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大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
立体几何立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，文科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及简单几何体的变面积以及体积.本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结，希望通过本专题的学习，能够掌握高考数学中的立体几何的题型，将高考有关的立体几何所有分数拿到.【满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题AA是1．（2018·上海高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA为底面矩形的一边，则这样的阳正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【详解】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选D．【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．2．（2020·上海虹口区·高三一模）在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A､B，过直线l做平面α，使得点A､B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】C【分析】分情况讨论可得出.【详解】（1）如图，当直线AB与l异面时，则只有一种情况；（2）当直线AB与l平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l转动；（3）如图，当l过线段AB的中垂面时，有两种情况.故选：C.3．（2020·上海高三一模）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，高14A A =，E 为棱1A A 的中点．设BAD ∠=α、BED θ∠=、1B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是（ ）．A ．αγθ=>B ．γαθ>>C ．θγα>>D ．αθγ>>【答案】B 【分析】求出α、β、γ的大小即可求解. 【详解】由题意可得2BAD πα∠==，连接BD ，则BDE 为等边三角形，所以3BED πθ∠==， 连接1B D ，则222122426B D =++=22222BE DE ==+=取1B D 的中点O ，连接EO ，则16BO 862EO =-=所以16tan 32B EO ∠==， 所以13B EO π∠=，即123B ED πγ∠==，所以γαθ>>.故选：B4．已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）A ．1AD AB ⋅B ．11AD BC ⋅ C ．1BD BC ⋅ D ．1BD AC ⋅【答案】C【分析】利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.【详解】当长方体1111ABCD A B C D -为正方体时，根据正方体的性质可知： 1111,,AB AD AD B C BD AC ⊥⊥⊥，所以10AB AD ⋅=、110AD B C ⋅=、10BD AC ⋅=.根据长方体的性质可知：1BC CD ⊥，所以1BD 与BC 不垂直，即1BD BC ⋅一定不为0.故选：C5．（2020·上海高三一模）已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45︒角.以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B 【分析】作出过P 与两直线相交的直线l 判断①；通过平移直线a ，b ，结合异面直线所成角的概念判断②．【详解】解：直线AB 与A 1D 1 是两条互相垂直的异面直线，点P 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB 1的中点Q ，则PQ ∥A 1D 1，且 PQ ＝A 1D 1，设A 1Q 与AB 交于E ，则点A 1、D 1、Q 、E 、P 共面， 直线EP 必与A 1D 1 相交于某点F ，则过P 点有且只有一条直线EF 与a 、b 都相交，故①为真命题； 分别平移a ，b ，使a 与b 均经过P ，则有两条互相垂直的直线与a ，b 都成45°角，故②为假命题． ∴①为真命题，②为假命题．故选：B ．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．二、填空题6．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π；【分析】根据圆的周长公式易得圆锥底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图扇形的圆心角的大小.【详解】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关圆锥侧面展开图的问题，解题思路如下：（1）首先根据底面半径求得底面圆的周长；（2）根据圆锥侧面展开图扇形的弧长就是底面圆的周长，结合母线长，利用弧长公式求得圆心角的大小. 7．（2020·上海闵行区·高三一模）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为3，则异面直线1AA 与1BD 所成角的大小是_______.【答案】22；【分析】根据11//AA DD ，得到1DD B ∠异面直线1AA 与1BD 所成的角，然后在1Rt DD B △，利用正切函数求解.