2008高等几何试题(B卷)

程.（10）8.两个重叠一维基本形A B,A B成为对合的充要条件是对应点的参数与程：a b（） d O（ad b2 0）（ 15 ）《高等几何》试题（3）1.求仿射变换X 7x y 1, y 4x 2y 4的不变点和不变直线.（15 ）2.求椭圆的面积.（10 ）3.写出直线2XI+3X2- X3=0, x轴，y轴，无穷远直线的齐次线坐标.（10 ）4.叙述笛沙格定理，并用代数法证之.（15 ）5•皿11, 12, 14 的方程分别为2X1 X2 X3 0, XI X2 X3 0,2XI 0,且（1112, 1314）,求12 的方程.（15）1 1234 3 26.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合7.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系，试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系[2005 — 2006第二学期期末考试试题]《高等几何》试题（A）一、填空题（每题3分共15分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、直线3x y 0上的无穷远点坐标为3、过点（1, 1,0 ）的实直线方程为4、二重元素参数为2与3的对合方程为5、二次曲线6x2 y2 lly 24 0过点P （1,2）的切线方程满足以下方.(15).(20)二、判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线三、（7分）求一仿射变换，它使直线x 2y 1 0上的每个点都不变，且使点（变为（-1 , 2）四、（8分）求证：点A （1,2, 1） ,B （ 1, 1,2） ,C （3, 0,5）三点共线，并求t, s使Ci t&i sbi , （i 1, 2, 3）/ 3x 2五、（10分）设一直线上的点的射影变换是J”？证明变换有两个自对应点，x4 对应点与任一对对应点的交比为常数。

2008高考试卷分类汇编08----解析几何1一、选择题1．（安徽理8文10）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[D ．(解：设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与 曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3k k k ≤+≤，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确。

2．（北京理4）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。

3．（北京理7）过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90解：圆心(5,1)M ,12l l ，关于y x =对称时CP y x ⊥=直线，CP ∴==CM =30CPM ∠=,60MPN ∠=4．（福建理11文12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，22c e a ===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈5．（广东文6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y -+= D 、10x y --=解：点C (1,0)-，与直线0x y +=垂直，可设待求的直线方程为y x b =+，将点C 的坐标代入求出1b =，故所求直线方程为10x y -+=,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)6．（海南宁夏理11）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)， D ．(12)-， 解：点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图PF PQ PS PQ +=+,故最小值在,,S P Q 三点共线时取得，此时,P Q 的纵坐标都是1-，所以选A 。

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14空间向量与立体几何）一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B．3 CD ．231.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高1AO ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AOAB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,33OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=.二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 61 ．1.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,)222222M N ---, 则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, x 1题图（故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=.三、解答题：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

