山西省运城市河津二中2018_2019学年高二数学9月月考试题2018100801218

河津市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．2 2． 记,那么ABC D3． 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）+1为奇函数D ．f （x ）+1为偶函数4． 函数的定义域是（ ）A ．[0，+∞）B ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）5． 在△ABC 中，关于x 的方程（1+x 2）sinA+2xsinB+（1﹣x 2）sinC=0有两个不等的实根，则A 为（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不存在6． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）A B ． C ． D ．7． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）A ．（0，10）B ．（，10）C ．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）8． 已知函数f （x ）满足f （x ）=f （π﹣x ），且当x ∈（﹣，）时，f （x ）=e x+sinx ，则（ ）A．B．C．D．9．已知，则f{f[f（﹣2）]}的值为（）A．0 B．2 C．4 D．810．设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是A4B6C8D1011．若命题p：∃x0∈R，sinx0=1；命题q：∀x∈R，x2+1＜0，则下列结论正确的是（）A．￢p为假命题B．￢q为假命题C．p∨q为假命题D．p∧q真命题x=-，则输出的结果为（）12．执行下面的程序框图，若输入2016A．2015 B．2016 C．2116 D．2048二、填空题13．给出下列命题：①把函数y=sin （x ﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （2x ﹣）；②若α，β是第一象限角且α＜β，则cos α＞cos β；③x=﹣是函数y=cos （2x+π）的一条对称轴；④函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣）相同；⑤y=2sin （2x ﹣）在是增函数；则正确命题的序号 ．14由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年推销金额为 万元．15．函数f （x ）=log（x 2﹣2x ﹣3）的单调递增区间为 ．16．已知命题p ：实数m 满足m 2+12a 2＜7am （a ＞0），命题q ：实数m 满足方程+=1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为 ．17．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为18．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．三、解答题19．解关于x 的不等式12x 2﹣ax ＞a 2（a ∈R ）．20．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．21．已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．4天的用电量与当天气温．气温（℃）14 12 8 6用电量（度）22 26 34 38（1）求线性回归方程；（）（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．23．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，．求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．24．设F是抛物线G：x2=4y的焦点．（1）过点P（0，﹣4）作抛物线G的切线，求切线方程；（2）设A，B为抛物线上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．河津市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题1． 【答案】 B【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为112(12)2323⨯⨯⨯⨯=，选B ． 2． 【答案】B 【解析】【解析1】,所以【解析2】，3． 【答案】C【解析】解：∵对任意x 1，x 2∈R 有 f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1， ∴令x 1=x 2=0，得f （0）=﹣1∴令x 1=x ，x 2=﹣x ，得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）+1， ∴f （x ）+1=﹣f （﹣x ）﹣1=﹣[f （﹣x ）+1]， ∴f （x ）+1为奇函数． 故选C【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．4． 【答案】A【解析】解：由题意得：2x ﹣1≥0，即2x ≥1=20， 因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x ≥0．所以函数的定义域为[0，+∞）故选A【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．5． 【答案】A【解析】解：在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，即（sinA﹣sinC）x2+2sinB x+（sinA+sinC）=0 有两个不等的实根，∴△=4sin2B﹣4 （sin2A﹣sin2C）＞0，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得cosA=＞0，故A为锐角，故选A．6．【答案】A【解析】考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.7．【答案】D【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．8．【答案】D【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知，∴f（）=f（π﹣）=f（），∵当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx为增函数∵＜＜＜，∴f（）＜f（）＜f（），∴f（）＜f（）＜f（），故选：D9． 【答案】C 【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f （﹣2）=0∴f （f （﹣2））=f （0） ∵0=0∴f （0）=2即f （f （﹣2））=f （0）=2 ∵2＞0∴f （2）=22=4即f{f[（﹣2）]}=f （f （0））=f （2）=4 故选C ．10．【答案】B【解析】本题考查了对数的计算、列举思想a ＝－时，不符；a ＝0时，y ＝log 2x 过点(，－1)，(1,0)，此时b ＝0，b ＝1符合； a ＝时，y ＝log 2(x ＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b ＝0，b ＝1符合；a ＝1时，y ＝log 2(x ＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b ＝－1，b ＝1符合；共6个 11．【答案】A【解析】解：时，sinx 0=1；∴∃x 0∈R ，sinx 0=1； ∴命题p 是真命题；由x 2+1＜0得x 2＜﹣1，显然不成立；∴命题q 是假命题；∴￢p 为假命题，￢q 为真命题，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题； ∴A 正确． 故选A ．【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R 满足x 2≥0，命题￢p ，p ∨q ，p ∧q 的真假和命题p ，q 真假的关系．12．【答案】D 【解析】试题分析：由于20160-<，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到2x =，从而可得1y =，由于20151>，则进行2y y =循环，最终可得输出结果为2048．1考点：程序框图．二、填空题13．【答案】【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣），故①正确．对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=，故②错误．对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos（2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函数y=cos（2x+π）的一条对称轴，故③正确．