八年级下 第一章 三角形的证明 (知识点总结和习题练习)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第2课时等边三角形的性质例1：如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（）A．25°B．60°C．85°D．95°解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．故选：D．练习：等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是（）A．30°B．50°C．60°D．90°解：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BO、CO是两个内角的平分线，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，在△OBC中，∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝30°+30°＝60°．故选：C．作业：1．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，∴∠E＝30°，故选：C．例2：如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝．解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．练习：如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝cm．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD＝AC＝3cm．故填3．作业：2. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∵CG＝CD，∴∠GDC＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．例3：三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°解：如图，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝60°，故选：B．练习：如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∠BAD＝∠ADB＝20°，∴∠ABD＝140°，∴∠CBD＝80°，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝50°＝∠BDC，故选：A．作业：3. 如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．35°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝60°+90°＝150°，∵AC＝CD，∴∠DAC＝＝15°，∴∠BAD＝60°﹣15°＝45°．故选：B．例4：如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．证明：连接BD．∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴MB＝ME．练习：如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F 为BC中点，连接AF．（1）直接写出∠BAE的度数为；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵EA＝EC，∠AEC＝120°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．故答案为90°．（2）结论：AF∥EC．理由：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC，∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥EC．作业：4．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC，求证：AD＝BE．证明：在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAB＝∠DCA＝120°．在△EAB和△DCA中，，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE．例5：已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD．（1）求证：AD＝BE；（2）求：∠BFD的度数．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE（全等三角形对应边相等）；（2）解：∵△ABE≌△CAD（已证），∴∠ABE＝∠CAD（全等三角形对应角相等），又∵∠BFD＝∠BAD+∠ABE，∴∠BFD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC，又∠BAC＝60°，∴∠BFD＝60°．练习：已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，又∵∠B＝60°，∠DEF ＝60°，∠1＝∠3，∴∠FDE＝∠DEB，∴DF∥BC．作业：5．已知△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△ACE为等边三角形．（1）如图①，若∠ABC＝70°，则∠CAB的大小＝（度），∠EAB的大小＝（度）；（2）如图②，△BDC为等边三角形，AE与BD相交于点F，求证：FA＝FB．解：（1）∵AC＝CB，∴∠ABC＝∠CAB＝70°，∵△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝60°，∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝70°﹣60°＝10°；故答案为：70，10．（2）证明：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵△ACE，△BDC都为等边三角形，∴∠CAE＝∠CBD＝60°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠CBA﹣∠CBD，即∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB．备用：在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．解：（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣30°＝90°；（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD ＝60°+60°﹣15°＝105°；（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD＝60°+60°+10°＝130°；（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．。

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第5节直角三角形的性质与判定例1：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°解：∵在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，∴2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，故选：A．练习：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A﹣∠B＝50°，∴2∠A＝140°，∴∠A＝70°，故选：B．作业：1．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，∴x+3x＝90，解得x＝22.5，∴∠B＝22.5°，故选：A．例2：在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC 是直角三角形；④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，故选：C．练习：在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；③由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C得到：5∠C＝180°，则∠C＝36°，则∠A ＝∠B＝72°＜90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；综上所述，是直角三角形的是①④，共2个．故选：B．作业：2. 在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B＝，∠C＝，则x++＝180°，解得x＝，∴∠A＝，，，∴△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，故选：B．例3：在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：18练习：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（）A．175B．600C．25D．625解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，则S＝25+400＝625，故选：D．作业：3. 已知△ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则△ABC的面积为（）A．15cm2B．30cm2C．45cm2D．60cm2解：∵a+b＝17，∴（a+b）2＝289，∴2ab＝289﹣（a2+b2）＝289﹣c2＝289﹣169＝120∴ab＝30，故选：B．例4：如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．解：如图，连接AC．∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5．∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．练习：如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，∴BD＝＝＝6，∵BC＝8，CD＝2，∴62+（2）2＝82，∴△BDC是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC．作业：4. 如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．（1）连接BC，求BC的长；（2）判断△BCD的形状，并说明理由．解：（1）∵∠A＝90°，∴BC＝＝＝15；（2）△BCD是直角三角形，理由：∵BC2＝152＝225，BD2＝82＝64，CD2＝172＝289，∴BC2+BD2＝CD2＝289，∴△BCD是直角三角形．例5：如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．练习：如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．（1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形；（2）求△ACD中AD边上的高．解：（1）证明：连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵CD＝12，AD＝13，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，则S△ACD＝AD×CH＝AC×CD，∴×13×CH＝×5×12，∴CH＝．作业：5.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）求BC边上的高．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BC2＝12+82＝65，AC2＝22+32＝13，AB2＝62+42＝52，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．（2）设BC边上的高为h．则有•AC•AB＝•BC•h，∵AC＝，AB＝2，BC＝，∴h＝．例6：写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题．该逆命题是命题（填“真”或“假”）．解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等；假练习：“两直线平行内错角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，∴其逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，是真命题；故答案为：真．作业：6．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是，该逆命题是命题．（“真”、“假”）．解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．。