绝密 ★ 启用前 试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分、考试用时120分钟、注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上、用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”、2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案、答案不能答在试卷上、3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效、4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答、漏涂、错涂、多涂的，答案无效、5、考生必须保持答题卡的整洁、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回、 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+、已知n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 、一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A 、(15)，B 、(13)， C、 D、2、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A 、16B 、24C 、36D 、483、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1、已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19、现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A 、24B 、18C 、16D 、12 表14、若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A 、90B 、80C 、70D 、405、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）6、已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A 、()p q ⌝∨B 、p q ∧C 、()()p q ⌝∧⌝D 、()()p q ⌝∨⌝7、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A 、3a >-B 、3a <-C 、13a >-D 、13a <-8、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 、若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A 、1142+a b B 、2133+a bC 、1124+a b D 、1233+a b 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分、 （一）必做题（9~12题） 9、阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = 、（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”） 10、已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于 120，则k = 、11、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 、12、已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 、E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．图4二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 、14、（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 、15、（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =、AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = 、三、解答题：本大题共6小题，满分80分、解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤、 16、（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、 （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值、17、（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件、已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元、设1件产品的利润（单位：万元）为ξ、 （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%、如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 18、（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-、如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F 、（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）、 19、（本小题满分14分）设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性、 20、（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 的平行线交（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积、 21、（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）、 （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S 、图5绝密★启用前 试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B 1、C 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2、D 【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3、C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯ 4、C 5、A6、D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝为真命题7、B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn nP k C P P k n -=-= ，，， 一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．年级 班别： 姓名： 考场； 考号（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3CDE AB只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）答案与解析：1.C. 由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或；2.A.根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A.2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+= c +b ,1233AD = c +b4. D 222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-5.C ．243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B.2(1)2(1)21,(1),()y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==7. D.3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==- 8.A ． π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b +1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB，棱柱的高13AO a ==（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =-- ,11AB AB AA =+211112,33OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11113OA AB AO AB ⋅= .12.B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====. 16.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=- ,1()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-= 2故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则31131(,,(,,2222222AN EM AN EM ==-⋅= 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅= .17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．AC CD CG AD ==，DG =，EG ==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos -⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增（2）2313--，且23a>解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431bab a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b=--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-= 将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=． 22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a <211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得kk k k a a b a b a ln 1--=-+11ln ki i i a b a a ==--∑ 1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥02， 若对任意i k ≤都有b a i >，则kk k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln ki i i a b a a ==--∑11ln ki i a b a b ==--∑11()ln ki i a b a b ==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。

------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容试卷类型：B 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间：110 分钟 考试科目：高等数学（二） 专业：08级工科本 班级：一、填空题 （每空 2分，共 10 分）1. 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可微且0),(,0),(00/00/==y x f y x f y x ,该条件是 ),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 _____________条件。

必要2..设D 为矩形区域：a x ≤≤0，b y ≤≤0，则⎰⎰σDd y x f ),(的累次积分为_________________。

⎰⎰abdx y x f dy 0),(3．.如果xoy 平面上的简单闭曲线L 所围区域的面积为S ，那么用曲线积分表示该面积就是S ＝____________________。

⎰-L ydx xdy 214．设)(x f 具有任意阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数为________________。

∑∞=0)(!)0(n n n x n f 5. 微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数个数为（ ） 3二、单项选择题 （每空 2分，共 10 分）1．点()3,2,1M 到平面23160x y z -+-=的距离是( B )2． 函数222311z x y =+-在点（1，2）处全微分dz = ( C )(A) 16dx (B) 16dy (C) 4dx +12dy (D) 163．如果Ω是由平面63260x y z ++-=及三个坐标面围成的空间闭区域，(),,f x y z 在Ω上连续，则(),,f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰( B )(A) ()321 2 33 0 0,,xx y dx dy f x y z dz ---⎰⎰⎰(B) ()123311 22 0 0,,z x z dz dx f x yz dy ---⎰⎰⎰(C) ()11231 32 1,,yy z dy dz f x y z dx ---⎰⎰⎰(D) ()1113231 2 1 0,,z y z dz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰4. 设1lim2n n na a +→∞=，则级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径R 为( D ) (A) 2R = (B) 21=R (C) R = (D) R =5.以下级数中，收敛的是( D ) (A) 1n ∞=1511n n ∞=∑ (C) 0.511n n ∞=∑ (D) 115n n ∞=∑分）1. 求过点()1,1,1-且通过z 轴的平面方程。