对于④，函数y=4sin（2x+）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2）=4cos（2x﹣），故函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同，故④正确．对于⑤，在上，2x﹣∈，函数y=2sin（2x﹣）在上没有单调性，故⑤错误，故答案为：①③④．14．【答案】．【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，当x=8时，y=，估计他的年推销金额为万元．故答案为：．【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．15．【答案】（﹣∞，﹣1）．【解析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）16．【答案】[，]．【解析】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，则，，解得1＜m＜2，若p是q的充分不必要条件，则，解得，故答案为[，]．【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q 的等价条件是解决本题的关键．17．【答案】5【解析】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．18．【答案】1【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】设设，则因为，所以，所以因此，存在唯一的点M，使成立。

山西省河津市第二中学 2019届高三9月份月考数学（理）试题考试时间：120分钟 满分150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.设全集，集合，，则（ ）A.[－1，0)B.(0，5]C.[－1，0]D.[0，5] 2.已知下列命题： ①命题“”的否定是“”； ②“”是“”的充分不必要条件；③“若xy=0，则且”的逆否命题为真命题；④已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题． 其中真命题的个数为（ ）A.3个B.2个C.1个D.0 3.下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与4.设命题0)12(:22<+++-a a x a x p ，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点（ ） A.向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 C.向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D.向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度6.幂函数212)12()(-+-=m x m m x f ，满足， 则的值为（ ） A.0 B.2 C.0或2 D. 0或1 7.函数，则=（ ）A.8B.9C.10D.118.已知16log ,15log ,5.0565.1===-c b a ，则（ ) A. B. C. D.9.函数()()2231f x ax a x =+++在区间上递增，则实数的取值范围是( )A.(－∞，3]B.(0，3]C.[0，3]D.[3，+∞) 10.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D.11.对于任意实数，定义：，若函数，，则函数()((),())G x F f x g x =的最小值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.412.已知且，函数(2)36(0)()(0)x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩，满足对任意实数，都有1212()[()()]0x x f x f x -->成立，则实数的取值范围是（ ） A.(2，3) B.(2，3] C. D. 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知集合2{|320}A x ax x =-+=，若中至多有一个元素，则的取值范围是__________.14.已知奇函数满足，当时，，则的值为___________.15.设是非空集合，定义{}|A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则___________．16.设函数，给出下列四个命题： ①当时，是奇函数； ②当时，方程有唯一解； ③函数的图象关于点对称； ④函数至多有两个零点．其中正确命题的序号为 ．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值：(1)012132)32()25()2.0(5)833(++++⨯----；(2)3log 12322ln 23log )932log 2(+++⨯+e .18. （本小题满分12分）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. （1）求；（2）若{}R m m x m x C ∈+<<-=,121|，，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）已知，命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围；（2）当，若为假，为真，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数对任意都有)()()(yfxfyxf+=+，且时，，. （1）判断函数的奇偶性；（2）证明：函数是定义域上的减函数；（3）当时，函数是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数，.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若方程有实数解，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若不等式[]2()1()1f x af x+>-对于任意恒成立，求实数的取值范围．河津市第二中学2018-2019学年高三年级9月月考数学（理）试卷答案一、DACA 6-12.DBCABD二、13. 14. 15.16.①②③17.解：（1）=﹣+﹣2+1 =﹣（2）=（log39+log3）×log23+1+2×3=log332×log23+7=5+7=1218.19.（1）若命题为真，则对任意，不等式恒成立，即当时，恒成立，∵当时，，∴，即，解得，即的取值范围是．（2）当时，若命题为真，则存在，使得成立，即成立，故．若且为假命题，或为真命题，则，一真一假，若真假，则，得．若假真，则，得， 综上所述，的取值范围是．20. （1）0)0()0()0()0()()()(=⇒+=∴+=+f f f f y f x f y x f令，则0)0()()()(==-+=-f x f x f x x f 所以为奇函数（2）设，由)()()(y f x f y x f +=+知)()()()()(121212x f x f x f x f x x f -=-+=- 因为，所以 又因为时，0)()()(1212<-=-∴x f x f x x f 即 所以是定义域上的减函数。

河津市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32． 如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A． B． C． D．3． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．1214． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）A ．14 B ．12C ．D ． 5． 若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．﹣1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜16．函数的定义域为（ ）A ．{x|1＜x ≤4}B ．{x|1＜x ≤4，且x ≠2}C ．{x|1≤x ≤4，且x ≠2}D ．{x|x ≥4}7． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ） A ．9B．C ．3D．8． 若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．（2，4）B ．（2，﹣4）C ．（4，﹣2）D ．（4，2） 9． 计算log 25log 53log 32的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．810．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞ 11．