【详解】因为11//AA DD ，所以1DD B ∠异面直线1AA 与1BD 所成的角，在正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为3， 所以1122tan 3BD DD B DD ∠==， 因为1(0,)2DD B π∠∈， 所以122arctan3DD B ∠=， 故答案为：22arctan 38．（2019·上海市建平中学高三月考）某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.【答案】12π+2，高为3；半圆锥的底面是半径为1的半圆，高为3；据此计算出该几何体的体积.【详解】由三视图可知，三棱锥的体积：1223132V ⎛=⨯⨯= ⎝⎭；半圆锥体积：()11113232V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以总体积为：12π+. 故答案为12π+.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，难度较易.计算组合体的体积时，可将几何体拆分为几个容易求解的常见几何体，然后根据体积公式完成求解.9．（2020·上海高三其他模拟）如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中， BB 1⊥AB ，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ，则△APC 1周长的最小值是 .【答案】521+试题分析：要求周长的最小值，因边为定值，只要求另两边之和的最小值，因两点直线线段最短，所以的最小值为因此△APC 1周长的最小值是521考点：棱柱的相关知识.10．（2020·上海高三一模）已知母线长为6cm 的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________cm ．【答案】2【分析】设底面半径为r ，由两个面积的关系可得底面半径的值．【详解】解：设底面半径为r ，则由题意，可得213262r r ππ=⨯⨯，解得2r ， 故答案为：2．【点睛】本题考查圆锥的侧面积及圆的面积公式，属于基础题．11．（2020·上海高三其他模拟）已知圆锥的母线长为l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l ，则此圆锥底面半径r 与母线长l 的比r l的取值范围是____________． 【答案】22【分析】先判断两条母线的夹角=90θ时最大截面三角形的面积为212l 22l r ≤和r l <，最后求出r l 的取值范围即可. 【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面积：1sin 2S l l θ=⋅⋅（θ为两母线的夹角）， 因为过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l ，即两条母线的夹角=90θ时的截面面积，此时底面弦长为2l ，所以22l r ≤，又r l <，所以212r l≤<， 故答案为：2[,1)2【点睛】本题考查空间几何体，是基础题.12．（2020·上海青浦区·高三二模）用一平面去截球所得截面的面积为23cm π，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是___________2cm ．【答案】16π【分析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】解：因为用一平面去截球所得截面的面积为23cm π，所以小圆的半径为3cm ，因为球心到该截面的距离为1cm ，所以球的半径为221(3)2+=cm ，所以球的表面积为24216S ππ=⨯=2cm ，故答案为：16π【点睛】此题考查球的截面的半径、球心到截面的距离与球的半径间的关系，属于基础题13．（2020·上海普陀区·高三月考）已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4，可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积， 即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+.故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题.三、解答题14．（2020·上海虹口区·高三一模）如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =.（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小；（2）求三棱锥P BMC -的体积.【答案】（1）5（2）3. 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可求得异面直线BM 和PC 所成的角的大小；（2）计算出PMC △的面积，并推导出AB ⊥平面PMC ，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BMC -的体积.【详解】（1）由于AB 、AC 、AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如下图所示：则()3,0,0B 、()0,0,0A 、()0,3,0C 、()0,0,3P 、()0,0,1M ，()3,0,1BM =-，()0,3,3PC =-，5cos ,101032BM PC BM PC BM PC⋅<>===-⨯⋅，因此，异面直线BM 和PC 所成的角的大小为5arccos 10； （2）AB AC ⊥，AB AP ⊥，AC AP A =，AB ∴⊥平面APC ，AC AP ⊥，1AM =，2PM AP AM ∴=-=，132PMC S PM AC ∴=⋅=△， 1133333B PMC PMC V S AB -=⋅=⨯⨯=△.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.15．（2020·上海青浦区·高三一模）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面P AC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点. 