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全一、选择题： 1. （2008安徽文）A . （1,1） (10平面向量)T T T若 AB =(2,4) , AC =(1,3),则 BC 二(B B . (- 1, - 1) C . (3, 7) D . (-3,-7) 2. （2008安徽理）在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 （B ）A . （- 2,- 4）B . （- 3,- 5）C . （3, 5） )二(2,4) , 7C 二(1,3),则 BD = D . (2, 4)3. （2008广东文）已知平面向量 a =(1,2),b =(-2,m)，且 a // b ，则 2a 3b = (C ) A . (-2 , -4 ) B. (-3 , -6 ) C. (-4 , -8 ) D. (-5 , -10 )4. （2008广东理）在平行四边形 ABCD 中, AC 与BD 交于点 于点 F.若 AC =a , BD =b ,则 AF =( B ) A 1 1 2 1 1 1 A . a b B. a b C. a b D. 4 2 3 3 2 4 ---- 1 1 l 1 14.解法 1: AO a , AD = AO OD a b , 2 2 2一 11 1 1 - 1 - 1 r 1 r AE (AO AD)aba a b , 2 2 12 22 丿 24 由A E 、F 三点共线,知AF 二怎AE,， 1 而满足此条件的选择支只有 B ,故选B. EF JEG 」AE , 所以AF = —AE , 由解法1 知, 3 3 3 ■ 4 - 4 (1 • 1「2 -1 -AF =AE a + b i = a 十 b , 故选B.3 3 、4丿 3 34.解法2:如图，分别过点 D 、O 作直线AOAD 的平行 线，两平行线相交于 G 点，显然F 是厶DOG 勺重心， O, E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交 5、（2008海南、宁夏文）已知平面向量 ■ a - b 与a 垂直，则■是（A A. - 1 B. 1 C. — 2a = (1，一 3),b = (4,- 2), ) D. 2 6. (2008湖北文、 A.(-15,12) 理)设 a=(1,-2), b=(-3,4), c=(3,2),则(a+2b) • c= (C ) B.0 C.-3 D.-11 7. （2008 湖南理）设D 、E 、F 分别是△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且 DC = 2BD, CE = 2EA, AF =2FB,则 AD BE CF 与 BC （ A.） A.反向平行 B.同向平行 C 互相垂直 AC 亠2AB 1 【解析】由定比分点的向量式得 ：AD 二 =》AC AB, .1+2 3 3 匸 =1 B C 2BA , CF = ^CA 2CB,以上三式相加得 一 一 3 3 =_1訝所以选A. 3 ， D.既不平行也不垂直 AD - BE CF& （2008辽宁文）已知四边形ABCD 的三个顶点A （0,2） , B （-1, -2） , C （3,，且= 2AD ，则顶 点D 的坐标为（A ）(2008 海南、宁夏理)已知向量 a=(0,—1,1), b = (4,1,0), |ha + b|=J39 且九 >0，则九=___32又 AB AD ^1 2 cos 1=(AF),. D 对3•••真命题的代号是代B,Df 7 ) D (1A . i 2,—B. 2, —— I 2丿 I 2c . (3,2)D . (1,3)9. （2008辽宁理）已知O, A, B 是平面上的三个点， 直线AB 上有一点 （A ）C ,满足 2AC • CB=O ，则 OC =A . 2OA-OBB . -OA 2OB10 . (2008全国I 卷文、2. 1 A . b c理)在△ ABC 中，AB 5 2uB . — c b3 3T I T T=c , AC = b .若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD = ( A )2 1 C . 一 b —-c3 3 11. (2008 四川文)设平面向量 a =：i 3,5,b - -2,1，则 a -2b =( A )(A)7,3(B) 7,7(C)1,7(D)1,312 .（ 2008浙江理）C）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 C ） c 满足(a - c) (b - c) = 0 ,(A) 1(B) 2(C )V2 (D)2、填空题： （2008北京文）已知向量a 与b 的夹角为120°,且丨 a | =|b|=4,那么-b 的值为 -8（2008北京理）已知向量a 与b 的夹角为 120，且 a =b=4，那么 bl(2a b )的值为_ 0（2008江西文）如图,，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题:AC AF [2BC ） AD 二 2AB 2AFAC fAD 『AD AB| _t (AD AF)EF =AD(AF EF)A 、B 、D (写出所有真命题的代号)D .其中真命题的代号是T T T T T TAC AF 二 AC Cp 二 AD 「2匹,二A 对4. 取AD 的中点O 则AD 二2AO =2AB AF , . B 对T T 厂 JI T T=1,则 AC AD = .3 2 cos 3,而 AD AF =2 1 6设AB 31cos 1 C 错35. （2008江苏）a , b的夹角为120 ,5 •【解析】本小题考查向量的线性运算.（2008天津理）如图，在平行四边形则AD AC 二 3 .13 .解析：令AB = a , AD = b，则ABCD 中，AC 二1,2 ,BD - -3,2 ,D辰]a；b j(1,2)二 a=(2,0), b=(_1,2) -a b =(-3,2)1 4=1 , b =3 则5a -b= 71 J呻片2 彳i2斗2”弓2 5a-b =(5a-b)=25a -10a Lb+b二7—►__ ——►—&(2008 湖南文)已知向量a = (1^3) , b = (―2,0)，则a +b= ______ 2（2008江西理）直角坐标平面内三点A 1,2、B 3,-2、C 9,7 ,若E、F为线段BC的三等分点, 则AE • AF = 22 •（2008全国n卷文、理）设向量a = （1,2）, b=（2,3），若向量则，- 2 •a - b与向量c = (-4, -7)共线,9.（2008陕西文、理）关于平面向量a, b, c .有下列三个命题：①若a b= a c，贝U b=c .②若a -（1, k）, b -（—2,6）, a //③非零向量a和b满足|a |=| b |=| a -b|，则a与a b的夹角为其中真命题的序号为②•（写出所有真命题的序号）b，贝U k = -3 •60 •10 •（2008上海文、理）若向量a , b满足a =1, b =2且a与b的夹角为二，则a+b311 .（2008浙江文）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足-b）=0，则|b |的取值范围是[0,1] 。

