23n nn T b a b a n n n，证明：数列{}n a 的前n 项和n S 满足22ln n S n ．解：〔1〕由题意知：1212242n n n a a na -++++=-，当=2n 时，121222=42a a ++-；当=3n 时，1232322+3=42a a a ++-，321322233=4(4)224a ++---=，31=4a ． 〔2〕1212242n n n a a na -++++=-，12132+(+1)42n n n n a a na n a ++∴+++=-，， 111123243111(+1)()()222222n n n n nn n n n n n n n n n a a a -++-+++--+=-==∴=∴=∴{}n a 是首相为1，公比为12的等边数列，∴1111()1122()212212nn n n T ---==-=--．〔3〕由〔2〕得：1122n n T -=-1111(2)(1)22n n S n -∴=-++，已知不等式：111ln(1)23n n+<+设()ln(1),01xf x x x x =+->+2()01x f x x'∴=>+，()f x 在()∞0,+单调递增， ()ln(1)(0)01x f x x f x ∴=+->=+，ln(1)1xx x∴+>+在()∞0,+上恒成立． 令1=x n，1ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln n n n n n n +=+-+--++-=，1111ln(1)231n n +>++++111ln 231n n ∴>++++， 111111(2)(1)2(1)2(1ln 2)22ln 2222n n S n n-∴=-++<++<+=+．。