连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD . 又因为PO ⊂平面P AC ，1BD ⊄平面P AC 所以直线1//BD 平面P AC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==，2122AO AC ==且PO AO ⊥， 所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30. 【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形） 方法二：（向量法）cos m n m nα=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.16．（2020·上海长宁区·高三一模）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为23，底面半径为2.（1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA ､OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值.【答案】（1）8π；（213【分析】（1）利用圆锥侧面积公式即可；（2）通过中点作辅助线即可． 【详解】解：（1）OP ⊥底面OAB 由题意高3h =2r ，所以母线4l圆锥的侧面积S =12lr 12242π=⨯⨯⨯8π= （2）取OA 的中点为N ，因为M 为AB 的中点所以//MN OB ，PMN ∠就是直线PM 与直线OB 所成的角． 因为OB OA ⊥，OB OP ⊥，所以OB ⊥平面POA ，MN ⊥平面POA ，MN PN ⊥ 在Rt △PNM 中，22()132rPN h =+=，112MN OB ==．所以PMN ∠的正切值为13．即直线PM 与直线OB 所成的角正切值为13．17．（2020·上海徐汇区·高三一模）如图：在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，14CC =，90ACB ∠=，E 、F 分别为棱1AA 、AB 的中点．（1）求异面直线1A C 与EF 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求五棱锥11C EFBB A -的体积11C EFBB A V -． 【答案】（1）5arctan （2）143．【分析】（1）连接1A B ，利用中位线的性质可得出1//A B EF ，由此可得出1BA C ∠（或其补角）就是异面直线1A C 与EF 所成的角，利用解三角形的知识求出1BA C ∠的正切值，即可得解；（2）计算出五边形1EFBB A 的面积，并推导出CF ⊥平面11AA B B ，再利用锥体的体积公式可计算出五棱锥11C EFBB A -的体积11C EFBB A V -. 【详解】 （1）连接1A B ，E 、F 分别为1AA 、AB 的中点，所以，1//A B EF ，于是1BA C ∠（或其补角）就是异面直线1A C 与EF 所成的角， 在1A BC 中，2BC =，221125AC AA AC =+=，221126A B AA AB =+=，22211A C BC A B ∴+=，所以1BC A C ⊥，所以，1125tan 525BC BAC AC ∠===． 所以，异面直线1A C 与EF 所成角的大小为5arctan5；（2）由于111111822722AEFEFBB A ABB A S S S AB AA AE AF =-=⋅-⋅==五边形矩形 连接CF ，2AC BC ==，F 为AB 的中点，90ACB ∠=，CF AB ∴⊥，且122CF AB == 1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，1CF AA ∴⊥，1AB AA A ⋂=，CF ∴⊥平面11AA B B ，所以11111114722333C EFBB A EFBB A V S CF -=⋅=⨯⨯=五边形． 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．18．（2020·上海大学附属中学高三三模）如图，正四棱锥P ABCD -中.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）若2AB =，423P ABCD V -=，求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先证明PO BD ⊥，结合,BD AC ⊥利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）由423P ABCD V -=求出棱锥的高，可求得侧棱长，判定侧面的形状后可得二面角的平面角，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）因为P ABCD -是正棱锥，P ∴在面ABCD 内射影是AC 与BD 的交点O ，即PO ⊥面ABCD ，PO BD ∴⊥，又,BD AC PO ⊥与AC 在面PAC 内相交，BD ∴⊥面PAC ；（2）2142233P ABCD V PO -=⨯⨯=， 2PO ∴=，222PB =+=，则PAB △与PBC 为边长是2的正三角形，取PB 的中点E ，连,AE CE ， 则AE PB ⊥，CE PB ⊥，AEC ∠是二面角的平面角，3381cos 3233AEC +-∠==-⨯⨯，1cos 3AEC arc ⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及二面角的求解，考查了正四棱锥的性质，属于中档题.19．（2019·上海市建平中学高三月考）如图：四面体ABCD 的底面ABC 是直角三角形，AC BC ⊥，3AC =，4BC =，DA ⊥平面ABC ，5DA =，E 是BD 上的动点（不包括端点）.