吉林大学2008~2009学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷参考答案（注：可根据实际情况对评分标准进行调整）一、单项选择题：1． 2．d x y . 3．1a <． 4．32． 5．8π． 6．12． 三、按要求解答下列各题1．求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程．解：设222239F x y z =++-，则4,6,2x y z F x F y F z '''=== ………2分于是椭球面222239x y z ++=上过点(,,)x y z 的切平面的法线向量{}2,3,n k x y z =平面23210x y z -++=的法向量{}12,3,2n =- ，且1//n n所以112,,x y z k k k==-= …………….4分 又点(,,)x y z 在椭球面上，代入得切点为(1,1,2),(1,1,2)---……………6分 从而所求切平面方程为2329x y z -+=± …………………………………8分2．设函数2(,)x z y f x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求zx ∂∂和2z x y∂∂∂.解：121z f f x y∂''=+∂ ………………………………………………………4分 2212222231z x xf f f x y y y y∂'''''=---∂∂ ………………………………………8分 3．计算二重积分2222I [sin()e ]d d ,yDx x y x x y -=++⎰⎰其中D 是以(0,0)，(1,1)，(1,1)-为顶点的三角形闭区域．解：222222I sin()d d e d d 0e d d y yDDDx x y x y x x y x x y --=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …4分 22122012I e d d d e d 13e y y y y Dx x y y x x ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ……………………….8分4．将d e 1,0d ()1,02x x x x f x x ⎧⎛⎫-≠⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩展开成x 的幂级数，并求数项级数1(1)!n nn ∞=+∑的和．解：22111e 1112!12!3!xx x x x xx +++--==+++ ……………..4分所以d e 1d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2123,(,)2!3!4!x x x +++∈-∞+∞ ………………..6分 1121d e 1e e 11(1)!d x x x x x n n x n x x x ∞===⎛-⎫-+=== ⎪+⎝⎭∑ ……………..……….8分5．计算曲面积分()333I c o s c o s c o s d xy z S αβγ∑=++⎰⎰ ，其中∑是球面2221x y z ++=，,,αβγ是∑在点(,,)x y z 处的外向法线的方向角.解法1：直接利用高斯公式222I 3()d x y z v Ω=++⎰⎰⎰ ………………………………………4分2403d d sin d ar r ππθϕϕ=⎰⎰⎰ ………………………….………6分512.5a π=…………………………………………8分 解法2：利用对面积的曲面积分的计算球面上任一点(,,)x y z 的外法线通过原点，故有{},,n x y z =….2分{}cos ,cos ,cos ,,n x y z a a a n αβγ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭………………………..4分4441I ()d x y z S a ∑=++⎰⎰ 512.5a π= ……………………………8分 6. 求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数.解：1lim1nn n a R a →∞+==，当1x =±时，发散，收敛域为(1,1)- ………..4分 和函数()0(21)2nnn n n n S x n xnx x ∞∞∞====+=+∑∑∑21,(1,1)(1)xx x +=∈-- …………………………………….8分 7. 求微分方程2e xy y y x '''++=的通解.解：特征方程为2210r r ++=，121r r ==- …………………………..2分对应的齐次方程的通解为12()e xy C C x -=+ ……………………………4分 因为1不是特征根，设特解的形式为*()e xy ax b =+ 代入原方程得*111,,(1)e 444x a b y x ==-=- ………………….6分 所求通解为121()e (1)e 4xx y C C x x -=++- ……………………8分 8. （1）确定函数()f x ，使曲线积分()(),0,0e (1)()d ()d 1x y x nn x f x y x f x y x ⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦⎰与路径无关；（2）如果(0)0f =，计算此曲线积分.解：（1）(1)()()1x n P Q ne xf x f x y x n ∂∂'=⇒++=∂∂+ ………………………..2分 解此一阶线性非齐次方程得()(1)(e )nxf x x C =++ ………………………4分 （2）(0)0f =⇒()(1)(e 1)nxf x x =+- ………………………………………6分 所求曲线积分(1)(e 1)nxx y =+- ………………………………….8分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UAB ð等于（ ）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．96．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-7．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．908．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．10．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．11．若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）A BCD MN P A 1B 1C 1D 113．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．ACBP17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．18．（本小题共13分） 已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．19．（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值． 20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1- 10．0 11．5 10 12．2 2-13．②14．(12)， (3402)， 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥．ABDPPD CD D =， AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --的大小为arcsin（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离． 由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =，PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，12CD AB ==PD PB ==2PC ∴==．23PC CD CH PD ∴==． ACBE P ACBDPH∴点C 到平面APB． 解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB ==2t ∴=，(002)P ，，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C --的大小为． （Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．y23CH ∴=． ∴点C 到平面APB 的距离为3． 17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)P P ξξ==-==，ξ的分布列是18．（共13分）解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增， 在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x=+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得33n -<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积2S AC =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭．所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值 20．（共13分）（Ⅰ）解：0532A ：，，， 10()3421T A ：，，，， 1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，， 2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-．又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，． 当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤． 当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ，则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤． 从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，， 可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤． 即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤． 因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===． 即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。