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。

二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线、角平分线1、线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

第一章三角形的证明1.1 全等三角形和等腰三角形的性质1．如图所示，BA⊥CA，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD，则△ABC≌，理由是，所以∠ABC＝，∠ACB＝，由此可知BC与DE的位置关系为．2．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ .3. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为 .4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为 .5．如图，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°则∠ACE的度数是 .6. 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD7. 如图所示为农村居民住宅侧面截面图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为长方形．若测得∠FAG＝110°，则∠FBD等于( )A．35° B．40° C．55° D．70°8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC9．若实数m、n满足等式|m－2|＋n－4＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．12 B．10 C．8 D．610. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD11. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是( )A．70° B．55° C．50° D．40°12. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的顶角为( ) A．80°或20° B．70°或55° C．60°或50° D．50°或40°13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为( )A．70° B．72° C．80° D．85°12．在△ABC中，AB＝AC，且BC＝8 cm，BD是腰AC的中线，△ABC的周长分为两部分，已知它们的差为2 cm，则等腰三角形的腰长为( )A. 15cm或3cmB. 12cm或5cmC. 12cm或6cmD. 10cm或6cm15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．16. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.17. 如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE.求∠A的度数．18. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，连接AD、AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以这三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ；(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后再证明)．答案;1. △CED SAS ∠CED ∠CDE2. 互相垂直3. 40°4. 40°5. 35°6. D7. C8. C9. D 10. D 11. D 12. A 13. B 14. D15. 解：∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠C ＝180°－∠A2＝70°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝35°，∴∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝75°.16. 证明：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B(等边对等角)，在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)，∴AD ＝AE(全等三角形的对应边相等)．17. 解：设∠A ＝x°，∵AD ＝BE ＝DE ，∴∠EDB ＝12x°，∵AC ＝AB ，∴∠C ＝90°－12x°，∵BC ＝BD ，∴∠CDB ＝90°－12x°，∴∠EDC ＝12x°＋90°－12x°＝90°，∴∠A ＝45°.18. (1) ①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①(2) 解：选择①③⇒②，证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE.1．2直角三角形一．选择题1．下列可使两个直角三角形全等的条件是( ) A ．一条边对应相等 B ．两条直角边对应相等 C ．一个锐角对应相等 D ．两个锐角对应相等2．已知直角三角形ABC ，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是( )． A ． 30° B ． 40° C ． 45° D ． 50°3．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．如图，AB ⊥BC 于点B ，AD ⊥DC 于点D ，若CB ＝CD ，且∠1＝30°，则∠BAD 的度数是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．15° 5．下列命题中，逆命题不正确的是（ ）A ． 两直线平行，同旁内角互补B ． 直角三角形的两个锐角互余C ． 全等三角形对应角相等D ． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（ ） A ．任意两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．至少有两个角是锐角D．内角和等于180°7．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1．2 km，则M，C两点间的距离为( )A．0．5 km B．0．6 km C．0．9 km D．1．2 km8．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为( )A．120°B．135°C．150°D．120°或135°9．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，将△ACD沿AD所在的直线折叠，点C恰好落在BC的中点E处，则∠B等于（）A． 25° B． 30° C． 45° D． 60°10．下列命题为假命题的是（）A．若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019 B．若a＝b，则C．若a＞b，则a2＞ab D．若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c二．填空题11．命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是________．12．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC 于点E，若AE＝12 cm，则DE＝_________cm．13．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）14．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b（a＞b），∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是________．15．命题“两直线平行，同旁内角相等”是命题（填“真”或“假”）．16．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝__________时，△ABC与△QPA全等．17．举一个能证明命题“若x，y都是实数，则+≠”是假命题的反例：．18．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________（不包括5）．三．解答题19．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，那么CE＝DF吗？请说明理由．20．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？21．如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E．(1)求证：BE＝CE；(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．22．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．23．边长为6的等边△ABC中，点P从点A出发沿射线AB方向移动，同时点Q从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点D．（1）如图①，当点P、Q分别在边AB、BC上时，①连接PQ，当△BPQ是直角三角形时，AP等于________；②∠CDQ的大小是否随P，Q的运动而变化？如果不会，请求出∠CDQ的度数；如果会，请说明理由；________（2）当P、Q分别在边AB、BC的延长线上时，在图②中画出点D，并直接写出∠CDQ的度数．24．按要求完成下列各小题．（1）将命题“两个钝角的和一定大于180°”写成“如果…那么…”的形式，并判断该命题是真命题还是假命题；（2）判断命题“若a2＞b2，则a＞b”是真命题还是假命题，若是真命题，则举一个满足命题的例子；若是假命题，则举一个反例．25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是边AB 的中点，CH ⊥AB 于点H ，CD 平分∠ACB ．(1)求证：∠1＝∠2．(2)过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，连结AE ，BE ．求证：CM ＝EM ．答案提示1．B. 2．B. 3．A ．②正确．4．B. 5．C . 6．B ．7.D.8．B.9．B. 10．C ．11．在同一个三角形中，等边对等角. 12．12．13.AB ＝DC （答案不唯一）.14．a ＜b ＜a . 15．假． 16．5或10.17．x ＝1，y ＝﹣4（答案不唯一）．18．9或13或4919． 解：CE ＝DF ．理由如下：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧BC ＝AD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)，∴AC ＝BD ，∠CAB ＝∠DBA ．在△ACE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠CAB ＝∠DBA ，∠AEC ＝∠BFD ＝90°，AC ＝BD ，∴△ACE ≌△BDF(AAS)，∴CE ＝DF ．