（1）求证：AE 与BC 不垂直；（2）当AE DC ⊥时，求DEEB的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）259.【分析】（1）利用反证法，先假设AE 与BC 垂直，然后根据条件推出与题设矛盾的结论，即可证明出AE与BC 不垂直；（2）先作辅助线//EF BC ，利用AE DC ⊥以及BC ⊥平面DAC 得到DC ⊥平面AEF ，由此得到AF DC ⊥，从而确定出F 点位置，再由DE DFEB FC=得到结果. 【详解】（1）假设AE BC ⊥，因为DA ⊥平面ABC ，所以DA BC ⊥，且DA AE A =，所以BC ⊥平面DAE ，又因为AB平面DAE ，所以BC AB ⊥，又因为由条件可知BC AC ⊥，所以BC AB ⊥不成立， 故假设不成立，所以AE 与BC 不垂直；（2）过E 作//EF BC ，交DC 于F ，连接AF ，因为AC BC ⊥，DA BC ⊥且DA AC A =，所以BC ⊥平面DAC ，因为//EF BC ，所以EF ⊥平面DAC ，所以EF DC ⊥， 又因为AE DC ⊥，EF DC ⊥，EF AE E =，所以DC ⊥平面AEF ，所以DC AF ⊥，又cos 25934AD ADC DC ∠===+，所以cos cos 34DF ADF ADC AD ∠=∠==， 所以34DF =，所以34FC =，所以259DF FC =，所以由相似可知259DE DF EB FC ==. 【点睛】本题考查空间中的垂直关系的判断与证明，难度一般.空间中的不平行、不垂直关系的证明，如果正面证明比较麻烦，可采用反证法去证明.20．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）如图，四边形11ABB A 是圆柱1OO 的轴载面，4AB =，12OO =，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥1PO ，C 、1C 分别在AB 、11A B 上，2AOC π∠=，1113AO C π∠=.（1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角111O AC C --的余弦值. 【答案】（1）表面积为(1242π+，体积为323π；（23823-. 【分析】（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角111O AC C --的余弦值. 【详解】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为22ABr ==， 因为1PO 为圆锥的高，且12PO =，所以，圆锥的母线长为221122PA PO r =+=，又12OO =，因此，该几何体的表面积为(22+2222221242S ππππ=⨯⨯⨯+⨯=+.该几何体的体积为22132222233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=； （2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则点()10,0,2O ，()12,0,2A ，()13,2C ，()0,2,0C ，设平面11A CC 的一个法向量为(),,m x y z =，()113,0AC =-，()12,2,2AC =--， 由11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得302220x x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩，令3x =1y =，13z =所以，平面11A CC 的一个法向量为(3,1,13m =，易知平面111O AC 的一个法向量为()0,0,1n =，()()22233cos ,82331131m n m n m n⋅<>===⋅-++-⨯，由图象可知，二面角111O AC C --31823--【点睛】本题考查组合体的表面积与体积的计算，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.21．（2020·上海高三其他模拟）如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC=2，点M 为线段VB 的中点.（1）求证：BC ⊥平面VAC ；（2）若直线AM 与平面V AC 所成角为4π.求三棱锥B-ACM 的体积. 【答案】（1））祥见解析；（2）试题分析：（1）由线面垂直得VC ⊥BC ，由直径性质得AC ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面V AC ．（2）首先由（1）作出直线AM 与平面V AC 所成的角：取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面VAC ，所以MN ⊥平面V AC ，则∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角.即∠MAN=4π，所以MN=AN ；这样就可求出AC 的长，且而求得体积．试题解析：（1）证明：因为VC ⊥平面ABC ，BC ABC ⊂平面，所以VC ⊥BC ，又因为点C 为圆O 上一点，且AB 为直径，所以AC ⊥BC ，又因为VC ，AC ⊂平面V AC ，VC∩AC=C ，所以BC ⊥平面V AC.（2）如图，取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面V AC ，所以MN ⊥平面V AC ，则∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角.即∠MAN=4π，所以MN=AN ；令AC=a,则29-a ，MN=292a -；因为VC=2，M 为VC 中点，所以21a + 所以，292a -=21a +,解得a=1 因为MN ∥BC,所以考点：1.直线与平面垂直的判定;2. 棱柱、棱锥、棱台的体积;3. 直线与平面所成的角.22．（2020·上海高三其他模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点．