若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．6312．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A． B． C． D．二、填空题13．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．14．如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．15．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}(,)|M O M λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，给出结论如下：①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=；⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为 其中所有正确结论的序号是 ．16．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .17．若x 、y 满足约束条件⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．18．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．三、解答题19．已知全集U=R ，函数y=+的定义域为A ，B={y|y=2x，1≤x ≤2}，求：（1）集合A ，B ； （2）（∁U A ）∩B ．20．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，若函数在上(这里）恰有两个不同的零点,求实数的取值范围．21．若已知，求sinx的值．22．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．23．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）24．（文科）（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟 确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分 按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）， 将数据按照[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．河津市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．综上可知：其中正确命题的是①③． 故选：C ．【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．2． 【答案】D【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D ．3． 【答案】C【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114n n n na a a a ++-=+得2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >得n a =1112n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为11111)(1)52222n +++==，∴120n =，选C ． 4． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知函数定义域为),0(+∞，2'222()x x a f x x++=，因为函数2()2ln 2f x a x x x=+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数0)('≥x f 在定义域上恒成立，转化为2()222h x x x a =++在),0(+∞恒成立，10,4a ∴∆≤∴≥，故选A. 1 考点：导数与函数的单调性． 5． 【答案】A【解析】解：∵函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，）∴f ′（x ）≤0，x ∈（，）恒成立即：﹣a （1﹣3x 2）≤0，，x ∈（，）恒成立∵1﹣3x 2≥0成立∴a ＞0 故选A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．6． 【答案】B【解析】解：要使函数有意义，只须，即，解得1＜x ≤4且x ≠2，∴函数f （x ）的定义域为{x|1＜x ≤4且x ≠2}． 故选B7． 【答案】B【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f（a ）的最大值为，故（﹣6≤a ≤3）的最大值为=，故选B ．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．8． 【答案】C【解析】解：复数z 满足iz=2+4i ，则有z===4﹣2i ，故在复平面内，z 对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．9． 【答案】A【解析】解：log 25log 53log 32==1．故选：A ．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．10．【答案】A【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12a ≤时，12a -≥-，z ax y =+在点1,0A （）取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11,33B （）取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121a a ⎧≤⎪⎨⎪<⎩或12111a a ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪，∴2a <，选A ． 11．【答案】 D【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1满足条件A≤5，B=3，A=2满足条件A≤5，B=7，A=3满足条件A≤5，B=15，A=4满足条件A≤5，B=31，A=5满足条件A≤5，B=63，A=6不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．12．【答案】A【解析】解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选A二、填空题13．【答案】．【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．14．【答案】【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，∴四边形P ACB 的周长为2（P A ＋AC ） ＝2PC 2－AC 2＋2AC ＝2PC 2－9＋6.当PC 最小时，四边形P ACB 的周长最小． 此时PC ⊥l .∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －y －3＝0，解得点P 的坐标为（4，1）， 由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线P A ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行， 即∠ACB ＝90°，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝92.即△ABC 的面积为92.答案：9215．【答案】②③④【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由(1,4)λμ+=-a b 得124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩，∴21λμ=⎧⎨=⎩，①错误；a 与b 不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；记OA =a ，由OM μ=+a b 得AM μ=b ，∴点M 在过A 点与b 平行的直线上，③正确；由2μλ+=+a b a b 得，(1)(2)λμ-+-=0a b ，∵a 与b 不共线，∴12λμ=⎧⎨=⎩，∴2(1,5)μλ+=+=a b a b ，∴④正确；设(,)M x y ，则有2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩，∴21331133x y x yλμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且260x y -+=，∴(,)λμΩ表示的一条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)-，其长度为16．