20．解：连接BD在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52 ，在△CBD中，CD2=132 ，BC2=122 ，而122+52=132 ，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD·AB+ DB· BC= ×4×3+ ×5×12=36所以需费用36×200=7200（元）21．解：(1)证明：∵DB＝DC，DE⊥BC，∴CE＝BE(三线合一)．(2)结论：∠ABC－∠ACB＝2∠ADE．点拨：作BF⊥AD于点F，交AC于点G，求出∠ABG＝∠BGA，∠ADE＝∠CBG．(3)作DM⊥AC于点M，DN⊥AB的延长线于点N，图略．∵∠DAN＝∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM＝DN，∵DB＝DC，∴Rt△DBN≌Rt△DCM(HL)，∴∠BDN＝∠CDM，∴∠CDB＝∠MDN，∵∠CAB＋∠MDN＝180°，∴∠CDB＋∠CAB＝180°，∵∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，∴∠ABC＝80°．∴∠CAB＝180°－80°－40°＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠EDB＝∠EDC＝60°，∴∠DCB＝90°－∠EDC＝30°．22．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．23．（1）2或4；解：∠CDQ的大小不变∵P、Q用时出发，速度相同，所以AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴BA=AC，∠B=∠CAP=60°，在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠B=∠APC，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°；（2）解：如图4，∠CDQ=120°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠ABQ=∠CAP，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP，∴∠Q=∠P，∵∠P+∠BCP=60°，∴∠Q+∠DCQ=60°，∴∠CDQ=120°．24.解：（1）如果两个角是钝角，那么这两个角的和一定大于180°，真命题；（2）假命题，反例：a＝﹣2，b＝﹣1．25．解：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＋∠ACH＝90°．∵CH⊥AB，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠CAH＝∠BCH．∵M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM，∴∠CAM＝∠ACM．∴∠BCH＝∠ACM．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，即∠1＝∠2．(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，∴ME∥CH，∴∠1＝∠MED．∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MED，∴CM＝EM．1.3线段的垂直平分线一．选择题1．如图，∠B＝35°，CD为AB的垂直平分线，则∠ACE＝（）A．55°B．60°C．70°D．80°2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC ＝2，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．103．如图，△ABC的边长AB＝8cm，AC＝10cm，BC＝4cm，作BC的垂直平分线交AC于D，则△ABD的周长为（）A．18cm B．14cm C．20cm D．12cm4．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处5．如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O．若∠BOC＝148°，则∠BIC＝（）A．120°B．125°C．127°D．132°6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°7．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C＝（）A．30°B．40°C．17.5°D．35°8．如图，△ABC中，∠B＝90°，边AC的垂直平分ED，交AC于点D，交BC于点E，已知∠C＝36°，则∠BAE的度数为（）A．16°B．17°C．18°D．19°9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小4，则△ADE的面积为（）A．4B．3C．2D．110．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°二．填空题（共5小题）11．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是cm．12．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若AC＝9，BC＝5，则△BDC的周长是．14．如图，△ABC中，∠A＝68°，点D是BC上一点，BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，则∠EDF＝度．15．如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为°．三．解答题16．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，交AC于点E，连接BE，∠CBE＝2∠ABE，求∠C的度数．18．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝5，求△ADE的周长．（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．参考答案一．选择题1．解：∵CD为AB的垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠B＝∠A＝35°∴∠ACE＝∠B+∠A＝70°．故选：C．2．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵△ADC的周长为10，∴AC+DC+AD＝10，∴AC+CD+BD＝AC+BC＝10，∵BC﹣AC＝2，∴BC＝6，故选：B．3．解：∵BC的垂直平分线交AC于D，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝8+10＝18（cm），故选：A．4．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．5．解：连接OA，∵∠BOC＝148°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝32°，∵O是三边的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠OBA+∠OCA＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∴∠ABC+∠ACB＝74°+32°＝106°，∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝127°，故选：C．6．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，∴∠ABE＝∠A＝30°，∵∠A＝30°，∠C＝110°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，∴∠EBC＝40°﹣30°＝10°，故选：A．7．解：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，∴∠A+∠C＝∠ABC，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，∴∠DOE＝145°，∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°；故选：D．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝36°，∴∠BAC＝90°﹣36°＝54°，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝36°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝18°，故选：C．9．解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴点D是AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC，∵S△BDC﹣S△CDE＝4，∴S△ADC﹣S△CDE＝4，即△ADE的面积为4，故选：A．10．解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝5cm，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），故答案为：18．12．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．13．解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴△BDC的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝14，故答案为：14．14．解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，∴EB＝ED，FD＝FC，∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），∴∠EDF＝∠A＝68°．故答案为68．15．解：连接DA、DC，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，∴DA＝DB，DA＝DC，∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，故答案为：10．三．解答题16．（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为14cm，∴AB+BC+AC＝14（cm），∴AB+BC＝8（cm），∵AB＝EC，BD＝DE，∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．17．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠CBE＝∠C，∵∠CBE＝2∠ABE，∴∠ABE＝∠C，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠C+∠C+∠C＝90°，∴∠C＝36°．18．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；（2）∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，∴∠BAC＝120°．。