（1）求异面直线AE 与1DD 所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求C 点到平面ABE 的距离，并求出三锥C ADE -的体积．【答案】（1）1arccos 3；（2）C 点到平面ABE 25，三锥C ADE -的体积为23． 【分析】（1）由已知得AEC ∠（或补角）是异面直线AE 与1DD 所成角，求解AEC 可得答案；（2）利用等体积E ABC C ABE V V --=，可求得设C 点到平面ABE 的距离，利用C ADE A CDE V V --=，可求得三锥C ADE -的体积．【详解】解：（1）连接AC ，因为11//CC DD ，所以AEC ∠（或补角）是异面直线AE 与1DD 所成角， 在AEC 中，()22221cos 3221EC AEC AE AC EC ∠====++， 所以异面直线AE 与1DD 所成角是1arccos 3；（2）设C 点到平面ABE 的距离为h ，因为E ABC C ABE V V --=，即1133ABC ABE S EC S h ⋅=⋅△△， 又正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11BB C C ，所以ABE △是Rt ABE △，又2222215BE BC EC =+=+=， 所以1111221253232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⋅，解得255h =， 所以C ADE A CDE V V --=111212332DCE S AD ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△23=.【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角，运用等体积法求点到面的距离以及三棱锥的体积，属于中档题.。
高中几何体试题及答案解析试题一：立体几何基础题题目：已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。
解析：长方体的体积可以通过其三个维度的乘积来计算，即体积V = a × b × c。
答案：V = abc。
试题二：空间向量在立体几何中的应用题目：在空间直角坐标系中，点A(1, 0, 0)，点B(0, 1, 0)，点C(0, 0, 1)，求三角形ABC的面积。
解析：空间直角坐标系中，三角形的面积可以通过向量叉乘来求解。
设向量AB = (-1, 1, 0)，向量AC = (-1, 0, 1)，向量AB与向量AC 的叉乘结果为向量AB × AC = (1, -1, 1)。
该向量的模即为三角形ABC的面积的两倍。
答案：三角形ABC的面积为√3。
试题三：圆锥体的体积计算题目：已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。
解析：圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h来计算。
答案：V = (1/3)πr²h。
试题四：球体的表面积与体积题目：已知球体的半径为R，求球体的表面积和体积。
解析：球体的表面积可以通过公式A = 4πR²来计算，球体的体积可以通过公式V = (4/3)πR³来计算。
答案：球体的表面积A = 4πR²，球体的体积V = (4/3)πR³。
试题五：旋转体的体积题目：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。
解析：圆柱的体积可以通过公式V = πr²h来计算。
答案：V = πr²h。
结束语：通过上述试题及答案解析，我们可以看到高中几何体的计算涉及体积、面积和表面积等概念，这些计算在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。
掌握这些基础知识对于解决更复杂的几何问题至关重要。
希望这些试题和解析能够帮助学生加深对立体几何概念的理解，并在解题过程中培养空间想象能力。
1■在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为2•已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB =6, BC二2 3,则棱锥0 - ABCD的体积为____________ 。
3.如图，四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四(A) <D)边形，/ DAB=60,AB=2AD,PDL底面ABCD.(I )证明：PAL BD;(H )若PD=AD,求二面角A-PB-C 的余弦值1. D 28,33.解：(I)因为.DAB =60,AB=2AD ,由余弦定理得 BD 二 J3AD从而 BD 2+AD 2= AB 2，故 BD _ AD又PD_底面ABCD,可得BD_ PD所以BD_平面PAD.故 PA_BD(H)如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为X 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz ，则A 1,0,0 ,B 0, 3,0 ,C -1,、、3,0 , P 0,0,1。