【答案】 6,12,2,n n a n n n n *=⎧⎪=+⎨≥∈⎪⎩N【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11:6n a ==；()()()123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅故22:n n n a n+≥= 17．【答案】【解析】解析：可行域如图，当直线y ＝－3x ＋z ＋m 与直线y ＝－3x 平行，且在y 轴上的截距最小时，z 才能取最小值，此时l 经过直线2x －y ＋2＝0与x －2y ＋1＝0的交点A （－1，0），z min ＝3×（－1）＋0＋m ＝－3＋m ＝1， ∴m ＝4.答案：4 18．【答案】3π 【解析】3π. 考点：直线方程与倾斜角．三、解答题19．【答案】 【解析】解：（1）由，解得0≤x ≤3A=[0，3]，由B={y|y=2x，1≤x ≤2}=[2，4]，（2））∁U A=（﹣∞，0）∪[3，+∞）， ∴（∁U A ）∩B=（3，4]20．【答案】【解析】【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义【试题解析】（Ⅰ）函数定义域为，又，所求切线方程为，即（Ⅱ）函数在上恰有两个不同的零点，等价于在上恰有两个不同的实根等价于在上恰有两个不同的实根，令则当时，，在递减；当时，，在递增．故，又．，，即21．【答案】【解析】解：∵，∴＜＜2π，∴sin（）=﹣=﹣．∴sinx=sin[（x+）﹣]=sin（）cos﹣cos（）sin=﹣﹣=﹣．【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．23．【答案】【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．令f′（x）=0得x=e，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=，则h′（x）=．设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴h （x ）的最小值h min （x ）=h （x 0）=．∵m （x 0）=x 0﹣lnx 0﹣2=0，∴lnx 0=x 0﹣2．∴h （x 0）==x 0．∴k ＜h min （x ）=x 0． ∵3＜x 0＜4， ∴k ≤3．∴k 的值为1，2，3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h （x ）的最小值是解题关键，属于难题．24．【答案】（1）0.3a =；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<；月均用水量低于3吨的频率为：()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>；则0.850.732.50.5 2.90.30.5x -=+⨯=⨯吨．1 考点：频率分布直方图．。

河津市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列关系正确的是（ ）A ．1∉{0，1}B ．1∈{0，1}C ．1⊆{0，1}D ．{1}∈{0，1}2． 函数y=|a|x ﹣（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（ ）A ．259B ．2516C ．6116D ．31155． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°6． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知函数f （x ）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）A ．y=2B ．y=log 3（x+1）C ．y=4﹣D ．y=8． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i 9． 过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条10．设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．411．运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）A ．y=x+2B ．y=C ．y=3xD ．y=3x 312．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°二、填空题13．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．14．在复平面内，记复数+i 对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为 ．15．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．16．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1ia =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大值为 .【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.17．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．18．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a 与c的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ． 【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.三、解答题19．如图在长方形ABCD 中，是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，．（1）若M 是AB 的中点，求证：与共线；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P 在长方形ABCD 上运动，试求的最大值及取得最大值时P 点的位置．20．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．（I ）求p 的值；（II ）若经过点D （﹣2，﹣1），斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点，求k 的取值范围．21．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．2015年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x 元（7≤x ≤9）时，一年的销售量为（x ﹣10）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件纪念品的售价x 的函数关系式L （x ）；（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值．24．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？河津市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，故选：B【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2． 【答案】D【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A ，B当|a|＜1时且a ≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣＜0，故排除C ．故选：D ．3． 【答案】A【解析】解：直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y ﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：=．故选：A ．4． 【答案】C 【解析】试题分析：由2123n a a a a n =，则21231(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得22(1)n n a n =-，所以22352235612416a a +=+=，故选C ．考点：数列的通项公式． 5． 【答案】D【解析】解：∵，B=45°根据正弦定理可知∴sinA==∴A=30° 故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．6．【答案】C【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，则易知AH的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，1AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，故选：C．