2008年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2008B1、函数xx x x f -+-=245)(2在)2,(-∞上的最小值为（）A.3B.2C.1D.0◆答案：B★解析：当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)x x f x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2008B 2、设)4,2[-=A ,{}04|2≤--=ax x x B ，若A B ⊆,则实数a 的取值范围为（）A.)3,0[B.]3,0[C.)2,1[-D.]2,1[-◆答案：B★解析：因240x ax --=有两个实根12a x =-，22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a <，解之得03a ≤<．2008B 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的数学期望是（）A.243670B.81274 C.81266 D.81241◆答案：C★解析：[解法一]依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二]依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=，1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()(333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()(3381==，故52016266246E ξ=⨯+⨯+⨯=．2008B 4、若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，则这三个正方体的体积之和为（）A.5863cmB.5643cm 或5863cmC.7643cmD.7643cm 或5863cm◆答案：D★解析：设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．2008B 5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为（）A.4B.3C.2D.1◆答案：C★解析：若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-．①由0x y z ++=得z x y =--．②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=．③由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 6、设ABC ∆D 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则BC B AC A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围为（）A.),215(+∞- B.)215,215(+- C.)215,0(+ D.),0(+∞◆答案：B★解析：设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩,解得1551,225151.q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或从而1122q -<<，因此所求的取值范围是11(22．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。