uiv - uuv - uuvAB =(-1, .3,0), PB =(0八 3,-1),BC 十 1,0,0)uuuuuum PB =0,{ uuiu设平面PBC 的法向量为 m ，贝y l m BC=0,n= (x , y , z ),则n AB =0, { uuu n PB =0, 因此可取n=C 、3,1,-.3)设平面PAB 的法向量为故二面角A-PB-C 的余弦值为可取 m= (0, -1, -.3) cos m, n -42、771.正方体ABCD-ABQQ中，B B与平面AC D I所成角的余弦值为A辽B二C 2 D至3 3 3 32. 已知圆0的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA・PB 的最小值为(A) -4 2 (B) -3 、2 (C) -4 2,2 (D) -3 2,23. 已知在半径为2的球面上有A、B、C D四点，若AB=CD=2则四面体ABCD勺体积的最大值为(A) 2 3(B) 4 - (C) 2 3 (D) 8 33 3 34. 如图，四棱锥S-ABCD中, SD_ 底面ABCD AB//DC, AD_ DC, AB=AD=1DC=SD=2 E为棱SB上的一点，平面EDU 平面SBC .(I)证明：SE=2EB(n)求二面角A-DE-C的大小.3(二)1. D2. D3. B4.解法一：(I )连接BD,取DC的中点G,连接BG,由此知DG =GC =BG =1,即ABC为直角三角形，故BC _ BD .又SD _ 平面ABCD,故BC _ SD,所以，BC _ 平面BDS,BC_ DE.作BK _ EC, K为垂足，因平面EDC _平面SBC，故BK _平面EDC，BK _DE,DE与平面SBC内的两条相交直线DE!平面SBC DEL EC,DE± SBSB= SD2 DB2 =、6E—DBF E2呼所以，SE=2EB(n )由SA二.SD2 AD2二.5, AB =1,SE = 2EB,AB _ SA 知BC都垂直AE「J “ABV 0 丿131,又AD=1 . 故ADE为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF ,则AF _ DE , AF =：：：；'AD2- DF 2 =_| 3连接FG，贝U FG //EC, FG _ DE .所以，• AFG是二面角A - DE -C的平面角连接AG,AG=、2, FG h^DG2-DF23AF 2+FG 2-AG 2 1 cos._AFG , 2LJAFLFG 2 所以，二面角 A_DE _C 的大小为120°. 解法二： 以D 为坐标原点，射线 DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz ,2 E( , , ) 1 • 1 ■ 1 ■ 2 DE =( , , ), DC =(0,2,0) 1 ■ 1 ■ 1 ■ 设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) m_DE=0， m_DC=0 x ■ y 2z 厂匸厂72y ° 令 x = 2，则 m =(2,0, -) 由平面 DECL 平面 SBC 得 ml n, mLH =0,2 - ’ = 0/ =2 故 SE=2EB 2 2 2 1 1 1 「 (H)由⑴知比品)，取DE 的中点F ,则兀打丹 二0，由此得FA _ DE 又 EC =(-2,4,-2)，故 ECLDE =0，由此得 EC — DE , 设 A(1,0,0)，贝U B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (I) SC=(0,2,-2), £(-1,1,0) 设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c) 由 n _ SC, n _ BC ，得 =0, =0 故 2b-2c=0,-a+b=0 令 a=1，贝U b=c,c=1,n=(1,1,1) C ■ 0)，则 又设 故3 3 3向量FA与EC的夹角等于二面角A - DE -C的平面角cos (FA,EC )=臨 1|FA||EC| 2所以，二面角 A 一 DE —C 的大小为120；AB 与CG 所成的角的余弦值为( )则P 、Q 两点之间距离的最小值为() (A) (B)2 (C) 2、、3 (D)4于是1.已知二棱柱ABC-'AB I G 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线 (A ) (C )辽4(D)2.已知二面角〉-1 - ［为60°，动点P 、Q 分别在面aB 内，P 到B 的距离为 3, Q 到a 的距离为2 3 ,3.直三棱柱ABC-A i BiG 的各顶点都在同一球面上，若AB 二 AC = AA = 2, BAC =120，则此球的表 面积等于 _______________ 。
高等几何综合练习题参考答案一、（1）椭圆；（2）三角形；（3）三角形内切椭圆的中心；（4）两个等面积的平行四边形；（5）三角形的重心；（6）面积比相同但不必相似的三角形；（7）不是三角形的垂心；（8）平行四边形。
二、（2）、（3）、（6）、（9）经中心射影后不变。
三、过点(,,),(0,,)a b c b c -的直线为12300x x x ab c bc =-，即12320,bcx acx abx --= 因为1110,a b c ++=所以0bc ca ab ++=，取点1(,1,1)2--代入直线方程，得0bc ca ab ++=，故此直线必过定点1(,1,1)2--。
四、取XYZ 为坐标三点形：(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),X Y Z 设(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(,,)A B C D P f g h ------，可以求得直线l 的方程为230gx hx -=，类似可以求出,m n 的方程。
五、只有恒等变换的群没有相应的几何学，理由是经过恒等变换图形的任何性质都没有改变，因为位置没有改变，就无法进行比较、推广，对任何图形都要一一研究，这是不可能的。
六、因无三点共线的五个点A,B,C,D,E 构成线束A(C,D,E)与B(C,D,E)的射影对应，由此三对对应直线唯一决定，故其对应线之交点唯一确定，因此唯一确定一条二次曲线。
其对偶命题为：非退化的二级曲线是由无三线共点的五条直线唯一决定。
七、设两个透视三点形111222,A B C A B C 的对应边的交点为L,M,N,非对应边之交点为123456,,,,,P P P P P P ,适当编排这六点的顺序，使这六点为定点的简单六点形之对应边交点为L,M,N ，因为L,M,N 共线，根据帕斯卡定理的逆定理知此六点形为二次曲线之内接六点形。
八、主轴为612110,220x y x y +-=--=。
