李兴建论文

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目：高中数学求函数最值常用的方法作者、学号：李兴建2008111244学院、年级：数学与信息科学学院2008级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：刘鹤飞完成日期：2012年5月20日曲靖师范学院教务处高中数学求函数最值常用的方法摘要最值问题是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。

在高考中，其题型经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系。

本文按八个方面分类探讨求函数最值问题的方法，它们分别是：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法。

关键词:函数; 驻点;最大值;最小值.High School Mathematics Method to Extreme Value of FunctionAbstract: On the least value is over one of the key test for college entrance examination of knowledge, also common types of mathematics competitions in recent years. In the college entrance examination, questions frequently and trigonometric functions, quadratic functions, quadratic equations, inequalities, and some knowledge of geometry close contact. This article by eight classification on the seek function on the least value methods, namely: discrimination law, the monotonicity of the function, method, by substitution, geometric mean inequality, constructed by variance, complex laws and by derivative method.Keywords: Function ; Resident ; Maximum value ; Minimum value .目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (1)2.3提出问题 (1)3 知识准备 (1)3.1值域 (1)3.2最值 (2)4 高中求函数最值常用的方法 (3)4.1判别式法 (3)4.2.函数的单调性法 (4)4.3均值不等式法 (5)4.4换元法 (6)4.5几何法 (7)4.6构造方差法 (8)4.7复数法 (10)4.8导数法 (10)5 结论 (11)5.1主要发现 (11)5.2启示 (11)5.3局限性 (12)5.4努力方向 (12)参考文献 (13)1 引言高中函数最值是高中知识的重要部分，也是最值问题是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型，因此掌握求函数最值的初等求解方法是很有必要的。

2 文献综述2.1国内外研究现状在高考中，最值问题经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。

由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。

高中求函数最值问题最常的方法，它们分别是：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法。

2.2国内外研究现状评价最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现。

解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。

考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现。

因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了2.3提出问题本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法，它们分别是：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法。

3 知识准备3.1 值域函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。

3.2 最值求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x =注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

1 确定函数值域的原则(1)、当函数)(x f y =用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合；则值域为{1，2，3，4}(2)数)(x f y =的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；(3)数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；(4)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。

2 基本函数的值域(1)一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； (2)二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ；(3)反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0{≠y y ；(4)数函数)10(≠>=a a a y x 且的值域为}0/{>y y ； (5)对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； (6)函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-；(7)函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

4 高中求函数最值常用的方法4.1判别式法若函数()y f x =可化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程:2()()a y x b y x + ()0c y +=。

在()a y ≠时,由于,x y 为实数,则有2()4()()0b y a yc y ∆=-≥,由此可以求出y 所在的范围,确定函数的最值。

例1 已知332p q +=,其中,p q 是实数,则p q +的最大值为______。

解:设s p q =+,由332p q +=得, 22()()2p q p q pq ++-= 2()[()3]2p q p q pq ++-= 3()3()2p q pq p q +-+=212()3pq s s ∴=- ∴,p q 是方程2212()03x sx s s -+-=的两个实根.2242()03s s s∴∆=--≥整理化简, 得38s ≤,故2s ≤. 即p q +的最大值为2例 2 实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22s x y =+,则maxmin11s s +的值为_______。

解:由题意知, 415xy s =-,故224()(1)5xy s =- 又22x y s += ∴22,x y 是方程224(1)05t st s -+-=的两个实根.222439324(1)405255s s s s ∴∆=--=-+-≥解得1010133s ≤≤，即min max 101013,3s s == maxmin1185s s ∴+= 4.2 函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。

若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。

若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。

例3求函数()f x =解：先求定义域，由228014480x x x x ⎧-≥⎨--≥⎩ 得 68x ≤≤又()f x ==，[]6,8x ∈故当[]6,8x ∈，且x减小.于是()f x 是随着x 的增大而减小，即()f x 在区间[]6,8上是减函数，所以 min ()(8)0f x f ==, max ()(6)f x f ==例4 求函数2125x y x x -=-+，322x ≤≤的最大值和最小值。

解：1x ≠ ∴()21141411x y x x x -==-+-+- ， 3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 令4()f t t t =+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.当12112t t ≤<≤时，有 21212144()()()()f t f t t t t t -=-+-21124()(1)t t t t =--0< 4()f t t t ∴=+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，因此 min ()(1)5f t f == ，max 117()()22f t f == min 217y ∴=， max 15y =4.3均值不等式法均值不等式:设12,,...,n a a a 是n 个正数,则有12 (2)n a a a +++≥其中等号成立的条件是12...n a a a ===。

运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。

“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件。

例 5 设n 为自然数, ,a b 为实数,且满足2a b +=,则1111n na b +++的最小值是______。