2008年高考中的“空间向量与立体几何”试题汇编大全一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B．3CD ．231.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB，棱柱的高1AO ==（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =.另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,333OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=.二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C ABD --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 61． 1.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===,故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=.三、解答题： 1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

10 立体几何一、选择题1．（安徽3）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是省（ B ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖2．（北京8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）3．(福建6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ D ）A.3 B.23D.134．（广东7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△CHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）5．（宁夏12）已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m m αβ∥，∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ D ） A ．AB m ∥B ．AC m ⊥C ．AB β∥D ．AC β⊥6．（湖南5）已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则 ( D )ABCD MN P A 1B 1C 1D 1.A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n7．（湖南9）长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( B )A ．42π B ．22πC ．π2D ．2π2 8．（江西9）．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是（ B ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 9．（辽宁12）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ D ） A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条10．（全国Ⅰ11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ B ）A ．13B．3CD ．2311．（全国Ⅱ8）正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ B ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．18 12．（全国Ⅱ12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．213．(山东6) 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π 14．（上海）给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面l 与平面α垂直”的（ C ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件15．（四川８）设M 是球心O 的半径OP 的中点，分别过,M O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D ) （Ａ）41 （Ｂ）12 （Ｃ）23 （Ｄ）34俯视图 正(主)视图 侧(左)视图16．（四川10）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( B )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条17．（四川12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形，则该棱柱的体积等于( B )（Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）18．(天津5) 设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ C ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥， B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥ C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，19．（浙江9）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得 ( B ) （A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥20．(重庆11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为 ( A )(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤ (C)模块②，④，⑥ (D)模块③，④，⑤21．(湖北4).用与球必距离为1的平面去截面面积为π，则球的体积为 ( D )A.323πB.83πC.D. 322．(陕西8)长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中1::AB AD AA =,则两,A B 点的球面距离为( C ) A ．4πB ．3π C ．2π D ．23π 23．(陕西10) 如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ D ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<， D ．m n θϕ<>，二、填空题1．（安徽16）已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是43π2．（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是 . 9π3．（广东15）（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切点，切点为A ，PA ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R4．（宁夏14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，3，则这个球的体积为 ．43π 5．（江西15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB CD 、的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．56．（辽宁14）在体积为的球的表面上有A 、B ，C 三点，AB =1，BC，A ，C两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为_________．327．（全国Ⅰ16）已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD △所在平面的距离等于．28．（全国Ⅱ16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ．A B abl αβ（写出你认为正确的两个充要条件）两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．9．（浙江15）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于。