第一章三角形的证明※知识点1 全等三角形的判定及性质判定定理简称判定定理的内容性质SSS三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等SAS两边及其夹角分别相等的两个三角形全等ASA两角及其夹边分别相等的两个三角形全等AAS两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等※知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容几何语言条件与结论等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。

简述为：等边对等角在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C条件：边相等，即AB=AC结论：角相等，即∠B=∠C推论等腰三角形在△ABC，A条件：等腰三角顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一B=AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一结论：该线也是其他两线※等腰三角形中的相等线段：1.等腰三角形两底角的平分线相等2.等腰三角形两腰上的高相等3.两腰上的中线相等4.底边的中点到两腰的距离相等※知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。

它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形※知识点4 等腰三角形的判定定理内容几何语言条件与结论等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC条件：角相等，即∠B=∠C结论：边相等，即AB=AC解读【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”※知识点5 反证法概念证明的一般步骤反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确解读【要点提示】（1）当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明（2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果第二章一元一次不等式与一元一次不等式组一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式※2. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数<===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数<===> 不小于0非正数<===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数<===> 不大于0二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, < span=""></bc, <>※2. 比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)一般地：如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b；如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b；如果a<b，那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么a<b；< span=""></b，那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么a<b；<>即：a>b <===> a-b>0a=b <===> a-b=0a a-b<0三. 不等式的解集：※1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