《高等几何》考试练习题及参考答案一、单选题1. 菱形的仿射对应图形是()A 、菱形B 、平行四边形C 、正方形D 、不等边四边形答案：B2. 圆经过中心射影之后的对应图形是()A 、圆B 、椭圆C 、二次曲线D 、二共点直线答案：C3. 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，它是()A 、8维群B 、6维群C 、4维群D 、3维群答案：A4. 正六边形经过中心射影后的对应图形是()A 、正六边形B 、二次曲线C 、二平行直线D 、内接于二次曲线的六边形答案：D5. 在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B6. 欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是()A 、3维群B 、4维群C 、6维群D 、8维群答案：A7. 双曲型曲线与无穷远直线的关系是()A 、相交B 、相切C 、相离D 、相割答案：A8. 下面属于欧式几何学的是()A 、梯形B 、离心率C 、重心D 、塞瓦定理和麦尼劳斯定理答案：B9. 直角三角形经过中心射影后的对应图形是()A 、三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、四边形答案：A10. 共点的直线经过中心射影之后的对应图形是()A 、二直线B 、二垂直直线C 、共点的直线D 、二平行直线答案：C11. 在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：D12. 双曲线有几条主轴？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B13. 已知两点A(2,-1,1),B(3,1,-2),下列哪一个点与它们共线？()A 、(7 ，-1 ，0)B 、（7 ，-1 ，1)C 、（5 ，0 ，2)D 、（0 ，0 ，1）答案：A14. 等腰梯形的仿射对应图形是：()A 、等腰梯形B 、梯形C 、四边形D 、平行四边形答案：B15. 对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是()A 、是非奇线性对应B 、保持共线四点的交比不变C 、不变直线不能超过三条D 、不共线的不变点至多有三个答案：C16. 下列哪些图形具有射影性质？()A 、平行直线B 、三点共线C 、两点间的距离D 、两直线的夹角答案：B17. 圆的仿射对应图形是：()A 、梯形B 、四边形C 、椭圆D 、平行四边形答案：C18. 矩形的仿射对应图形是：()A 、四边形B 、平行四边形C 、梯形D 、圆答案：B19. 下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A 、三角形的垂心B 、梯形C 、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D 、椭圆答案：A二、判断题1. 一维基本形间的射影对应不保持对应四元素的交比. ()A 、正确B 、错误答案：错误2. 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()A 、正确B 、错误答案：错误3. 射影平面的不共点三直线将平面分成四部分.()A 、正确B 、错误答案：正确4. 一个角的内外角平分线调和分离角的两边()A 、正确B 、错误答案：正确5. 共线三点的单比经中心射影后不变. ()A 、正确B 、错误答案：错误6. 二直线所成角度是相似群的不变量.()A 、正确B 、错误答案：正确7. 射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分. ()A 、正确B 、错误答案：错误8. 三点形经中心射影之后还是三点形.()A 、正确B 、错误答案：正确9. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合. ()A 、正确B 、错误答案：正确10. 在仿射变换下，等腰三角形的对应图形是三角形. ()A 、正确B 、错误答案：正确11. 仿射变换的基本不变量是单比. ()A 、正确B 、错误答案：正确12. 抛物线有一对主轴. ()A 、正确B 、错误答案：错误13. 三角形的垂心属于仿射几何学的范畴()A 、正确B 、错误答案：错误14. 在仿射变换下，正方形的对应图形是正方形.()A 、正确B 、错误答案：错误15. 共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()A 、正确B 、错误答案：正确16. 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点.()A 、正确B 、错误答案：正确17. 配极变换是一种非奇线性对应，()A 、正确B 、错误答案：正确18. 两个三角形的面积之比是仿射不变量. ()A 、正确B 、错误19. 德萨格定理属于射影几何学的范畴. ()A 、正确B 、错误答案：正确20. 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数. ()A 、正确B 、错误答案：正确21. 菱形的仿射对应图形是四边形. ()A 、正确B 、错误答案：错误22. 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应. ()A 、正确B 、错误答案：错误23.A 、正确B 、错误答案：正确24. 两个不同的无穷远点所决定的直线上可以含有有穷远点.()A 、正确B 、错误答案：错误三、名词解释1. 图形的仿射性质答案：图形经过任何仿射变换后都不变的性质称为图形的仿射性质.2. 二次曲线的直径答案：无穷远点关于二次曲线的有穷极线称为此二次曲线的直径.3. 二次曲线的中心答案：无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心.4. 配极原则答案：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.5. 二阶曲线答案：在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.6. 二次曲线的渐近线答案：二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线.7. 对偶原则答案：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.8. 完全四点形答案：由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形.四、问答题1. 下列图形的仿射对应图形是什么？（1）圆；（2）等腰三角形；（3）三角形的内心；（4）两个合同的矩阵；（5）三角形的重心；（6）相似三角形；（7）三角形的垂心；（8）矩形。