【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．7．【答案】C【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，函数y=2，y=log3（x+1），y=的值域均含4，即y=4不是它们的渐近线，函数y=4﹣的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），故y=4为函数图象的渐近线，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．8．【答案】A【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，故选A．【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．9．【答案】C【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，则．即2a﹣2b=ab直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l的方程为：，即x﹣y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．10．【答案】B【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）|}将x2﹣y=0代入x2+y2=1，得y2+y﹣1=0，△=5＞0，所以方程组有两组解，因此集合M∩N中元素的个数为2个，故选B．【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题11．【答案】C【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．12．【答案】A【解析】解：根据余弦定理可知cosA=∵a2=b2+bc+c2，∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）∴cosA=﹣∴A=120°故选A二、填空题13．【答案】．【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，其中4个点构成平行四边形的选法有3个，∴4个点构成平行四边形的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．14．【答案】2i．【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为（+i）（cos60°+isin60°）=（+i）（）=2i，故答案为2i．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i）（cos60°+isin60°），是解题的关键．15．【答案】114．【解析】解：根据题目要求得出：当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114． 故答案为：114【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．16．【答案】2，21+. 【解析】∵22212112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，而222123121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，∴12321a a a ++≤，当且仅当12a a +与3a 1.17．【答案】 [，1] ．【解析】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以，，所以，=所以5=1，所以，所以5a 2﹣1∈[]，[，1]，所以；故答案为：[，1]．【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．18．【答案】6π，18123+. 【解析】三、解答题19．【答案】【解析】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，当M 是AB 的中点时，A （0，0），N （1，1），C （2，1），M （1，0），，由，可得与共线；（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得与垂直，设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），，由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，∴线段AB上存在点，使得与垂直；（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，则有最大值为4．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．20．【答案】【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．所以，直线l的方程为…由消y并整理，得…设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，所以p=1…（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…由方程组（1）可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．把y=﹣1代入y2=2x，得．这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．解得．于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…因此，所求m的取值范围是．…【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ，从而当时，PQ=50﹣50cos=75．即点P距地面的高度为75米．（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ．又PQ=50﹣50cosθ，所以tan，tan．从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）==．令g（θ）=．θ∈（0，π）则，θ∈（0，π）．由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得．当时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函数．所以当θ=时，g（θ）有极大值，也是最大值．因为．所以．从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．即当时，∠MPN取得最大值．【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．22．【答案】【解析】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．【点评】本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L （x ）=（x ﹣7）（x ﹣10）2，x ∈[7，9]，（Ⅱ）L ′（x ）=（x ﹣10）2+2（x ﹣7）（x ﹣10）=3（x ﹣10）（x ﹣8），令L ′（x ）=0，得x=8或x=10（舍去），∵x ∈[7，8]，L ′（x ）＞0，x ∈[8，9]，L ′（x ）＜0， ∴L （x ）在x ∈[7，8]上单调递增，在x ∈[8，9]上单调递减，∴L （x ）max =L （8）=4；答：每件纪念品的售价为8元，该连锁分店一年的利润L 最大，最大值为4万元．【点评】本题考查了函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．24．【答案】（1）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长.【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO ==∠∠∠2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，OD θ=1sin 0323OD OB πθθθ<∴<∴<<<cos ,0,33CD πθθθ⎛⎫∴=+∈ ⎪⎝⎭（2）设观光道路长度为()L θ， 则()L BD CD AC θ=++弧的长= 1cos θθθθ+++= cos 1θθθ++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()sin 13L θθθ=--+'由()0L θ'=得：sin 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6πθ∴= 列表：∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长.考点：本题考查了三角函数的实际运用点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。