第一阶梯三角形证明基础巩固训练一．角平分线的性质（共1小题）1．如图，已知∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝1cm，BC＝6cm，则△BDC的面积为（）A．1cm2B．6cm2C．3cm2D．12cm2二．线段垂直平分线的性质（共5小题）2．△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC＝5，BC＝4，则△BCD的周长是（）A．9B．8C．7D．63．到平面上三点A、B、C距离相等的点有（）A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有4．△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD：BD＝1：2，BC＝6cm，则点D到点A的距离为（）A．1.5cm B．3cm C．2cm D．4cm5．如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③6．如果一个三角形一边上的中线和这边上的高重合，那么这个三角形是三角形．三．等腰三角形的性质（共9小题）7．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cm C．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定8．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm9．一个等腰而非等边的三角形，它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（）A．9B．6C．7D．310．等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm，则其余两边长分别为．11．顶角为60°的等腰三角形，两个底角的平分线相交所成的角是°．12．AB边上的中线CD将△ABC分成两个等腰三角形，则∠ACB＝度．13．如果等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为30°，则该三角形的顶角的度数为．14．如图，△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且∠OBC＝∠OCB，求证：AO⊥BC．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高，求证：∠BCD＝∠A．四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）16．△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的点，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形有个．五．等边三角形的性质（共2小题）17．如图，等边△ABC中，E，D在AB，AC上，且EB＝AD，BD与EC交于点F，则∠DFC＝度，18．如图所示，△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB＝4时，则图形ABCDEFG外围的周长是．六．等边三角形的判定（共2小题）19．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形20．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形第二阶梯三角形证明能力提升训练一．直角三角形全等的判定（共1小题）1．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．角平分线的性质（共1小题）2．如图，已知∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝1cm，BC＝6cm，则△BDC的面积为（）A．1cm2B．6cm2C．3cm2D．12cm2三．线段垂直平分线的性质（共3小题）3．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，若AB＝3，则AC＝．4．M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果MA＝MB，NA＝NB，则点、在线段的垂直平分线上．5．△ABC中，AB比AC大2cm，BC的垂直平分线交AB于D，若△ACD的周长是14cm，则AB＝，AC＝．四．等腰三角形的性质（共6小题）6．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm7．一个等腰而非等边的三角形，它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（）A．9B．6C．7D．38．已知：等腰三角形的周长为50厘米，若底边长为x厘米，则x的取值范围是．9．如图：△ABC中，∠B＝∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D、F，若∠AED＝140°，则∠C＝度，∠A＝度，∠BDF＝度．10．分别以等腰三角形的腰与底边向三角形外作正三角形，其周长为24和36，求等腰三角形的周长．11．在△ABC中，AB＝AC，它的两条边分别为3cm，4cm，那么它的周长为多少．五．等腰三角形的判定与性质（共5小题）12．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝9，则线段CE的长为（）A．3B．4C．5D．613．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D为BC上一点，过点D分别作DF∥AC交AB于点F，DE∥AB交AC于点E．求四边形AFDE的周长．14．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）如图1，写出图中所有的等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图2，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出EF与BE、CF关系，并说明理由．15．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E．求证：DE＝EF．16．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，请判断△ADE是不是等边三角形，并说明理由．六．等边三角形的性质（共3小题）17．如图，等边三角形ABC的边长为2，则它的高为．18．△ABC是等腰三角形，AB＝AC，分别以两腰为边向外作等边△ADB和等边△ACE，若∠DAE＝∠DBC，则∠BAC的度数为．19．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN＝60°．求证：△AMN的周长等于2．七．等边三角形的判定（共1小题）20．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形第三阶梯三角形的证明综合训练（一）一、填空题1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC的长为米．2．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是三角形．3．如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是或．4．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是，这个逆命题是（填“真”或“假”）．5．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝度．6．在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝，∠DAC＝，BD＝cm．7．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC 于E，若BC＝10 cm，则△ODE的周长cm．第7题图第8题图8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是度．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若DC＝7，则点D到AB的距离DE＝．10．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为．二、选择题11．等腰三角形底边上的高与底边的比是1：2，则它的顶角等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°12．下列两个三角形中，一定全等的是（）A．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形13．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点14．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，CD⊥AB于点D，若BC＝a，则AD等于（）A．