解析几何大一真题及答案是一门研究平面和空间中的几何性质的数学学科。
作为高等数学的重要分支之一，在大学的数学课程中占有非常重要的地位。
在大一的学习中，也是一个重要的考试内容。
本文将对几个大一真题及其答案进行解析，并探讨其中的几何思想和解题技巧。
真题一：已知平面P上过点A(1,2,3)和点B(3,4,1)，且垂直于直线L：x=y-2，y-z=3，则求过直线L上一点C的平面的方程。
解析：首先，我们要找到直线L上一点C的坐标。
根据题目已知条件可知，直线L上的点坐标满足x=y-2，y-z=3。
将这两个方程联立，解得y=5，x=3，z=2。
因此，直线L上的一点C的坐标为C(3,5,2)。
接下来，我们求得过点A、B、C的平面的方程。
已知平面上过点A、B，我们可以得到平面上的两个向量AB→和AC→。
计算方法是AB→=B-A=(3-1,4-2,1-3)=(2,2,-2)，AC→=C-A=(3-1,5-2,2-3)=(2,3,-1)。
然后，我们可以通过求得的向量AB→和AC→来确定平面的法向量。
法向量可以通过向量积来求得。
设法向量为N，即AB→×AC→=N。
计算得到，N=(2,2,-2)×(2,3,-1)=(4,-6,-4)。
最后，我们得到了平面过点A(1,2,3)，且法向量为N=(4,-6,-4)的方程。
根据平面方程的一般式，即Ax+By+Cz+D=0，将点A的坐标代入方程中，得到方程4x-6y-4z+D=0。
将A点的坐标代入该方程，得到4(1)-6(2)-4(3)+D=0，解得D=-10。
因此，过直线L上一点C的平面的方程为4x-6y-4z-10=0。
真题二：已知动点P(x,y)到定点A(2,3)的距离等于点P到直线L：3x-y+1=0的距离，求动点P的轨迹方程。
解析：根据题目已知条件，动点P(x,y)到定点A(2,3)的距离等于点P到直线L：3x-y+1=0的距离。
我们可以利用点到直线的距离公式来解题。
《高等几何》复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。
熟练掌握单比的定义和坐标表示。
2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。
3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。
二、考试内容1.单比的定义和求法。
2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。
3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。
射影平面一、要求1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。
2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。
3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。
4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。
5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。
二、考核内容1.中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。
2.笛萨格（Desargues）定理应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。
3.齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。
4.线坐标线坐标的计算及其应用。
5.对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。
射影变换与射影坐标一、要求1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。
2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。
3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。
4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。
5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。
二、考试内容1.交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。
2.完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。
3.一维基本形的射影对应一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。
4.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。
6.射影坐标一维射影坐标、二维射影坐标。
7.一维、二维射影变换的不变元素求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。
高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。
于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。
22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。