2008年高考数学试题分类汇编立体几何1.（全国一18）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =． （Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45o，求二面角C AD E --的大小．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ， Q AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．2tan tan 2CED FDC ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠=o ，90DOE ∴∠=o ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．Q CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．233AC CD CG AD ==g ，63DG =，22303EG DE DG =-=，6CE =，则22210cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==-g ，10πarccos 10CGE ⎛⎫∴∠=- ⎪ ⎪⎝⎭，即二面角C AD E --的大小10πarccos 10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．2.（全国二19）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小． 解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥． 由三垂线定理知，1BD A C ⊥． 在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于122AA ACFC CE==， 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1A C ⊥平面BED ．（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥， 故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． 223EF CF CE =+=， CDEA BA B CD EA 1B 1C 1D 1 AB CDE A 1B 1C 1D 1 FH G23CE CF CG EF ⨯==，2233EG CE CG =-=．13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯=． 又221126AC AA AC =+=，11563A G A C CG =-=．11tan 55AGA HG HG∠==． 所以二面角1A DE B --的大小为arctan 55．解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==u u u r u u u r ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=u u u r u u u u r ，，，，，．（Ⅰ）因为10AC DB =u u u r u u u r g ，10AC DE =u u u r u u u rg ，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DB DE D =I ，所以1A C ⊥平面DBE ．（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥u u u r n ，1DA ⊥u u u u r n ． 故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．1AC u u u r ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，4214,cos 111=•=CA n C A n C A n ． 所以二面角1A DEB --的大小为14arccos42． 3．（北京卷16）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =Q ，PD AB ∴⊥．AC BC =Q ，CD AB ∴⊥． PD CD D =Q I ，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂Q 平面PCD ，PC AB ∴⊥． （Ⅱ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=o，即AC BC ⊥，且AC PC C =I ，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =Q ，BE AP ∴⊥．EC Q 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．A B C DEA 1B 1C 1D 1 yx z A C BDPA CBE P A CBP在BCE △中，90BCE ∠=o，2BC =，362BE AB ==， 6sin 3BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --的大小为6arcsin 3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．Q 平面APB I 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =I ，PC ∴⊥平面ABC ．CD ⊂Q 平面ABC ，PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，122CD AB ==，362PD PB ==，222PC PD CD ∴=-=．332=⨯=PD CD PC CH ． ∴点C 到平面APB 的距离为233．解法二：（Ⅰ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．AC BC C =Q I ，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂Q 平面ABC ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．22PB AB ==Q ，2t ∴=，(002)P ，，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =Q ，AB BP =， CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E Q ，，，(011)EC =--u u u r ，，，(211)EB =--u u u r，，， 33622cos =⨯=•=∠EBEC EB EC BEC ．∴二面角B AP C --的大小为3arccos3． （Ⅲ）AC BC PC ==Q ，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =u u u r u u u r Q ，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．A CBD P H AC BP z x y HE233CH ∴=u u u r ．∴点C 到平面APB 的距离为233．4.（四川卷19）． 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB BC ∠=∠=//=12AD ，BE //=12AF（Ⅰ）证明：,,,C D F E 四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小；【解1】：（Ⅰ）延长DC 交AB 的延长线于点G ，由BC //=12AD 得12GB GC BC GA GD AD ===延长FE 交AB 的延长线于'G ，同理可得 ''''12G E G B BE G F G A AF === 故''G B GB G A GA=，即G 与'G 重合 因此直线CD EF 、相交于点G ，即,,,C D F E 四点共面。

2008-2012年山东文科高考数学立体几何解答题及答案1、（08山东卷20)(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值. （Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形.因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又 BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AE . 而 P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD 且P A ∩AD =A ， 所以 AE ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD . 所以 AE ⊥PD.（Ⅱ）解：设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH .由（Ⅰ）知 AE ⊥平面P AD ，则∠EHA 为EH 与平面P AD 所成的角.在Rt △EAH 中，AE =3，所以 当AH 最短时，∠EHA 最大， 即 当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大. 此时 tan ∠EHA =36,2AE AH AH == 因此 AH =2.又AD=2，所以∠ADH =45°，所以 P A =2.因为 P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AC ，所以 平面P AC ⊥平面ABCD .过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E-AF-C 的平面角， 在Rt △AOE 中，EO =AE ·sin30°=32，AO =AE ·cos30°=32, 又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ·sin45°=324, 又223830,494SE EO SO =+=+= 在Rt △ESO 中，cos ∠ESO=32154,5304SO SE == 即所求二面角的余弦值为15.52、（2009山东文数）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点.（1） 设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 证明:平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.证明:（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD=//A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ， 所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1.（2）连接AC,在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ，△BCF 为正三角形，60BCF ∠=︒,△ACF 为等腰三角形，且30ACF ∠=︒所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C, 所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ⊂平面D 1AC, 所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.EABCFE 1A 1B 1C 1D 1 DEABCFE 1A 1B 1C 1D 1 D3、（2010山东文数）（20）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力。