B．C．D．15．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．70°三、解答题16．如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°．求：（1）∠ABC的度数；（2）AD、CD的长．17．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120度．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．四、证明题18．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD＝CD．求证：D在∠BAC的平分线上．19．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．五、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．20．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB ＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．第四阶梯三角形的证明综合训练（二）一、填空题：1．三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是cm．2．已知等腰三角形的一个角是36°，则另两个角分别是．3．Rt△ABC中，锐角∠ABC和∠CAB的平分线交于点O，则∠BOA＝．4．如图，在△ABC中，∠B＝115°，AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D，且∠ACD：∠BCD＝5：3，则∠ACB的度数为度．第4题图第5题图5．如图，已知∠ABD＝∠C＝90°，AD＝12，AC＝BD，∠BAD＝30°，则BC＝．6．如图，将矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等线段、相等角（不包括矩形的对边、对角）．7．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC＝1，则图中阴影部分的面积为．8．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是，这个逆命题是（填“真”或“假”）．9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是度．10．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为．二、选择题：11．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B ＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点13．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，已知△ABC周长为M，则AD＝（）A．B．C．D．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB等于（）A．B．C．D．15．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm216．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于F，∠A＝50°，AB+BC ＝16cm，则△BCF的周长和∠EFC分别为（）A．16cm，40°B．8cm，50°C．16cm，50°D．8cm，40°17．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF 分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④18．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．70°三、解证题：19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．20．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明．21．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：．求证：．证明：22．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（1）求证：∠PCD＝∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．23．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120度．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．24．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE＝AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．参考答案第一阶梯三角形证明基础巩固训练一．角平分线的性质（共1小题）1．C；二．线段垂直平分线的性质（共5小题）2．A；3．D；4．D；5．B；6．等腰；三．等腰三角形的性质（共9小题）7．C；8．B；9．C；10．7cm、7cm或8cm、6cm；11．60或120；12．90；13．120°或60°；四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）16．6；五．等边三角形的性质（共2小题）17．60；18．15；六．等边三角形的判定（共2小题）19．C；20．C；第二阶梯三角形证明能力提升训练一．直角三角形全等的判定（共1小题）1．B；二．角平分线的性质（共1小题）2．C；三．线段垂直平分线的性质（共3小题）3．3；4．M；N；AB；5．8cm；6cm；四．等腰三角形的性质（共6小题）6．B；7．C；8．0＜x＜25；9．50；80；40；五．等腰三角形的判定与性质（共5小题）12．C；六．等边三角形的性质（共3小题）17．；18．20°；七．等边三角形的判定（共1小题）20．C；第三阶梯三角形的证明综合训练（一）一、填空题1．40；2．等腰；3．∠ABC＝∠DCB；AC＝DB；4．对应角相等的三角形是全等三角形；假；5．220；6．40°；20°；7.5；7．10；8．10；9．7；10．2；二、选择题11．B；12．C；13．B；14．C；15．B；第四阶梯三角形的证明综合训练（二）一、填空题：1．8；2．72°，72°或36°，108°；3．135°；4．40；5．6；6．DE＝DC，∠OBD＝∠ODB等．；7．；8．对应角相等的三角形是全等三角形；假；9．10；10．2；二、选择题：11．D；12．B；13．B；14．A；15．A；16．A；17．C；18．B；三、解证题：21．在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE；∠1＝∠2；。

第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。

1八年级下第一章三角形的证明3。

15 姓名 【基础知识】1、全等三角形（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。

（2）性质：全等三角形的 、 相等。

（3）判定：“SAS ”、 、 、 。

三边：边边边（SSS ）两边: 边角边（SAS ）一边 边角边（ASA ）角角边（AAS ）※ ※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，※ 必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角※※证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的角）、Rt △中，同角的余角相等。

2、等腰三角形（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的 相等。

（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。

（3）判定：①定义：有两条 的三角形是等腰三角形。

②“ ”3、等边三角形（1） 定义： 的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：①定义： 的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角 是等边三角形。

4、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(2)勾股定理及其逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（3）“斜边、直角边”或“HL ” 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。